2020届全国高考冲刺高考仿真模拟卷（七） 数学（文）（解析版）

2020届全国高考冲刺高考仿真模拟卷（七） 数学（文）（解析版）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合A＝{－1,2,3}，B＝{0,1,2,3,4}，则?B(A∩B)＝( ) A．{0,4} B．{0,1,4} C．{1,4} D．{0,1} 答案 B

解析 由题意得A∩B＝{2,3}，所以?B(A∩B)＝{0,1,4}． z12．已知复数z1＝6－8i，z2＝－i，则z＝( )

2

A．8－6i B．8＋6i C．－8＋6i D．－8－6i 答案 B

z16－8i解析 z＝＝(6－8i)i＝8＋6i.

－i2

3．已知p：?x∈R，x2＋2x＋a>0；q：2a<8.若“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是( )

A．(1，＋∞) C．(1,3) 答案 C

解析 p∧q为真，所以p为真，q为真，p为真?Δ＝4－4a<0?a>1；q为真?a<3，所以p∧q为真，得1

B．(－∞，3)

D．(－∞，1)∪(3，＋∞)

?x＋y≤2，

4．设x，y满足约束条件?2x－3y≤9，

?x≥0，

A．x≥1 C．x－y＋2≥0 答案 C

则下列不等式恒成立的是( )

B．y≤1 D．x－3y－6≤0

解析 作出约束条件所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易知A(3，－1)，B(0,2)，C(0，－3)．这样易判断x≥1，y≤1都不恒成立，可排除A，B；又直线x－3y－6＝0过点(0，－2)，这样x－3y－6≤0不恒成立，可排除D.故选C.

- 1 -

→绕点C按逆时针方

5．在△ABC中，CA⊥CB，CA＝CB＝1，D为AB的中点，将向量CD→，则向量CM→在向量CA→方向上的投影为( )

向旋转90°得向量CM

11

A．－1 B．1 C．－2 D.2 答案 C

解析 如图，以CA，CB为x，y轴建立平面直角坐标系，

11?11?→＝(1,0)，CD→＝?→＝?→在向量CA→方向上的投影为?2，2?，且CM?－2，2?，所以向量CM则CA

????1

－2＋0→→

CA·CM1

＝1＝－2. →||CA

6．(2019·黑龙江哈尔滨三中二模)函数f(x)＝log2(x2－3x－4)的单调减区间为( ) A．(－∞，－1) ?3?C.?2，＋∞? ??答案 A

解析 由x2－3x－4＞0?(x－4)(x＋1)＞0?x＞4或x＜－1，所以函数f(x)＝log2(x2－3x－4)的单调减区间为(－∞，－1)，故选A.

7．从某企业生产的某种产品中随机抽取10件，测量这些产品的一项质量指标值，其频率分布表如下：

质量指标值分组 频率 [10,30) 0.1 [30,50) 0.6 [50,70] 0.3 3??

－∞，－B.? 2???D．(4，＋∞)

则可估计这种产品该项质量指标值的方差为( )

- 2 -

A．140 B．142 C．143 D．144 答案 D

解析 －x＝20×0.1＋40×0.6＋60×0.3＝44，

1

所以方差为10×[(20－44)2×1＋(40－44)2×6＋(60－44)2×3]＝144.

8．意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，数列的通项以及求和由如图所示的框图给出，则最后输出的结果等于( )

A．aN＋1 B．aN＋2 C．aN＋1－1 D．aN＋2－1 答案 D

解析 第一次循环：i＝1，a3＝2，s＝s3＝4；第二次循环：i＝2，a4＝3，s＝s4＝7；第三次循环：i＝3，a5＝5，s＝s5＝12；第四次循环：i＝4，a6＝8，s＝s6＝20；第五次循环：i＝5，a7＝13，s＝s7＝33；…；第N－1次循环：此时i＋2＝N＋1>N，退出循环，故输出s＝sN，归纳可得sN＝aN＋2－1.故选D.

