数学史融入数学教育 - 图文

第 19 卷第 3 期 2010 年 6 月 数 学 教 育 学 报 JOURNAL OF MATHEMATICS EDUCATION Vol.19, No.3 Jun., 2010 数学史融入数学教学模式的国际研究与启示 朱凤琴 1，徐伯华 1，2 （1．南京信息工程大学 数理学院，江苏 南京 210044；2．南京师范大学 数学科学学院，江苏 南京 210097） 摘要：探讨数学史融入教学的模式是近年来 HPM 研究中的重要问题，研究者在数学教育的整体框架下，综合考虑数学 史与教学要素的关系，建构了许多融入模式，如诠释学模式、资源联络模式、历史—心理的认识论模式、三面向模式、 为 ― 何—如何‖ 模式．这些模式对于我国的 HPM 本土化建设有多方面的启示：教师是数学史融入的主体；课程目标是数学史融 入的方向；多角度分析是数学史融入的关键；数学史资源急待开发；HPM 应成为教师教育的重要内容． 关键词：HPM；融入；模式；启示 中图分类号：G424.1 文献标识码：A 文章编号：1004–9894（2010）03–0022–04 维模式以及发生发展的形式， 不仅实现数学认知的发展， 同 时也是更重要的，实现元数学认识的发展． 在实际教学设计中， 教师不仅要考虑数学史， 还要考虑 其它教学要素，如教学内容、教科书、课程标准、数学理论 等． 可以向自己提出类似这样的问题： 有没有必要引入数学 史？和教学内容的内在联系在哪里？数学史对学生认知的 贡献在哪里？如何表述它们？这些问题需要教师做出自己 的诠释和理解，然后才能进入教学过程．因此，数学史融入 是数学教师双循环诠释过程的一部分． 1 是修改后的双循 图 教师教学 教科书编写者 T 古代数学家 1 导 言 在国际 HPM（History and Pedadogy of Mathematics）成 立以前， 人们就关注了数学史对数学教育中的积极价值， 许 多数学家、 数学史家和数学教育家都提倡在数学教学中直接 地或间接地使用数学史， 并从经验层面描述了数学史走向数 学教学的形式和方法．1972 年 HPM 成立以后，数学史助益 数学教学的研究成了 HPM 研究的重要领域，教育取向的数 学史研究、 基于历史发生原理的教学法研究以及数学史融入 课堂的教学实验研究都成了热门话题．2000 年以来，数学 史融入数学教学一直是历届 HPM 大会的主题之一，研究者 不仅仅在经验层面上描述数学史的融入， 更多地在理论层面 和理论指导实践的层面上研究了有关的历史模块、课堂设 计、 教学案例和课堂实验， 研究成果对教学实践也有了更强 的指导性和适用性． 但是， 对于数学教师来说， 数学史融入数学教学仍然不 是一件容易的事情． 有启发的思想并不能帮助教师解决如何 构造教学环节的实践问题[1]． 实际上， 教学是一个系统工程， 要想实现数学史助益数学教学的目的， 需要把数学史放在数 学教育的整体框架下， 综合考虑数学史与诸多教学要素的关 系，恰当地融入而不是简单的加入．在这样的背景下，数学 史融入教学的模式研究就成了一个特别值得关注的课题． 课程标准／ 数学知识 教科书 内容 C1 I 教师诠释 数学 内容 数学 理论 C2 图1 环模型 ． [3] 双循环的诠释学模型 2 2.1 数学史融入数学教学的模式 双循环的诠释学模式 1994 年， 德国教授 H. N. Jahnke 在第 18 届 PME 大会报 在双循环诠释学模型中，T–C1–I 循环是一般数学教师 所经历的思考过程，当需要数学史融入时，教师必须经历 C2 循环．在 C2 循环中，教师有两个方面的工作：一是领会 古代数学家的解释， 经过诠释后呈现于教学之中； 二是考虑 C1 和 C2 间的联系，避免陷入琐碎的历史细节，影响数学知 识的教学目标．在 C1 和 C2 间的联系上，教师可以选择不同 的路径．