旋转变换练习

一、“等边旋转”

例一、如图，四边形ABCD中，AD=CD,∠ABC=75°，∠ADC=60°，AB=2，BC=2 （1）以线段BD,AB,BC作为三角形的三边，①则这个三角形为 三角形（填锐角、直角、钝角）②求BD边所对的角的度数。 （2）求四边形ABCD的面积。例一.gsp

二、利用特殊图形的主要线段寻找旋转

例二、在等腰直角△ABC中，D是AB的中点，∠EDF=90°，求证：DE=DF例二.gsp

三、“半角”问题

例三、如图17、18是两个相似比为1：2 的等腰直角△DMN和△ABC，将这两个三角形如图19放置，△DMN的斜边MN与△ABC的一直角边AC重合

（1） 在图19中，绕点D旋转△DMN，使两直角边DM、DN分别于AC、BC交于点E、

F，如图20，求证：AE?BF?EF 例三（1）.gsp

（2） 在19图中，绕点C旋转△DMN，使它的斜边CM、直角边CD的延长线分别与AB

交于点E、F，如图21，此时结论AE?BF?EF是否仍然成立？若成立，请给

出证明；若不成立，请说明理由。例三（2）.gsp

（3） 如图22，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点且满足△CEF的周长等

于正方形ABCD的周长的一半，AE、AF分别与对角线BD交于点M、N，线段BM、MN、DN恰好构成三角形，请指出线段BM、MN、DN所构成的三角形的形状，并给出证明。 例三（3）.gsp

222222

四、中心对称与轴对称-----倍长中线 例四、（1）在直角△ABC中，D是中点，∠EDF=90°，求证：AE2+BF2=EF2例四（1）.gsp

（2）如图：△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且∠EDF=90°，求证：BE+CF＞EF例四（2）.gsp

五、正多边形旋转 例五、（1）如图，在等边三角形ABC的边AC、CB上分别截取线段AP、CQ，使AP和BP相交于H，求证：∠PHQ是一个定值。例五（1）.gsp

（2）如图，在RT△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是BC的中点，CE⊥AD，垂足为点E，BF∥AC交CE的延长线于点F。求证：ＡＢ垂直平分ＤＦ。例五（2）.gsp 六、方案设计

例六、在△ABC中，BC=a，BC边上的高h=2a，沿图中线段DE、CF将△ABC剪开，分成三块图形恰能拼成正方形CFHG，如图1所示。请你解决如下问题：

已知：如图2，在△A＇B＇C＇中，B＇C＇=a，B＇C＇边上的高h=1/2*a。请你设计两种不同的分割方法，将△A＇Ｂ＇Ｃ＇沿分割线剪开后，所得的三块图形恰能拼成一个正方形，请在图２，图３中画出分割线及拼接后的图形。例六（1）.gsp 例六（2）.gsp

七、与函数结合

例七、如图,将腰长为5 的等腰RT△ABC（∠C是直角）放在平面直角坐标系中的第二象限，使顶点A在y轴上，顶点B在抛物线y=ax2+ax-2上，顶点C在x轴上，坐标为（-1,0） （1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；A(0,2) B(-3,1)

（2）抛物线的关系式为 ，其顶点坐标为 ；

11117y=x2?x-2 ； 顶点为（-，?） 2228(3)将三角板ABC绕顶点A逆时针方向旋转90°，到达△AB’C’的位置。请判断点B’、C ’是否在（2）中的抛物线上，并说明理由。 （B’C’在抛物线上）例七.gsp

练习：

1、 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转80°得到△AB’C’。若∠BAC=50°，则∠CAB’ 的度数为（ ）A、30° B、40° C、50° D、80°

2、如图，正方形ABCD的边长为3，E为CD边上一点，DE=1，△ADE绕着A点逆时针旋转后与△ABF复合，连接EF，则（1）EF= ；（2）点E从开始到现在结束后所经过的路径长为 。练习2.gsp 3、如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，若∠ADC=15°，则∠ABE= °练习3.gsp 4、在平面直角坐标系中，把矩形OABC的边分别放在x轴和y轴的正半轴上，已知

