无网格精细积分算法在二维结构振动问题中的应用研究

无网格精细积分算法在二维结构振动问题中的应用研究

振动与冲击

第２６卷第５期

ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＶＩＢＲＡＴＩＯＮＡＮＤＳＨＯＣＫ

＋十

楚甄

＋十

无网格一精细积分算法在二维结构振动问题中的应用研究

任传波，贺光宗

（山东理工大学交通与车辆工程学院，淄博２５５０４９）

摘要将无网格一精细积分法用于二维结构振动问题的求解，通过瞬时最小势能原理构造与弹性动力学方程等效的能量泛函。由伽辽金无网格法在空间域内进行离散；在时间域上通过与Ｒｏｍｂｅｒｇ积分相结合的精细积分法求解，得到了二维结构的固有频率和振型以及在不同激励作用下的位移、应力和速度响应。

关键词：无网格法，精细积分，最小势能原理，二维结构，振动问题

中图分类号：ＴＵ３１１．３

文献标识码：Ａ

弹性动力学问题可以表示为

ｏｒ虮『＋Ｚ＝ｐｕｉ＋ｃ厶ｉ（在ｎ内）

ｏｒｉｆ忍ｉｉ＝ｔｉＵｉ＝ｕｉ

其近似函数““（石）

（１）（２）（３）

Ｍ（戈）一“６（并）＝∑Ｐ知）哆（戈）＝ｐＴ（戈）ｏ（戈）

Ｊ＝ｌ

（在，。上）（在，。上）

（５）

初始条件：

酩（算，。。）＝酩。（引搿∈力ｈ（２７，ｔｏ）＝凹ｏ（搿）

（４）

其中：ｐ（咒）是ｍ维完备多项式基，常用线性基、二次基，ａ（算）是系数。

在局部范围内构造带权重的范数Ｊ（ｘ）

其中Ｐ，ｃ分别为材料的质量密度和阻尼系数；

ｕｉ。＝矿Ｍ／∥；ｕｉｊ越‘／０ｔ

如上偏微分方程表示的动力学问题的求解在计算力学中占有重要地位，其解析解不容易得到，因此多采用数值解法。其中有限元法Ｈｏｏ应用最多。本文即是将无网格和精细积分结合起来求解此问题的一种数值

算法。

Ｊ（石）＝∑训；（茹一ｘｉ）［Ｐ７（２７；）口（戈ｉ）一Ｍ？］２（６）

其中筇；是石的影响域内的ｎ个节点。对式（６）取极值得

ａ（戈）＝Ａ一１（戈）Ｂ（ｚ）ｕ＋

（７）

其中

Ａ＝∑ｗｉ（２７）ｐ’（石ｉ）ｐ（戈ｉ）

Ｂ＝［Ｗｉ（戈）ｐ（戈ｉ），…Ｗ。（戈）ｐ（搿。）］Ｗｉ（戈）＝ｗ（ｘ一石ｉ）于是式（５）可以写为

Ｗ：（石）为权函数，具有紧支

性，本文选取指数型函数＂１为权函数。

无网格法是近年来发展比较迅速的一种求解边值问题的有效方法，具有近似函数不依赖于网格，且计算精度高，前后处理简单的优点。一些学者也采用无网格法对动力学问题进行了研究［３’４］。本文采用了精度较高的伽辽金无网格法［５１在空间域上进行离散，即采用移动最小二乘法构造形函数；采用罚因子引入本质边界条件。由钟万勰教授提出的精细积分法【６ｊ具有精度高、无条件稳定、自启动等优点。本文结合精细积分的２Ⅳ类算法和Ｒｏｍｂｅｒｇ积分在时间域内求解。算例证明将无网格法和精细结合的算法具有较高的精确度

