高分辨率阵列侧向测井的数学模型及有限元快速正演

第５６卷第９期

２０１３年９月

地球物理学报

ＣＨＩＮＥＳＥ

ＪＯＵＲＮＡＬ

０Ｆ

ＧＥＯＰＨＹＳＩＣＳ

ＶｏＩ．５６。Ｎｏ．９

Ｓｅｐ．，２０１３

潘克家，王文娟，汤井田等．高分辨率阵列侧向测井的数学模型及有限元快速正演．地球物理学报，２０１３，５６（９）：３１９７—３２１１，

ｄｏｉ：１０．６０３８／ｃｊ９２０１３０９３２．

ＰａｎＫＪ，ＷａｎｇＷＪ，ＴａｎｇＪＴ，ｅｔａ１．

Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｍｏｄｅｌａｎｄｆａｓｔｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔｍｏｄｅｌｉｎｇｏｆｈｉｇｈｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ

ａｒｒａｙ

１ａｔｅｒａｌ

ｌｏｇｇｉｎｇ．Ｃ危ｉ咒已５ＰＪ．Ｇ已。户＾了ｓ．（ｉｎＣｈｉｎｅｓｅ），２０１３，５６（９）：３１９７—３２１１，ｄｏｉ：１０．６０３８／ｃｊ９２０１３０９３２．

高分辨率阵列侧向测井的数学模型及

有限元快速正演

潘克家１’２，王文娟¨，汤井田１，谭永基３

１中南大学有色金属成矿预测教育部重点实验室，地球科学与信息物理学院，长沙４１００８３２中南大学数学与统计学院，长沙４１００８３３复旦大学数学科学学院，上海

２００４３３

摘要对包含井眼、侵入带、围岩和目的层的轴对称地层模型，推导了无穷远截断边界上的Ｒｏｂｉｎ边界条件，建立了高分辨率阵列侧向测井的等值面边值问题模型．Ｒｏｂｉｎ边界条件较Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ边界条件更加精确，可大大缩小求解区域而不影响计算精度．考虑到微分方程和边界条件为线性的，利用叠加原理简化了原微分方程边值问题的计算，克服了事先屏蔽电极上电流的不确定性．采用基于地址矩阵的稀疏存贮模式，大大减小了内存需求，且地址矩阵物理意义明确，方便迭代法调用求解有限元方程．引入预条件共轭梯度（ＰＣＧ）法求解有限元计算形成的大型线性方程组，提高了测井响应的计算速度．利用本文方法定量考察了地层厚度、井径、侵入带等因素对阵列侧向测井响应的影响，为后续阵列侧向测井反演的研究奠定了基础，对实际测井工程具有一定的指导意义．

关键词

阵列侧向测井，叠加原理，有限元，共轭梯度，Ｊａｃｏｂｉ预条件

中图分类号Ｐ６３ｌ

ｄｏｉ：１０．６０３８／ｃｊ９２０１３０９３２

收稿日期２０１２．０９一１７，２０１３一０４—２０收修定稿

Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｍｏｄｅｌ

ａｎｄｆａｓｔｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔｍｏｄｅｌｉｎｇ

ｏｆｈｉｇｈｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎａｒｒａｙｌａｔｅｒａｌｌＯｇｇｉｎｇ

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ｔｈｅ１ｉｎｅａｒｉｔｉｅｓｏｆｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓａｎｄｂｏｕｎｄａｒｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ，

基金项目国家自然科学基金项目（４１２０４０８２）、国家科技专项“深部探测技术与实验研究专项”（ｓｉｎｏＰｒｏｂｅ＿０３）、中国博士后科学基金项目（２０１ｌＭ５０１２９５）、中国博士后科学基金特别资助项目（２０１３Ｔ６０７８１）、高等学校博士学科点专项科研基金项目（２０１２０１６２１２００３６）和中南大学数学与交叉科学项目共同资助．

作者简介潘克家，男，１９８１年生，副教授，２００４年毕业于中国石油大学，２００９年获复旦大学理学博士学位，现为中南大学地质资源与地质工

程博士后流动站在站博士后，主要从事地电磁场正反演研究．Ｅ—ｍａｉｌ：ｐａｎｋｅｊｉａ＠ｈｏｔｍａｉｌ．ｃｏｍ

＊通讯作者王文娟，女，１９７０年生，博士，从事科学和工程领域中的反问题研究．Ｅ－ｍａｉｌ：ｗｊｗａｎｇｃｄ＠１２６．ｃｏｍ

地球物理学报（ＣｈｉｎｅｓｅＪ．Ｇｅｏｐｈｙｓ．）

５６卷

一～一～一嘁

１

一～一～一．｛｜～．一一一一～一～一～嘶一

～一一一，

～一一～一～一～一一一．一一～

一～

提出一种电导率连续变化地层的普通电阻率测井二维有限单元数值模拟方法，并采用异常电位法提高电源点附近的精度；文献［７］将ＦＥＭ应用于双频复

引言

油气勘探难度的增大以及精确测井的发展要求，对测井技术不断提出新的要求，传统的双侧向或双感应测井仅能提供两种探测深度的电阻率信息，且易受相对井斜、薄层等因素的影响，难以满足精细油气勘探的新需求．

１９９８年，斯伦贝谢（Ｓｃｈｌｕｍｂｅｒｇｅｒ）公司推出高分辨率阵列侧向测井仪器（Ｈｉｇｈ—Ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ

Ａｒｒａｙ

Ｌａｔｅｒａｌ

电阻率双侧向测井的数值模拟，讨论了复电阻率测井的空间探测特性与频率响应特性；朱军［８１等利用ＦＥＭ对高分辨率双侧向测井响应进行了数值模拟分析；刘振华［９］、仵杰［１叩等人对阵列侧向测井的ＦＥＭ正演及其特性进行了一定的研究；邓少贵［】卜¨１用ＦＥＭ计算了各向异性倾斜地层双侧向测井、水平井双侧向测井以及裂缝性储层裂缝的阵列侧向测井响应．ＮＮＭ法是地球物理电磁场计算中一种半数值、半解析的高效算法，最初用于分析二维非均匀介质中的电磁散射，后经Ｗ．Ｃ．Ｃｈｅｗ和聂在平等人的完善，成功应用于感应测井和电磁波测井响应的数值分析中［２２］．１９９４年，聂在平［２｝２４１等利用ＮＮＭ法和“艿环电极”激励的位场格林函数研究了轴对称条件下非均匀介质的双侧向测井响应特性；之后，张庚骥等［２５。２６１利用ＮＮＭ法研究了轴对称条件下纵向成层、径向不均匀地层模型中交流电测井和普通电阻率测井的数值模拟；袁宁等心７］（１９９８）成功将ＮＮＭ推广到自然电位测井的数值模拟中；谭茂金等［２８１（２００７）采用三维ＮＮＭ法研究了非轴对称条件下普通电阻率测井响应；顿月芹等［ｚ争３１１基于点源模拟柱状电极，提出阵列侧向测井的ＮＮＭ快速计算方案；最近，汪宏年等口２。３胡应用ＮＮＭ建立了水平层状非均质横向同性地层以及层状各向异性倾斜地层中多分量感应测井响应的快速算法．

电法测井正演计算本身为无界区域问题，为方便数值模拟必须将其计算区域有界化，故须在截断

ｔ００１，ＨＲＬＡ）［１Ｉ，该电极系能同时提供６条

不同探测深度的测井响应曲线，具有纵向分辨率高、径向探测信息丰富等优点，为精确反演地层参数提供了丰富的信息．快速、高精度的正演计算是最终反演的基础，因此研究快速正演响应计算方法进而分析测井响应曲线特性与地层参数之间的变化规律非常有必要．