例如 T–C1–I–C2–I–C1–I 的路径是从教科书入手， 寻求数学史， 然后思考 C1 和 C2 间的联系； 2–I–C1–I–C2–I T–C 的路径是从数学史开始， 思考融入教学的合适角度， 然后寻 找 C1 和 C2 间的联系． 诠释学模式以社会建构主义的知识教学为目标， 重视数 学的文化意义， 关心数学史与数学教学内容的关系， 把数学 史作为意义学习的支撑， 具体给出了数学史融入的途径和方 法，对指导教学实践具有很好的参考价值． 告中指出： 数学是一种文化， 回归源头能使我们获得对思想 过程的重要认识，更加清晰的理解现在的问题 ．他认为， [2] 融入数学史的重要性不是为了激发学习动机等外在目的， 而 是把数学发展中同时期的和不同时期的（synchronous and diachronous）数

学文化联系起来，使数学史成为支持教与学 的必要组成部分． 同时期的数学文化含有课堂对话和课堂活 动的自然情景，不同时期的数学文化则联系着数学的生长， 教师通过对数学假设、理论、特征的理解、诠释和融入，让 学生在一定的社会文化背景下掌握数学知识的建构意义、 思 收稿日期：2009–12–18 基金项目：南京信息工程大学科研课题——教学研究中的模糊化方法（KY629） 作者简介：朱凤琴（1972—） ，女，江苏沛县人，讲师，硕士，主要从事高等数学教学与数学史研究．

第3期 2.2 资源联络融入模式 朱凤琴等：数学史融入数学教学模式的国际研究与启示 23 识理解的重要性， 而且更加强调数学史对于激发动机和优化 教学过程的重要性， 其中基于历史的启发式教学， 显性融入 和隐性融入的形式， 都是数学教师在教学设计中必须深入思 考的问题． 另外该模式还关心数学史的文化价值， 体现了数 学的教育性，很值得借鉴． 2.3 历史—心理的认识论模式 加拿大的 L.Radford 教授主要从事数学心理学、 符号学、 认识论和数学史研究，2000 年由他牵头完成的一篇 ICMI 报告认为， 数学史是理解数学思维形成过程的有益资源， 一 个重要研究领域是学生数学理解的心理过程和数学思维的 数学史启发 教学材料 1998 年，为了深化 HPM 实践，推动相关的学术与教育 资 源 整 合 ， 在 ICMI （ International Commission on Mathematical Instruction）的支持下以色列的 A.Arcavi 博士 和希腊的 C.Tzanakis 副教授牵头编撰了 数学史融入数学教 ― 室之方式的解析性综述‖ 的主题报告，后被收录在 ICMI 研 究报告中， 台湾师范大学洪万生教授也是参与者之一[3~4]． 该 报告提出了一个基于数学史资源的融入模式，如图 2 所示． 原始文献 历史结构之间的关系[4]．他们主张在认识论的理论框架下理 清数学知识的心理过程和历史过程， 从而在方法论意义上指 导教学活动的设计，如图 3 所示． 二手材料 数学史融入 认识论领域 理论框架 教室中的教与学 图 2 资源联络融入模型 无论是原始文献、 二手材料， 还是由历史启发表述的教 学材料， 都是为数学教学活动服务的． 数学史融入可以是直 接的，也可以是间接的，总的来说表现在 3 个方面： （1） 引入直接的数学史料． 这种形式是正常教学的辅助 形式， 不直接改变本来的教学， 旨在提供历史资源——单独 的史实或完整的数学史． （2） 历史启发的教学． 这种形式的认识基础是学习只有 在充分的动机和心智发展的恰当时机下才会进行， 教学中重 要的不是如何使用理论和概念，而是提供有关― 为什么‖ 的 解释和引导．这种模式的教学有 4 个步骤：① 教师掌握有 关主题的历史演进知识；② 在此基础上甄别历史演进的关 键步骤，如关键的思想、困难和问题等；③ 改造这些关键 步骤，使之便于在课堂上使用；④ 给改造后的步骤配备难 度递增的系列问题． 