幂级数的部分练习题及答案
更新时间:2024-01-10 13:29:01 阅读量: 教育文库 文档下载
题目部分,(卷面共有100题,349.0分,各大题标有题量和总分) 一、选择 (10小题,共22.0分) (2分)[1] (2分)[2] (A) ??1,1? (B) ??1,1? (C) ??1,1? (D) ??1,1?
答( )
(2分)[3] 设级数?bn?x?2?n在x??2处收敛,则此级数在
n?0?xn函数项级数?n?1n?的收敛域是
x?4处
(A)发散; (B)绝对收敛; (C)条件收敛; (D)不能确定敛散性。
答:( )
(3分)[4]设级数?an?x?3?n在x??1处是收敛的,则此级数在
n?0?x?1处
(A)发散; (B)绝对收敛; (C)条件收敛;
(D)不能确定敛散性。
答:( ) (2分)[5]设级数?an?x?1?n的收敛半径是1,则级数在x?3点
n?0?(A)发散; (B)条件收敛; (C)绝对收敛; (D)不能确定敛散性。
答:( ) (2
?an?11分)[6]如果lim?,则幂级数?anx3nn??a8n?0n
(A)当x?2时,收敛; (B) 当x?8时,收敛; (C) 当x?1时,发散; (D) 当
81x?时,发散; 2 答( ) (2分)[7]若幂级数?anxn的收敛半径为R,那么
n?0?an?1(A)limn??an?R,
(B) limn??an?R, an?1(C)liman?R, n??an?1(D)lim不一定存在 . n??an 答( )
(3分)[8] 若幂级数?anxn在x?2处收敛,在x??3处发散,
n?0?则 该级数
(A)在x?3处发散; (B)在x??2处收敛; (C)收敛区间为??3,2?
;
(D)当x?3时发散。
答( )
(2分)[9] 如果f?x?在x0点的某个邻域内任意阶可导,那么
?f?n??x0???x?x0?n?的和函数 幂级数??n!n?0??? (A) 必是f?x?, (B)不一定是f?x?, (C)不是f?x?, (D)可能处处不存在。
答( )。
(2分)[10]如果f?x?能展开成x的幂级数,那么该幂级数 (A) 是f?x?的麦克劳林级数; (B)不一定是f?x?的麦克劳林级数;
(C)不是f?x?的麦克劳林级数; (D) 是f?x?在点x0处的泰勒级数。 答( )。 二、填空 (54小题,共166.0分) (2
分)[1]函数项级数?an?1?2xrcta3n2x?n的收敛域
是 。
(2分)[2]讨论x值的取值范围,使当_____________时
(n?x)n?nn?xn?1?收敛
(n?x)n当_____________时?n?xnn?1? (3分)[3]
发散
x2n?1设级数?un?x?的部分和函数sn?x??2n,
x?1n?1?级数的通项un?x??(2
分
)[4]
级
数
πn??1??(2n)!3nn?0?n。 的
和
是 。
(2分)[5] 级数??nxe?nx??n?1?xe??n?1?x?在?0,1?上的和
n?1?函数是 。 (3分)[6]设
x不是负整数,对
p的值讨论级数
???1??x?n?nn?1?1p?p?0?的收敛性
得 当 时,绝对收敛, 当 时,条件收敛。
(2
分)[7] 幂级数???1?n?11?2x?3?n的收敛域
2n?1n?0?是 。
n?1??1?x2n?1(3分)[8]幂级数?的收敛半径是 ,和
?2n?1?!n?1?函数是 。
(1分)[9] 如果幂级数?an?x?1?n的收敛半径是1,则
n?0?级数在开区间 内收敛。 (2
an分)[10]如果lim?2n??an?1,则幂级数?an?x?1?n在开区间
n?0?内收敛。
(2分)[11] 设幂级数?anxn的收敛半径是R?0?R????,
n?0?则幂级数?anx2n的收敛半径是 。
n?0?(2分)[12]如果幂级数?an?x?1?n在x??1处收敛,在x?3处发
n?0?散,则它的收
敛域是 . (5分)[13]
2222233244幂级数x?x?x?x??的通项
251017是 ,收敛域是 。 (6分)[14]
?2n3n?n幂级数???n?n2??x的收敛域是 n?1???? 。
(4分)[15] 幂级数?n4n?1xn的收敛区间是 。
n?0
?u?x????f?x??f?x??,
nnn?1n?2n?2??其中
1n?1?k?fn?x???f?x??
nk?0?n?? n?1,2,?
