人教版高中数学必修三 第二章 统计“直线的回归方程”教学设计

“直线的回归方程”教学设计

第一部分：教学准备

1、教材分析

学生情况分析：学生已经具备了对样本数据进行初步分析的能力，且掌握了一定的计算机基础，主要是电子表格的使用。 教材地位和作用：本节是高中新教材人教A版必修3第二章2.3节的内容, 本节课主要探讨如何利用线性回归思想对实际问题进行分析与预测。为以后更好地研究结合教材特点情 ，特制定三维教学目标如下： 2、目标定位 （1）、知识与技能：

利用散点图判断线性相关关系，了解最小二乘法的思想及回归方程系数公式的推导过程，利用电子表格求出回归直线的方程并对实际问题进行分析和预测，通过实例加强对回归直线方程含义的理解

（2） 、过程与方法：

①通过自主探究体会数形结合、类比、及最小二乘法的数学思想方法。

②通过动手操作培养学生观察、分析、比较和归纳能力，引出利用计算机等现代化教学工具的必要性。 （3）、情感、态度与价值观： 类比函数的表示方法，使学生理解变量间的相关关系，增强应用回归直线方程对实际问题进行分析和预测的意识。利用计算机让学生动手操作，合作交流激发学生的学习兴趣。 3、教学重点、难点

重点：利用散点图直观认识两个变量之间的线性相关关系，了解最小二乘法的思想并利用此思想借助电子表格求出回归方程。

教学内容的难点：对最小二乘法的数学思想和回归方程的理解

教学实施过程中的难点：根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程。 4、教学媒体设计

本节课涉及大量数据计算及分析，用传统方法很难突破，故我主要采用电子表格和 几何画板，通过学生动手操作、教师动画演示、师生合作交流来突出重点、突破难点。学生学习效果有明显提高。

第二部分：教学设计：

一、创设情境 导入新课

师：我们曾经研究过两个变量之间的函数关系：一个自变量对应着唯一的一个函数值，这

两者之间是一种确定关系。生活中的任何两个变量之间是不是只有确定关系呢？ 让学生举例，教师总结 如： 生：不是。师：能否举出反例？ 比如，年龄与身高。 生：身高与体重 生：教师水平与学生成绩。生：网速与下载文件所需时间

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师：不妨以教师水平与学生成绩为例，学生成绩与教师水平有关吗？ 生：有，一般来说，教师水平越高，学生成绩越好

师：即“名师出高徒”，名师一定出高徒吗？ 生：不一定。

师：即学生成绩与教师水平之间存在着某种联系，但又不是必然联系，对于学生成绩与教师水平之间的这种不确定关系，我们称之为相关关系。这就是我们这节课要共同探讨的内容 变量间的相关关系。（板书）

设计意图：通过学生熟悉的函数关系，引导学生关注生活中两个变量之间还存在的相关关系。让学生体会研究变量之间相关关系的重要性。感受数学来源于生活。

二、学生活动，建构数学

（根据样本数据利用电子表格作出散点图，）

师：在研究相关关系前，同学们先回忆一下：函数的表示方法有哪些？ 生：列表，画图象，求解析式。 师：下面我们就用这些方法来研究相关关系。请同学们看这样一组数据：

探究:有一个同学家开了一个小卖部,他为了研究气温对销售热饮的影响,经过统计, 得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表, 气温与卖出的热饮杯数之间有怎样的关系？

摄氏温度/℃ 热饮杯数 -5 156 0 150 4 132 7 128 12 130 15 116 19 104 23 89 27 93 31 76 36 54 生：随着气温增长，卖出的热饮杯数在减少 师：有没有更直观的方式？生：画散点图 师生：用x轴表示气温，y轴表示卖出的热饮杯数。一组样本数据就对应着一个点。由于数据比较多，我们借用电子表格来作图，请大家注意观察。

教师演示作图方法，学生观察

摄氏温度 -5 0 4 7 12 15 19 23 27 31 36 热饮杯数 156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54 -10180160140120100806040200010203040热饮杯数热饮杯数第2页 共6页

