高中三角函数知识点及习题汇总

任意角的三角函数及诱导公式

一．课标要求：

1．任意角、弧度:了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化； 2．三角函数:借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义； 二．命题走向

从近几年的新课程高考考卷来看，试题内容主要考察三角函数的图形与性质，但解决这类问题的基础是任意角的三角函数及诱导公式，在处理一些复杂的三角问题时，同角的三角函数的基本关系式是解决问题的关键。 三．知识要点精讲

1．任意角的概念

我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。

2．终边相同的角、区间角与象限角

角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角（或轴上角），具体读作x的非负、非正半轴及y的非负、非正半轴及。

终边相同的角是指与某个角α具有同终边的所有角，它们彼此相差2kπ(k∈Z)，即β∈{β|β=2kπ+α，k∈Z}，根据三角函数的定义，终边相同的角的各种三角函数值都相等。

区间角是介于两个角之间的所有角，如α∈{α|

?5??5?≤α≤}=[，]。 66663．弧度制

长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad，或1弧度，或1(单位可以省略不写)。角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定。

角?的弧度数的绝对值是：??l，其中，l是圆心角所对的弧长，r是半径。 r?角度制与弧度制的换算主要抓住180??rad。 弧度与角度互换公式：1rad＝180°、1°＝?（rad）。

?180弧长公式：l?|?|r（?是圆心角的弧度数）， 扇形面积公式：S?4．三角函数定义

在?的终边上任取一点P(a,b),它与原点的距离r?11lr?|?|r2。 22a2?b2?0.过P作x轴的垂线,

垂足为M,则线段OM的长度为a,线段MP的长度为b.则sin??y OMaMPbcos???；tan???。

OPrOMaa的终边 MPb?；OPrP(x,y) 利用单位圆定义任意角的三角函数，设?是一个任意角, O x 它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么: (1)y叫做?的正弦,记做sin?,即sin??y； （2）x叫做?的余弦,记做cos?,即cos??x； （3）

y a角的终P T yy叫做?的正切,记做tan?,即tan??(x?0)。

xxO M A x 5．三角函数线

以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆。当角?为第一象限角时，则其终边与单位圆必有一个交点P(x,y)，过点P作PM?x轴交x轴于点

M，根据三角函数的定义：|MP|?|y|?|sin?|；|OM|?|x|?|cos?|；tan??AT?y x我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT,分别叫做角?的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线。

6．同角三角函数关系式 （两个公式，可以自己补充）

几个常用关系式：sin??cos?，sin??cos?，sin??cos?；(三式之间可以互相表示)

设sin??cos??t,t?[?2,2]，两侧平方，得：

t2?11?2sin??cos??t?sin??cos??

221?2sin??cos??2?t2?sin??cos???2?t2

同理可以由sin??cos?，sin??cos?推出其余两式。 7．诱导公式:可用十个字概括为“奇变偶不变，符号看象限”。 （有十六个） 四．典例解析 题型1：象限角

例1．已知角??45?；（1）在区间[?720?,0?]内找出所有与角?有相同终边的角?； 例2．集合M??x|x??180O?45?,k?Z?，N??x|x??180O?45?,k?Z?那么两集合的关系是什么？

例3．若sinθcosθ＞0，则θ在（ ）

A．第一、二象限 B．第一、三象C．第一、四象限 D．第二、四象限

例4．已知“?是第三象限角，则题型2：三角函数定义

??k2????k4???是第几象限角?（注意方法，分割象限法） 3例5．已知角?的终边过点(a,2a)(a?0)，求?的三个三角函数值。

例6．已知角?的终边上一点P(?3,m)，且sin??题型3：诱导公式

2m，求cos?,tan?的值。 4例7．sin(???)?cos(???)?cos(??)?1的值为 ( )

A．1 B．2sin? C．0 D．2

例8．化简：

22?sin(180???)?sin(??)?tan(360???)（1）；

tan(??180?)?cos(??)?cos(180???)（2）

sin(??n?)?sin(??n?)(n?Z)。

sin(??n?)cos(??n?)题型4：同角三角函数的基本关系式

例9．已知

1?sin?1?sin????2tan?，试确定使等式成立的角?的集合。

1?sin?1?sin?cosx1?sinx； ?1?sinxcosx2?cos??sin??cos?sin?（2）证明：。 ??1?sin??cos?1?sin?1?cos?例10．（1）证明：

以下附有限时训练

限时训练 任意角的三角函数及诱导公式

1、在?ABC中，若?B?60,AC?3,AB??6，则?A? ．

2、cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为 .