数值模拟仍是电法测井研究、仪器研制及应用的重要手段．对轴对称非均匀分层介质模型，电位为径向和纵向坐标的函数．当径向方向上存在井眼、侵入带等边界，纵向方向上存在围岩等水平边界时，无法得到其解析解［２≈ｊ．迄今为止，解决这类测井响应计算的常用方法主要包括有限元法

（ＦＥＭ）［４‘１４Ｉ、有限差分法（ＦＤＭ）［１５≈妇和数值模式匹

配法（ＮＮＭ）口２。３引．其中，有限元法和数值模式匹配法在电测井数值模拟领域的研究和应用最为成熟．１９８０年，我国数学家李大潜的《有限元素法在电法测井中的应用》，是国内最早的有限元法在电法中应用的专著．之后，张庚骥口３等人进行了更加具体和深入的工作，将ＦＥＭ法推向实用．文献［６］

９期潘克家等：高分辨率阵列侧向测井的数学模型及有限元快速正演

３１９９

边界上施加人工边界条件．目前，电法测井中普遍使用的截断边界条件为设定其上的电势或者电流为零，即电位函数满足简单的第一类或第二类齐次边界条件．此处理方式实现比较简单，但边界近似精度不高．为满足实际应用的精度要求，必须将其计算区域取得足够大（径向至少数百米）．而测井仪电极尺寸相对比较小（半径仅几厘米），因此过大的计算区域必然需要耗费大量的内存和计算时间，给快速正演带来很大的困难．为解决此问题，本文借鉴点源直流电法正演中截断边界条件的处理办法，推导了柱状电极情形下的阵列侧向测井正演中截断边界上的Ｒｏｂｉｎ边界条件，进而建立阵列侧向测井的偏微分方程数学模型，然后给出测井响应的有限元快速计算方案．定量地分析了地层厚度、井径、侵入带等因素对阵列侧向测井响应的影响，为测井作业人员和测井解释人员提供参考和指导．２

单位电流，其它屏蔽电极为回路电极时构成最浅探测深度的响应ＲＬＡｏ；当Ａ。向两侧每次增加一对屏蔽电极为发射电流电极时，可依次得到５种不同探测深度的测井响应ＲＬＡｌ，ＲＬＡ２，ＲＬＡ３，ＲＬＡ４和ＲＬＡ５．具体工作原理如下：

（１）最浅探测ＲＬＡ０

电流从主电极Ａ。流出，返回至屏蔽电极

Ａ，（Ａ；）一Ａ。（Ａ：）．为唯一确定屏蔽电极上的返回

电流值，必须附加等电位条件：ｎ，。Ａ；，一ｎ。。Ａ：，一

ＶＡ５（Ａｊ）一ＶＡ６（Ａ：），ＶＭ３（嵋）２ＶＭ４（暇），ＶＭ５（晖）一

Ｖ帆。幔，，保证返回电极之间无电流，下同．硬件电

路中由两个相邻电极的等电位监控来实现等电位．

由于主电流没有聚焦，返回电极又很近，故主要探测泥浆和井眼的影响．

（２）浅探测ＲＬＡｌ

主电流电极为Ａ。，屏蔽电流电极为Ａ，（Ａ７，），电流回路电极为Ａ。（Ａ：）一Ａ。（Ａ：）．Ａ。和Ａ，（Ａ：）

阵列侧向测井原理及其边值问题

分别供同相位电流，测井时使Ｍ，（Ｍ：）、Ｍ２（Ｍ：）电压相等（Ｍ１，Ｍ；，Ｍ２，Ｍ，相当于取样电极功能），主

电流工。在屏蔽电流Ｊ。屏蔽下，以垂直井壁方向进

２．１阵列侧向测井工作原理

高分辨率阵列侧向测井仪器采用多个聚焦线圈系组合，由１个主电极Ａ。、６对屏蔽电极Ａ，Ａ：（１≤ｉ≤６）和６对监督电极Ｍｉ，Ｍ：（１≤ｉ≤６）组成，电极排列关于主电极对称，图１为阵列侧向测井仪器上半部分示意图，共１３个电极．

每次测量时，主电极Ａ。发射单位电流，监督

入地层．电流返回等电位屏蔽电极Ａ。（Ａ：）一Ａ（Ａ：），

由于距离Ａ。很近，Ｊ。进入地层后不远即散开，探测深度浅．

（３）中浅探测ＲＬＡ２

主电流由Ａ。流出，屏流由Ａ，（Ａ：），Ａ。（Ａ：）流

出，调整屏流大小使得Ｖ帆（呱）一Ｖｗ亿），Ｖ帆（旺）一ＶＭ．。巩，，电流返回到等电位的电极Ａ。（Ａ；）一Ａ（Ａ：）．

由于主电流Ｊ。进入地层较深才发散，故探测深度比上一方式深．

（４）中探测ＲＬＡ３

电极Ｍ，Ｍ：（１≤ｉ≤６）不发射电流．只有Ａ。发射

Ｊ（Ｊ１１１ｒ

Ｈ

Ａ。供主电流，由Ａ。（Ａｊ），Ａ：（Ａ：），Ａ。（Ａ：）供

屏流，并使得ＶＭ。（啊）２ＶＭ：（幔，，ＶＭ３（蚂，一ＶＭ４（暇），

Ｖ眠。晖）一Ｖ眠。幔，，电流返回至等电位电极Ａ。（Ａ：），Ａ。（Ａ：），Ａ。（Ａ７。），探测深度较上一方式又有所

增加．

（５）中深探测ＲＬＡ４

Ａ。供主电流，由Ａｌ（Ａ：）（１≤ｉ≤４）供屏流，使得ＶＭｌ（嵋）一ＶＭ２（幔），ＶＭ３（蚂）一Ｖ％（啊），ＶＭ５（屹）

一‰。ｃ嘿，，¨。ｃｎ；，＝ｎ。ｃＡ：，，电流返回至等电位电

极Ａ。（Ａ：），Ａ。（Ａ：），探测深度较上一方式又增加．

（６）深探测ＲＬＡ５

Ａ。供主电流，由Ａｌ（Ａ：）（１≤ｉ≤５）供屏流，

图１Ｆ嘻１

阵列侧向测井仪器

Ｉ．ａｔｅｒａｌａｒｒａｙｔｏ。】

电流全部返回至Ａ。（Ａ：）电极．工作时使得ＶＭｌ（心，一

ＶＭ２（峰），

‰３（嵋）一ｙＭ４（峨），

ＶＭ５（晖）一ＶＭ６（峨），

地球物理学报（ＣｈｉｎｅｓｅＪ．Ｇｅｏｐｈｙｓ．）５６卷

ＶＡ。（Ａ；）一Ｕ。（Ａ：），Ｋ。（Ａ：）一Ｕ；（Ａ；），探测深度最深．

２．２阵列侧向测井的数学模型

地层介质通常具有旋转对称性，阵列侧向测井仪器也具有轴对称，对称轴通过电极中心线；且有时介质和电极系还具有对ｚ一０平面的反射对称性．以对称轴为ｚ轴，电极中心为坐标原点，建立如图２所示柱坐标系．对包含井眼、侵人带、围岩和

