专题03 因动点产生的直角三角形问题-2018版突破中考数学压轴之学
更新时间:2024-06-17 17:26:01 阅读量: 综合文库 文档下载
【类型综述】
解直角三角形的存在性问题,一般分三步走,第一步寻找分类标准,第二步列方程,第三步解方程并验根.
一般情况下,按照直角顶点或者斜边分类,然后按照三角比或勾股定理列方程. 有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便. 解直角三角形的问题,常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起.
如果直角边与坐标轴不平行,那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线,可以构造两个新的相似直角三角形,这样列比例方程比较简便.
【方法揭秘】
我们先看三个问题:
1.已知线段AB,以线段AB为直角边的直角三角形ABC有多少个?顶点C的轨迹是什么? 2.已知线段AB,以线段AB为斜边的直角三角形ABC有多少个?顶点C的轨迹是什么? 3.已知点A(4,0),如果△OAB是等腰直角三角形,求符合条件的点B的坐标.
图1 图2 图3
如图1,点C在垂线上,垂足除外.如图2,点C在以AB为直径的圆上,A、B两点除外.如图3,以OA为边画两个正方形,除了O、A两点以外的顶点和正方形对角线的交点,都是符合题意的点B,共6个.
如图4,已知A(3, 0),B(1,-4),如果直角三角形ABC的顶点C在y轴上,求点C的坐标. 我们可以用几何的方法,作AB为直径的圆,快速找到两个符合条件的点C. 如果作BD⊥y轴于D,那么△AOC∽△CDB.
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设OC=m,那么
34?m?. m1这个方程有两个解,分别对应图中圆与y轴的两个交点.
【典例分析】
例1 如图1,已知抛物线E1:y=x经过点A(1,m),以原点为顶点的抛物线E2经过点B(2,2),点A、B关于y 轴的对称点分别为点A′、B′.
(1)求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式;
(2)如图1,在第一象限内,抛物线E1上是否存在点Q,使得以点Q、B、B′为顶点的三角形为直角三角形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图2,P为第一象限内的抛物线E1上与点A不重合的一点,连结OP并延长与抛物线E2相交于点P′,求△PAA′与△P′BB′的面积之比.
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图1 图2
例2如图1,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A(-1, 0)、B(3, 0)两点,与y轴交于点C,连结BC.动点P以每秒1个单位长度的速度从点A向点B运动,动点Q以每秒2个单位长度的速度从点B向点C运动,P、Q两点同时出发,连结PQ,当点Q到达点C时,P、Q两点同时停止运动.设运动的时间为t秒.
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(1)求二次函数的解析式;
(2)如图1,当△BPQ为直角三角形时,求t的值;
(3)如图2,当t<2时,延长QP交y轴于点M,在抛物线上是否存在一点N,使得PQ的中点恰为MN的中点,若存在,求出点N的坐标与t的值;若不存在,请说明理由.
图1 图2
例3 如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=13,CD//AB,点E为射线CD上一动点(不与点C重合),联结AE交边BC于F,∠BAE的平分线交BC于点G.
(1)当CE=3时,求S△CEF∶S△CAF的值;
(2)设CE=x,AE=y,当CG=2GB时,求y与x之间的函数关系式; (3)当AC=5时,联结EG,若△AEG为直角三角形,求BG的长.
图1
例4如图1,二次函数y=a(x2-2mx-3m2)(其中a、m是常数,且a>0,m>0)的图像与x轴分别交于A、B(点A位于点B的左侧),与y轴交于点C(0,-3),点D在二次函数的图像上,CD//AB,联结AD.过点A作射线AE交二次函数的图像于点E,AB平分∠DAE.
(1)用含m的式子表示a; (2)求证:
AD为定值; AE(3)设该二次函数的图像的顶点为F.探索:在x轴的负半轴上是否存在点G,联结GF,以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形?如果存在,只要找出一个满足要求的点G即可,并用含m的代数式表示该点的横坐标;如果不存在,请说明理由.
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图1
例5如图1,抛物线y?123,与y轴交于点C,x?x?4与x轴交于A、B两点(点B在点A的右侧)
42连结BC,以BC为一边,点O为对称中心作菱形BDEC,点P是x轴上的一个动点,设点P的坐标为(m, 0),过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q.
(1)求点A、B、C的坐标;
(2)当点P在线段OB上运动时,直线l分别交BD、BC于点M、N.试探究m为何值时,四边形CQMD是平行四边形,此时,请判断四边形CQBM的形状,并说明理由;
(3)当点P在线段EB上运动时,是否存在点Q,使△BDQ为直角三角形,若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
图1
33例6如图1,抛物线y??x2?x?3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.
84(1)求点A、B的坐标;
(2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点,当△ACD的面积等于△ACB的面积时,求点D的坐标;
(3)若直线l过点E(4, 0),M为直线l上的动点,当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三....个时,求直线l的解析式.
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图1
【变式训练】
y1. (2017黑龙江齐齐哈尔第19题)如图,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形OA1A2的直角边OA1在
轴的正半轴上,且OA1?A1A2?1,以OA2为直角边作第二个等腰直角三角形OA2A3,以OA3为直角边作第三个等腰直角三角形OA2017A2018,则点A2017的坐标为 .
