多元函数的极值与最值的求法

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多元函数的极值与最值的求法

摘要

在实际问题中, 往往会遇到多元函数的最大值、最小值问题.多元函数的最大值、最小值问题与极大值、极小值有密切联系.

求多元函数极值, 一般可以利用偏导数来解决.与一元函数相类似, 可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值，但是由于自变量个数的增加, 从而使该问题更具复杂性. 这里主要讨论二元函数, 对于二元以上的函数极值可以类似加以解决. 求多元函数的极值,本文主要采用以下方法：（1）利用二元函数的偏导数求二元函数极值；（2）拉格朗日乘数法求极值；（3）用几何模型法求解极值;（4）通过Jacobi 矩阵求条件极值；(5)利用参数方程求极值;(6)利用方向导数判别多元函数的极值;(7)用梯度法求极值.

对多元函数的最值问题,我们主要采用的方法有：（1）消元法；（2）均值不等式法；（3）换元法；（4）数形结合法；（5）柯西不等式法；（6）向量法.除此之外，很重要的一种就是：考虑极值与最值的关系，运用极值法求最值.

关键词:多元函数，极值，最值，方法

、

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Methods for Calculating Extremum and the most Value of Multivariable

Function

Author：Chenlong Class: 2007-2 Mathematics and Applied Mathematics

Supervisor: Huang Junhua

Abstract

In practical problems, we often encounter maximum and minimum problems of multivariable function. Both of them have a close relationship with maximum, minimum values.

Similar to monad function, we can use the extremum of Function to seek the maximum and minimum value of function, but due to the increased number of independent variable which make the issue more complicated. Usually, we can use the partial derivatives to get the extremum of multivariable function. Here, the thesis mainly discusses the duality function so that we can use the similar way to solve the extremum of duality function to the above.

To get the extreme of multivariable function, the thesis adopts the following ways:

(1)Using the partial derivative of duality function to get the extreme; (2)Lagrangian multiplier method to calculate the extremum; (3)Geometric modeling method for solving extremum; (4) Using Jacobi matrix to get the conditional extremum; (5) Using parameter equation to calculate the extremum; (6)Using directional derivative to identify the extremum of multivariable function; (7) Using gradient method to get the extremum. To calculate the most value of multivariable function, the thesis takes several main ways as follow: (1) Elimination method (2) The mean value inequality method (3) Substitution method (4) Method of numerical and shaping combination (5) Cauchy inequality method (6) Vector method.Besides, a very important method we should take into consideration is to consider the relations of extremum and most value, using extremum method to calculate most values.

Key words: multivariable function, extremum, the most value, method

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目 录

引言 1 1 多元函数的极值的求法 1

1.1 利用二元函数的偏导数求二元函数极值 1

1.2 利用拉格朗日（Lagrange）乘数法求极值 2

1.3 利用几何模型法求解极值 3

1.4 通过雅可比(Jacobi) 矩阵求条件极值 5

1.5 利用参数方程求解条件极值 11

1.6 利用方向导数判别多元函数的极值 12

1.7 用梯度法求极值 15 2 多元函数最值的求法 17

2.1 消元法 18

2.2 均值不等式法 18

2.3 换元法 19

2.4 数形结合法 20

2.5 柯西不等式法 21

2.6 向量法 22

2.7 利用极值求最值 23 小结 25 致谢 25 参考文献 25

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引言

多元函数的极值及其求法是高等数学学习过程中的一大难点,主要原因有：（1）对拉格朗日乘数法中参数的困惑；（2）求可能极值点过程中繁琐的计算；（3）对极值存在的必要条件及其充分条件的理解.

最值问题是中等数学中永恒的话题,也是每年高考必不可少的热门考点.因此,怎样求最值,是师生们非常关注和必须解决的问题,也是学生必须具备的解题技能.而在最值求解中,尤以求多元函数的最值问题因其技巧性强、难度大、方法多、灵活多变而具有挑战性,成为最值求解中的难点和热点.

1 多元函数极值的求法

1.1 利用二元函数的偏导数求二元函数极值

例1.1.1 求由方程x2 y2 z2 2x 2y 4z 10 0, 所确定的函数z f(x,y)的极值.

解: 将方程两边分别对x,y求偏导数

2x 2zzx 2 4zx 0 (1)

2y 2zzy 2 4zy 0 (2)

解出 zx 1 x1 y, zy z 2z 2

令zx 0,zy 0,求得x=1, y=-1将他们带入原方程得z1 6,z2 2.