取值，行为边界外法线，ｐ为边界点到发射电流电极中心的距离，‰为电极系半径．边界条件（２）表示绝缘边界及对称边界上电流为零；截断边界条件（３）为Ｒｏｂｉｎ边界条件，具体推导详见附录；等值面边界条件（４）表示第ｉ个电极为等势体口４｜，且发射电流为Ｊｉ；条件（５）表示不同地层交界面上电位及电流均连续．ｎ表示主电极Ａ。表面，ｎ，ｒ６＋ｉ（１≤ｉ≤６）分别对应屏蔽电极Ａ与监督电极Ｍｉ的表面，故Ｊｉ＝ｏ（７≤ｉ≤１２）．电阻率Ｒ为分块常数，即

ｆＲ。

。

ｉｎ

ｎ。尘力１，ｎ。垒ｎ２，Ｄｘ０尘力３，ｎ。垒ｏ。．

Ｒ。ｉｎＲｘｏ

ｉｎ

ｉｎ

…

ＩＲ。

由阵列侧向测井工作原理可知，每种测深都有多个电极发射电流．因此边界条件（３）中．Ｄ边界点到发射电流电极中心的距离，指代不明．但是，真正进行有限元计算时，并非直接求解边值问题

（１）一（５）（事实上也无法直接求解，因为事先并不

图２

轴对称地层模型不崽ｌ羽

知道各个屏蔽电极上的电流发射值），而是利用线性叠加原理，将原问题的解表示成若干个基本解的线性组合（组合系数即未知的电流发射值，可通过各种测深下的电位相等、总发射电流为零等条件确定），而每个基本解有且仅有一个电极发射单位电流，此时ｐ的定义就有意义，详见２．３节边值问题的简化．

已有电法测井数学模型在无穷远截断边界上给

ｎ。，ｎｎ，ｎ。，ｎ。分别为井眼、侵入带、原始地层和围岩；ｒｈ，ｒ。分别为井眼半径和侵入带半径，Ｈ为原始地层厚度；ｚ。，ｒ。。为适

当大的有界化常数．

Ｆｉｇ．２

Ｓｃｈｅｍａｔｉｃｄｉａｇｒａｍｏｆａｘｉｓｙｍｍｅｔ“ｃｆｏｒｍａｔｉｏｎ

原始地层的轴对称模型，在柱坐标系（ｒ，ｚ）中，电位函数“（ｒ，ｚ）满足如下偏微分方程边值问题ｍ１８。１９｜：

ｉｎ力ｍ≤ｉ≤４），兰ｆ吾豢）＋兰ｆ吾娶１＿ｏａｒ＼Ｒａ，．／｜越＼Ｒ＆／…１“”１飞‘飞”’

（１）

定第一类齐次边界条件“ｈ—ｏ，而实际上电位应

为ｏ（１／ｒ），这就要求计算区域取得足够大（至少数百米）才能满足实际应用的精度要求．另一方面，测井电极尺寸非常小，如图１所示ＨＲＬＡ仪器中

＝一十。乱２

ｄ咒

Ｄ

娑＝ｏ

ｏｎ

ｒｓ，

（２）

婴＋型生型乱：ｏ

ｆｚ￡一Ｃｉ

ＵｏｎＯｎ

Ｌ，

』ｏ’

（３）Ｌ５Ｊ

监督电极高度仅３０ｍｍ，电极系半径仅４５ｍｍ，这就要求电极附近的网格剖分非常密．采用整体的均匀密网剖分会导致计算规模过大计算机无法承受．因此，必须采用由疏到密的非均匀网格，但网格的极度不均匀性，不论对ＦＥＭ法还是ＦＤＭ法，都将导致最终形成的线性方程组系数矩阵条件数非常大，给正演带来极大的困难．而Ｒｏｂｉｎ边界条件（３）较齐次Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ边界条件精确，可在保证精度的前提下大大减小问题的计算区域，提高正演的计算速度和精度，详见第５节数值算例．２．３边值问题的简化

为了得到各种测深情形下屏蔽电极上的电流发射值，记ｑ（０≤ｊ≤６）分别为电极Ａ，发射单位电流，其它电极均不发射电流时，边值问题（１）一（５）

仉警．秘屯∞蹦０≤≤１２ｈ＠’

ｒ“＋２“一

１（去警）＋一（去嘉）～一’

∞’

其中，绝缘边界ｎ包括对称轴ｒ—ｏ、对称面ｚ＝ｏ

以及电极系表面上的绝缘环；几表示无穷远边界

（包括径向外边界ｒ—ｒ。。和水平外边界２一ｚ。）；Ｅ表示第ｉ个电极表面，Ｃｉ为待定常数，Ｉ，为第ｉ个电极发射的电流（计算区域内仅包含半个主电极，故ｊ。为主电极Ａ。发射电流的一半）；ｙ为不同地层的交界面，“＋”和“一”分别表示函数在交界面两侧的

９期潘克家等：高分辨率阵列侧向测井的数学模型及有限元快速正演

的解．记Ｆ舢（１≤ｊ，忌≤６）为第足次测量时，屏蔽

电极Ａ，所发射的电流值．而甜“’（１≤尼≤６）表示第志次测量的电位函数，则由线性叠加原理可知

测量屏蔽电极和监督电极上电位相等及返回电极上电位相等的条件．

考虑最浅测深ＲＬＡ０，主电极发射单位电流，返回等电位电极Ａ。，Ａ。，Ａ；，Ａ。，且保持Ｍ３与Ｍ。等

“㈣＝“。＋∑∥’“，，

（７）

电位，Ｍ。与Ｍ。等电位．由此可得掣’满足的６元线性方程组

其中，Ｉ勘为待定电流值，要求满足如前所述各次

∑∥＝一ｏ．５，

Ｊ＝１

６

６

甜。（Ｍ３）＋∑驴’“，（Ｍ。）＝“。（Ｍ。）＋∑∥’甜，（Ｍ４），

Ｊ＝１

６

Ｊ＝ｌ６

“。（Ｍ５）＋∑∥“，（Ｍ５）＝‰（Ｍ６）＋∑驴’“，（Ｍ６），

’２１

’＿１

（８）

“。（Ａ。）＋∑Ｅ‘’“，（Ａ。）＝甜。（Ａ。）＋∑Ｅ‘’“，（Ａ。），

Ｊ＝ｌ

６

，＝ｌ６

“。（Ａ。）＋∑Ｅ６’“，（Ａ。）一“。（Ａ。）＋∑Ｅ６’“，（Ａ。），

Ｊ＝１

６

Ｊ＝１

６

“。（Ａ。）＋∑Ｅ‘’甜，（Ａ。）一‰（Ａ。）＋∑Ｅ６’“，（Ａｓ）．

解此方程组即可得屏蔽电极上的发射电流值Ｆ’（１≤ｊ≤６）．方程组中第一个方程中ｏ．５表示半空间对称

情形下，只含有半个发射单位电流的主电极．

类似地，对第是次测量，利用其满足的平衡条件可得到关于Ｐ’（２≤是≤６）满足的６元线性方程组，解

方程组即可得第忌次测量时屏蔽电极上的电流发射值．

采用此种叠加原理的处理方法，不仅避开了事先屏蔽电极上电流不确定的困难，同时对６次不同的测量，只须计算一次电流发射情况相对比较简单的基本解％（歹一ｏ，１，…，６），大大简化了计算．并且，基本解满足的边值问题，由于只有一个电极发射电流非零，其Ｒｏｂｉｎ边界条件（３）的推导更加简单，且ＪＤ的意义更加明确．

