定积分在几何中的应用

1．7定积分的简单应用

1．7.1定积分在几何中的应用

双基达标(限时20分钟)

1．由y＝

1

x

，

x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形的面积为

()．A．ln 2 B．ln 2－1

C．1＋ln 2 D．2ln 2

解析画出曲线y＝

1

x(x>0)及直线x＝1，x＝2，y＝0，

则所求面积S为如图所示阴影部分面积．

＝ln 2－ln 1＝ln 2.故选A.

答案 A

2．在下面所给图形的面积S及相应表达式中，正确的有

()．

A．①③B．②③

C．①④D．③④

答案 D

3．由曲线y＝x2与直线y＝2x所围成的平面图形的面积为

()．A.

16

3 B.

8

3

C.

4

3 D.

2

3

解析画出曲线y＝x2和直线y＝2x，则所求面积S为图中阴影部分的面积．

解方程组

??

?

??y＝2x，

y＝x2，

得

??

?

??x＝0，

y＝0

或

??

?

??x＝2，

y＝4.

∴A

(2,4)，O (0,0)．

＝4－? ??

??83－0＝43.故选C. 答案 C

4．由曲线y ＝2x 2，及x ＝0，x ＝3，y ＝0所围成图形的面积为________．

解析 由题意画草图：

答案 18

5．直线x ＝π2，x ＝3π2，y ＝0及曲线y ＝cos x 所围成图形的面积________．

解析 由题意画草图：

由图形面积为

答案

2

6．求由曲线y ＝x 3及直线y ＝2x 所围成的图形面积．

解 由???

y ＝x 3，y ＝2x ，

解得x 1＝0，x 2＝2，x

3＝－ 2. 交点为(－2，－22)，(0,0)，(2，22)．

所求面积S 为：

综合提高 (限时25分钟)

7．若y ＝f (x )与y ＝g (x )是[a ，b ]上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线

x ＝a ，x ＝b 所围成的平面区域的面积为

( )．

解析 当f (x )＞g (x )时，

所求面积为；

当f (x )≤g (x )时，所求面积为

.

综上，所求面积为.

答案 C

8．曲线y＝x2＋2x与直线x＝－1，x＝1及x轴所围图形的面积为

()．A．2 B.

8

3

C.

4

3 D.

2

3

＝

2

3＋

4

3＝2.

答案 A

9．抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点A(1,0)和点B(3,0)处的切线所围成图形的面积为________．

解析由y′＝－2x＋4得在点A、B处切线的斜率分别为2和－2，则两直线方程分别为y＝2x－2和y＝－2x＋6，

由

??

?

??y＝2x－2，

y＝－2x＋6，

得两直线交点坐标为C(2,2)，

∴S＝S△ABC－(－x2＋4x－3)d x

＝

1

2×2×2－?

?

?

?

?

－

1

3x

3＋2x2－3x

?

?

?3

1

＝2－

4

3＝

2

3.

答案

2

3

10．已知函数f(x)＝3x2＋2x＋1，若f(x)d x＝2f(a)成立，则a的值为________．

所以2(3a2＋2a＋1)＝4，

即3a2＋2a－1＝0，

解得a＝－1或a＝

1

3.

答案－1或

1

3

11．直线y＝k x分抛物线y＝x－x2与x轴所围成图形为面积相等的两部分，求k 值及直线方程．

解由

?

?

?y＝k x，

y＝x－x2，

得

?

?

?x＝0，

y＝0，

或

?

?

?x＝1－k，

y＝k－k2.

(0

即

?

?

?

?

?

1－k

2x

2－

1

3x

3

?

?

?1－k

＝

1

2?

?

?

?

?

1

2x

2－

1

3x

3

?

?

?1

.

∴

(1－k)3

6＝

1

12，

∴(1－k)3＝

1

2，k＝1－

3

4

2.

∴直线方程为y＝

?

?

?

?

?

?

1－

3

4

2

x.

12．(创新拓展)已知函数f(x)＝

?

?

?x3，x∈[0，1]，

x，x∈[1，2]，

求曲线y＝f(x)与x轴、直线x ＝0、x＝2所围成的图形的面积．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/shze.html