最新《力学》漆安慎（第二版）答案11章

第十一章 流体力学

力学（第二版）漆安慎习题解答

第11章流体力学习题解答 力学（第二版）漆安慎课后答案

第十一章 流体力学基本知识小结

⒈理想流体就是不可压缩、无粘性的流体；稳定流动（或称定常流动）就是空间各点流速不变的流动。

⒉静止流体内的压强分布

相对地球静止：dp???gdy,p1?p2??gh（h两点间高度）

相对非惯性系静止：先找出等压面，再采用与惯性系相同的方法分析。

⒊连续性方程：当不可压缩流体做稳定流动时，沿一流管，流量守恒，即

Q?v1?s1?v2?s2?恒量

⒋伯努力方程：当理想流体稳定流动时，沿一流线，

2p??gh?1?v?恒量 2

⒌粘性定律：流体内面元两侧相互作用的粘性力与面元的面积、速度梯度成正比，即f??

⒍雷诺数及其应用 Re?dvdy?s.?为粘性系数，与物质、温度、压强有关。

?vl,l为物体某一特征长度 ?⑴层流、湍流的判据：Re?Re临，层流；Re?Re临，湍流

⑵流体相似律：若两种流体边界条件相似，雷诺数相同，则两种流体具有相同的动力学特征。

⒎泊肃叶公式：粘性流体在水平圆管中分层流动时，距管轴r处的流速

v(r)?p1?p22(R?r2) 4?l

2

第11章流体力学习题解答 力学（第二版）漆安慎课后答案 11.2.1 若被测容器A内水的压强比大气压大很多时，可用图中的水银压强计。⑴此压强计的优点是什么？⑵如何读出压强？设 h1=50cm,h2=45cm,h3=60cm,h4=30cm，求容器内的压强是多少大气压？

解：⑴优点：可以测很高的压强，而压强计的高度不用很大 ⑵设界面处压强由右向左分别为p0, p1,p2,p3，水和水银的密度分别用ρ,ρ'表示，据压强公式，有：

p1?p0??'gh1,p1?p2??gh2,p3?p2??'gh3,pA?p3??gh4

h1 h3 h2 A h4 ?pA??gh4?p3??gh4??'gh3?p2??gh4??'gh3??gh2?p1

??gh4??'gh3??gh2??'gh1?p0??g(h4?h2)??'g(h1?h3)?p0用大气压表示：pA?1?h?h3h4?h230?4550?60?1?1???2.43atm

13.6?767613.6?7676

11.2.2 A,B两容器内的压强都很大，现欲测它们之间的压强差，可用图中装置，Δh=50cm，求A,B内的压强差是多少厘米水银柱高？这个压强计的优点是什么？ 解：由压强公式：pA?p1??gh1

p1?p2??'g?h,pB?p2??g(?h?h2)pA?pB?(p1??gh1)?(p2??gh2??g?h)

(p1?p2)??g(h1?h2??h)??'g?h??g?h用厘米水银柱高表示：

pA?pB??h??h/13.6?50?50/13.6?46.3cmHg

h1 h2 也可以忽略管中水的重量，近似认为压强差为50cmHg

A B 优点：车高雅差方便，压强计的高度不需太大。

11.2.3 游泳池长50m，宽25m，设各处水深相等且等于1.50m，求游泳池各侧壁上的总压力，不考虑大气压。

解：设游泳池长a=50m，宽b=25m，

b a 水深c=1.50m。如图所示，在h深处，绕游泳池侧壁取高为dh的h 面元，其面积为 ds?2(a?b)dh. ∵h深处压强p?po??gh,不计大气压，p??gh ∴此面元所受压力：

dF??gh2(a?b)dh?2(a?b)?ghdh.

dh c 游泳池侧壁受的总压力

F?2(a?b)?g?hdh?(a?b)?gc20c

?(50?25)?103?9.8?1.52?1.65?106 3

第11章流体力学习题解答 力学（第二版）漆安慎课后答案 11.2.4 所谓流体的真空度，指该流体内的压强与大气压的差数，水银真空计如图所示，设h=50cm，问容器B内的真空度是多少N/m2？

解：p0?pB??gh?13.6?103?9.8?50?10?2?6.664?104N/m2

11.2.5 ⑴海水的密度为ρ=1.03g/cm3，求海平面以下300m处的压强。

⑵求海平面以上10km高处的压强。 解：⑴

p?p0??gh

?1.013?105?1.03?103?9.8?300?3.13?106pa?0gp0P0

B ⑵?p?p0e??y,???0.117/km，所以，海平面以上10km处的压强：

p?1.013?105e?0.117?10?0.314?105pa

11.2.6 ⑴盛有液体的容器以重力加速度自由下落，求液体内各点的压强； ⑵若容器以竖直向上的加速度a上升，求液体内压强随深度的分布； ⑶若容器以竖直向下的加速度a（

解：以容器为参考系，设它相对地的加速度为a0. 在水深h处取一体元，上、下底面积为ds，高为dh，质量dm =ρdsdh .受力情况如图所示，其中，dma0为惯性力.