３

阵列侧向测井有限元正演

变分原理

３．１

构造下列泛函：

地）一∑｜．ｆｎ专佑（Ｖ∥批

其中电导率口一１／Ｒ．由奥一高公式知其变分为

（９）

甜ｃ乱，＝妻几，佑Ｖ“ 融幽＝妻手舶。愆》“ｄｓ一宴几，Ｖ ｃ搬Ｖ“，龇兆

根据方程（１）知（１０）式右端第二项面积分为零．由边界条件（２）、（３）及（５），有

ｃ，。，

塞虫，坩》扣ｊ’‰佑》¨，。彬》¨乩坩》蚪肌阿》“）＋一（佑》“）一］出

一』ｋ掰等宁龇¨瓢哪》础一可ｋ丢佑等宇“２¨封一啪》础，

Ｊ

ｋ厶ｌＤ＝五Ｊ—

ｄ佗

Ⅲ，

Ｆｈ犰界条件（４）知■卜乱为常数，龇亦为常数，故

３２０２

地球物理学报（ＣｈｉｎｅｓｅＪ．Ｇｅｏｐｈｙｓ．）

５６卷

姜』ｒＩｒ。ｄ》“ｄｓ一姜，＿ｒ。盯嚣似龇，‘一妾轰ｃ龇，－一艿窭轰ｃ“ｋ

因此，

（１２）

虻地，＋Ｊ－气丢珂等乎枷ｓ一塞轰㈦‘］＿ｏ．

即边值问题（１）一（５）与下列变分问题等价：

（１３）

ｆＦｃ“，一喜几。丢彬ｃＶ∥ｄ铷＋』ｋ丢留堕等堕“２ｄｓ一砉去ｃ“，－，

ｌ“一Ｃ，

ｏｎ

（１４）

Ｐ（ｉ一０，１，…，１２），

１６Ｆ（“）一ｏ，

其中，第ｉ个电极上的电位Ｃｉ为常数．

实际上在计算基本解“』（ｏ≤Ｊ≤６）时，仅屏蔽电极Ａ，发射单位电流，故

卜｛：詈

１Ｍ—ｃ。ｏｎｎ（汪０，１，…，１２），

ｌ掰（甜）一Ｏ，

其中，ｐ』为无穷远边界上的点到屏蔽电极Ａ，中心（ｏ，ｚ，）的距离，即ｎ一￣／ｒ２＋（２一蜀）２．

３．２有限元分析

（１）单元分析

将区域ｎ剖分成矩形单元，在单元ｅ内进行双线性插值．单元节点编号及子单元、母单元的坐标系如图３所示．其中（ｒｏ，ｚ。）为子单元的中心坐标，口，６为子单元的两个边长．ｒ，ｚ为子单元所用坐标系，毒，＇７为母单元所用坐标系，二者有如下对应关系：

∈：，琅为点ｉ（ｉ一１，…，４）的坐标．

其中“ｉ为单元四个节点的待定“值，形函数

（１５）

ｐ一窑几，丢椰∥¨Ｊ’ｋ丢珩掣“２扣去㈤。，

Ｎ。一÷（１＋８亭）（１＋＇７。＇７），

（１６’

（１９）

将（１６）式中的积分，分解成各单元ｅ上的积分．首先考虑面积分，

皿丢柙∥ｄｓ一丢【，Ｋ％

Ｋ。。一（忌。）删为４阶对称矩阵，

（２０）

其中玑一（“。，“：，“。，甜。）Ｔ为单元Ｐ的“值列向量，

产一２‘ｒ一‰’／玑

【叩一２（２—２０）／６．

（１７）

单元Ｐ中函数“的双线性插值函数为

忌。一皿盯（ｒ。＋号ｅ）［（警掌） （警掌）

“一∑Ｍ％

（１８）

＋（等塞） （喾塞）］和“２，，

若单元内电导率盯为常数盯。，则将（１７）、（１９）两式代入（２１）式可得具体计算公式如下：

足１ｌ一２（ａ＋卢）ｒｏ—ｙ，愚２ｌ一（口一２卢）ｒｏ＋），，忌３ 一一（ａ＋卢）ｒｏ，

忌ａ１一（卢一２ａ）‰，

（２２）

是３３—２（ａ＋卢）ｒｏ＋ｙ，志４３一（口一２卢）ｒ０一ｙ，

忌２２＝愚１１，愚４４＝志３３，

忌３２＝志４１，足４２＝是３１，

其中，

ａ一詈詈，卢一詈詈，ｙ２是警．

罔３

Ｆｉｇ．３

（２３）

译元编号

考虑（１６）式中的线积分．若单元８的边界豇落

在右边界ｒ—ｒ。。上，则线积分为

Ｅｌｅｍｅｎｔｎｕｍｂｅｎｎｇ

９期

潘克家等：高分辨率阵列侧向测井的数学模型及有限元快速正演

Ｊ

ｆ－丢佑型“ｚｄ。一

３４

丢～。掣卜ｄｓ一扣ＴＫ：肌，（２４）

厶

｜Ｄ，

￡

口，

Ｊ３４厶

一告以志㈠；；

其中

厂０

Ｏ

０

Ｏ

ＬＯ０１２

若单元Ｐ的边界１４落在上边界ｚ—ｚ。。上，则线积分为

，可丢坩！竺兰！ｊｉ型“２ｄｓ

０、＾

厶

Ｏ。

ｄｓ一丢口。竺竺兰ｊ参Ｌ盟』可ｎ“２

厶

ｐ。

Ｊ、４

一丢ｕｊＫ。。ｕ。，

（２６）

其中

Ｋ３。一参存裔

３ｒｌ＋ｒ４

Ｏ０ｎ＋“

Ｏ

Ｏ

Ｏ

Ｏ

×

Ｏ

０００

，．１十ｒ４０

Ｏｒ１＋３ｒ４

下面考虑（１６）式中的第三项，可将其写成

１

ｒ１

一麦‘“）。一一ｊ，．西蠢‘（∞。出，

（２８’

式中矗，为屏蔽电极Ａ，的长度．只有当单元Ｐ的边１２落在ｎ（１≤ｊ≤ｍ）上时，相应的积分（２８）才出

现，则线积分

一Ｊ百焘‘“）‘出一一ｕ卫，

ｒ１

（２９）

其中单元荷载向量

“Ｐ一鱼上

（３０）

ｄ。４７ｃ

（２）总刚合成

设区域ｎ剖分为咒个节点，将Ｋ∽Ｋ２。和Ｋ。。相加可得４阶单元刚度矩阵Ｋ，并扩展成行阶方阵，然后叠加得

Ｆ（【，）一∑Ｆ。（ｕ）一—｝【，ＴＫｕ—ｕＴＰ，

（３１）

ｅ

一

其中，Ｋ＝∑Ｋ，，向量Ｐ一∑Ｐ。．由式（３０）知荷

载向量Ｐ所有元素之和正好为去．

厶７【

令式（３１）变分为零，得到线性方程组

ＫＵ＝Ｐ．

（３２）

（３）边界条件处理

外边界条件（２）、（３）和内部界面边界条件（５）均为自然边界条件，可自动得到满足，故只须处理等值面边界条件（４）．

对等值面边界条件“ｌ，一Ｃ：（ｉ—ｏ，１，…，１２）可作如下处理：固定ｎ上的某一个节点，设其为ｒ，对ｎ上任意一个其它节点ｐ，将系数矩阵Ｋ的第ｐ行加到ｒ行，第ｐ列加到ｒ列，再将其第户行和ｐ

