高考文科数学解析几何练习题

解析几何单元易错题练习

一．考试内容：

椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程. 双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质. 抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质. 二．考试要求：

掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程. 掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质. 掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质. 了解圆锥曲线的初步应用.

【注意】圆锥曲线是解析几何的重点，也是高中数学的重点内容，高考中主要出现三种类型的试题：①考查圆锥曲线的概念与性质；②求曲线方程和轨迹；③关于直线与圆锥曲线的位置关系的问题. 三．基础知识: 椭圆及其标准方程

椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点|

F1、F2的距离的和大于|F1F2|这个条件不可忽视.若这个距离之和小于

F1F2|，则这样的点不存在；若距离之和等于|F1F2|，则动点的轨迹是线段F1F2.

x2y2y2x2?2?1?2?122abbb2.椭圆的标准方程：a（＞＞0），a（a＞b＞0）.

2y3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果x项的分母大于

2项的分母，则椭圆的焦点在x

轴上，反之，焦点在y轴上.

4.求椭圆的标准方程的方法：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解. 椭圆的简单几何性质

x2y2?2?12ab椭圆的几何性质：设椭圆方程为（a＞b＞0）.

⑴ 范围： -a≤x≤a，-b≤x≤b，所以椭圆位于直线x=?a和y=?b所围成的矩形里. ⑵ 对称性：分别关于x轴、y轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. ⑶ 顶点：有四个线段

ABA1（-a，0）B、2（a，0）1（0，-b）、2（0，b）.

A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a和2b，

a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所

以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.

e?⑷ 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比

ca叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e＜1.e越接近于1时，椭圆

越扁；反之，e越接近于0时，椭圆就越接近于圆. 2.椭圆的第二定义

e?⑴ 定义：平面内动点M与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数圆.

ca（e＜1＝时，这个动点的轨迹是椭

⑵ 准线：根据椭圆的对称性，

x2y2a2??1x??acba2b2（＞＞0）的准线有两条，它们的方程为

.对于椭圆

y2x2a2?2?1y??2cab（a＞b＞0）的准线方程，只要把x换成y就可以了，即

3.椭圆的焦半径：由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径.

.

x2y2?2?12FFab21设（-c，0），（c，0）分别为椭圆（a＞b＞0）的左、右两焦点，M（x，y）是椭圆上任一点，则

两条焦半径长分别为

MF1?a?ex，

MF2?a?ex.

椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便.

椭圆的四个主要元素a、b、c、e中有a=b+c、4.椭圆的参数方程

222e?ca两个关系，因此确定椭圆的标准方程只需两个独立条件.

?x?acos?x2y2??2?12y?bsin?（θb椭圆a（a＞b＞0）的参数方程为?为参数）.

tan??说明 ⑴ 这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点P的离心角θ与直线OP的倾斜角α不同：

btan?a；

x2y2?2?1222b⑵ 椭圆的参数方程可以由方程a与三角恒等式cos??sin??1相比较而得到，所以椭圆的参数方程的

?x?acos?x2y2??2?1(a?b?0)2y?bsin?. b实质是三角代换. 92.椭圆a的参数方程是?5.椭圆的的内外部

22x0y0x2y2?2?1(a?b?0)?2?2?12P(x0,y0)bab（1）点在椭圆a的内部. 22x0y0x2y2?2?1(a?b?0)?2?2?12P(x0,y0)abab（2）点在椭圆的外部.

6. 椭圆的切线方程

x2y2x0xy0y??1(a?b?0)?2?1222P(x,y)00bb椭圆a上一点处的切线方程是a.

x2y2x0xy0y??1(a?b?0)?2?1222P(x0,y0)abab（2）过椭圆外一点所引两条切线的切点弦方程是. x2y2?2?1(a?b?0)2Ax?By?C?0相切的条件是A2a2?B2b2?c2 b（3）椭圆a与直线

双曲线及其标准方程

双曲线的定义：平面内与两个定点在这个定义中，要注意条件2a＜|动点的轨迹是两条射线；若2a＞|

F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a（小于|F1F2|）的动点M的轨迹叫做双曲线.

2a=|

F1F2|，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若F1F2|，则无轨迹.

F1F2|，则

若

MF1＜

MF2时，动点M的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若

MF1＞

MF2时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线

是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.

x2y2y2x2?2?1?2?122222FFbb双曲线的标准方程：a和a（a＞0，b＞0）.这里b?c?a，其中|12|=2c.要注意这里的

a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.

2y3.双曲线的标准方程判别方法是：如果x项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果

2项的系数是正数，则焦点在y轴上.