下面考察函数z f(x,y)在点（1，-1.6）及点（1，-1，-2）的邻域内取值情况. 令F x,y,z = x2 y2 z2 2x 2y 4z 10.由于Fx(1, 1,6) 0,Fy(1, 1, 2) 0, 所以原方程分别在点(1,-1,6)和（1，-1，-2）的邻域内确定函数

z f1(x,y),z f2(x,y).

11又方程（1）对x求偏导:1 zzxx zx2 2xxx 0,得zxx(1, 1,6) ，zxx(1, 1,2) . 44

方程（1）对y求偏导:zxzy zzxy 2xxy 0,得zxy(1, 1,6) 0,zxy(1, 1, 2) 0.

1

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11方程（2）对y求偏导:1 zy2 zzyy 2zyy 0,得zxx(1, 1,6) ，zxx(1, 1,2) 44

在点（1，-1,6）有B2 AC 0，且A<0，所以z 6是极大值。

在点（1，-1,2）处有B2 AC 0,且A>0，所以z 2是极小值。

综上所述, 知由方程x2 y2 z2 2x 2y 4z 10 0在点（1，-1,6）的某邻域内确定的函数,z 6是极大值；在点（1，-1,2）的某邻域内确定的函数，z 2是极小值.

如把本题所给的方程化成

(x 1)2 (y 1)2 (z 2)2 16

这是球面方程 ,半径R 4,球心在点（1，-1,2），对于x,y的一组值，有两个z与之对应，因此 ,从整体来看 ,该方程并不确定一个单值函数 ,从几何图形上看 ,z在(1,-1)取得极大值6与极小值-2是然显的 ,因为球面上最高点与最低点的坐标分别为(1,-1,6)与（1，-1，-2）.

1.2 利用拉格朗日（Lagrange）乘数法求极值

xy例1.2.1 求函数z x2 y2在条件 1下的极值. ab

解：本题是条件极值问题，用Lagrange乘法，设函数为

xy F(x,y) x2 y2 ( 1) ab

F 2x 0x a Fy 2y 0 b a b 1

a2b2

解得 ax by 22 2a b

ab2a2b2

,y 2故得驻点 x 2 a b2a b

又 Fxx Fyy 2,Fxy 0

22所以 d2F(x,y) 2 (dx) (dy) 0

2

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ab2a2b故 x0 22,y0 22是极小值点. a ba b

a2b2

极小值 z x0 y0 2 2a b

1.3 用几何模型法求解极值

本节利用多元函数微分法在几何上的应用得到了求解多元函数条件极值的方法.

1.3.1 z=f(x,y)在满足条件下的极值

0 （x,y,z）引理 设空间曲线的方程以 的形式给出，M(x,y,z)是曲线Г上 0 （x,y,z）

的一个点，则曲线Г在点M处的切线方程为

x x0

y z

y zM y y0 z x z x Mz z0 x y x yM

z f(x,y)由空间解析几何知方程组 （1）表示一条空间曲线Г，

(x,y) 0

z f(x,y)z f(x,y)在满足条件下的极值即为曲线Г： 上点P的坐标的极大 (x,y) 0

值与极小值.如果曲线Г上处处都有切线，则z 坐标取极大值与极小值的点p处的切平面必平行于xoy坐标面，亦即垂直于z轴。

z f(x,y) 0由（1）知的方程为 ，设其切向量为t， (x,y) 0

fy则有t＝ y 11 fx fx,,00 x x fy fx t，又, k y x fy y 0

即fx y fy x 0

定理 设函数z f(x,y), (x,y) 0在(x0,y0),某一邻域内均有连续的一阶偏导数且雅克比行列式J(x0,y0) 0,则(x0,y0)为z f(x,y)在满足条件 (x,y) 0下的极值点的必要条件为fx y fy x 0.

例1.3.1 求函数z xy在附加条件x y 1下的极大值.

3

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解：因为zx y,zy x, x y 1,

所以zx y zy x 0

即 x y 0 (1) 又 x y 1 (2)

11111解得(x0,y0)为(,)，从而f(,)= 22224

1由题意知z xy的极大值为. 4

例1.3.2 抛物面z x2 y2被平面x y z 1原点到这椭圆的最长与最短距离.