规定向上为正，由力的平衡方程，有

(p?dp)ds?pds?dm(g?a0)?0,?dp??(g?a0)dh

p0hp0?dp??(g?a)?dh,0p?p0??(g?a0)h

⑴容器自由下落，a0??g,?p?p0

⑵容器加速上升，a0?a,?p?p0??(g?a)h ⑶容器加速下降，a0??a,?p?p0??(g?a)h

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第11章流体力学习题解答 力学（第二版）漆安慎课后答案 11.2.7 河床的一部分为长度等于b半径为a的四分之一柱面，柱面的上沿深度为h，求水作用于柱面的总压力的大小、方向和在柱面上的作用点。

解：取图示dθ对应的柱面，其面积为badθ，所受压力

dF?[p0??g(h?asin?]bad?

h a 方向如图示，取图示坐标o-xy,

dFx?[p0??g(h?asin?)]bad?cos?dFy?[p0??g(h?asin?)]bad?sin??/2

?/2Fx?ab[(p0??gh)?cos?d?0??ga?sin?dsin?]02??ga12sin?|?ab[(p0??gh)sin?|?/20?/20]

?ab(p0??gh?12?ga)?/212?/2Fy?ab[(p0??gh)?sin?d???ga?(1?cos2?)d?00?ab[(p0??gh)cos?|0?/21???|4?ga?4?gasin2?/20]

?ab(p0??gh??4?ga)（在上面积分中，运用了三角函数公式：sin2θ=(1-cos2θ)/2 ） 总压力大小：F?Fx2?Fy2

方向：总压力作用线过坐标原点，与柱面垂直，且与x轴夹角

FyFxp0??gh??4?ga 1p0??gh?2?ga??tg?1?tg?1总压力作用点：总压力作用线与柱面的交点。

11.2.8 船的底舱处开一窗，可藉此观察鱼群，窗为长1m半径R=0.6m的四分之一圆柱面，水面距窗的上沿h=0.5m，求水作用于窗面上的总压力的大小、方向和作用点。

解：此题与11.2.7题解法相同，由11.2.7题解答可知：

?Fx??ab(p0??gh?12?ga),Fy??ab(p0??gh?4?ga)

这里，b=1m,a=R=0.6m,h=0.5m，代入数据：

Fx??0.6?1?[1.013?105?1?103?9.8(0.5?0.6/2)]??6.548?10N14Fy??0.6?1?[1.013?105?1?103?9.8(0.5?3.4?0.6)]4h x R y ??6.649?104NF?Fx?Fy?9.332?104N22??arctgF?arctg1.015?45?26'

xFy 5

第11章流体力学习题解答 力学（第二版）漆安慎课后答案 11.2.9 一船质量为m，使船发生一初始下沉，然后沿竖直方向振动，设船在吃水线附近的截面积为s，海水比重为γ，证明船做简谐振动，并求周期.不计阻力。

证明：以地为参考系，选水面上一点为原点，建立图示坐标o-x.船静止时，浮力与重力大小相等，方向相反，合力为零。当船发生一位移x时，所受合力为 F = -γsx，为线性恢复力。

d2x由牛顿二定律： m2???sx,dtd2x?s?x?0 mdt2?sm所以船作简谐振动，?0??sm,T?2?

11.2.10 根据新数据，布达拉宫的海拔高度为3756.5m，试求该处的大气压强，为海平面大气压的几分之几？

解：p?p0e??y?1.013?105?e?0.117?3.7565?0.653?105pa

pp0?0.653?1051.013?105?64%

11.4.1 容器内水的高度为H，水自离自由表面h深的小孔流出.⑴求水流达到地面的水平射程x，⑵在水面以下多深的地方另开一孔可使水流的水平射程与前者相等？

解：⑴此问题可近似看作理想流体做稳定流动。从水面至小孔取一流线，设水面流

2?v,?v?2gh 速为零，小孔流速为v，由伯努利方程，有 p0??gh?p0?12水在小孔处以速度v作平抛运动，由平抛公式，有

2H?h?12gt(1)x?vt?2ght(2)

由⑴求得t?2(H?h)/g, 代入⑵中得x?2h(H?h) ⑵设在水面下h’处开一小孔，与h处小孔水平射程相等，即

2h'(H?h')?2h(H?h),?h'(H?h')?h(H?h)