三、循序渐进、延伸拓展 1、找回归直线

师：下面我们再来看一下气温与热饮杯数的散点图，从整体上看，它们是线性相关的。 如果可以求出回归直线的方程，我们就可以清楚地了解气温与热饮杯数的相关性。这条直线可以作为两个变量具有线性相关关系的代表。同学们能否画出这条直线？请完成数学实验1、画出回归直线。（学生在计算机上用电子表格画回归直线）

数学实验1： 画出回归直线

教师让学生以小组为单位进行讨论，进而展示各自的观点，并说明理由。老师点评。引出这

节课的理论基础：利用最小二乘法推导回归系数公式。 师：我们现在来求距离和。怎么求？ 生：利用点到直线的距离公式

师生共同：只要求出使距离和最小的a、b即可。但是，我们知道点到直线的距离公式计算复杂。怎么办呢？以样本数据点A为例， 可以看出： 6050在RT△ABC中，（教师动画演示）

按照一对一的关系，直角边AC越小，斜边AB越小， 403020CBA 当AC无限小时，AB跟AC可近似看作相等。

-201020406080x100-10求AC麻烦，不妨求AB生：AB?yB?yA -20师：它表示自变量x取值一定时，纵坐标的偏差。假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x1,y1)(x2,y2)……(xn,yn)。当自变量x取xi（i=1，2，……，n）

??bxi?a（i=1，2，……，n），它与实际收集到的yi之间的偏差是 时，可以得到y?i?yi?(bxi?a)（i=1，2，……，n） yi?y这样用n个偏差的和来刻画“各点与此直线的整体偏差”是比较合适的。总的偏差为

?)，偏差有正有负，易抵消，所以采用绝对值?y?y??(y?yiiii?1i?1nni，由于带绝对值计算不

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方便所以换成平方，Q??)?(y?yiii?1n2?(y1?bx1?a)2?(y2?bx2?a)2?(y3?bx3?a)2?????(yn?bxn?a)2现在的问题就归结为：当a，b取什么值时Q最小。

将上式展开、再合并，就可以得到可以求出Q取最小值时

?n??? (x?x)(y?y)(x?x)(y?y)ii?nn??i???i2i?1??22i?1???(xi?x)?b??Q?n?a?(y?bx)??(y?y)?inn??i?122??i?1 (xi?x)(xi?x)????i?1i?1??n22b??(x?x)(y?y)?xy?nxyiiiii?1nn?(x?x)ii?1n?2i?1n?xi?12i?nx21n1n（其中x??xi，y??yi）

ni?1ni?1a?y?bx推导过程用到偏差的平方，由于平方又叫二乘方，所以这种使“偏差的和”最小的方法叫 “最小二乘法”。

设计意图：培养学生的动手操作能力，最小二乘法的思想是本节课的教学难点，先让学生动

手操作画回归直线，教师动画演示，进一步演绎推理来分解难点、突破难点 3、利用电子表格的计算功能求出回归直线方程，并分析它的意义

师：利用最小二乘法就可以求出回归系数，进一步求出回归方程。下面我们具体操作一下。 我们先明确几个符号的含义：xi表示气温，x1是-5，x2是0，直到x11是36。i从1到11 ，

yi表示热饮杯数，y1是156，y2是150 。xiyi表示气温与热饮杯数的乘积，xi2 表示 气

温的平方

xi 摄氏温度 -5 0 4 7 12 15 19 23 27 31 yi 热饮杯数 156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 xiyi xi2 第4页 共6页

x

? y _ n1n1nx??xi表示自变量气温的平均数，y??yi表示因变量热饮杯数的平均数，xi表?ni?1ni?1i?1n2示自变量的平方和，

?xy表示自变量与因变量乘积的和。要求出 a，b，必须先求出这些

iii?1量。由于计算量大，我们用EXCEL来计算。 请大家注意观察

教师利用电子表格完成数学实验2、学生观察

数学实验2：求出下列各式的值（n=11）

11= xy?yi= ??ini?1ni?1nnx??xy= ?xiii?1nn2i=

i?1b??xy?nxyiii?1nn?xi2?nxi?12? a?y?bx=

??bx?a y???2.351x?147.77（板书） 师： 通过计算，求出了a?147.77,b??2.351 y 图表标题180 160140 12010080 604020 0-2002040图表标题y = -2.3517x + 147.77180160140120100806040200-2002040热饮杯数线性 (热饮杯数)热饮杯数线性 (热饮杯数) 求出回归直线方程有什么用呢？