列分别赋值为只有第夕个分量为ｌ、其余分量为零

的单位向量，即

ｆ愚，：一是ｗ＋是加，忌ｒ：一愚ｒ＋志驴（口一１，２，…，咒），

ｌ足舶：一１，志加：一０，足驴：一０（ｑ≠户）．

（３３）

最后，将右端向量Ｐ的第夕个分量加到第ｒ个分量，再令第痧个分量为零，即

６，：一６，＋６。，６。：一０．

（３４）

经过等值面边界条件处理后，得到新的线性方

程组

Ｋ。。【，。一Ｐ。，

（３５）

其中霞和ｐ分别为处理后的刚度矩阵和荷载向量，Ｋ保持了矩阵原有的对称正定性．方程（３５）即为变分问题（１６）的有限元离散格式，本文采用预条件共

轭梯度（ＰＣＧ）算法快速求解，得到节点上的电位值．

４

基于ＰＣＧ的大型稀疏线性方程组求解

通常，式（３５）中的系数矩阵是具有高度稀疏性的大型病态对称正定矩阵．若采用一维变带宽存贮方式，其中仍包含大量零元素，既浪费了内存也影响了求解速度．若对其直接采用共轭梯度法求解，则收敛速度非常慢，甚至根本不收敛．针对这两个关键问题，本文采用基于地址矩阵的稀疏矩阵压缩

存贮模式［３５。３引，并利用预条件共轭梯度法求解大型线性方程组，起到了降低内存占用量和提高计算速度的作用．

４．１

基于地址矩阵的压缩存贮模式

总体刚度矩阵Ｋ是具有高度稀疏性的对称正

定矩阵，故对其可采取压缩存储，即只记录和存贮矩阵非零元素节省内存．基于地址矩阵的压缩存贮方式采用两个矩阵，一个整型矩阵Ｇ记录非零元素的地址，另一个实型矩阵Ｍ记录相应非零元素的数值．例如，挖阶方阵Ａ，若它每行最多有优个非零

元素，则采用犯×ｍ阶矩阵Ｇ记非零元素的地址，

地球物理学报（ＣｈｉｎｅｓｅＪ．Ｇｅｏｐｈｙｓ．）

５６卷

用咒×ｍ阶矩阵Ｍ记非零元素的数值．则计算矩阵向量乘法Ａｘ的第ｉ个分量简化为计算ｍ个乘法

∑丑。ｚ，一∑‰。ｚ鲥㈤，净１，２，…，弼．

（３６）

Ｊ一１

＾一ｌ

基于地址矩阵压缩存贮模式，压缩效率高；地址矩阵物理意义非常明确，便于迭代法解方程组时调用，同时零元不参与运算，提高了计算效率．４．２预条件共轭梯度法

考虑求解线性方程组

缸一６．

（３７）

假设有非奇异矩阵Ｌ，使得五一Ｌ＿１ＡＬ＿Ｔ的条件数较原矩阵Ａ得到改善，则式（３７）可改为同解的线性方程组

Ｌ－１ＡＬ一１曼＝Ｌ＿１移，曼一ＬＴｘ．

（３８）

此时，Ｍ＝ＬＬ’为预条件子，当五条件数较小，且

Ｍ矩阵便于求逆时即可达到加速收敛的目的．对同

解线性方程组（３８）利用共轭梯度法求解，即可得到预条件共轭梯度法（ＰＣＧ）．

算法：

（１）初始化：ｒ０—６一Ａｘｏ，ｚｏ—Ｍ－１，ｏ，ｐｏ—ｚ

ｏ，

（２）对ｊ＝ｏ，１，２，…计算

∞。一（‘，ｚ，）／（Ａｐ，，ｐ，），

ｘ汁ｌ：２ｘｌ＋ｄ｝ｐ

Ｊ，

，，＋１：＝■——ａ，Ａｐｊ，

ｚ，＋１：＝掣＿１ｒ，＋ｌ，

岛：一（０＋ｌ，ｚ什１）／（，Ｊ，ｚＪ），ｐ』＋１：＝ｚＪ＋１＋岛ｐＪ．４．３预条件子的选取

ＰＣＧ算法收敛速度的快慢与预条件子Ｍ的选取密切相关．在上述ＰＣＧ算法中，方程ｚｍ：一Ｍ＇１ｒ州的计算比较关键，本文选取最简单的预条件子，即取Ａ矩阵的对角元素组成的对角阵为Ｍ矩阵，称为Ｊａｃｏｂｉ预条件子．与其它预条件子相比，具有如下优点：①Ｍ中对角元素可直接从压缩刚度矩阵中索引，不必另行定义数组存贮，节省内存占有量；②由于Ｍ为对角矩阵，方程ｚｍ：一Ｍ＿１ｒ州无须利用Ｇａｕｓｓ消去法求解，省去了其它预条件法所必须的顺代和回代过程，大大简化了预条件子Ｍ的求逆运算．

对于阵列侧向测井响应数值模拟问题，由于各子区域电导率差异较大（往往跨几个数量级），且有限元网格剖分的严重非均匀性，导致有限元方程（３５）中的刚度矩阵对角元素差异比较大，病态程度非常严重．若直接采用共轭梯度法（ＣＧ）、超松弛迭

代法（ＳＯＲ）等方法求解，收敛速度非常缓慢；而采用Ｊａｃｏｂｉ预条件子的ＰＣＧ算法，相比ＣＧ法加速

十分明显，这点可从第５节数值例子得到验证．

常用的另外两种预条件方法：对称超松弛共轭梯度（ＳＳＯＲＣＧ）法［３７］和不完全Ｃｈｏｌｅｓｋｙ共轭梯度（ＩＣＣＧ）法口８。３９｜．从迭代次数考虑，Ｊａｃｏｂｉ预条件子的效果最差，其主要作用是提高迭代过程的稳定性；从内存需求考虑，雅可比共轭梯度（ＪＣＧ）和ＳＳＯＲＣＧ无需额外内存开销，而ＩＣＣＧ法需单独存

贮预条件子；从预条件子的实现角度来说，Ｊａｃｏｂｉ预条件法最为简洁，ＳＳＯＲＣＧ次之，主要难度在于松弛因子∞的选取，ＩＣＣＧ方法最为繁琐．对于求解高分辨率阵列侧向测井响应，Ｊａｃｏｂｉ预条件法已

具有比较理想的加速效果，因此，本文仍采用Ｊａｃｏｂｉ预条件技术．

５数值模拟结果

采用擅长数值计算的Ｆｏｒｔｒａｎ语言编制了阵列

侧向测井有限元正演程序．本文的数值测试平台为

ＣＰＵｉ５７６０２．８Ｇ，ＲＡＭ２

Ｇ；测试系统为Ｉｎｔｅｌ

（Ｒ）ＦｏｒｔｒａｎＣｏｍｐｉｌｅｒ１１．０，ＷｉｎｄｏｗＸＰ．５．１正演程序验证

为了验证正演程序的正确性，构造如下典型地层模型：井径ｒｈ—ｏ．１０１６ｍ，侵入带半径ｒｉ—ｏ．４０１６

ｍ；

井眼泥浆电阻率．Ｒ。一１Ｑｍ，围岩电阻率Ｒ。一

１０

ｎｍ，侵入带电阻率Ｒ。一５０Ｑｍ，原始地层电阻

率Ｒ。一５００Ｑｍ；储层厚度Ｈ一２ｍ．计算区域为矩

形域［ｏ，ｒ。。］×［ｏ，ｚ。。］除去电极系所占区域［ｏ，

ｏ．０４５］×［ｏ，６．６２９］，采用如下网格剖分方法：１）原点附近ｒ，ｚ方向均采用比较密的均匀剖分（根据电极系尺寸作适当调整）；２）远离坐标原点采取对数均匀剖分．这种剖分方式既能保证电极系附近的计算精度，又能有效地节省计算时间和内存，提高正演的计算速度．