4 个步骤中， 在 教师和学生都要很好地 利用原始文献和二手材料． 第②、 ③步要求教师熟悉数学发 展中的困难以及学生理解上的障碍， 在历史的启发下选择问 题、激发动机，为新知识的学习铺平道路．在第③步中，数 学史融入有两种方式：显性的融入按照历史事件组织教学， 通过描述不同时期的数学， 显示数学的演化和发展阶段， 把 学生引导到数学知识的现代形式上来； 隐性的融入不必要考 虑历史顺序， 目标始终放在现代形式的数学理解上， 对数学 史材料的考察也只要运用现代的概念和逻辑． （3） 培养数学意识． 数学意识包括内在的和外在的两个 方面． 对于内在的方面， 数学史展示并解析了数学活动的重 要内容，如概念、动机、问题在数学发展中的角色，数学对 象和形式的演变，悖论、矛盾、直觉、猜想、一般化、形式 化对数学的作用等． 对于外在的方面， 数学史能够澄清人们 孤立看待数学的误解，展现数学与哲学、艺术、社会、文化 的关系等． 资源联络模式细分了数学史的 3 类资源， 对于指导教师 使用数学史材料大有好处， 对数学史资源的建设也有指导意 义． 在如何使用 3 类资源上， 该模式不仅关注数学史对于知 心理领域 学生的数学学习 清晰度 历史领域 数学的概念发展 方法领域 课堂活动设计 图3 历史—心理的认识论模型 该模式的认识论基础是历史发生原理和心理发展理 论． 前者揭示了个体发展和知识同化的机制， 后者肯定了生 物学过程和历史文化过程对个体掌握科学概念和科学方法 的特殊作用． 尽管两个理论有所不同， 但是它们都揭示了个 体发展和历史发展的关系， 以及在教学上获得一个清晰的认 识论理解的重要性． 在认识论框架指导下， 教师要做好 3 方面的工作： 一是 研究某一特殊数学知识出现的历史条件（历史领域） ，如当 时的认识困难、社会文化观念、语言特征，数学知识的结构 与体系特点， 数学思维的历史由因等； 二是分析学生思维的 形式（心理领域） ，如预测认知困难，确定学习的文化起点， 探讨学习过程等； 三是把这些条件改造并融入到

课堂活动中 （方法领域） 如分析历史情境与课堂情境的异同， ， 选择适当 的教学策略，采用恰当的元水平指导等． 观点与回应游戏 （voices and echoes games） 是该模式指 导下的一个具体的教学方法， 已被证实普遍适用于中小学和 不同社会文化背景的学生．这种游戏的一般做法是：① 从 数学史中引入关于某个问题的― 观点‖ （voice） ，这个观点 在数学发展史上应有一定认识跨度， 通常与直觉相悖， 引入 的视角和方法应符合历史文化的传统；② 与历史人物展开 虚拟的对话（echoes） ，学生用自己的方式发表意见，随着 互动的展开、 情境的改变， 学生对该问题的认识也在不断地 改变；③ 获得观点认同（resonance） ，学生运用这种观点重 新审察和表征自己的知识经验． 其中在第二步， 教师可以引 导学生开展多种多样的对话， 这些对话实际上就是教师对教 学过程和课堂活动的设计．

24 数 学 教 育 学 报 第 19 卷 认识论模式立足于个体和人类的认识过程分析， 很好地 处理了数学的历史形态和教学形态之间的关系， 使数学史成 为数学教学的真正的有机成分， 对于优化教学过程、 提高学 习质量是具有科学意义的． 2.4 逻辑—历史—认知三面向的融入模式 2005 年，台北成功高中教师、台湾师范大学博士苏意 雯在洪万生教授的指导下， 借鉴自我诠释模式和认识论模式 的研究成果，以课堂教学为中心，在行动研究的基础上，形 成了以逻辑、 历史和认知三面向为主要内容的教学模式， 如 图 4 所示 [6~8] 支持现实的教与学， 如激发动机、 维持兴趣、 表达人文关怀、 克服学习困难、 提供看待数学的不同观点等． 