解：因为d 所以设目标函数为 t x2 y2 z2 (1) 限制条件为 z x2 y2 (2)

x y z 1 (3)

由(1)(2)(3)知即求t x2 y2 (x2 y2)2

在限制条件x y x2 y2 1 0下的极值

因为tx 2x 4x(x2 y2) ty 2y 4y(x2 y2)

x 1 2x y 1 2y

所以tx y ty x 0 即(x y)(4x2 4y2 2) 0 (4) 由(1)(2)(3)

解得x0 y0 1

1.3.2 u f(x,y,z)在满足条件 (x,y,z) 0下的最值

基本过程（1）u f(x,y,z0)在满足条件 (x,y,z0) 0下的可能极值点。

（2）求一元函数u f(x(z0),y(z0),z0)的最值。

x2y2z2

例1.3.3 求内接于椭球2 2 2 1的体积最大的长方体的体积，长方体的abc

4

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各个面平行于坐标面.

解：设内接于椭球且各个面平行于坐标面的长方体在第一卦限的顶点坐标为则长

x2y2z2

方体的体积为V=8xyz且2 2 2 1 0 abc

任意固定z0, 0 z0 c

x2y2z02首先求V 8xyz0(1) 满足条件2 2 2 1 0时的极值点 abc

2x2y , , ya2b2

2y2x由得Vx y Vy x 0得8yz0 2 8xz0 2 0（3） ba因为Vx 8yz0, Vy 8xz0, x 由（2）（3

）解得x

y z02 z022z02 dV 4ab (1 2) 2 则由V(z0) 4ab 1 2 z0 由c dz0cc

解得

z0 时，V(z0) 最大，

此时长方体在第一卦限的顶点坐标为. 用上述定理给出的解决多元函数条件极值问题的方法，可避免利用拉格朗日乘数法过程中繁琐的计算， 同时对工科学生而言也比较容易理解.

1.4 通过雅可比(Jacobi) 矩阵求条件极值

1.4.1 问题的提出

设方程

f(x1,x2, ,xn,y) 0 (1)

在某邻域内满足隐函数存在定理的所有条件,它确定的隐函数为y y(x1,x2, ,xn),又设约束方程组为

5

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1(x1,x2, ,xn,y) 0 (x,x, ,x,y) 0 212n (2) m(x1,x2, ,xn,y) 0

其中m n, 函数 1, 2, m在上述邻域内具有连续偏导数, 且彼此独立.

现在要求方程(1)给出的目标函数y y(x1,x2, ,xn)在约束方程组(2)下的条件极值.利用拉格朗日乘数法, 设拉格朗日函数

F(x1,x2, ,xn,y; 1, 2, m) y 11 2 2 m m

则目标函数y y(x1,x2, ,xn)具有条件极值的必要条件是:

F y 1 1 y 2 2 y m m y 2 0,1 m y x1 y x1 x1 y x1 x1 x1 x1 x1

F y 1 1 1 y 2 2 2 y m m m y 0, y x2 y x2 x2 x2 x2 y x2 x2 x2 (3) F y 1 1 y 2 2 y m m y 1 2 m 0, y xn y xn xn y xn xn xn xn xn

(x,x, ,x,y) 0,n 112

2(x1,x2, ,xn,y) 0, m(x1,x2, ,xn,y) 0.

有解.

这就是说,若目标函数y y(x1,x2, ,xn)在点x0 (x10,x20, ,xn0)取得条件极值, 则x0 满足方程组(3).

1.4.2 问题的分析

若方程组(3)有解x0 (x10,x20, ,xn0),将x0代入(3)的前n个方程的偏导函数中, y y j j y 0 并用 、 (i 1,2, ,n;j 1,2, ,m)表示点x处的各偏导数 y xi 0 xi 0 xi 0 xi

值, 并以z1,z2, ,zm,zm 1为未知数构造线性方程组:

6

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y 1 1 y m m y z z 1 2 zm 1 0 y x1 0 x1 y x1 0 x1 x1 0 1 1 y m m y y z z 1 2 zm 1 0 ( 4) y x2 0 x2 0 x2 y x2 0 x2

y 1 1 y m m y z z 1 2 zm 1 0 x x y x x y x n 0n 0 n n n 0

显然方程组(4)有非零解z0 1, 1, 2, m ,故方程组(4)的系数矩阵A0的秩

R A0 m 1, 其中

y 1 1 y m m y x x y x x y x 1 0 11 0 11 0

y 1 1 y m m y x y xA0 x2 0 x2 y x2 0 22 0

y 1 1 y m m y x x y x x y xn 0n 0 n 0 n n

由此可知方程组(3)的前n个方程的所有解x (x1,x2, ,xn)对应的函数矩阵

m m y y 1` 1 y x1 x1 y x1 x1 y x1

m m y y 1 1 y x2 y x2 A x2 x2 y x2

y

xn m m y 1 1 y xn y xn xn y xn

也满足R(A) m 1. 因此矩阵A的后m列元素对应的函数矩阵

m m y 1` 1 y x1 y x1 x1 y x1

m m y 1 1 y x2 y x2 B x2 y x2

m m y 1 1 y xn y xn xn y xn

是函数 1, 2， , m对于一切自变量的偏导数所组成的雅可比矩阵的转置矩阵,由函数

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1, 2， , m的彼此独立性知,R(B) m,故R(A) m所以, 目标函数y(x1,x2, ,xn)具有条件极值的必要条件是R(A) m.

将函数矩阵A 看作是在所讨论的某邻域内某点处的各偏导数所组成的数值矩阵,

进行如下初等变换: 将A的第1列乘以 1` 加到第2列; 将A的第1列乘以 2` y y

加到第3列, ,直至将A的第1列乘以 m` 加到第m+1列,可得与A等价的矩阵A1 , y

其中

m y 1` x1 x1 x1

m y 1 x2 A1 x2 x2

y

xn m 1 xn xn

由隐函数存在定理知, 对方程f(x1,x2, ,xn,y) 0所确定的隐函数

y y(x1,x2, ,xn), 有:

y f f y f f y f f \, \, , \, x1 x1 y x2 x2 y xn xn y

故

f f\ x1 y f f\ x2 y 1` x1 1

x2 m x1A1 m

x2

f f\ xn y 1

xn m xn

f 再将A1的第1列乘以 得矩阵

y

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f

x1 1` x1 m x1

m 1 f x2 A2 x2 x2

f

xn 1 xn m xn

故A~A1~A2, 且R A R A1 R A2 m,

1.4.3 问题的解决

因为函数矩阵A2的秩为R A2 m, 故A2中必有一个m阶子式不恒为零. 不失一般性，可设A2的右上角的m阶子式D 0,其中

1`

x1 m x1

m 1 x2 D x2

1

xm m xm

而且A2中所有包含D的n m个m+1阶的加边行列式Dk都等于零, 其中

f

x1

f

x2

Dk 1` x1 1 x2 m x1 m x2

0, k m 1,m 2, ,n. (5)

m 1 f xm xm xm

f

xk 1 xk m xk

由此可知, 若由方程( 1)所确定的目标函数y y(x1,x2, ,xn)在点

x0 (x10,x20, ,xn0)取得满足约束方程组(2)的条件极值, 则点x0必满足方程组(5) .

综合以上, 可得求方程(1)所确定的目标函数y y(x1,x2, ,xn)满足约束方程组

(2)的条件极值的如下方法:

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① 选定不恒为零的m阶子式D,写出方程组(5),即Dk 0, k m 1,m 2, ,n; ② 解方程组(5)与方程组(2)及方程(1)的联立方程组;

③ 对解出的可能的条件极值点x0 (x10,x20, ,xn0)加以判断.

x2y2z2

例1.4.1 求椭球面2 2 2 1的内接最大长方体体积. abc

解 设椭球面的内接长方体在第一卦限内的顶点为(x,y,z),则其体积为

u 8xyz.

现求方程f(x,y,z,u) 8xyz u 0所给出的目标函数u在约束方程组

x2y2z2

f(x,y,z) 2 2 2 1 0下的条件极值. abc

f

x由 f

y 8yz x 8xz y2xa2 0 与2yb2 f x f z 8yz x 8xy z2xy2x2a2 0，可得2 2 0 与2zbac2

z2x2

2 0.解联立方程组 2ca

y2x2

b2 a2 0 2x2 z

2 2 0ca x2y2z2

2 2 2 1 0bc a

可得x y z 由实际意义知,椭球面的内接最大长方体体积是存在的,而且求得唯一的可能条

件极值点,

故点为所求条件极值点,

所求内接最大长方体体积为.