3、已知f(x)?asin(?x??)?bcos(?x??)，其中?、?、a、b均为非零实数，若

f(2006)??1，则f(2007)? ．

4、已知A为锐角，lg(1?cosA)?m,lgo1?n，则lgsinA? ．

1?cosA5、若f(cosx)?cos3x，则f(sin30)? ．

6. 已知sin??cos??1，则sin??cos?(n?N)? ． 7. 设sin??nn3?1 (????), tan(???)?,则tan(??2?)的值等于__ . 5228. 在△ABC中，BC=1，?B??3，当△ABC的面积等于3时，tanC?__ . 229. 已知(tan??1)tan??0，且?为第一象限角，求sin??2cos??3sin?cos?的值。

10. 在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，给出下列结论：

①若A＞B＞C，则sinA?sinB?sinC；②若a?b?c,则cosA?cosB?cosC； ③必存在A、B、C，使tanAtanBtanC?tanA?tanB?tanC成立； ④若a?40,b?20,B?25?，则△ABC必有两解.

其中，真命题的编号为 .（写出所有真命题的编号）

11. 若函数f(x)?|2sinx?1|对任意的x?R存在常数c,使得f(x?c)?f(x)恒成立,则c的最小正值是 .

三角函数的图象与性质

一．课标要求：

1．能画出y=sin x, y=cos x, y=tan x的图像，了解三角函数的周期性；2．借助图像理解

2正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在（－π/2，π/2）上的性质（如单调性、最大和最小值、图像与x轴交点等）；3．结合具体实例，了解y?sin(?x??)的实际意义。 二．命题走向

近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是本章复习的重点。在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法。 三．要点精讲

1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像

2．三种三角函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称轴、对称中心、最值点

3．函数y?Asin(?x??)?B （其中A?0，??0）最大值是A?B，最小值是B?A，周期是T?初相是?；其图象的对称轴是直线?x???k??交点都是该图象的对称中心。

4．由y＝sinx的图象变换出y＝Asin(ωx＋?)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。

利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种2??，频率是f??，相位是?x??，2??2(k?Z)，凡是该图象与直线y?B的

变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。

途径一：先平移变换（相位变换），再周期变换(横向伸缩变换)，最后振幅变换（纵向伸缩变换）；

途径二：先周期变换(横向伸缩变换)，再平移变换（相位变换），最后振幅变换（纵向伸缩变换）。

5．由y＝Asin(ωx＋?)的图象求其函数式：

给出图象确定解析式y=Asin（ωx+?）的题型，通常先通最值确定A，再有周期确定?，

4．三角函数的求值类型有三类

（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；

（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如??(???)??,2??(???)?(???)等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；

（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。

5．三角等式的证明

（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；

（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。 四．典例解析

题型1：两角和与差的三角函数

（???）的值。 例1．已知sin??sin??1，cos??cos??0，求costan?是方程x?5x?6?0的两个实根根，例2．已知tan?，求 2sin2??????3sin?????cos??????cos2?????的值。

题型2：二倍角公式

例3．化简下列各式：

2?1111?3?????cos2????，2?（1），（2）?????2222?2???cos2??sin2?。

??????2cot????cos2?????4??4?7sin2x?2cos2x???317的值。 例4．若cos??x??，??x??,求41?tanx?4?512题型3：辅助角公式

asin例5．已知正实数a,b满足

?55?tan8?，求b的值。 ??15aacos?bsin55?bcos?例6．若函数y?cos(?x?已知函数y?的集合；

?6)(??0)最小正周期为

?，则?? . 53sinx?cosx,x?R（1）当函数y取得最大值时，求自变量x

（2）该函数的图象可由y＝sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?

题型4：三角函数式化简

例7．求sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°的值。

1?2sin(2x?)4. 例8．已知函数f(x)?cosx（Ⅰ）求f(x)的定义域； （Ⅱ）设?的第四象限的角，且tan???值。

题型5：三角函数求值

例9．求函数y＝2cos(x?题型6：三角函数综合问题

?4，求f(?)的3?)cos(x?)＋3sin2x的值域和最小正周期。 44?

????例10．已知向量a?(sin?,1),b?(1,cos?),????.