对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解. 双曲线的简单几何性质

x2y2c??1e?2b2a＞1，离心率e越大，双曲线的开口越大. 双曲线a的实轴长为2a，虚轴长为2b，离心率

x2y2x2y2bm??1??0y??xy??x2222bba或表示为an，双曲线a的渐近线方程为.若已知双曲线的渐近线方程是即

mx?ny?0，那么双曲线的方程具有以下形式：m2x2?n2y2?k，其中k是一个不为零的常数.

双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于1的常数（离心率）的点的轨迹叫做双

x2y2a2?2?1x??2cb曲线.对于双曲线a，它的焦点坐标是（-c，0）和（c，0），与它们对应的准线方程分别是x2y2?2?1(a?0,b?0)2ab双曲线的焦半径公式 a2a2PF1?|e(x?)|PF2?|e(?x)|c，c.

双曲线的内外部

22x0y0x2y2?2?1(a?0,b?0)?2?2?12P(x0,y0)abab点在双曲线的内部. 22x0y0x2y2?2?1(a?0,b?0)?2?2?12P(x0,y0)abab点在双曲线的外部.

a2x?c和

.

双曲线的方程与渐近线方程的关系

x2y2x2y2b??1??0?y??x2222ab?aba(1）若双曲线方程为渐近线方程：. x2y2xyb?2????0y??x2?双曲线可设为aba?ab若渐近线方程为.

x2y2x2y2?2?1?2??22abab若双曲线与有公共渐近线，可设为（??0，焦点在x轴上，??0，焦点在y轴上）.

双曲线的切线方程

x2y2x0xy0y??1(a?0,b?0)?2?1222P(x,y)00处的切线方程是abb双曲线a上一点.

x2y2x0xy0y??1(a?0,b?0)?2?1222P(x0,y0)abab（2）过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是. x2y2?2?1(a?0,b?0)2Ax?By?C?0相切的条件是A2a2?B2b2?c2. b（3）双曲线a与直线

抛物线的标准方程和几何性质

1．抛物线的定义：平面内到一定点（F）和一条定直线（l）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。这个定点F叫抛物线的焦点，这条定直线l叫抛物线的准线。

需强调的是，点F不在直线l上，否则轨迹是过点F且与l垂直的直线，而不是抛物线。 2．抛物线的方程有四种类型：

y2?2px、y2??2px、x2?2py、x2??2py.

对于以上四种方程：应注意掌握它们的规律：曲线的对称轴是哪个轴，方程中的该项即为一次项；一次项前面是正号则曲线的开口方向向x轴或y轴的正方向；一次项前面是负号则曲线的开口方向向x轴或y轴的负方向。 3．抛物线的几何性质，以标准方程y2=2px为例 （1）范围：x≥0；

（2）对称轴：对称轴为y=0，由方程和图像均可以看出；

（3）顶点：O（0，0），注：抛物线亦叫无心圆锥曲线（因为无中心）；

（4）离心率：e=1，由于e是常数，所以抛物线的形状变化是由方程中的p决定的；

x??（5）准线方程

p2；

（6）焦半径公式：抛物线上一点P（x1，y1），F为抛物线的焦点，对于四种抛物线的焦半径公式分别为（p＞0）：

p;y2??2px:PF??x1?2px2?2py:PF?y1?;x2??2py:PF??y1?2y2?2px:PF?x1?p2p2

（7）焦点弦长公式：对于过抛物线焦点的弦长，可以用焦半径公式推导出弦长公式。设过抛物线y2=2px（p＞O）的焦点F的弦为AB，A（x1，y1），B（x2，y2），AB的倾斜角为α，则有①|AB|=x1+x2+p

以上两公式只适合过焦点的弦长的求法，对于其它的弦，只能用“弦长公式”来求。

（8）直线与抛物线的关系：直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方程：x+bx+c=0，当a≠0时，两者的位置关系的判定和椭圆、双曲线相同，用判别式法即可；但如果a=0，则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时，直线和抛物线相交，但只有一个公共点。

2y?(,y?)22y2?2px(x,y)y?2pxP(2pt,2pt)或2p4.抛物线上的动点可设为P或 P，其中

22.

b24ac?b2b4ac?b2y?ax?bx?c?a(x?)?(?,)(a?0)2a4a2a4a5.二次函数的图象是抛物线：（1）顶点坐标为；

4ac?b2?1b4ac?b2?1y?(?,)4a4a（2）焦点的坐标为2a；（3）准线方程是.

6.抛物线的内外部 点点点点点点点点

P(x0,y0)P(x0,y0)P(x0,y0)P(x0,y0)P(x0,y0)P(x0,y0)P(x0,y0)P(x0,y0)22y?2px(p?0)?y?2px(p?0).

在抛物线的内部22y?2px(p?0)?y?2px(p?0).

在抛物线的外部22y??2px(p?0)?y??2px(p?0).