取有界化常数ｒ。。一ｚ。。一４０ｍ，ＪＣＧ迭代残差控制精度１０～，对１３８×１７８的非均匀矩形网格，单元数为２４５６４，节点数为２４８８１，正演程序计算一次共耗时３．５６ｓ．５次测量得到的测量仪器上的电位值有限元计算结果如图４所示，相应的屏蔽电极上的发射电流值与油田实际数据非常吻合，平均相对误差控制在２．３９％以内，验证了本文方法及正演程序的正确性．５．２无穷边界条件对比

为比较无穷远边界条件对计算结果的影响，忽

９期潘克家等：高分辨率阵列侧向测井的数学模型及有限元快速正演

——ＲＬＡｌ

离变量法可求得井轴上电位口］：

“（０，ｚ）一

…ＲＬＡ２

一一ＲＬＡ３‘

…… ＲＬＡ４．

……ＲＬＡ５

●

．，

ｆ．一一一一一‘ 。７ｉ，，‘

ｉｒ佃

ｆ等（｛＋ｆＡ１（州ｅ咄”）出），ｚ≤Ｈ／２，

Ａ：（Ａ）ｅ咄以，

ｚ＞Ｈ／２，

（４０）

’｝

’；

其中，系数

ｔ：工

卜—— ］。

：

｛．

Ａ。（Ａ）＝品，Ａ。（Ａ）一品，

。

Ｒ。一Ｒ。

图４

Ｆｉｇ．４

电极系表面上的电位值

ｏｎ

１一瓦干瓦’

针对两个阶跃介质模型，建立４个有限元模型，模型的外边界到原点距离依次增大一倍，分别取为２５

ｍ，５０ｍ，１００ｍ，２００

Ｔｈｅｅｌｅｃｔｒｉｃｐｏｔｅｎｔｉａｌ

ｔｈｅｓｕｒｆａｃｅｏｆｅｌｅｃｔｒｏｄｅｓ

略电极大小，考虑位于原点的主电极发射单位电流，分别对具有解析解的纵向阶跃介质、径向阶跃介质地层模型进行了模拟与分析．

（１）两层径向阶跃介质地层模型（忽略围岩、侵入带影响）

模型参数：井径ｒｈ—ｏ．１０１６ｍ，泥浆电阻率Ｒ。一

ｏ．１

ｍ．为了便于比较，

网格剖分依次取为２５０×２５０，５００×５００，１０００×１０００，２０００×２０００均匀剖分，此时相同区域的网格剖分完全相同．这样，仅仅是无穷远边界的选取以及边界条件的选择影响计算结果．图５、图６分别给出径向分层、纵向分层介质模型在两种边界条件（Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ、Ｒｏｂｉｎ）下的井轴上的电位相对误差图．

从图５ａ可以看出，由于点电源奇性的影响，最接近电源的第一个网格点的相对误差比较大，约为一２％，随着边界距离的增大基本保持不变；而远离原点的相对误差随着边界距离的增大逐渐减小．当边界距离由２５ｍ增大到２００ｍ时，相对误差的最大值（ｚ一８ｍ）由２６％逐渐降为４％．并且发现，相对误差的最大值并非出现在点电源附近网格点，而出现在无穷远边界处，且当ｚ＞２ｍ时，相对误差随着到点电源距离的增大而迅速增大．这说明有限元解的误差主要是由于无穷远边界条件的误差引起的．

Ｑｍ，原始地层电阻率Ｒ。一１０Ｑｍ，此时利用分

离变量法可求得井轴上的电位［２］：

“（０，ｚ）一

鲁（÷＋飘。。揣搿揣ｃｏｓｃ腔，出），

４７ｒ＼ｚ‘７ｃＪ

ｏ

１＋ＰＡ“ｌ＜ｏ（妒ｈ）１１（Ｊ＝Ｉｒｈ）………／’

（３９）

其中Ｐ一学，Ｋ。，Ｋ。分别为零阶、一阶第二类

修正Ｂｅｓｓｅｌ函数，Ｉ。为零阶第一类修正Ｂｅｓｓｅｌ函数．

（２）两层纵向阶跃介质地层模型（忽略井眼、侵入带影响）

模型参数：原始地层厚度Ｈ一１ｍ，围岩电阻率

Ｒ。一２０

Ｑｍ，原始地层电阻率Ｒ。一１Ｑｍ，此时由分

二／ｎ１二／ｎ１

图ｊ

Ｆｉｇ．５

径向分层介质两种边界条件下井轴上电位相对误差图

Ｒｅｌａｔｉｖｅ

ｅｒｒｏｒｓ

ｏｆｐ。ｔｅｎｔｉａｌ（）ｎｔｈｅｗｅｌｌ—ａｘｉｓｆｏｒｒａｄｉａｌｌｙ１ａｙｅｒｅｄｍｅｄｉｕｍｗｉｔｈｔｗｏｋｉｎｄｓｏｆｂｏｕｎｄａｒｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ

地球物理学报（ＣｈｉｎｅｓｅＪ．（；ｅｏｐｈｙｓ．）

图６纵向分层介质两种边界条件下井轴上电位相对误差图

Ｆｉｇ．６

Ｒｅｌａｔｉｖｅ

ｅｒｒｏｒｓ

ｏｆｐｏｔｅｎｔｉａｌ

ｏｎ

ｔｈｅｗｅＵ—ａｘｉｓｆｏｒｖｅｒｔｉｃａｌｌｙｌａｙｅｒｅｄｍｅｄｉｕｍｗｉｔｈｔｗｏｋｉｎｄｓｏｆｂｏｕｎｄａｒｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ

而Ｒｏｂｉｎ边界条件（３）是相对比较精确的．从图５ｂ可以看出，边界距离从２５ｍ增大到２００

ｍ

Ｔａｂｌｅｌ

表ｌｓｏＲ、ＣＧ和ＰＣＧ计算时间及其迭代次数

ＣｏｍｐｕｔｉｎｇｔｉｍｅａｎｄｉｔｅｒａｔｉｏｎｓｏｆＳＯＲ。ＣＧａｎｄＰＣＧ

时，其计算结果的相对误差基本保持不变，也就是说无穷远边界距离的选择对有限元解误差的影响不大．此时，相对误差的最大值出现在具有奇性的原点附近，约为１％；远离电源点，随着到电源点的距离增大相对误差迅速减小，到ｚ一８ｍ时相对误差仅为一ｏ．６％．通过对比发现，Ｒｏｂｉｎ边界条件下

ｒ。。一２５

ｍ时的最大相对误差约为一１％，也比

和ＰＣＧ算法中单次迭代的时间要比ＳＯＲ法少得多．由此可见，Ｊａｃｏｂｉ预条件虽然十分简单，但对阵列侧向测井（尤其各个子区域电导率差异较大时）模拟时求解离散得到的有限元方程却非常有效，较直接ＣＧ法求解加速十几倍．

图７给出了ＳＯＲ、ＣＧ和ＰＣＧ三种方法的收敛速度．从图中可看出：共轭梯度法收敛非常缓慢，迭代了１０００次残差基本保持不变，尽管最终能收敛到问题的精确解，但在整个迭代过程中误差震荡

】Ｏｏ

Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ边界条件下ｒ。。一２００ｍ时的最大相对误差一４％小得多．