2. (2017黑龙江绥化第21题)如图,顺次连接腰长为2 的等腰直角三角形各边中点得到第1个小三角形,再顺次连接所得的小三角形各边中点得到第2个小三角形,如此操作下去,则第n个小三角形的面积为 .
3. (2017内蒙古通辽第26题)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y?ax?bx?2过点A(?2,0),,与y轴交于点C.
(1)求抛物线y?ax?bx?2的函数表达式;
(2)若点D在抛物线y?ax?bx?2的对称轴上,求?ACD的周长的最小值;
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(3)在抛物线y?ax2?bx?2的对称轴上是否存在点P,使?ACP是直角三角形?若存在,直接写出点
P的坐标,若不存在,请说明理由.
4. (2017山东潍坊第25题)(本题满分13分)如图1,抛物线y?ax2?bx?c经过平行四边形ABCD的
3)、B(?1,0)、D(2,3),顶点A(0,抛物线与x轴的另一交点为E.经过点E的直线l将平行四边形ABCD分
割为面积相等的两部分,与抛物线交于另一点P.点P为直线l上方抛物线上一动点,设点P的横坐标为
t.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当t何值时,?PFE的面积最大?并求最大值的立方根;
(3)是否存在点P使?PAE为直角三角形?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由.
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5. (2017浙江温州第24题)(本题14分)如图,已知线段AB=2,MN⊥AB于点M,且AM=BM,P是射线MN上一动点,E,D分别是PA,PB的中点,过点A,M,D的圆与BP的另一交点C(点C在线段BD上),连结AC,DE.
(1)当∠APB=28°时,求∠B和CM的度数; (2)求证:AC=AB。 (3)在点P的运动过程中
①当MP=4时,取四边形ACDE一边的两端点和线段MP上一点Q,若以这三点为顶点的三角形是直角三角形,且Q为锐角顶点,求所有满足条件的MQ的值;
②记AP与圆的另一个交点为F,将点F绕点D旋转90°得到点G,当点G恰好落在MN上时,连结AG,CG,DG,EG,直接写出△ACG和△DEG的面积之比.
AEMDBCPN
6.(2017湖北荆门市第24题)已知:如图所示,在平面直角坐标系xoy中,?C?900,OB?25,OC?20.若点M是边OC上的一个动点(与点O,C不重合),过点M作MN//OB交BC于点N. (1)求点C的坐标;
(2)当?MCN的周长与四边形OMNB的周长相等时,求CM的长;
(3)在OB上是否存在点Q,使得?MNQ为等腰直角三角形?若存在,请求出此时MN的长;若不存在,请说明理由.
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7.(2017江苏淮安市第28题)如图①,在平面直角坐标系中,二次函数y=﹣
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x+bx+c的图象与坐标轴交3于A,B,C三点,其中点A的坐标为(﹣3,0),点B的坐标为(4,0),连接AC,BC.动点P从点A出发,在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动;同时,动点Q从点O出发,在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动,当其中一点到达终点时,另一点随之停止运动,设运动时间为t秒.连接PQ.
(1)填空:b= ,c= ;
(2)在点P,Q运动过程中,△APQ可能是直角三角形吗?请说明理由;
(3)在x轴下方,该二次函数的图象上是否存在点M,使△PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,请求出运动时间t;若不存在,请说明理由; (4)如图②,点N的坐标为(﹣
3,0),线段PQ的中点为H,连接NH,当点Q关于直线NH的对称点Q′2恰好落在线段BC上时,请直接写出点Q′的坐标.
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8. (2017郴州第26题)如图,?ABC是边长为4cm的等边三角形,边AB在射线OM上,且OA?6cm,点D从点O出发,沿OM的方向以1cm/s的速度运动,当D不与点A重合是,将?ACD绕点C逆时针方向旋转600得到?BCE,连接DE.
(1)求证:?CDE是等边三角形;
(2)当6?t?10时,的?BDE周长是否存在最小值?若存在,求出?BDE的最小周长; 若不存在,请说明理由.
(3)当点D在射线OM上运动时,是否存在以D,E,B为顶点的三角形是直角三角形? 若存在,求出此时t的值;若不存在,请说明理由.
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9. (2017湖南长沙第26题)如图,抛物线y?mx2?16mx?48m(m?0)与x轴交于A,B两点(点B在点A左侧),与y轴交于点C,点D是抛物线上的一个动点,且位于第四象限,连接OD、BD、AC、AD,延长AD交y轴于点E。
(1)若?OAC为等腰直角三角形,求m的值;
(2)若对任意m?0,C,E两点总关于原点对称,求点D的坐标(用含m的式子表示);
(3)当点D运动到某一位置时,恰好使得?ODB??OAD,且点D为线段AE的中点,此时对于该抛物线上任意一点P(x0,y0)总有n?12??43my0?123y0?50成立,求实数n的最小值. 6
10. (2017年山东省潍坊市第25题)(本题满分13分)如图1,抛物线y?ax?bx?c经过平行四边形ABCD23)、B(?1,0)、D(2,3),的顶点A(0,抛物线与x轴的另一交点为E.经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等的两部分,与抛物线交于另一点P.点P为直线l上方抛物线上一动点,设点P的横坐标为
t.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当t何值时,?PFE的面积最大?并求最大值的立方根;
(3)是否存在点P使?PAE为直角三角形?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由.
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