目的策略主张 学习数学史有其自在的目的， 要让学生了解数学发展的一般 规律，了解数学发生发展的时间、空间、环境、文化、动力 等， 这是提高数学素质的重要内容． 目的策略主要关注数学 的元知识，而工具策略则更加关注数学的内部知识． ― 如何‖ 使用是关于方法取向的讨论，分为 3 种：讲述 法、 模块法和历史启发法． 讲述法就是在教学中补充一些历 史信息，如介绍基本史实、引入历史文献，运用数学史知识 设计开场白和结束语等． 模块法就是设计一些与课程密切相 关的数学史专题，规模可大可小，通常以案例的形式呈现， 如 Katz 等人编写的 11 个数学史模块[10]． 而历史启发法是间 ． 选定单元 逻辑的面向 认知心理的面向 历史的面向 接使用数学史的方法， 比如经常提到的发生教学法． 策略和 方法都是为教学目标服务的， 不同的策略可以选取不同的方 法．图 5 显示了两种策略和 3 种方法之间可能的 6 种组合． 学生的数学学习 小组协商讨论 教材的设计 课堂实施 学生反馈资料分析 实作反思及心得写作 数学的概念发展 讲述法 模块法 历史启发法 工具策略 目的策略 图5 ―为何—如何‖组合模型 在具体的教学设计中，教师要深入思考― 为何‖ 与― 如 何‖ 之间的关系，重点是以下两点：① 针对既定的教学内 容和教学条件，弄清楚为什么使用数学史；② 根据策略要 求选择合适的方法． 例如在工具策略下， 为了激发动机和情 感可以选择讲述法，为了发展数学认知，在时间、条件允许 的情况下可以选择模块法， 为了理解数学演化， 可以选择历 史启发法；如果是目的策略，那么最好的选择应是模块法， 因为模块能深化数学的元认识． ― 为何—如何‖ 模式鲜明地提出了数学史融入的价值和 方法这两个基本的问题， 具体分析了融入的策略和方法以及 两者之间的关系，在综合考虑教学目标和学生水平的基础 上，提供了 6 种可能的融入途径，对于搞好教学设计、全面 发挥数学史的教学功能具有非常现实的指导意义． 另外， 该 模式关于工具策略和目的策略的讨论， 对于数学史资源的开 发很有启发，关于― 为何‖ 和― 如何‖ 的论述，也为教学评 价提供了依据，这是 Jankvist 没有意识到的． 图4 逻辑与历史及认知三面向模型 该模式强调， 融入数学史的目的是帮助教师教数学， 在 学习单设计中要考虑数学知识的逻辑、历史和学生认知 3 个方面， 使学习单的内容和形式既能适应学生的认知水平和 课程目标，又能提高学习的兴趣、增强体验、发展能力．逻 辑方面的考虑包括： 课程单元的教学目标， 教科书的编排方 式，教师手册中的相关说明；历史方面的考虑包括：数学家 传记，数学思想的重要发展，著名定理的来源剖析，证明与 解题的思维，历史文本的呈现，科普书籍介绍等；学生认知 方面的考虑包括： 学生认知发展的研究成果， 本单元认知障 碍的案例， 教师教学中关于学生学习的经验等． 设计学习单 的具体过程是：① 体会教科书编者、课程标准与教科书内 容； 体会古代数学家、 ② 数学知识、 数学理论之精神； 自 ③ 我诠释，考虑学生需求编制学习单；④ 进行课堂实践． 三面向模式总结、 借鉴了前人的研究经验， 把数学知识 的逻辑分析、 历史分析和心理分析结合起来， 通过学习单的 设计和实施， 实现数学史的有机融入， 对一线教师具有非常 现实的指导价值． 该模式还把课堂教学和教师专业发展联系 起来，是一个可持续发展的实践模式． 2.5 ―为何—如何‖组合模式 2009 年，丹麦学者 U.T.Jankvist 在研究 HPM 经验后认 为， 在教学中使用数学史有必要分清 为何‖ 使用和 如何‖ ― ― 使用（Whys and Hows）两类问题[9]． 为何‖ 使用是关于价 ― 值取向的讨论， 分为工具策

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