试确定?un?x?的收敛域及和函数。
n?2(4分)[6] 试求幂级数??2n?1?1?xn的和函数。
n?0?(5分)[7]试求幂级数?n?0??n?1?5x2n的收敛域。
2n?1(4
n2分)[8]试求级数?nn?1x?的收敛域。
(3分)[9] 试求级数lgx??lgx?2??lgx?3??的收敛域。 (4分)[10] 试求幂级数?n?1???x?5?n的收敛半径及收敛域。
n(4分)[11]
n3xn试求幂级数?4n?1n?16?的收敛域。
nn??1??x?1?(5分)[12]求幂级数?的收敛域。 n??3n?12n?1?(4分)[13]已知幂级数?anxn的收敛半径R0?0,试求
n?0anxn?nn?0b??b?0?的收敛半径。
?(5
2n?1x2n?1分)[14]试求幂级数?2n?0?4n?3??的收敛半径及收敛域。
(5分)[15] 试求幂级数?2nn?1x3n的收敛域。
n?18(5分)[16]试求幂级数?3nn?0?2xn2的收敛域。
(5分)[17]
xn?1试求幂级数?n的收敛域。
n?3?lnnn?2?n?x?1?(5分)[18] 试求幂级数?的收敛域。 2n?1?n?1?ln?n?1??(6分)[19] 试求幂级数???1?n?0??n3n?2?x?2?n的收敛域。 n?12?n!?2n(5分)[20] 试求幂级数?x的收敛半径。
!n?1?2n?2n?x?3?(6分)[21] 试求幂级数?的收敛域。 n?1?n?1?ln?n?1??(5
1?n分)[22]试求幂级数?2???x的收敛半径及收敛域。 n2n?0?n?(4分)[23] 试求幂级数?n?1xn在其收敛域上的和函数。
n?1?n(5分)[24]
x4n?1试求幂级数?在收敛域上的和函数。
n?14n?1(2分)[25] 试求级数ex?e2?x???enx?? 的收敛域。
!nx的收敛半径。 (3分)[26]试求幂级数??2n?2k?1?n!??!nx的收敛半径。 (2分)[27] 试求幂级数??3n?2k?1?n!??(6分)[28] 设f?x?????1?nnxn?1,确定f?x?的连续
n?1?区间,
并求积分?f?x?dx的值。 (6分)[29] 设
xn?1f?x???n?n,确定f?x?的连续区间
2n?0?130并计算?0f?x?dx的值。 (6分)[30] 设f?x???n?0?1??1?nxn,g?x??n!?x,?x?1?,
nn?0?试用幂级数表示f?x??g??x?。 (6分)[31] 设
xnf?x???n?0n!? g?x???xn,?x?1?,
n?0?试用幂级数表示f??x??g?x?。
(6分)[32] 设f?x???xnn?0??x?1?,
1??g?x???2nxn,?x??
2??n?0?试用幂级数表示F?x??f?x??g?x?。 (6分)[33] 设??R,3nxnf?x???nn?1?,试确定R,使得f?x?在
?1?R?上可微,并计算f???的值。
?4?xnf?x???n?1n?(6分)[34] 设,确定R,使得f?x?在??R,R?上可微,
1?并计算f????的值。
?2?(3分)[35] 设f?x??5x3?4x2?3x?2,求f?x?h?关于 h的麦克劳林级数。
(3分)[36] 试求函数f?x???0e?tdt关于x的幂级数.
2x
====================答案==================== 答案部分,(卷面共有100题,349.0分,各大题标有题量和总分)
一、选择 (10小题,共22.0分) (2分)[1][答案] C
(2分)[2][答案] B
(2分)[3][答案]
B (3分)[4][答案]
D (2分)[5][答案]
A (2分)[6][答案]
A (2分)[7][答案]
( D ) (3分)[8][答案]
( D ) (2分)[9][答案]
(B)
(2分)[10][答案]
(A) 二、填空 (54小题,共166.0分) (2分)[1][答案]
(??,??)