9．(2019·资阳模拟)如图，平面α与平面β相交于BC，AB?α，CD?β，点A?BC，点D?BC，则下列叙述错误的是( )

A．直线AD与BC是异面直线 B．过AD只能作一个平面与BC平行 C．过AD只能作一个平面与BC垂直

- 3 -

D．过D只能作唯一平面与BC垂直，但过D可作无数个平面与BC平行 答案 C

解析 根据异面直线的判定定理，知直线AD与BC是异面直线，所以A正确；根据异面直线的性质，知过AD只能作一个平面与BC平行，所以B正确；根据异面直线的性质，知过AD不一定能作一个平面与BC垂直，只有AD⊥BC时能，所以C错误；根据线面垂直与平行的判定定理，知过点D只能作唯一平面与BC垂直，但过点D可作无数个平面与BC平行，所以D正确．故选C.

10．(2019·济南摸底考试)函数f(x)＝sin2x－3(cos2x－sin2x)的图象为C，则下列结论正确的是( )

①f(x)的最小正周期为π；

?π??π?

②对任意的x∈R，都有f?6＋x?＋f?6－x?＝0；

?????π5π?③f(x)在?－12，12?上是增函数；

??

π

④由y＝2sin2x的图象向右平移3个单位长度可以得到图象C. A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 答案 C

π??

解析 f(x)＝sin2x－3(cos2x－sin2x)＝sin2x－3cos2x＝2sin?2x－3?.f(x)的最小正周期T

??ππ?2π?π???π?

＝2＝π，故①正确．f?6?＝2sin?2×6－3?＝2sin0＝0，即函数f(x)的图象关于点?6，0?对称，

???????π??π??π5π?即对任意x∈R，都有f?x＋6?＋f?6－x?＝0成立，故②正确．③当x∈?－12，12?时，2x∈

??????π?ππ??π5π??π5π?－，－，?66?，2x－∈?22?，所以f(x)在?－12，12?上是增函数，故③正确．④由y＝2sin2x

3??????2π?π??π???

的图象向右平移3个单位长度得到y＝2sin?2?x－3??＝2sin?2x－3?的图象，故④错误．故正确

??????的结论是①②③.选C.

11．如图，已知直线l：y＝k(x＋1)(k>0)与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，且A，B两点在抛物线准线上的投影分别是M，N，若|AM|＝2|BN|，则k的值是( )

- 4 -

1A.3 22C.3 答案 C

解析 设抛物线C：y2＝4x的准线为l1：x＝－1. 直线y＝k(x＋1)(k>0)恒过点P(－1，0)，

过点A，B分别作AM⊥l1于点M，BN⊥l1于点N， 由|AM|＝2|BN|，所以点B为|AP|的中点．

2B.3 D．22

1

连接OB，则|OB|＝2|AF|，所以|OB|＝|BF|， 1?1?

点B的横坐标为2，所以点B的坐标为?2，2?.

???1?

把?2，2?代入直线l：y＝k(x＋1)(k>0)， ??22解得k＝3. 12．已知函数f(x)＝点之和为( )

A．6 B．7 C．9 D．12 答案 A

解析 设函数h(x)＝对称，

- 5 -

?1?

－8cosπ?2－x?，则函数f(x)在x∈(0，＋∞)上的所有零

??

，则h(x)＝＝

3

的图象关于x＝2

?1??1?

设函数g(x)＝8cosπ?2－x?，由π?2－x?＝kπ，

????

13?1?

k∈Z，可得x＝2－k，k∈Z，令k＝－1可得x＝2，所以函数g(x)＝8cosπ?2－x?，也关于

??3

x＝2对称，由图可知函数h(x)＝的图象有4个交点，所以函数f(x)＝个数为4，所以函数f(x)＝＝6.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

3

13．(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，S3＝4，则S4＝________. 答案

5

8

＝

?1?

的图象与函数g(x)＝8cosπ?2－x?

??

?1?

－8cosπ?2－x?在x∈(0，＋∞)上的所有零点

??

3?1?

－8cosπ?2－x?在x∈(0，＋∞)上的所有零点之和为4×2

??