?的值， 生：知道x的值可以求y第5页 共6页

师：请同学们从表格中选取气温x的一个值代入上述回归直线的方程，看看得出的数据与真实数值之间的关系。

???2.351?12?147.77?119.558 学生代入检验 y生；估计值是120，与实际值130有偏差， 师；为什么会出现这样的结果？

设计意图：回归方程的求法是本节课的教学重点，利用电子表格计算繁杂数据，激发学生的

兴趣，通过教师演示，学生动手操作突出重点，引出利用现代技术工具解决问题的必要性。

设计意图：发展学生的应用意识，是高中数学课程标准所倡导的重要理念之一。在教学中以具体问题为载体,加深学生对回归方程的理解，体验数学在实际生活中的应用

四、回顾小结：

请学生来归纳总结这节课学到了那些知识 1、回归直线方程的求法 ①先判断变量是否线性相关

②若线性相关，利用公式计算出a、b

③利用回归方程对生活实际问题进行分析与预测 2、思想方法：数形结合、归纳、类比、最小二乘法 五、实习作业：

收集本班男生的身高和体重的数据,并利用统计知识对收集到的数据进行分析与预测。 设计意图：作业是学生信息的反馈，能在作业中发现和弥补教学中的不足，

第三部分：课后反思：

（1）教学方法：在教学中，我采用“问题――探究”的教学模式，尽量的列举一些与日常生活息息相关的例子，我没有用课本年龄与脂肪含量的例子，因为我感觉离学生比较远，而用的是气温与热饮杯数的关系的例子，学生对此会更感兴趣，从而调动学生的学习积极性 （2）教学手段：本节课利用多媒体辅助教学，利用电子表格展示解题过程,从而直观地反映了教学内容，同时使学生思维活动得以充分展开，从而优化了教学过程，大大提高了课堂教学效率．

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师：请同学们从表格中选取气温x的一个值代入上述回归直线的方程，看看得出的数据与真实数值之间的关系。

???2.351?12?147.77?119.558 学生代入检验 y生；估计值是120，与实际值130有偏差， 师；为什么会出现这样的结果？

设计意图：回归方程的求法是本节课的教学重点，利用电子表格计算繁杂数据，激发学生的

兴趣，通过教师演示，学生动手操作突出重点，引出利用现代技术工具解决问题的必要性。

设计意图：发展学生的应用意识，是高中数学课程标准所倡导的重要理念之一。在教学中以具体问题为载体,加深学生对回归方程的理解，体验数学在实际生活中的应用

四、回顾小结：

请学生来归纳总结这节课学到了那些知识 1、回归直线方程的求法 ①先判断变量是否线性相关

②若线性相关，利用公式计算出a、b

③利用回归方程对生活实际问题进行分析与预测 2、思想方法：数形结合、归纳、类比、最小二乘法 五、实习作业：

收集本班男生的身高和体重的数据,并利用统计知识对收集到的数据进行分析与预测。 设计意图：作业是学生信息的反馈，能在作业中发现和弥补教学中的不足，

第三部分：课后反思：

（1）教学方法：在教学中，我采用“问题――探究”的教学模式，尽量的列举一些与日常生活息息相关的例子，我没有用课本年龄与脂肪含量的例子，因为我感觉离学生比较远，而用的是气温与热饮杯数的关系的例子，学生对此会更感兴趣，从而调动学生的学习积极性 （2）教学手段：本节课利用多媒体辅助教学，利用电子表格展示解题过程,从而直观地反映了教学内容，同时使学生思维活动得以充分展开，从而优化了教学过程，大大提高了课堂教学效率．

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