和灵活性。

配“（菇）＝∑ｎｉ（石）ｕ。＝Ｊ７ｖ（戈）“＋

其中Ｎ（２７）为形函数

Ｎ（ｘ）＝Ｐ１（２７）Ａ一（ｚ）Ｂ（ｘ）

（８）

（９）

形函数的导数为

Ⅳ。（省）＝Ｐ７Ａ。Ｂ＋ＰＴ［／４～ＢＪ＋Ａｊｌ（ｚ）曰］（１０）

Ａｊｌ（戈）＝一Ａ。（ｘ）Ａｆ（２７）Ａ。１（石）

１．２离散过程

（１１）

１空间域上的无网格离散

１．１无网格法原理

由瞬时最小势能原理喁１构造弹性动力学问题的瞬时能量泛函，并且用罚因子引入边界条件的到瞬时势能泛函

在域力中，场变量ｕ（２７）可由移动最小二乘法构造

基金项目：山东省自然科学基金资助项目（２００３ｚｘ０２）

收稿日期：２００６—０３—２７修改稿收到日期：２００６—０９—２ｌ

ｎ肼＝￡｛矿１，Ｄ渊占肼一（ｚ—ｃ二ｉ—ｐｕｉ）Ｍ；｝ｄＯ

第一作者任传波男，博士，教授，１９６４年生

万方数据　

一肛。ｄＦ＋弘（旷ｉ）２ｄ，

（１２）

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１２７

其中Ｄ竹，为弹性常数，ｄ为罚因子（取弹性模量的１０３～

１０５倍）

将式（８）代人式（１２）并且化为矩阵形式得

Ⅱ，。＝Ｌ｛扣’ＤＢⅡ“ｕ４一Ｎ＊ｕ＇Ｔｆ＋ｃⅣＴ，ｖＵ＊Ｔ二＋＋

ｐＮＴＮｕ＂矗４

ｍ—ｔ－ＮＹｕ＊Ｔｄ，＋芋厶。（矶“一ｕ）ｄＦ

其中：Ⅳ＝［Ⅳ。，Ⅳ２…Ⅳ。］

Ｂ＝ｃ日。，日：…口。，；批＝【：ｉ品ｉ】；

耻㈠：：］；Ｄ：南Ｉｉｌ蚰

由ａｌｌ。。＝０，并且注意到瞬时变分吾Ｍ＋＝ｏ；苦Ｈ’＝０

Ｍ五４＋Ｃ矗＋＋Ｋｕ＋＝Ｒ

ｆ１４）

其中：Ｍ＝ＩＮＴｐＮ＆Ｏ，Ｃ＝Ｉ

ｃⅣ。ＮｄＤ，

ｊｎｊｎ

Ｋ＝ｆＢ１Ｄ醐Ｄ＋ｄＩⅣＴＮｄＦ

ｊｎ

３Ｆ．？

Ｒ＝ｆｊ＞ａ＋ｆ，Ｖ；ｄｒ＋仪＼ｒｊ时ｄｆ

Ｍｕ＋＋Ｋｕ＋＝０

（１５）

五＋＝ｔｊｂｓｉｎ（ｗｔ＋０）（１６）（Ｋ一∞２Ｍ）西＝０

（１７）

２时域上的精细积分算法

由哈密顿变换阳１将式（１４）转化为

易＝／／ｖ＋Ｆ

（１８）

其中Ｖ＝（：：），日＝［昙三］，曰＝一Ｍ一１

Ｋ，Ｇ＝一Ｍ一１

ｃ，Ｆ＝【Ｍ０一。Ｒ】为单位矩阵。

取时间步长为ｒ＝ｔ…一ｔ。式（１８）的解为

可川：Ｔｖ≈＋Ｉｅｘｐ［Ｈ（ｔ川一￡）］Ｆ（￡）ｄｔ（１９）

式中Ｔ＝ｅｘｐ（Ｈ 丁），对于该指数矩阵由２Ⅳ类算法［１０１计算得到。

对于式（１９）的第二部分有Ｒｏｍｂｅｒｇ积分

，ｒｔ“一Ｊ，一——三■————上ｌ

，＊ｏ４Ｅ：一一Ｅ：ｉ一４ｊ一１

（歹＝１，…ｍ）（ｍ＝１，２，３，…）

ｍ值越大，其精确度越高。本文的计算中取ｍ＝２，推万　

方数据导其计算步骤为

砭。）－互＂ｒＴＦ（￡ｔ）＋ｉＦ（‰，）］

死¨＝丢死∞＋号丁。，：Ｆ（ｚｔ＋号）

死扪＝吉死¨＋｝毛。Ｔ。，。Ｆ㈠＋扣）＋伊㈠＋｝丁）］

竽≯㈡¨：型≯；

砭∞＝

１６硝’一卵’