(2分)[2][答案]
________x?1x?1
________(3分)[3][答案]
?x2n?2x2?11?x2n?21?x2n?? ???(2分)[4][答案]
cos?3 。
(2分)[5][答案] 0 (3分)[6][答案]
p?10?p?1
(2分)[7][答案]
?1,2?
(3分)[8][答案]
??
……
sinx
2?
(1分)[9][答案] ?0,
(2分)[10][答案] ??1,3?
(2分)[11][答案]
R
(2分)[12][答案] ??1,3?
(5分)[13][答案]
2nnx 2n?1?1?,??2
1? 2??(6分)[14][答案]
?11??, ???33?
(4分)[15][答案]
?1??,?41?? 4?
(4分)[16][答案] ?0?
(4分)[17][答案]
R1=R2
(3分)[18][答案]
3
(2分)[19][答案]
??1,1?,
?ln?1?x?。
(3分)[20][答案]
2e3x
(3分)[21][答案]
??1,1?
1?x
(2分)[22][答案] ?0,1?
11?x
(2分)[23][答案] ??R,R?
(2分)[24][答案]
min?R1,R2?
或为???bn??an? (3分)[25][答案] ??R,R?
?
s??x???nanxn?1n?1(3分)[26][答案]
??R,xR?
? ?s?x?dx??anxn?1
0n?0n?1
(4分)[27][答案] ??(?1)?n/2?2xn?n?02?n! ???,???
(3分)[28][答案]
?1??????1?????n?1?xn n?1n! ??1,1? (3分)[29][答案]
??ln2a?xn n?0n! ???,???
(3分)[30][答案]
??xn n?0 ??1,1? (3分)[31][答案]
????1?nxn ??1,n?0(5分)[32][答案]
?
1
x2n?12? 2n?1n?1? ??1,1?
(6分)[33][答案]
?n?1???1?n?12n?1xn
n?1??,?21? 2??
(4分)[34][答案]
?ln2????1?n?1xn?2n ??2,n?1n(4分)[35][答案]
????1?n?n?0?cos???2sin?2n?1?2n?!xn??2n?1?!x?????,??? (3分)[36][答案]
1n!fn?0? (2分)[37][答案]
??xn n?0n! ???,???
(2分)[38][答案]
????1?nx2n?1?m?1? n?0! ???,???
(2分)[39][答案] ????1?n?1xnn?1n 2?
??1,1? (4分)[40][答案]
xn??n?1n???1,1?
??n?1?! (3分)[41][答案]
x2n??1???2n?!n?0?n???,???
?0cos?n??0???k???1?n?2k?1n?2k,k?0,1,2?,
(5分)[42][答案]
n??1?xn?1 ?n?0n!?n?1?????,n?1,2,?
???
??1?n?1
(4分)[43][答案]
x2n?1 ?!n?0?2n?1?? ???,?1???0???
?sinxh??n?x?on?2k?1n?2k
(4分)[44][答案]
x2n ???2n!n?0?k?0,1,2,?
???,1???
?coshx??n?x?o???n?2kn?2k?1?0
(2分)[45][答案]
x2n?2n?2n?0a?k?0,1,?
??a,n?2k?1,a?
??0?f?n??0?????2k?!??a2k?2
n?2k,k?0,1,?
(6分)[46][答案]
n?1??1?22n?1x2n ? ???,?2n?!n?1????
?sinx???2nx?00???????1?k?122k?1?n?2k?1,n?2k, (3分)[47][答案]
?311???,? 4??4k?1,2,?
(3分)[48][答案]
对于该邻域内的任意x,有
limRn?x??0
n??
(3分)[49][答案]
n?x?3? ???1?n?1 ?nn?03 ?0,6?
(3分)[50][答案]
???1?n?0?nx2n?2 ?2n?!
x????,???
(3分)[51][答案]
x4?n?1???1? ???2n?1!n?0?n
x????,???
(3分)[52][答案]
381 ?5001000000(注:填 2?63?81也得10分) 61010
2?(2分)[53][答案]
k?1;
(2分)[54][答案]
?1 3840
15!25(注:答案形式为?也给分)
三、计算 (36小题,共161.0分) (3分)[1][答案]
sn?x??3x??2n?1x?5x?3x?????2n?1x?2n?1x?