解析 设等比数列的公比为q，又a1＝1，则an＝a1qn－1＝qn－1. 33

∵S3＝4，∴a1＋a2＋a3＝1＋q＋q2＝4， 1

即4q2＋4q＋1＝0，∴q＝－2， ??1??1×?1－?－2?4?

????5

∴S4＝＝8.

?1?1－?－2???

5

14．在区间[－1,1]上随机取一个数k，使直线y＝kx＋2与圆x2＋y2＝1相交的概率为________．

1答案 2 111

<1，得k>或k<－，所以所求概率为P＝. 22221＋k

- 6 -

解析 由圆心到直线的距离d＝

52

x2y2

15．已知双曲线C：a2－b2＝1(a>0，b>0)的实轴长为16，左焦点为F，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM⊥MF，O为坐标原点，若S△OMF＝16，则双曲线C的离心率为________．

5

答案 2 x2y2

解析 因为双曲线C：a2－b2＝1(a>0，b>0)的实轴长为16，所以2a＝16，a＝8， b

设F(－c,0)，双曲线C的一条渐近线方程为y＝ax， 可得|MF|＝

bc2222＝b，即有|OM|＝c－b＝a， a＋b

1

由S△OMF＝16，可得2ab＝16， 所以b＝4.

又c＝a2＋b2＝64＋16＝45， 所以a＝8，b＝4，c＝45， c5

所以双曲线C的离心率为a＝2.

π??C＋?16．△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足b＝2sin，a4???＝1，D是以BC为直径的圆上一点，则|AD|的最大值为________．

2

答案 2＋1

π??

解析 由b＝2sin?C＋4?，a＝1，

??π??

得b＝2asin?C＋4?，由正弦定理，

??π??

得sinB＝2sinAsin?C＋4?.

??π??

∴sin(A＋C)＝2sinAsin?C＋4?，

??∴sinAcosC＋cosAsinC

ππ??

＝2sinA?sinCcos4＋cosCsin4?，

??

∴sinAcosC＋cosAsinC＝sinAsinC＋sinAcosC， ∴cosAsinC＝sinAsinC，

- 7 -

∵sinC≠0，∴sinA＝cosA，∴tanA＝1， π

∵A∈(0，π)，∴A＝4.

如图，作出△ABC的外接圆，当直线AD经过△ABC外接圆的圆心且垂直于BC时，|AD|最大．

122＋1|OB|

设BC的中点为O，此时，|OA|＝＝π＝＝2，

tan∠OAB2－1

tan82＋112

∴|AD|＝|OA|＋|OD|＝2＋2＝2＋1.

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

(一)必考题：共60分．

17．(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝n2＋n＋2. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝

1

，求数列{bn}的前n项和Tn. anan＋1

12

解 (1)Sn＝n2＋n＋2，①

当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2＋(n－1)＋2；② ①－②得an＝2n，当n＝1时，a1＝4， ?4，n＝1，an＝?(n∈N*).5分

?2n，n≥2

1??16，n＝1，

(2)由题意，bn＝?1?11?1

－?，n≥2，??2n?2n＋2?＝4?nn＋1??1

当n＝1时，T1＝16；8分 当n≥2时，

1??1??1111??11??11??11??1??1－－Tn＝16＋4×??2－3?＋?3－4?＋?4－5?＋…＋?nn＋1??＝16＋4×??2n＋1??＝

??????????????

- 8 -

7分

3n－11

，易知T1＝16符合此式.11分

16?n＋1?

3n－1

故Tn＝.12分

16?n＋1?

18．(2019·四川百校冲刺模拟)(本小题满分12分)如图，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D是棱AB的中点．

(1)证明：BC1∥平面A1CD；

(2)若E是棱BB1的中点，求三棱锥C－AA1E的体积与三棱柱A1B1C1－ABC的体积之比． 解 (1)证明：连接AC1交A1C于点O，连接OD， ∵CC1∥AA1，CC1＝AA1，

∴四边形AA1C1C是平行四边形，2分 ∴O是AC1的中点，又D是棱AB的中点，

∴OD∥BC1，又OD?平面A1CD，BC1?平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD.4分