OA?23,OC?2 ,(1)直接写出A、B、C三点的坐标；

（2）将矩形OABC绕点O逆时针旋转x°，得到矩形OA1B1C1 其中点A的对应点为点.A1 ①

当0?x?90?时，设AC交OA1于点K（如图）若1?OAK为等腰三角形，请直接写出x的值

②当x=90°时（如图2）,延长AC交AC11 于点D，求证：AD⊥AC11；练习4.gsp ③当点B1 落在y轴正半轴上时，（如图3），设BC与OA1 交于点P，求过点P的反比例函数的解析式；并探索：该反比例函数的图像是否经过矩形OABC的对称中心？请说明理由。

5、如图，已知A、B是线段MN上两点，MN=4，MA=1，MB＞1，以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB=x （1）求x的取值范围。（2）若△ABC为直角三角形，求x的值。（3）探究：△ABC的最大面积。练习5.gsp

6、已知在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，DF平分∠ADC交线段AE于F

（1）如图1，若AE=AD，∠ADC=60°，请直接写出线段CD与AF+BE之间所满足的等量关系。 （2）如图2，若AE=AD，你在（1）中得到的结论是否仍然成立，若成立，对你的结论加以证明，若不成立，请说明理由。

（3）如图3，若AE：AD=a:b，试探究线段CD、AF、BE之间所满足的等量关系，请直接写出你的结论。练习6.gsp

7、平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别为（0,3），（-1，0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A＇Ｂ＇ＯＣ＇ （１）若抛物线过点Ｃ、A、A＇，求此抛物线的解析式；练习7（2）.gsp

（2）求平行四边形ABOC和平行四边形A＇Ｂ＇ＯＣ＇重叠部分△OC＇Ｄ的周长；

（３）点Ｍ是第一象限内抛物线上的一点，问：点M在何处时△AMA＇的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点M的坐标。练习7.gsp

8、(1)等边三角形ABC中，在BC边上任取一点D（不与A，B重合）， 作 ?ADE?60?， DE交∠C的外角平分线于E，判断△ADE的形状，并证明。若D是射线BC上任一点，上述结论是否成立?

C（2）点M为正方形ABCD的边AB（或延长线上）任一点（不与DA，B重合）?DMN?90?，射线MN与 ?ABC的外角平

N分线交于点N，猜想DM与MN的数量关系。

EBM（3）如图,正六边形ABCDEF,点M在AB边上，A?FMH?120?,MH与六边形?ABC外角的平分线BQ交

于H点.

①当点M不与点A、B重合时，求证：∠AFM=∠BMH; ②当点M在正六边形ABCDEF一边AB上运动(点M不与点B重合)时,猜想FM与MH的数量关系，并对猜想的结果加以证明.

FEDCQHAMBN

9、①如图1，在正三角形ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON = 60°，则BM = CN.

②如图2，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON = 90°,则BM = CN.

ANAD然后运用类比的思想提出了如下的命题：

NOB图1MCB图2OMC③如图3，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON = 108°，则BM = CN.

E 任务要求（1）请你从①、②、③三个命题中选择一个进行证明；（说明：选①做对的得4

N分，

AD选②做对的得3分，选③做对的得5分） （2）请你继续完成下面的探索： OM① 如图3中，画出一条与CN相等的线段DH，使点H在正五边形 BC ABCDE的边上，且与CN相交所成的一个角是108°，这样的线段 图3 有几条？（不必写出画法，不要求证明）

EM② 如图5，在五边形ABCDE中，M、N分别是DE、AE上的ND点，BM与CN相交于点O，当∠BON = 108°时，请问结AO论BM = CN是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由

BC 图5

10、 如图, 已知正方形ABCD, 点E在BC边上, 将△DCE绕某点G旋转得到△CBF,

点F

恰好在AB边上.

（1）请画出旋转中心G (保留画图痕迹) , 并连接GF, GE;

（2） 若正方形的边长为2a, 当CE= 时,S?FGE?S?FBE; 当CE= 时, S?FGE?3S?FBE.练习10.gsp

A D

F B E C

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