１５

其中：Ｔｌ／２＝ｅｘｐ（＋ＨＡｔ）；Ｔｌ／４＝ｅｘｐ（÷ＨＡｔ）

砭叫即近似为式（１９）第二项的值

在实际计算中，为了提高计算效率，利用２～类算法只精细地计算一次指数矩阵正Ｈ，指数矩阵Ｌ，：和ｒ可以利用指数矩阵的性质由矩阵相乘得到。

将得到的口代人到式（８）中即可得到所求位移、应

力和速度响应。

３

算例

３．１自由振动分析

如图１所示的二维悬臂梁，左端固定，长Ｌ＝４８．０，宽Ｄ＝１２．０，材料密度Ｐ＝１．０，弹性模量Ｅ＝３．０×１０７，

泊松比∥＝０．３

图１结构模型

表１

固有频率值及其比较

本文对结构布置节点数为５５和１８９分别进行了计算，得到式（１７）中的质量矩阵和刚度矩阵，由雅克比法计算得到结构的固有频率和振型。另外，进行了相同

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振动与冲击２００７年第２６卷

节点数的有限元模拟，并且对结构进行了精细划分了

１

７０１个有限元节点得到

Ｍｏｄｅｌ

了较为准确的固有频率

值。如表１所示，可见随

［二三三｜

Ｍｏｄｅ２

着节点数的增加，本文的

计算结果更加精确接近于

精细划分网格的有限元解，并且在节点数相同的

情况下本文方法较之于有限元法有较高的计算

精度。

由１８９节点计算的振型所得到的结构的前五阶的振型图如图２所示。

３．２受追振动分析

受迫振动分析采用与

算例４．１相同的模型，在悬臂梁的端部施加三种不同

的激励，即瞬态载荷，突加恒定载荷和简谐振动载荷其表达式为Ｐ＝１０００ ｇ（ｔ），如图３所示。

。烈ｆ）

图３悬臂梁受力情况

３．２．１瞬态载荷

悬臂梁端部施加瞬态载荷

；㈤＝陌’０嚣手１

图４（ａ）无阻尼时Ａ点Ｙ方向的位移响应

４（ｂ）阻尼系数为０．５时Ａ点Ｙ方向的位移响应

万　

方数据在计算过程中在悬臂梁上均匀布置９×５个节点，

取时间步长Ｔ＝５×１０～ｓ，对无阻尼和阻尼系数为ｅ＝

０．５两种情况分别进行了计算，经过４０００步计算，Ａ点

Ｙ方向的位移随时间变化的结果如图４所示：３．２．２突加恒定载荷

为了进一步验证本算法的稳定性以及精确性，本

文对结构施加了突加载荷，即在悬臂梁端部从零时刻加恒定载荷ｇ（￡）＝１．０，ｔ≥０，并且保持载荷值不变。节点布置和时间步长与上例相同，经过６０００步计算得阻尼系数为０．５时４点（戈＝４８．０，Ｙ＝６．０）随时间变化

得ｙ方向位移。如图５ａ所示：

５（ａ）

阻尼系数为０．５时Ａ点的Ｙ方向位移响应

可见由于阻尼的作用，随着时间的增长振动得振幅逐渐减小，最后稳定在“：＝０．００８９１处，结构的静力学的精确解为配２＝０．００８９。结构Ｂ点（石＝０．０，Ｙ＝０．０）的应力响应如图５ｂ所示，当结构振动趋于稳定时曰点的应力值为盯。＝一１９４５．９２１，其解析解为口。。＝

一２

０００，因此证明本文的方法具有较高计算精度

５（ｂ）阻尼系数为０．５时Ｂ点的ｘ方应力响应

３．２．３简谐载荷

在悬臂梁端部施加简谐载荷表达式为：ｇ（ｔ）＝ｓｉｎ（∞￡），阻尼系数为ｃ＝０．５。所采用的节点布置和时间步长与上例相同。分别计算了振动角频率０９＝１６和∞＝２７两种情况，并且计算了∞＝２７Ａ点的ｌ，方向的速

度随时问的响应。

由图６可见在激励和阻尼的联合作用下结构达到振动稳定后，以零为中心做简谐振动，当激振力频率为∞＝１６振幅较小，而当激振力频率为∞＝２７时振动的振幅较大，约为前者的１０倍，原因是当激振频率为

∞＝２７时接近了结构的一阶固有频率（见表１），因此使

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结构产生了共振现象。另外，本文方法还可以直接得

罚函数法满足本质边界条件，编程和有限元法一样简单易行。

到结构的各个时刻的速度值，当振动频率为∞＝２７时结构上Ａ点的的数度响应如图７所示。由可见本文的计算方法具有较高的稳定性。

２）在时间域上采用精细积分法对动态方程进行了求解，具有精度高、无条件稳定、可以采用大步长（计算步长为下＝５

ｘ

１０。结果稳定）、自启动的优点，并且

随着时间的增长积累误差小。

３）本文方法可以求解结构任意点的任意时刻的

位移，另外，任意点的任意时刻的速度可以直接求出。

巧∞侣伸∞∞∞伯１０

５

１０

１５

２０

２５

３０

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４结论

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（上接第１２５页）

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万方数据　

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