(2)设三棱柱A1B1C1－ABC的高为h，则三棱柱A1B1C1－ABC的体积V＝S△ABC·h， 1V2V又V＝VC1－ABB1A1＋VC－ABC1，VC－ABC1＝VC1－ABC＝3S△ABC·h＝3，∴VC1－ABB1A1＝3，7分 ∵CC1∥BB1，CC1?平面ABB1A1，BB1?平面ABB1A1， ∴CC1∥平面ABB1A1，

2V

∴VC－ABB1A1＝VC1－ABB1A1＝3， 9分 1

∵S△A1AE＝2S平行四边形AA1B1B， 112VV

∴VC－AA1E＝2VC－ABB1A1＝2×3＝3，

1

∴三棱锥C－AA1E的体积与三棱柱A1B1C1－ABC的体积之比为3.12分

19．(2019·辽宁葫芦岛二模)(本小题满分12分)伴随着科技的迅速发展，国民对“5G”一词

- 9 -

越来越熟悉，“5G”全称是第五代移动电话行动通信标准，也称第五代移动通信技术，2017年12月10日，工信部正式对外公布，已向中国电信、中国移动、中国联通发放了5G系统中低频率使用许可.2019年2月18日上海虹桥火车站正式启动5G网络建设．为了了解某市市民对“5G”的关注情况，通过问卷调查等方式对该市300万人口进行统计分析，数据分析结果显示：约60%的市民“掌握一定5G知识(即问卷调查分数在80分以上)”将这部分市民称为“5G爱好者”．某机构在“5G爱好者”中随机抽取了年龄在15～45岁之间的100人按照年龄绘制成以下频率分布直方图(如图所示)，其分组区间为(15,20]，(20,25]，(25,30]，(30,35]，(35,40]，(40,45]．

(1)求频率分布直方图中的a的值；

(2)估计全市居民中35岁以上的“5G爱好者”的人数；

(3)若该市政府制定政策：按照年龄从小到大，选拔45%的“5G爱好者”进行5G的专业知识深度培养，将当选者称为“5G达人”，按照上述政策及频率分布直方图，估计该市“5G达人”的年龄上限．

解 (1)依题意，得(0.014＋0.04＋0.06＋a＋0.02＋0.016)×5＝1，所以a＝0.05.3分 (2)根据题意，全市“5G爱好者”有300×60%＝180(万人)，4分

由样本频率分布直方图可知，35岁以上“5G爱好者”的频率为(0.02＋0.016)×5＝0.18，5分

据此可估计全市35岁以上“5G爱好者”的人数为180×0.18＝32.4(万人).6分 (3)样本频率分布直方图中前两组的频率之和为(0.014＋0.04)×5＝0.27＜45%，8分 前3组频率之和为(0.014＋0.04＋0.06)×5＝0.57＞45%，10分

所以年龄上限在25～30之间，不妨设年龄上限为m，由0.27＋(m－25)×0.06＝0.45，得m＝28.

所以估计该市“5G达人”的年龄上限为28岁.12分

20．(2019·湖南长郡中学一模)(本小题满分12分)已知动点G(x，y)满足 ?x－3?2＋y2＝4.

- 10 -

?x＋3?2＋y2＋

(1)求动点G的轨迹C的方程；

(2)若点A，B分别位于x轴与y轴的正半轴上，直线AB与曲线C相交于M，N两点，|AB|＝1，试问在曲线C上是否存在点Q，使得四边形OMQN(O为坐标原点)为平行四边形．若存在，求出直线AB的方程；若不存在，说明理由．

解 (1)由已知，得动点G到点P(－3，0)，E(3，0)的距离之和为4，且|PE|＝23＜4，2分

∴动点G的轨迹为椭圆，且a＝2，c＝3，∴b＝1， x22

∴动点G的轨迹C的方程为4＋y＝1.4分

(2)由题意，知直线AB的斜率存在且不为零，设直线AB的方程为y＝kx＋t， t22?t?22

∵|AB|＝1，∴?－k?＋t＝1，即k2＋t＝1， ① 6分

??y＝kx＋t，??