从以上讨论和计算可知, 对于目前函数是显函数u f(x,y,z)的情形, 不必化为

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隐函数,可直接计算.

例1.4.2 从斜边长为l的一切直角三角形中,求有最大周长的直角三角形.

解 设直角三角形的两直角边边长分别为x,y, 则周长s x y l且

x2 y2 l2.

现求目标函数f(x,y) x y l在约束方程 (x,y) x2 y2 l2 0下的条件极值. f

x由得 f

y y x2x xx y 得 0,得y x,解联立方程组 222 2y

x y l 0

y

由实际意义知,斜边为定长的直角三角形的最大周长是存在的,而且求得唯一的

可能极值点,

故点为所求的条件极值点,因此所求直角三角形为等腰直角三角形,

. 1.5 利用参数方程求解条件极值

在求由参数方程所确定函数的极值点,会出现以下二例的情形.

x tet 例1.5.1 设函数y f(x)由 确定,求函数的极值点. t y te

dydy(1 t)e t(1 t)e 2t

0得到t 1,对应唯一驻点x e. 解 ,令 tdxdx1 te1 t

当t 1(x e左侧) y 0,t 1(x e右侧)y 0,所以x e是函数的极大值点.

注意,t=-1(x e 1)时y 不存在(函数有定义),t<-1(x e 1左侧）

右侧) y 0,但t 1即x e 1却不是函数的极值点.考察y 0,t 1(x 1 e

x tet在t 1的性态.因为

dx

dtd2xt 1 (1 t)et 1 0，dt2tt 1 (2 t)et

t 1 0

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所以t 1是x tet的唯一极小值点,也是其最小值点. t 1对应的x e 1是函数y f(x)定义区间的左端点,它不是函数的极值点(极值点应为定义区间的内点).

dy x 2t t例1.5.2 设由 确定了函数,求y f(x)2dxy 5t 4tt x 0并求函数的极值

点.

解 x 0对应t 0,

t 0 1,dx 不存在，t 0 (1) dt t 0 3,

由(1)可见t 0时dx不存在,但函数y f(x)在x 0(t 0)处的导数仍存在. dt

2事实上,由导数定义可得 dy

dx5 t 4 t t lim 0 (2) x 02 t tx 0

于是

2t 0,dy 0，dx 6t 0,t 0(x 0),t 0(x 0), (3) t 0(x 0).

由(2)可见t 0是x 3t t的连续不可导点,不是x的极值点,对应的x 0是函数y f(x)定义区间的内点.

由(3)可见,x 0(t 0)是y f(x)的唯一极小值点.

x x(t)由以上三例可见,由于参数方程 所确定的函数y f(x)与自变x的关

y y(t)

系是通过参数t来沟通的,在求解此类问题时应注意:

1. 即使x (t),y (t)中有一个不存在,y对x(或x对y)的导数仍可以存在,只是不能用公式dyy (t) 来求,此时可用导数定义求. dxx(t)

d2ydyy (t) 2. 即使在(或2)不存在的t0(对应x0)的左右两侧y (或y )变号, dxdxx (t)

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也不能确定它是函数的极值点(或拐点),需要进一步考察,切勿妄下结论.

3．若有x (t0),y (t0)同时成立,而x (t0),y (t0)中至少有一个不为0,则点(x(t0),y(t0))称为曲线的奇异点(见菲赫金哥尔茨《微积分教程》一卷二分册).

1.6 利用方向导数判别多元函数的极值

1.6.1 引理

设函数f(x,y),在平面区域D上可微,L是D内的光滑曲线 ,当点P(x,y)在L上移动时,函数f(x,y)沿L的前进方向的方向导数

(1)df(x,y)满足： dldf 0,则函数f(x,y)在L上单调增加. dl

df 0,则函数f(x,y)在L上单调减少. (2)dl

df 0,则函数f(x,y)在L上为常数. (3)dl

证明 设曲线L的方程为y (x)且没有垂直于X轴的切线在L上任意两点p1(x1,y1),p2(x2,y2),(移动时先经过点p1),对于定义在L上的一元函数f(x, (x))应用微分中值定理,

f(x2, (x2)) f(x1, (x1)) df

dxx (x2 x1),( 在x1与x2之间)，

(1)

及 df f fdydysina , tga （a为L的切线与X轴的夹角） dx x ydxdxcosa

于是

（2）

当x1 x2时， f x x ff x2 (x2) f x1 (x1) cosa sina 21 y x cosax

2 a

2，cosa 0；

3 ，cosa 0，故x2 x1与cosa同号，如果当2当x1 x2时，

2 a

df f f coas sai ndl x y0时，f 2 x ()x 2 f1 x(1)，x从0而f 2 x ()x 2 f1f(x,y)在L上眼前进方向是单调增加的. .(所以，函数x x1)

同理,可证(2)、(3)成立.

