第三章 三角函数、解三角形 阶段质量检测
更新时间:2023-05-14 23:28:01 阅读量: 实用文档 文档下载
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第三章 三角函数、解三角形
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题意的)
1.已知sinα=
2m-5m
cosα=-,且α为第二象限角,则m的允许值为 ( ) m+1m+1
55
A.<m<6 B.-6<m< 223C.m=4 D.m=4或m=
22m-52m2
解析:由sin2α+cos2α=1得,()+(-=1,
m+1m+13
∴m=4,又sinα>0,cosα<0,
2把m的值代入检验得,m=4. 答案:C
ππ3.已知0<α<sin2α=sin(α+)的值等于 ( )
425443718
A. B. C. D.552525π724解析:由0<α<sin2α=>0知cos2α=
4252524272
由cos2α=1-2sin2α=sinα=cosα=.
251010π224
∴sin(α+=sinα+cosα=.
4225答案:A
2.函数y=|sinx|-2sinx的值域是 ( ) A.[-3,-1] B.[-1,3] C.[0,3] D.[-3,0]
解析:当0≤sinx≤1时,y=sinx-2sinx=-sinx,此时y∈[-1,0];当-1≤sinx<0时,y=-sinx-2sinx=-3sinx,这时y∈(0,3],求其并集得y∈[-1,3]. 答案:B
3.在△ABC中,角A,B均为锐角,且cosA>sinB,则△ABC的形状是 ( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
ππ
解析:cosA=sin(A)>sinB,A,B都是锐角,
22πππ
则A>B,A+B<C>. 222答案:C
π
4.给定性质:①最小正周期为π;②图象关于直线x=对称.则下列四个函数中,同
3时具有性质①②的是 ( ) xππ
A.y=) B.y=sin(2x+266π
C.y=sin|x| D.y=sin(2x-)
6解析:∵T=答案:D
5.(文)如果等腰三角形的周长是底边长的5倍,那么它的顶角的余弦值为 ( ) 5337A. B. C. D. 18428解析:设等腰三角形的底边为a,顶角为θ,则腰长为2a. 4a2+4a2-a27由余弦定理得cosθ==.
8a8答案:D
6.在△ABC中,角A,B所对的边长为a,b,则“a=b”是“acosA=bcosB”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
解析:a=b A=B acosA=bcosB,条件是充分的;acosA=bcosB sinAcosA=π
sinBcosB sin2A=sin2B 2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=2不必要的. 答案:A
7.已知函数f(x)=asin2x+cos2x(a∈R)图象的一条对称轴方程为x=
π
a的值为 12
( )
13
A. B.3 C. D.2 23π
解析:函数y=sinx的对称轴方程为x=kπ+,k∈Z,f(x)a+1sin(2x+φ),其
2ππ中tanφ=a,故函数f(x) 的对称轴方程为2x+φ=kπ+k∈Z,而x=是其一
212
2πππππ
π,∴ω=2.对于选项D,又2×-,所以x= ω3623
πππ
条对称轴方程,所以2φ=kπ+k∈Z,解得φ=kπ+,k∈Z,故tanφ
1223π13
=tan(kπ+=3,所以a. a33答案:C
1+cos2x+8sin2xπ
8.当0<x<f(x)= ( )
2sin2x
A.2 B.2C.4 D.43
1+cos2x+8sin2x2cos2x+8sin2xcosx4sinx
解析:f(x)=≥2
sin2x2sinxcosxsinxcosx
4,sinxcosx
cosx4sinxπ1
,即tanx=时,取“=”,∵0<x<∴存在x使tanx
sinxcosx221
=f(x)min=4. 2答案:C
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.请把正确答案填在题中的横线上)
9.如图是函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0,-π<φ<π),x∈R的部分图象, 则下列命题中,正确命题的序号为________. π
①函数f(x)的最小正周期为
2②函数f(x)的振幅为23; ③函数f(x)的一条对称轴方程为x=
7π 12
π7π
④函数f(x)的单调递增区间为[,];
12122π
⑤函数的解析式为f(x)=3sin(2x-).
3
5ππ
解析:由图象可知,函数f(x)的最小正周期为()×2=π,故①不正确;函数f(x)
635ππ+
637π
3,故②不正确;函数f(x)的一条对称轴方程为x==故③正确;
212π7π7π
④不全面,函数f(x)的单调递增区间应为[+2kπ+2kπ],k∈Z;3sin(2×
121212
7ππ2π
+φ)=3得2×+φ=2kπ,k∈Z,即φ=2kπ-,k∈Z,
1223∵-π<φ<π,故k取0,从而φ=-故f(x)=3sin(2x-答案:③⑤
三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
ππ
10.(本小题满分12分)已知函数f(x)=2sinxcos(-x)-3sin(π+x)cosx+sin(x)cosx.
22
(1)求函数y=f(x)的最小正周期和最值;
(2)指出y=f(x)图象经过怎样的平移变换后得到的图象关于原点对称. 解:(1)f(x)=2sin2x+3sinxcosx+cos2x =1+sin2x+3sinxcosx
1-cos2xπ33
=1++sin2x=sin(2x-+
2262y=f(x)最小正周期T=π.
3531
y=f(x)的最大值为+11=.
2222π3
(2)∵y+sin(2x-的图象
26
2π
). 3
2π, 3
y=sin2x的图象.
A+C311.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,cos23
(1)求cosB的值;
3
左移个单位,下移个单位
122
(2)若BA·BC=2,b=2,求a和c的值.
A+C解:(1)∵
23BπA+C3
∴sin)=,
2223B1∴cosB=1-2sin2.
23
(2)由BA·c·cosB=2, BC=2可得a·
1
又cosB=,故ac=6,
3
由b2=a2+c2-2accosB可得a2+c2=12, ∴(a-c)2=0,故a=c,∴a=c=6.
ππ
12.(文)(本小题满分14分)已知函数f(x)=sin2x+23sin(x+x--cos2x-3.
44
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间; (2)求函数f(x)在[-
π25
,]上的最大值和最小值,并指出此时相应的x的值. 1236
πππ
解:(1)f(x)=sin2x+23sin(x+x--cos2x-3=23sin2(x+)-cos2x-3
444π2π
=3sin2x-cos2x=2sin(2x-),所以T=π.
62ππ3π
由2kπ+2x-2kπ+(k∈Z)得,
262π5π
kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),
36所以函数f(x)的最小正周期为π, π5π
单调递减区间为[kπ+,kπ+k∈Z).
36
ππ25
(2)由(1)有f(x)=2sin(2x-.因为x∈[-π],
61236ππ11
所以2x-∈[-π].
639
ππ411
因为sin(-=sin<sinπ,所以当xf(x)3;当x
33912π
=时,函数f(x)取得最大值2. 3
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