刚体力学

第七章 刚体力学

刚体：在任何情况下，形状大小都不变的力学研究对象。

运动物体可视为刚体的条件：物体的大小形状必须考虑，但形变可以不计。 刚体的简化模型：各质点间距离始终保持不变的质点系。

一、课时安排：10学时 二、教学目的与要求：

1、了解刚体运动的描述，掌握角速度、角加速度的概念及定轴转动的运动学基本公式； 2、会计算刚体的质心、掌握刚体的动量和刚体的质心运动定理；

3、熟练掌握刚体定轴转动的转动定律、动能定理和转动惯量的概念及计算方法； 4、了解刚体平面平行运动问题的研究方法； 5、掌握刚体的平衡。了解刚体的自转与旋进。

三、教学重点与难点：

重点：

刚体运动的描述方法；刚体定轴转动的运动学与动力学；刚体的平衡。 难点：

转动惯量的理解和计算；学生学习思维方式的转变；刚体转动的角动量，应用刚体力学有关规律解决实际问题。 教材分析：（分为6个单元） 1、刚体运动学（§7—1）； 2、刚体平动的动力学（§7—2）；

3、刚体定轴转动动力学（§7—3、§7—4）是全章的重点； 4、刚体的平面平行动力学（§7—5）； 5、刚体的平衡（静力学）（§7—6）; 6、刚体的自转与旋进（7—7）

第七章 刚体力学

§7.1刚体运动的描述

一、刚体的平动(动画)

1

1． 定义：在运动过程中，如果刚体上任一条直线在各个时刻的位置都相互平行.

???rj?ri?rij

2． 平动的特点：刚体中各个质元的速度和加速度都相同. 证明：如图在刚体上任取两个质元ij以o为参考点

????drjdridrijdri???? ?rij为恒矢量，?dtdtdtdt??d2rjd2ri?? 同理：2?2 所以：aj?ai

dtdt3． 刚体作平动的描述

据平动的特点，只要知道刚体上任一点的运动，就可掌握整个刚体的运动情况.∴平动刚体→质点，需三个坐标（x,y,z）描述.

二、刚体绕固定轴的转动（定轴转动）（动画）

1、定义：刚体运动时，所有质元都在与某一直线垂直的诸平面上作圆周运动.且圆心在该直线上，该直线---转轴，在选定的参考系中固定不动.

2、 定轴转动的特点：刚体上所有质元都以相同的角速度绕转轴转动（或在相同的时间内，所有质元都转过相同的角度）

3、刚体定轴转动的描述，只要用角坐标：θ 1） 角坐标：θ=θ(t) 单位：rad

角位移： ??的正负：面对z轴看 逆时针方向θ? 取“+” 逆时针方向θ? 取“-” 2） 角速度：ω=ω(t) 方向沿转轴 定义：??d? dt沿z轴看：职逆时针转，ω取“+”； 顺时针转 ，ω取“-”。 单位：rad/s 量纲式：dim[ω]=T?1 3） 角加速度β(t) 定义：?(t)?d?(t) dtβ与ω 同号： 加速转动；异号： 减速转动。 4、定轴转动运动学

2

1）由ω→θ d????t?dt 积分限为 ： tt?t0???0??d??0?0?(t)dt

积分得: ???t0??0??t?dt

即：???t0??0??t?dt

若ω= 恒量 则： ???0??.t 2）由β(t) →ω(t)

?????t00?(t)dt

????0??.若β=恒量 ，则： ?t??????20?0t?12?.t

????2??20?2?(???0)5、 定轴转动刚体上各点的线速度，加速度与ω、β的关系. （1）速度：v?dsdt?rd?dt?r?，即v?r? （2）角加速度

切向ad????dt?dd?dt(r?)?rdt法向a?2

?2n?r?r?即??a??r??an?r?2 三、角速度矢量（动画）

定轴转动中用ω的正负即可表示转动方向，方位也常改变，仅用“+”“-”不足以表示转动方速度矢量：??

1、定义：?? 的方向沿转轴且和刚体的旋转运动组统.

3

实际中的转轴向，所以需用角

成右手螺旋系

??是矢量，具有大小和方向，相加服从平行四边形法则.

设刚体绕OA转动的同时又绕OA＇转动，则刚体的合成转动?绕OA//转动

???v2、线速度与角速度的关系：

????????v?r、?所决定的平面??rv???r

???1??2

???3、角加速度:

??d?定义: ??

dt在直角坐标系中的矢量式

???????xi??yj??zk

???????xi??yj??zk

d?yd?xd?z?x??z??y?

dtdtdt对定轴转动,取z轴为转动轴，则?x??y?0?x??y?0 ???????zk???zk

??∴定轴转动中的?、?，即这里的?z、?z，是?、?分别在z轴上的投影.

四、刚体的平面运动（动画）

1、定义：刚体上各点均在与一固定平面平行的各平面内平行.

2、平面平行运动的特点：刚体内垂直于固定平面的直线上的各点运动情况都相同. 3、刚体作平面平行运动的描述：

(1)根据刚体平面运动的特点：可利用与固定平面平行的平面在刚体内截出一平面图形.此平面图形位置确定了?确定了刚体的位置

描述平面运动需用三个独立变量.确定基点B(xB，yB)和绕过基点轴的转动? 自由度为3

????rB?rB(t)?xB(t)i?yB(t)j

???(t)

或 xB?xB(t)

yB?yB(t)

???(t)

(2)平面运动?刚体随基点平动+绕过基点轴的转动

4

(3)平面运动刚体上任一点的速度：

???????/drdrBdr/?/dr???/v????r ??r?rB?rdtdtdtdt????/ 即 v?vB???r

(4) 圆柱体的无滑滚动

无滑滚动：滚动圆柱体边缘上各点与支承面与支承面无相对滑动.

?选择圆柱体中心轴上的c点为基点:?为转动

接触的瞬间，

角速度，r为

半径，

柱体边缘上任一点的速度 ????v?vC???r/

?与支承面接触点：v?0 ???vC???r?0

?P点（接触点）的v向y轴上投影：

vcy??zr 此即圆柱体作无滑滚动的条件

柱（轮）缘上任一点的空间运动轨迹为摆线旋轮线（或圆滚线）

例题:[教材P198(例题1)]

五、刚体的定点转动

刚体在动动过程中,其上有一点始终保持不动.描述它的运动需要3个独立坐标。 自由度为3

六、刚体的自由运动：

需6个独立坐标来确定其位置，自由度为6。

??t2?t3?2t4 例题：已知电机飞轮半径为r=20cm,在t时间内的角位移为：（?：rad；

t： s）。求t=2S时：（1）飞轮的角速度和角加速度；（2）飞轮边缘上任一点的线速度和加

速度的大小。 解 :（1） ??d??2t?3t2?8t3??48(rad/s) dt??d??2?6t?24t2?82(rad/s2) dt5

（3） v?r??(2t?3t2?8t3)r?9.6?m/s?

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