H(h'?h)?h'2?h2?(h'?h)(h'?h)，∵h'?h,?h'?H?h

11.4.2 参阅11.4.1题图，水的深度为H.⑴在多深的地方开孔，可使水流具有最大的水平射程？⑵最大的水平射程等于多少？

解：⑴由11.4.1题解得，水平射程x?2h(H?h)，显然，

2?1/2dx?2?1(H?2h)?0，x =x(h)，为求极大值点，令dh∴H?2h?0,h?12(Hh?h)2H时

水平射程最大。

⑵将h = H/2代入水平射程表达式得：xmax?H

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第11章流体力学习题解答 力学（第二版）漆安慎课后答案 11.4.3 关于流动流体的吸力的研究，若在管中细颈处开一小孔，用细管接入容器A中液内，流动液体不但不漏出，而且A中液体可以被吸上去。为研究此原理，作如下计算：设左上方容器很大，流体流动时，液面无显著下降，液面与出液孔高差为h，S1,S2表示管横截面，用ρ表示液体密度，液体为理想流体，试证明：

p1?p0??gh(1?S2/S1)?0，即S1处有一定的真空度，因此可将A内液体吸入。

22解：选图示流线，由伯努利方程，有

1p0??gh?p1?1?v?p??v2 102222由连续性方程，有，S1v1?s2v2 可解得：v2?2gh,v1?22S2S1v2?S2S12gh

22p1?p0?12?(v2?v1)??gh(1?S2/S1) ?S1?S2,?p1?p0??gh(1?S2/S1)?0

22

11.4.4 容器A和B中装有同种液体，可视为理想流体，水平管横截面SD=2SC，容器A的横截面SA>>SB，求E管中的液柱高度（ρ液>>ρ空气）。

h1 h 解：顺管子选取一条流线，由伯努利方程，有 22p0??g(h2?h1)?pC?1C A 2?vCE 由连续性方程，2h3 ?p0?1?v①D2SCvC?SDvD,?SD?2SC,?vC?2vD22D ②

B 由①可求得：vD?2g(h2?h1),vC?22g(h2?h1)，

11pC?p0?12?vD?2?vC?p0?2?[2g(h2?h1)?8g(h2?h1)] ?p0?3g?(h2?h1)p?pC对于E管，p0?pC??gh3,h3?0?3(h2?h1)

?g

11.4.5 装置如图所示，出水口堵塞时，竖直管内和容器内的水面在同一高度，打开塞子后，水即流出，视水为理想流体，等截面的水平管直径比筒径小很多，求直管内的液面高度。

解：据题意，可把实际问题近似看作理想流体稳定流动。如图所示，取过1、2、3、4点的流线，由伯努利方程，有

11p0??gh1?p2?12?v2?p3?2?v3?p0?2?v4

222由连续性方程，有 sv2?sv3?sv4，即 v2?v3?v4 ?p2?p3?p0

由静止液体压强公式；p2?p0??gh2,p3?p0??gh3

?p2?p3?p0,?h2?h3?0

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第11章流体力学习题解答 力学（第二版）漆安慎课后答案 11.5.1 研究射流对挡壁的压力，射流流速为v，流量为Q，流体密度等于ρ，求图中(a),(b)两种情况下射流作用于挡壁的压力

v

α

(a) (b)

解：(a)以射流为研究对象，据题意，射流撞到挡壁后速度变为零，由动量定理：????F?t?(?Q?t)(0?v),F???Qv

???由牛顿第三定律，射流作用于挡壁的力F'??F??Qv

y x v α (b)在x方向应用动量定理：

Fx?t?(?Q?t)(?vsin?),Fx???Qvsin?

因为流体是理想流体，所以在y方向射流对挡壁无作用力，即Fy=0，因此，

F?Fx???Qvsin?

11.6.1 设血液的密度为1.05×103kg/m3，其粘度系数为2.7×10-3pas，问当血液流过直径为0.2cm的动脉时，估计流速多大则变为湍流，视血管为光滑金属圆管，不计其变形。

解：根据教材中给出的数据，在光滑的金属圆管中，临界雷诺数取为2000，

?Re??vL?,?v?Re??L?2000?2.7?10?31.05?103?0.2?10?2?26m/s

当血液流速大于26m/s时，将会出现湍流。

11.6.2 容器盛有某种不可压缩粘性流体，流动后各管内液柱高如图所示，液体密度为1g/cm3，不计大容器内能量损失，水平管截面积相同，求出口流速。

解：如图所示，过1,2,3,4点取一流线，因水平管各点截面相等，由连续性方程可知，2,3,4点的流速均相等，用v表示。根据不可压缩粘性流体稳定流动的功能关系：

2① 对1,4点，有p0??gh1?p0?12?v?w14对3,4点，有p3?p0?w34②

据静止流体压强公式，p3?p0??gh3由②③可得：w34?p3?p0??gh3

③

1 0.18m 8?L?w?2v,?w14?3w34?3?gh3，

R代入①中：

2?gh1?1v2?2gh1?6gh32?v?3?gh3,2 0.1m 0.1m 3 0.05m 4 0.1m 0.1m v?g(2h1?6h3)?9.8(2?0.18?6?0.05)?0.767m/s

（以上并未用上h2=0.1m的条件，但可以证明h2确实等于0.1m）

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