如果曲线L有铅直切线,则可设其方程为x (y),证法类似.

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1.6.2 极值存在的二个充分条件

定理1 设函数f(x,y),在点p0(x0,y0)的某邻域内可微,且fx(x0,y0) 0,fy(x0,y0) 0,如果函数f(x,y)在该邻域任一点P(x,y)处，沿直线P0P方向的方向导数满足: df 0,则f(x0,y0)为f(x,y)的极大值； (1) dl

df 0，则f(x0,y0)为f(x,y)的极小值. （2）dl

证明 设p(x,y)为领域内任意一点,L为领

域内过点p0(x0,y0)和p(x,y)的直线段，由假设知,函数z f(x,y)在点p(x,y)处沿p0p方向的导数df 0，且在L上点p0(x0,y0)与p(x,y)之间的何点处,该方向dl

的方向导数均为负.由引理知, f(x,y)在L上单调减少,即f(x0,y0)>f(x,y).由p(x,y)的任意性, f(x0,y0)是极大值.情形（2）同理可证.

定理2 设函数在平面区域D上可微,曲线L完全属于D,且f(x,y)在曲线L上的一阶偏导数为零.如果在曲线L上各点的法线上,函数f(x,y)沿法线向外方向的方向导 数满足.

(1) 在该弧段的邻近均为负,则函数f(x,y)在该弧段上取得弱极大值.

(2) 在该弧段的邻近均为正,则函数f(x,y)在该弧段上取得弱极小值.

证明 (1) 设p0(x0,y0)为曲线L上某弧段l内一点,又设s为过p0的任一曲线,点p(x,y)为s上某邻域内的任意一点.

如果点p(x,y)在l上,根据引理知f(x,y)=f(x0,y0).

如果点p(x,y)不在l上,则点p(x,y)必在l上某点p1(x1,y1)的法线上,由假设知线段p1p各点沿p1p的方向导数为负,由引理知,函数f(x,y)在线段p1p上单调减少所以f(x,y)<f(x1,y1).故f(x,y)=f(x0,y0).由点p的任意性知,在点p0的某邻域内总有即函数值f(x,y) f(x0,y0).即函数值f(x0,y0)为f(x,y)的弱极大值.

(2) 类似可证。

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大学数学专业毕业论文,系统介绍多元函数的极值与最值的多种求法!

1.6.3 应用举例

利用上述充分条件判别极值的一般步骤:

(1) 求出函数f(x,y)的驻点p0(x0,y0),用射线a 0,

f f将p0的邻域划分成若干区域. 0 0 x y 2, ,3 及曲线里2

(2) a 0,

2, ,3 f f及 0, 0上和各部分区域内,判断方向导数各项符号,2 x y

进而判断方向导数的符号.

(3) 根据定理1、2，判断该驻点是否为极值点.

例1.6.1 求函数f(x,y)=4(x y) x2 y2,极值。

解 f f f f 4 2x, 4 2y,令 0, 0，得驻点（2，-2）方向导数 x y x y

f 4 2x cosa (4 2y)sina l

在点(2,-2)邻近，各项符号如下表：

所以 f 0,由定理1,点(2,-2)为极大值. l

例1.6.2 求函数f(x,y) x2 2xy y2 2x 2y 1的极值.

解 f f f f 2(x y 1), 2(x y 1), 0, 0得驻点x y 1=0为一直 x y x y

f 2(x y 1)cosa 2(x y 1)sina驻点直线x y 1=0与x轴的夹 l线.方向导数

角

4,

直线上各点的法线与x轴夹角为

法线方向为 4 2或 4 2，此时在直线x y 1=0的上方,

4

2，且x y 1 0.在直线x y 1=0的下方,法线方向为

4

2,x y 1 0,其邻近各点沿法线方向的方向导数为:

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