在抛物线的内部22y??2px(p?0)?y??2px(p?0).

在抛物线的外部22x?2py(p?0)?x?2py(p?0).

在抛物线的内部22x?2py(p?0)?x?2py(p?0).

在抛物线的外部22x?2py(p?0)?x?2py(p?0).

在抛物线的内部22x??2py(p?0)?x??2py(p?0).

在抛物线的外部

7. 抛物线的切线方程

2y?2px上一点P(x0,y0)处的切线方程是y0y?p(x?x0).

抛物线

（2）过抛物线

y2?2px外一点

P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是

y0y?p(x?x0).（3）抛物线

y2?2px(p?0)与直线Ax?By?C?0相切的条件是pB2?2AC.

(六).两个常见的曲线系方程 过曲线

f1(x,y)?0f2(x,y)?0,

的交点的曲线系方程是

f1(x,y)??f2(x,y)?0?(为参数).

共焦点的有心圆锥曲线系方程

x2y2?2?122222k?max{a,b}k?min{a,b}时,表示椭圆; 当a?kb?k,其中.当

由C(1,1)得B(?1,?1)，则kAB?0?(?1)1?，

2?(?1)3 若设CP：y?k(x?1)?1，则CQ：y??k(x?1)?1，

?x23y2?1??由?4?(1?3k2)x2?6k(k?1)x?3k2?6k?1?0， 4?y?k(x?1)?1?2 由C(1,1)得x?1是方程(1?3k)x2?6k(k?1)x?3k2?6k?1?0的一个根，

3k2?6k?13k2?6k?1由韦达定理得：xP?xP?1?，以?k代k得xQ?，

1?3k21?3k2 故kPQ?yP?yQxP?xQ?k(xP?xQ)?2kxP?xQ?λAB.

?1，故AB//PQ， 3 即总存在实数λ，使得PQ评注：此题考察了坐标系的建立、待定系数法、椭圆的对称性、向量的垂直、向量的共线及探索性问题的处理方法等，是一道很好的综合题.

考点10 利用向量处理直线与圆锥曲线的关系问题

直线和圆锥曲线的关系问题，一般情况下，是把直线的方程和曲线的方程组成方程组，进一步来判断方程组的解的情况，但要注意判别式的使用和题设中变量的范围.

例18．设G、M分别是?ABC的重心和外心，A(0,?a)，B(0,a)(a （1）求点C的轨迹方程；

（2）是否存在直线m，使m过点(a,0)并且与点C的轨迹交于P、Q两点，且OP?OQ的方程；若不存在，请说明理由. 解答过程：（1）设C(x,y)，则G( 因为GM?0)，且GM??AB，

?0？若存在，求出直线m

xy,)， 33x??AB，所以GM//AB，则M(,0)，

3 由M为?ABC的外心，则|MA|?|MC|，即xx()2?a2?(?x)2?y233，

x2y2?2?1(x?0)； 整理得：23aa（2）假设直线m存在，设方程为y?k(x?a)，

?y?k(x?a)?222222(1?3k)x?6kax?3a(k?1)?0， 由?x2得：y?2?2?1(x?0)a?3a6k2a 设P(x1,y1),Q(x2,y2)，则x1?x2?1?3k2

3a2(k2?1)，x1x2?，

1?3k2?2k2a2a?(x2?x＝)a]211?3k2y1y2?k(x?1?a)(2x2a?)2k1[x2?x，

由OP?OQ?0得：x1x2?y1y2?0，

3a2(k2?1)?2k2a2??0，解之得k??3， 即221?3k1?3k 又点(a,0)在椭圆的内部，直线m过点(a,0)， 故存在直线m，其方程为y??3(x?a).

小结：（1）解答存在性的探索问题，一般思路是先假设命题存在，再推出合理或不合理的结果，然后做出正确的判断； （2）直线和圆锥曲线的关系问题，一般最终都转化成直线的方程和圆锥曲线的方程所组成的方程组的求解问题.

专题训练与高考预测

一、选择题

1．如果双曲线经过点(6,3)，且它的两条渐近线方程是y??1，那么双曲线方程是（）

x32222222xyxyxxy2 A．?1 C．?y?1 D．??1 ??1 B．?81918393692．已知椭圆

x2y2x2y2和双曲线?2?1?2?1有公共的焦点，那么双曲线的的渐近线方程为（ ） 223m5n2m3n2 A.x??15y B. y??15x C. x??233

y D. y??x4422xy3．已知F1,F2为椭圆2?2?1(a?b?0)的焦点，M为椭圆上一点，MF1垂直于x轴， ab 且?FMF，则椭圆的离心率为（ ） 12?60? A.