22??a（I）若?b,求?;

??（II）求a?b的最大值。

例11．设0<θ<

?2，曲线x2sinθ+y2cosθ=1和x2cosθ－y2sinθ=1有4个不同的交点。

（1）求θ的取值范围；

（2）证明这4个交点共圆，并求圆半径的取值范围。

限时训练 角恒等变形及应用

1 已知方程x2+4ax+3a+1=0(a＞1)的两根均tanα、tanβ，且α，β∈

(－

??22,)，则tan

???2的值是( )

A 1 2 B －2 C 4 3D

1或－2 231?，α∈(，π)，tan(π－β)= ，则tan(α－2β)=______ 52233?5?3???3 设α∈(,)，β∈(0，)，cos(α－)=，sin(+β)=，则sin(α+

541344442 已知sinα=

β)=_________

4 不查表求值:

2sin130??sin100?(1?3tan370?)1?cos10?.

317?7?sin2x?2sin2x?5 已知cos(+x)=，(＜x＜)，求的值

1?tanx5124481?cos(???)??6 已知α－β=π，且α≠kπ(k∈Z) 求?4sin2(?)的最大值及

??344csc?sin22最大值时的条件

7 如右图，扇形OAB的半径为1，中心角60°，四边形PQRS是扇形的内接

BQP矩形，当其面积最大时，求点P的位置，并求此最大面积

8 已知cosα+sinβ=3，sinα+cosβ的取值范围是D，x∈D，求函数

ORSAy=log122x?3的最小值，并求取得最小值时x的值

4x?10

三角函数单元部分易错题解析

例题选讲：

例题1 已知角?的终边上一点的坐标为（sin2?2?），则角?的最小值为（ ）。 ,cos33A、

5?2?5?11? B、 C、 D、 63632例题2 A，B，C是?ABC的三个内角，且tanA,tanB是方程3x?5x?1?0的两个实

数根，则?ABC是（ ）

A、钝角三角形 B、锐角三角形 C、等腰三角形 D、等边三角形

例题3 已知方程x?4ax?3a?1?0（a为大于1的常数）的两根为tan?，tan?，

且?、????2???????的值是_________________. ,?，则tan2?22?例题4 函数f()的最大值为3，最小值为2，则a______，b?_______。 ?x?asinx?bsinxcosx的值域为______________。

1?sinx?cosx222?sin??3sin?,则sin??sin?的取值范围是 2

例题6 若2sinα

例题5 函数f(x)=

例题7 已知?的最小值及最大值。 ?????，求y?cos??6sin?例题8 求函数f(x)?2tanx的最小正周期。

1?tan2x1?tan22x 函数y?的最小正周期是（ ）。

1?tan22xA.

?? B. C. ? 42D. 2?

例题9 求函数f(x)?sin2x?22cos(?x)?3的值域

?4例题10 已知函数f(x)?sin(?x??)(??0,0≤?≤?)是R上的偶函数，其图像关于点M(?,0)对称，且在区间[0，

典型高考易错题：

1、在?ABC中，2sinA+cosB=2，sinB+2cosA=3，则?C的大小应为( )

34?]上是单调函数，求?和?的值。 2 A．

? 6 B．

? 32

C．

?5或? 66 D．

?2?或 332、已知tan? tan?是方程x+33x+4=0的两根，若?，??(-

A．

? 3??,)，则?+?=（ ） 22 B．

?2或-? 33C．-

?2或? 33n D．-?

233、若s，则对任意实数n的取值为（ ） in??cos??1，sin??cos?n A. 1 B. 区间（0，1） C.

12n?1 D. 不能确定

4、在?中，3，则?ABCC的大小为（ ） sinA?4cosB?6，3cos4A?sinB?1 A.

? 6B.

5? 6C.

?5或? 66D.

?2或? 335、函数y?2sin(A. [0,?6?2x)(x?[0,?])为增函数的区间是( )

B. [?3]

?12,7?] 12C. [?3,5? ] 6D. [5?,?] 66、已知?,??????,??且cos??sin??0，这下列各式中成立的是（ ） ?2? A.????? B.????7、△ABC中，已知cosA=

3?3?3? C.???? D.???? 22253，sinB=，则cosC的值为（ ）

5131656165616 A、 B、 C、或 D、?

65656565658、在△ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则∠C的大小为（ ）

5?5?2???? A、 B、 C、或 D、或

6636639、设cos1000=k，则tan800是（ ）

k1?k2?1?k21?k2 A、 B、 C、? D、?

2kkk1?k10、在锐角⊿ABC中，若tanA?t?1，tanB?t?1，则t的取值范围为（ ）

A、(2,??) B、(1,??) C、(1,2) D、(?1,1) 11、已知sin??m?34?2m?，cos??（????），则tan?? （C） m?5m?524?2mm?3535A、 B、? C、? D、?或?

m?34?2m12412ππ|?log1，那么sinx的取值范围是（ ） 32212、如果log1|x?2

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