六年级奥数（精品）数论综合

第19讲 数论综合

知识点精讲

一、

特殊数的整除特征

1. 尾数判断法

1) 能被2整除的数的特征： 2) 能被5整除的数的特征： 3) 能被4（或25）整除的数的特征： 4) 能被8（或125）整除的数的特征： 2. 数字求和法： 3. 99的整除特性： 4. 奇偶位求差法： 5. 三位截断法：

特别地：7×11×13=1001，abcabc=abc×1001

二、 多位数整除问题

技巧：1>目的是使多位数“变短”，途径是结合数的整除特征和整除性质

2>对于没有整除特性的数，利用竖式解决。

三、 质数合数

1. 基本定义 【质数】—— 【合数】——

注：自然数包括0、1、质数、合数. 【质因数】—— 【分解质因数】——

用短除法和分拆相乘法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。

分解质因数的标准表示形式：N=a1×a2×a3×……×an，其中a1、a2、a3……an都是合数N的质因数，且a1

【互质数】—— 【偶数】—— 【奇数】—— 2. 质数重要性质 1) 100以内有25个质数：

2) 除了2和5，其余的质数个位数字只能是： 3) 1既不是质数,也不是合数

4) 在质数中只有2是偶数,其他质数都是奇数 5) 最小的质数是2.最小的奇质数是3 6) 有无限多个 3. 质数的判断： 1) 定义法：判断整除性 2) 熟记100以内的质数 3) 平方判断法：

例如：对2011，首先442<2011<452，然后用1至44中的全部质数去除2011，即可叛断出2011为质数. 4. 合数 1) 无限多个 2) 最小的合数是4

3) 每个合数至少有三个约数 5. 互质数

1) 什么样的两个数一定是互质数？

注意：分解质因数是指一个合数写成质因数相乘的形式.因此,要分解的合数应写在等号左边,如：21=3?7,不能写成：3?7=21. 6. 偶数和奇数

1) 2)

偶数；个位数字是1,3,5,7,9的数是奇数

3) 4)

数是他们乘积的一半

5)

奇±奇=偶 偶±偶=偶 偶±奇=奇 除2外所有的正偶数均为合数 相邻偶数的最大公约数为2，最小公倍0属于偶数

十进制中，个位数字是0,2,4,6,8的数是

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奇×奇=奇 偶×奇=偶 偶×偶=偶

四、 约数与倍数

1. 约数与倍数概念： 2. 一个数约数的个数： 3. 平方数与约数个数的关系： 4. 最大公约数与最小公倍数求法： 分解质因数： 辗转相除法：

5. 两数的最大公约数乘以最小公倍数等于这两个数的乘积。 6. 分解质因数的作用。

整除问题

例题1 求无重复数字，能被75整除的五位数3A6B5．

例题2 将自然数1、2、3、4、5、6、7、8、9依次重复写下去组成一个1993位数，试问这个数能否被3

整除？

例题3 一个五位数4x7y5同时是11与25的倍数，求这个五位数．

例题4 （1）一个多位数（两位及两位以上），它的各位数字互不相同，并且含有数字0．如果它能被11

整除，那么这个多位数最小是多少？

（2）一个多位数，它的各位数字之和为13，如果它能被11整除，那么这个多位数最小是多少？

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例题5 在所有各位数字互不相同的五位数中，能被45整除的数最小是多少？

例题6 有5个连续质数的乘积是一个形如“□△□□△□”的六位数，如果其中的“□”和“△”各代表一个数字，

那么这个六位数是 ．

例题7 如果六位数73□37□既是13的倍数，又是125的倍数，那么这个六位数可能是多少？

例题8 一个三位数的各个数字互不相同，且能被11整除，去掉末位数字后所得的两位数能被9整除．这

样的三位数中最大的是多少？最小的是多少？

例题9 将自然数1，2，3，……，依次写下去形成一个多位数“12345678910111213…”．当写到某个数N

时，所形成的多位数恰好第一次被90整除．请问：N是多少？

质数与合数

例题10 请把下面的数分解质因数：

（1）2635 （2）22425

例题11 算式924?175?140?95的计算结果的末位有多少个连续的0？

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例题12 100！末尾有多少个连续的0？

例题13 甲、乙、丙三人打靶，每人打三枪．三人各自中靶的环数之积都是60，且环数是不超过10的自

然数．把三个人按个人总环数由高到低排列，依次是甲、乙、丙．请问：靶子上4环的那一枪是谁打的？

例题14 （1）60乘以一个三位数后，正好得到一个平方数．这个三位数至少是多少？

（2）72乘以一个三位数后，正好得到一个立方数．这样的三位数一共有多少个？

例题15 把从1开始的若干个连续的自然数1，2，3，…，乘到一起．已知这个乘积的末尾13位恰好都是

0．请问：

（1）最后出现的自然数最小应该是多少？

（2）若称除以12为一次操作，设（1）中出现的最小自然数为n，对n！至少进行几次操作，最后的结果才会出现余数？

例题16 把39、45、49、56、60、70、78、84、91这9个数分成3组，使每组中3个数的乘积都相等？

例题17 从1！，2！，3！，…，100！这100个数中去掉一个数，使得剩下的各数乘积是一个完全平方数．请

问：去掉的那个数是什么？

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