联立?x22

＋y＝1，??4

得(4k2＋1)x2＋8ktx＋4(t2－1)＝0,

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

4?t2－1?8kt

∴x1＋x2＝－，xx＝，

1＋4k2124k2＋1∴y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2t＝

2t

， 4k＋1

2∵四边形OMQN为平行四边形， 8kt2t??－，?∴Q1＋4k24k2＋1?，8分 ??8kt?2?2t?21?－∴4?1＋4k2?＋?4k2＋1?＝1， ????整理，得4t2＝4k2＋1， ②10分

将①代入②可得4k4＋k2＋1＝0，该方程无解，故这样的直线不存在. 12分

a21．(2019·河北五个一名校联盟第一次诊断)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln x＋x(a∈R)．

(1)讨论函数f(x)的单调性； (2)令g(a)＝整数．

解 (1)此函数的定义域为(0，＋∞)，

- 11 -

a?k－5?－2

，若对任意的x＞0，a＞0，恒有f(x)≥g(a)成立，求实数k的最大a

1ax－a

f′(x)＝x－x2＝x2，

当a≤0时，f′(x)＞0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增；2分 当a＞0，x∈(0，a)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减， x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．

综上所述，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；

当a＞0，x∈(0，a)时，f(x)单调递减，x∈(a，＋∞)时，f(x)单调递增.4分

(2)由(1)，知f(x)min＝f(a)＝ln a＋1，∴f(x)≥g(a)恒成立，则只需ln a＋1≥g(a)恒成立， 则ln a＋1≥

a?k－5?－22

＝k－5－aa，

2

即ln a＋a≥k－6, 6分

2

令h(a)＝ln a＋a，则只需h(a)min≥k－6， 12a－2

∵h′(a)＝a－a2＝a2，

∴a∈(0,2)时，h′(a)＜0，h(a)单调递减，

a∈(2，＋∞)时，h′(a)＞0，h(a)单调递增，∴h(a)min＝h(2)＝ln 2＋1，10分 即ln 2＋1≥k－6，∴k≤ln 2＋7，∴k的最大整数为7.12分

(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程

?x＝tcosα，4cosθ

已知曲线C的极坐标方程为ρ＝sin2θ，直线l的参数方程为?(t为参数，0≤α

?y＝1＋tsinα＜π)．

(1)求曲线C的直角坐标方程，并说明曲线C的形状； (2)若直线l经过点M(1,0)且与曲线C交于A，B两点，求|AB|. 4cosθ4ρcosθ

解 (1)对于曲线C：ρ＝sin2θ，可化为ρsinθ＝ρsinθ.

4x

把互化公式代入，得y＝y，即y2＝4x，为抛物线．(可验证原点也在曲线上)5分 (2)根据已知条件可知直线l经过两定点(1,0)和(0,1)，所以其方程为x＋y＝1.

2

?y＝4x，由?消去x并整理得y2＋4y－4＝0，7分 ?x＋y＝1，

- 12 -

令A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1＋y2＝－4，y1y2＝－4. 所以|AB|＝

1＋1

k2·?y1＋y2?2－4y1y2

＝1＋1×?－4?2－4×?－4?＝8.10分 23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f(x)＝|2x－1|.

(1)解关于x的不等式f(x)－f(x＋1)≤1；

(2)若关于x的不等式f(x)

，

??2x－1－2x－1≤1??1?－2

??1－2x－2x－1≤1

?或??x≤－12，?分

?1－2x＋2x＋1≤1，

2于是x≥1111

2或－4≤x<2，即x≥－4，4分 所以原不等式的解集为???－14，＋∞?

??

.5分

(2)由条件知，不等式|2x－1|＋|2x＋1|(|2x－1|＋|2x＋1|)min即可． 由于|2x－1|＋|2x＋1|＝|1－2x|＋|2x＋1|≥|1－2x＋2x＋1|＝2，8分 当且仅当(1－2x)(2x＋1)≥0，即x∈??11?

?－2，2??时等号成立，故m>2.

所以m的取值范围是(2，＋∞).10分

- 13 -

或

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