对纵向分层介质地层模型，从图６可以看出，亦得到与径向分层介质地层模型时类似的结论．因此，采用Ｒｏｂｉｎ边界条件，可以把无穷远边界放得很近（如２５ｍ，甚至更小），从而大大缩小模型的计算区域，节省计算机内存和计算时间，提高正演计算速度，为进一步快速反演的研究奠定基础．

５．３

ＰＣＧ收敛性分析

为了验证本文采用预条件共轭梯度法的计算效

率，分别用超松弛迭代法（ｓＯＲ）、ｃＧ和ＰｃＧ三种不同的迭代算法求解阵列侧向测井离散得到的有限元方程．

以计算基本解“。为例，三种方法（ＳＯＲ，ＣＧ，ＰＣＧ）均取相同的误差容限１０～，求解有限元方程的计算时问和迭代次数详见表１．从表中可看出，

ｌＯ。４１０。２

？ｉ迁：ｉｉ‘￥‘ ’‘‘ｌ －▲ ▲ ’．一 一－

、 ●．：．。。’。。‘。’。

Ｉ

、－．

Ｖ一一

’

，

．

】Ｏ一６

ｔ

、Ｉ

—． 一ＳＯＲｆ（『Ｊ＝１．９）

’．

不论从迭代次数还是计算时间来考虑，ＰＣＧ算法较其它两种算法均具有绝对优势．基于Ｊａｃｏｂｉ预条件的ＰＣＧ算法耗时仅ｏ．３４ｓ，不到ＣＧ计算时间的１／１３，较ＳＯＲ法加速３６．５倍．值得指出的是，虽然总的迭代次数ＳＯＲ（∞一１．９）法比ＣＧ法略少，但其计算时间却将近ＣＧ法的３倍，这是因为ＣＧ

ｌＯ’８

？…一＋一ＣＧ

－－＿．．ＰＣＧ

’，

‘

１０‘ｍ

０

２００

４００

６００

８００

１０００

Ｎｕｍｂｅｒｏｆｉｔｅｒａｔｉｏｎｓ

图７

Ｆｉｇ．７

ＳＯＲ、ＣＧ和ＰＣＧ收敛曲线

ｃｕｒｖｅｓ

ＴｈｅｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅｏｆＳＯＲ，ＣＧａｎｄＰＣＧ

９期潘克家等：高分辨率阵列侧向测井的数学模型及有限元快速正演

３２０７

得比较厉害；ＳＯＲ法刚开始收敛速度比较快，但之后收敛趋于平缓，残差基本保持不变．而ＰＣＧ法收敛速度非常快，且迭代过程中残差几乎严格单调下降趋于零，能迅速收敛到原问题的准确解．

５．４

测深ＲＬＡｌ受井眼电阻率影响最大，而探＿２贝０深度较深的ＲＬＡ２一ＲＬＡ５受井眼的影响相对较小．从图９ｂ可看出，测井曲线ＲＬＡｌ一ＲＬＡ５受泥浆电阻率的影响依次减小；且随着井眼尺寸的增加，浅探测深度的仪器响应受井眼的影响较８ｉｎ井径的情形明显加剧．

５．５泥浆侵入影响

阵列侧向测井仪器的径向响应与泥浆滤液的侵入深度密切相关．为了研究仪器侵入响应，取无限厚地层，讨论存在井眼、侵入带和原始地层的情形．

图１０给出８ｉｎ井眼在不同侵入半径ｒｉ下的阵列侧向测井响应．低侵模型地层参数：Ｒ。一１

Ｒ如一１０Ｑｍ，ＲＩ一１００

Ｑｍ，

井眼影响

阵列侧向测井仪器不可避免地受到井眼的影

响，下面仅对存在井眼的无限厚地层，研究泥浆电阻率Ｒ。和井眼半径“对测井响应的影响．

图８为无侵入无限厚地层视电阻率随井眼半径变化的关系曲线，其地层模型为：Ｒ。一３０

Ｒ。一１

Ｑｍ，

Ｑｍ．从图中可看出，阵列侧向测井曲线

ＲＬＡｌ一ＲＬＡ５受井径影响的程度依次减小，其中ＲＬＡｌ受井径影响最大，这与５条测井曲线的探测深度有关．并且，当井眼半径大于ｏ．１５ｍ时，探测深度最浅的ＲＬＡｏ所测的视电阻率基本上不受井眼半径变化的影响．

图９ａ、９ｂ分别给出８ｉｎ和１６ｉｎ井眼无侵入无

Ｑｍ；高侵模型地层参数：Ｒ。

Ｑｍ．从图１０可看

一１Ｑｍ，Ｒ。。一１００ｎｍ，Ｒ。＝１０

出，当侵入深度较小时，视电阻率接近地层真实电阻率；随着侵入深度的增加，仪器响应受侵入带的影响，逐渐偏离地层电阻率．并且，仪器径向探测深度越浅，受侵入的影响越严重，对地层真电阻率的偏离越大．与文献［９］得到的分析结果比较吻合．５．６地层层厚影响

纵向分辨率是电阻率测井仪器的重要指标之一．为了研究层厚对测井响应的影响，考虑８ｉｎ井眼的无侵模型，地层参数为Ｒ。一５０

３

限厚地层阵列侧向测井计算结果．从图９ａ可知，浅

Ｑｍ，Ｒ。一

Ｑｍ，Ｒ。一Ｏ．１Ｑｍ．

图１ｌ给出了阵列侧向测井的计算结果，从图中可看出，层厚越大，仪器响应受围岩低阻的影响就越小．对于１ｍ以上的目的层，仪器响应受围岩的影响比较小，最小视电阻率也超过４２Ｑｍ；当层厚达到１０ｍ时，５条视电阻率测井曲线ＲＬＡｌ一

图８井眼半径影响曲线

Ｆｉｇ．８

Ｔｈｅｅｆｆｅｃｔ。ｆｔｈｅｒａｄｉｕｓｏｆｔｈｅｗｅ

ＲＬＡ５几乎都能给出地层真电阻率５０Ｑｍ．并且，对于厚度仅为ｏ．５ｍ的高阻层，５条测井曲线仍有

ｒｂ、ｒ＝１６ｉ”