?1,x?0 s?x??limsn?lim2n?1x??n??n???0,x?0
(3分)[2][答案]
sn?x??x?(x2?x)?(x3?x2)???(xn?xn?1)?xn
于是,
?0,0?x?1 s?x??limsn?x??limxn??n??n??x?1?1,(3分)[3][答案]
所给级数是以e?x为公比的等比级数 因此,当x>0,
0?e?x?1,级数?x2e?nx收敛
n?0?x2且和函数s?x??1?e?x
又x=0时,x2e?nx?0 ,级数收敛 且s(x)=0
?x2?1?e?x???0??,,x?0综上所述 s(x)=
x?0
(4分)[4][答案] 解法一
s(x)=
?nxn?1?n?1?x??nxn?1
2n?1?
?
?2?=x??xn???n?1??
?x?x???1?x??2 =??
?
x2?2
?1?x?? 解法二
?s(x)??nxn?1
n?1 ?x2?2x3?3x4???nxn?? ?(x2?x3?x4???xn??)? (x3?x4?x5??)????
xn?xn?1?xn?2????? x2?1?x?x31?x???xn1?x?? ?x21?x?11?x
2???x??1?x?? (4分)[5][答案]
设?sn?x?为?un?x?的部分和,则
n?21n?1s?x??f??k?nn?x??f?x?n?f?x?n???f?x?k?0?x????,???
…所求
和
s?x??lims1n??n?x???0f?x?t?dt?f?x?
x????,???收敛域
???,???…
函
数
所求
为
…
(4分)[6][答案]
11??,?, 幂级数的收敛域是???22?11?所以当x????,?时,有
?22? ?s?x????2n?1?1?xn
n?0 ????2n?1xn? n?0?xnn?0
?211?2x?1?x (5分)[7][答案]
设u?n?1?5x2nn?x??2n?1
因为limun?1?x?n??u?x2 n?x?所以当x?1时,级数收敛; 又当x?1 ,级数发散, 故收敛域为??1,1?。 (4分)[8][答案]
令1???t,原级数化为n2tnx, n?1当且仅当?t?1时,级数?n2tn收敛, n?1所以原级数的收敛域是???,?1???1,(3分)[9][答案]
令lgx?t,级数化为??tn, n?1
??? 。
当且仅当t?1时, ?tn收敛,
n?1?所以当
1?x?10时,原级数收敛, 10?,10?.
1收敛域为??
?10?(4分)[10][答案] 令??x?5??t,级数?tnn?1n的收敛半径是1,
收敛域是??1,1? , 故原级数收敛半径是1, 收敛域是?4,6?
. (4分)[11][答案]
由于liman?1n??a?1,所以R?1,
n当x?1时,级数发散; 当x??1时,级数收敛; 故收敛域为??1,1?. (5分)[12][答案]
令?x?1,原级数化为???1?ntnt?n, n?1?3n?1?2此级数的收敛半径是2, 收敛域是??2,故原级数的收敛域是??1,3?
. (4分)[13][答案]
利用两级数之间的关系,可得:
2? ,
当当
x?Ro, b即
?x?x?bRo时,级数?an???b?n?0?n?n收敛,
?x?x?bRo时,级数?an???b?n?0发散,
所以收敛半径是bRo. (5分)[14][答案]
设u2n?1x2n?1n?x???4n?3?2
因为
limun?1?x???un?x??2x2n
所以收敛半径R?12, 而且x?12时,级数收敛。 故收敛域为??11???2,2??。 (5分)[15][答案] 设un?x??2n?1n8nx3
u3因为limn?1?x?xn??u?,
n?x?8所以 R?2, 且x?2时,级数发散, 故收敛域是??2,2?。 (5分)[16][答案] 设u2n?x??3nxn2
,
?
?因??
为
un?1?x?2n?1??3x? un?x?
所以当x?1时,级数收敛,
3当x?1时,级数发散,
3故收敛域为
????13,?