1 B.2 C.3 D.3 223222xy4．二次曲线??1，当m?[?2,?1]时，该曲线的离心率e的取值范围是（ ） 4m A.[23 B. 35 C.56 D. 36

[,],][,][,]222222225．直线m的方程为y?kx?1，双曲线C的方程为x2?y2?1，若直线m与双曲线C的右支相交于不重合的两点，则实

数k的取值范围是（ ）

A.(?2,2) B.(1,2) C.[?2,2) D.[1,2)

6．已知圆的方程为x2?y2?4，若抛物线过点A(?1,0)，B(1,0)，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程为（ ）

2222xyxy A. ??1(y?0) ??1(y?0) B. 43342222C. x?y?1(x?0) D. x?y?1(x?0)

3443 二、填空题 7．已知P

22xyFF是以1、2为焦点的椭圆上一点，若PF1?PF2?0 tan?PF1F2?1，则椭圆的离心??1(a?b?0)22ab2率为 ______________ .

8．已知椭圆x+2y=12，A是x轴正方向上的一定点，若过点A，斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为标是______________ .

22xy9．P是椭圆，则k的最大值与最小值之差是??1上的点，F1,F2是椭圆的左右焦点，设|PF1|?|PF2|?k4322

413，点A的坐

3______________ . 10．给出下列命题：

①圆(x?2)2?(y?1)2?1关于点M(?1,2)对称的圆的方程是(x?3)2?(y?3)2?1；

22xy29；

②双曲线??1右支上一点P到左准线的距离为18，那么该点到右焦点的距离为

1692③顶点在原点，对称轴是坐标轴，且经过点(?4,?3)的抛物线方程只能是y2??9x；

4④P、Q是椭圆x2?4y2?16上的两个动点，O为原点，直线OP,OQ的斜率之积为?20 .

把你认为正确的命题的序号填在横线上_________________ . 三、解答题

11．已知两点A(2,0)，B(?2,0)，动点P在y轴上的射影为Q，PA?PB?2PQ2， （1）求动点P的轨迹E的方程；

1，则

|OP|2?|OQ|2等于定值4 （2）设直线m过点A，斜率为k，当0?k值及此时点C的坐标.

?1时，曲线E的上支上有且仅有一点C到直线m的距离为2，试求k的

12．如图，F1(?3,0)，F2(3,0)是双曲线C的两焦点，直线x?4是双曲线C的右准线，A1,A2 是双曲线C的两个顶点，

3点P是双曲线C右支上异于A2的一动点，直线A1P、A2P交双曲线C的右准线分别于M,N两点， （1）求双曲线C的方程； （2）求证：FM?F2N是定值. 1F1yPMA1oNF2A2x

13．已知?OFQ的面积为S，且OF?FQ?1，建立如图所示坐标系， （1）若S?1，|OF|?2，求直线FQ的方程；

2（2）设|OF|?c(c?2)，S?3c，若以O为中心，F为焦点的椭圆过点Q，求当|OQ|取得最小值时

yQoF4x的椭圆方程.

14．已知点H(?3,0)，点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足HP?PM?0，PM??3MQ，

2（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；

（2）过点T(?1,0)作直线m与轨迹C交于A、B两点，若在x轴上存在一点E(x0,0)，使得?ABE形，求x0的值.

HyPoTQEMB为等边三角

Ax

22xy15．已知椭圆?2?1(a?b?0)的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左2ab焦点F1，向量AB与OM是共线向量．

16．已知两点M（-1，0），N（1，0）且点P使MP?MN,PM?PN,NM?NP成公差小于零的等差数列，

【参考答案】

一. 1．C .提示，设双曲线方程为(1x?y)(1x?y)??，将点(6,（Ⅰ）点P的轨迹是什么曲线？

（Ⅱ）若点P坐标为(x0,y0)，?为PM与PN的夹角，求tanθ． （1）求椭圆的离心率e； （2）设Q是椭圆上任意一点，

F1、F2分别是左、右焦点，求∠F1QF2 的取值范围；

333)代入求出?即可.

2．D .因为双曲线的焦点在x轴上，故椭圆焦点为(3m2?5n2,0)，双曲线焦点为(2m2?3n2,0)，由

22得3m2?5n?2m?32n|m|?22|n|，所以，双曲线的渐近线为y??6|n|??3x .

2|m|43．C .设|MF1|?d，则|MF2|?2d，|FF12|?3d，

e?|FFc2c3d3 . 12|????a2a|MF1|?|MF2|d?2d324.C .曲线为双曲线，且5?1，故选C；或用a2?4，b2??m来计算.

5．B .将两方程组成方程组，利用判别式及根与系数的关系建立不等式组. 6．B .数形结合，利用梯形中位线和椭圆的定义.

二.7．解：设c为为椭圆半焦距，∵PF ，∴PF . 1?PF21?PF2?0

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