图９井眼泥浆电阻率影响曲线

Ｆｉｇ．９

Ｔｈｅ

ｅｆｆｅｃｔｏｆｔｈｅｒｅｓｉｓｔｉｖｉｔｙｏｆｍｕｄ

地球物理学报（ｃ｝１ｉｎｅｓｅＪ．Ｇｅ（）ｐｈｙｓ．）

ａ１｛ｆ￡佳模型

ｊ６卷

图１０测井响应随侵入半径变化曲线

Ｆｉｇ．１Ｏ

‘Ｉ、ｈｅ

ｃｕｒｖｅ

ｏｆ１０９９ｌｎｇｒｅｓＩ）ｏｎｓｅｓ

ｖｓ．

ｔｈｅｒａｄｉｕｓｏｆｉｎｖａｓｉｏｎ

事先屏蔽电极上电流不确定的困难，且能大大简化原问题的计算．

（３）Ｊａｃｏｂｉ预条件子不占用内存空间、实现非常简单，且对阵列侧向测井正演问题，能达到比较理想的加速效果．

（４）高分辨率阵列侧向测井具有纵向分辨率高、径向探测信息丰富等优点，可为同时反演侵入深度、侵入带电阻率和原始地层电阻率提供丰富的信息．

附录

图１

Ｆｉｇ．１１

１

轴对称均匀地层中柱状电极电场精确

解及Ｒｏｂｉｎ边界条件

测井响应随地层厚度变化曲线

’Ｉ、ｈｅ

ｃ

Ｌｌｒｖｃ（）ｆＩｏｇｇｌｎｇｒｃｓＩ）ｏｎｓｃｓ

ｖｓ．

ｆ（）ｒｎｌａｌｉｏｎｔｈｉｃｋｎｅｓｓ

考虑附图１所示的轴对称均匀地层，发射电流的第ｊ个电极位置为［ｚ。，ｚ。］，半径为ｒｏ．

一定程度的分离，这说明阵列侧向测井仪具有较好的薄层分辨能力．

利用微元分析法，柱状电极上取面积元素为

ｄＡ—ｒｏｄ吼ｄ孙，

（Ａ１）

其上的电流微元

６

结论

本文推导了高分辨率阵列侧向测井问题中截断

边界上的Ｒｏｂｉｎ边界条件，建立其具有等值面边界条件的椭圆边值问题数学模型，利用线性叠加原理、预条件、稀疏矩阵压缩存贮等技术，给出了轴对称地层中阵列侧向测井的快速有限元计算方案，并定量分析了地层厚度、井径、侵入带等因素对阵列侧向测井响应的影响．具体结论如下：

（１）对阵列侧向测井问题，Ｒｏｂｉｎ边界条件相对于传统的Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ条件更加精确，可在保持精度的前提下大大减小问题的计算区域，节省计算机内存和正演时间．

（２）线性叠加原理，不仅能避开阵列侧向测井

附图１

ＡｐｐｅｎｄｉｘＦｉｇ．１

均匀地层示意图

Ｓｃｈｅｍａｔｉｃｄｉａｇｒａｍｏｆ

ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ

９期

潘克家等：高分辨率阵列侧向测井的数学模型及有限元快速正演

志志

３２０９

ｄ“一掣一万—坠＿概如，幽一百矿一醑瓦可删。他。’

其中ｐ０为点（ｒ，口，ｚ）到点（ｒ０，岛，勐）的距离，即因此，均匀地层柱状电极电场为：

（Ａ３）‘刖’

ｐｏ一以元忑Ｆｉ鬲两厂Ｆ獗面Ｆｉ五丽严Ｆ瓦哥＝∥弭ｉＦ可瓦面雨Ｅ酉汀彳ｉ乏了．

（Ａ４）

“（ｒ，口，ｚ）＝丢Ｊ’ｉ

其中，常数Ｃ—

ＩＲ

万丽豸去本ｉ萧一万南＋而音兰而科础ｏ），础渤≈融ｆ万南＋而赛兰两ｒｏａ州ｚ。一啦万南‰．

取一阶近似得利用中点积分公式

ｏ＼／７；：ｉ—。：ｉ：—；：ｉ——：：：—！ｊ：；：：。；Ｉｉ；ｉｊｉ—：｛：ｊ。ｉ？：；—：：可。１。。。１‘。。’一箬ｒ２ｒ”—；；——兰—一枫‰，石瓦习’

２７ｃＪｚ，Ｊ

ｆｉ”：？；Ｆ三ｉｉ三ｊｉ；；ｉｉ；÷；三三｛ｉｊｉ丽ｄ臼。ｄｚ。

（㈣

、１

１“７

ｊ为柱状电极发射电流，Ｒ为均匀地层电阻率．

ｃ㈣

（Ａ７）

从蒯ｚ一厂（半）（６一以）＋掣（６一口）３，ｅ∈（砌），

可得

“ｃ，．，ｚ，公ｇ：乙ｊ＝南ｃｚｚ—ｚ，，＋差；ｉｉ｝；；二蒜ｃｚｚ—ｚ ，３

一了乒三南ｃｚｚ—ｚ，，＋丢专≥筹（了事｛嵩）３，手∈ｃｚ ，ｚｚ，

（Ａ８）

其中，２，为电极中心的２坐标．进一步考虑到电极尺寸相对其到区域边界的距离比较小，即—＝兰兰二兰《１，

且有

因此，

ｆ鬻ｌ≤ｆ鬻ｆ≤ｌ鲁等≯ｆ＝２．

“（Ⅲ）≈旦（ｚ。一ｚ，）一罂，

ｌＤ７ｃｌＤ

４

￣／广十（ｚ一印‘

ｃ㈣

（Ａ１０）

其中ｐ＝、厅Ｆ—忑二—≯为第Ｊ个电极中心到边界点的距离．于是，

ａ竹

娶：挚娶一一ｇ鱼≠型。。。（Ｐ，恕）一一盟型“，

一＝一＿Ｌ

ｄｆＤａ咒

ｐ２

‘“。、Ｊ。７～

ｋｒｎ￡‘ｎ．钾ｌ＝一————Ｌ———一∽

…

ｐ

ｎｌ，（Ａ１１）……

整理即得边界条件（３）．致

谢

作者衷心感谢两位匿名审稿专家提出的宝

参考文献（Ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ）

［１］

ｃｈｅｎＹＨ，ｃｈｅｗｍｅｔｈｏｄ．Ｔｈ８Ｌｏｇ

贵修改意见，特别感谢复旦大学“电法测井的数学建模及数值模拟”课题组李大潜院士和蔡志杰教授

的有益指导．

ｗｃ，ｚｈａｎｇＨＪ．Ａｎｏｖｅｌ

ａｒｒａｙｌａｔｅｒｏｌｏｇ

Ａｎｎｂ“，１９９８。３９（５）：２３—３０．

［２］张庚骥．电法测井．北京：石油工业出版社，１９８４．

３２１０

地球物理学报（ｃｈｉｎｅｓｅＪ．Ｇｅｏｐｈｙｓ．）

５６卷

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（１ｎＣｈｉｎｅｓｅ），２００９，３６（６）：７２５—７２９．

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３２１１

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Ｇｅｏ户＾ｙｓ．（ｉｎＣｈｉｎｅｓｅ），２００３，４６（３）：４２８—４３２．

［３８］ｗｕＸＰ，ＸｉａｏＹＦ，Ｑｉｃ，ｅｔａ１．Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎｓｏｆｓｅｃｏｎｄａｒｙ

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２００３，５１（６）：５６７—５７７．

［３９］

吴小平，徐果明，李时灿．利用不完全Ｃｈ０１ｅｓｋｙ共轭梯度法求解点源三维地电场．地球物理学报，１９９８，４１（６）：８４８—

８５５．

ＷｕＸＰ，ＸｕＧＭ，ＬｉＳＣ．

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（（冼ｉ抛ｓＰＪ．ＧＰｏ户＾ｙｓ．）（ｉｎＣ轴ｎｅｓｅ），１９９８，４１（６）：８４８—８５５．

（本文编辑何燕）

高分辨率阵列侧向测井的数学模型及有限元快速正演

作者：作者单位：

潘克家， 王文娟， 汤井田， 谭永基， PAN Ke-Jia， WANG Wen-Juan， TANG Jing-Tian， TAN Yong-Ji

潘克家,PAN Ke-Jia(中南大学有色金属成矿预测教育部重点实验室,地球科学与信息物理学院,长沙410083;中南大学数学与统计学院,长沙410083)， 王文娟,谭永基,WANG Wen-Juan,TAN Yong-Ji(复旦大学数学科学学院,上海,200433)， 汤井田,TANG Jing-Tian(中南大学有色金属成矿预测教育部重点实验室,地球科学与信息物理学院,长沙410083)地球物理学报

Chinese Journal of Geophysics2013,56(9)

刊名：英文刊名：年，卷(期)：

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