(5分)[17][答案] 设a1n?n?3n?lnn
由于limann??a?3,故R?3, n?1且当x?3时,级数发散; 当x??3时,级数收敛。 所以收敛域是??3,3?。
(5分)[18][答案] 因为limann??a?1,所以R?1, n?1且当x?1?1 即x?0时,级数收敛; 当x?1??1 即x??2时,级数收敛, 所以收敛域是??2,0?。
(6分)[19][答案]
由于liman?1n??a?1,所以R?1,
n1?3??。
且当x?2?1时,级数收敛, 当x?2??1时,级数发散, 故收敛域是?1,3?。
(5分)[20][答案]
un?1?x?x2因为lim?n??u?x?4n,
所以当x?2时,级数收敛, 故收敛半径R?2。 (6分)[21][答案]
un?1?x?2 因为lim??x?3?, n??u?x?n所以当x?3?1时,级数收敛, 且当x?3?1时,级数发散, 故收敛域是?2,4?。
(5分)[22][答案]
n 因为limn??un?x??1x 2
所以收敛半径R=2, 且当|x|=2时,级数发散。
故收敛域为(-2,2)。 (4分)[23][答案]
幂级数的收敛域是??1,1?, 所以当x???1,1?时,有
xns?x???x??n?1n?1n?n?
?x?ln?1?x? 1?x
(5分)[24][答案]
幂级数的收敛域是??1,1?, 当x???1,1?时,有
??4n?s?x?????x?dx
x0
?n?1?
??x?11?4lnx1?x?12arctanx (2分)[25][答案]
这是以ex为公比的等比级数 令ex?1 解得x?0 故所所求收敛域为???,0?。 (3分)[26][答案]
?liman?1n??a?lim2?2n?1?n??n?1?4 n?
级数的收敛半径R?14 (2分)[27][答案] ?liman?1n??a?lim3?3n?1??3n?2??nn??n?1? ? 级数的收敛半径R?0。 (6分)[28][答案]
因为幂级数的收敛域是??1,1?,所以f?x?在??1,1?上的连续,
且可逐项积分。
?f?x??????1?nnxn?1dx
n?1 ????1?n?1n3n?1?130?130??14
(6分)[29][答案]
由于幂级数的收敛域是??2,2?,所以
f?x?在??2,2?上连续,且可逐项积分。故
?0f?x?dx???0n?01?1n?xn?1dx n2? ??1n2n?0?2
(6分)[30][答案]
由于?xn的收敛区域是??1,1?,当
n?0?x???1,1?时,g?x?可微,而且
g??x????xn?0?n????n?1?x,
nn?0??所以
????1?nxnf?x??g??x?????n!?n?0????????n?1?xn?, ????n?0?m (6分)[31][答案] 因为
xnf?x???n?0n!?m?k????1?????x????k?1??m?k?!?。 m?0?k?0?
的收敛区域是???,???,
f?x?在任意点可微,且可逐项微分。
????xn?xn?1f??x?????n!?????n?1?!?f?x?, ?n?0?n?1??xn???k?f??x??g?x?????n!????x? ?n?0??k?0?
故
?m1?m?????x。 m?0?k?0k!??
(6分)[32][答案]
由于?x、?2nxn的收敛半径分别为1,nn?0n?0??1, 2所以两幂级数乘积的收敛半径是1,
21故当x????,?21??时, 2???n???nn?F?x????x???2x??n?0??n?0???????2k?xnn?0?k?0???n
???2n?1?1?xn
n?0(6分)[33][答案]
1 幂级数的收敛域是???,?31?,所以f?x?在???31??, 3?
1??上可微,且可逐项微分, 3?1???3nxn??f???????n??4??n?1???x?14
?12
?1???3n????4?n?1?n?1
(6分)[34][答案]
因为幂级数的收敛半径R?1,所以f?x?,
在??1,1?内连续,可微, 且
1???xn???f?????????2?n?1?n??x?12?1?????n?1?2??n?1?2
(3分)[35][答案] 由于
f?x?h??5?x?h??4?x?h??3?x?h??232??5x3?4x2?3x?2???15x2?8x?3?h ??15x?4?h2?5h3x?(??,??) h?(??,??)
由级数表示的唯一性,即知上式就是所求级数。 (3分)[36][答案] 因为
f??x??e?x2
x2n ????1?n!n?0x????,????n 所以
x2n?1f?x?????1? ?2n?1?n!n?0x????,????n
级数lnx?ln2x???lnnx??的收敛域是 (A) x?e (B) x?e
(C)
1e?x?e (D)1e?x?e
答( )
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