2012年高考各省理科数学【圆锥曲线】试题解析分类汇编(1)

2012年高考各省理科数学【圆锥曲线】解析分类汇编

一、选择题

1.【2012高考浙江理8】如图，F 1,F 2分别是双曲线

C ：22

221x y a b

-=（a,b ＞0）的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P,Q 两点，

线段PQ 的垂直平分线与x 轴交与点M ，若|MF 2|=|F 1F 2|,

则C 的离心率是

A. B

D.

【答案】B 【解析】由题意知直线B F 1的方程为：b x c b y +=，联立方程组???????=-+=0,b

y a x b x c b y 得点Q ),(a c bc a c ac --，联立方程组???????=++=0,b

y a x b x c b y 得点P ),(a c bc a c ac ++-，所以PQ 的中点坐标为),(222b c b c a ，所以PQ 的垂直平分线方程为：)(222b

c a x b c b c y --=-，令0=y ，得)1(22

b a

c x +=，所以c b

a c 3)1(22=+，所以2222222a c

b a -==，即2223

c a =，所以2

6=e 。故选B 2.【2012高考新课标理8】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，

C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B

两点，AB =；则C 的实轴长为（ ）

()

A ()B

()C 4 ()D 8

【答案】C

【解析】设等轴双曲线方程为)0(22>=-m m y x ，抛物线的准线为4-=x ，由34=AB ,则32=A y ,把坐标)32,4(-代入双曲线方程得

4121622=-=-=y x m ，所以双曲线方程为42

2=-y x ，即1442

2=-y x ，所以2,42==a a ，所以实轴长42=a ，选C.

3.【2012高考新课标理4】设12FF 是椭圆22

22:1(0)x y E a b a b

+=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =

上一点，12PF F ?是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ） ()A 12 ()B 23 ()C 34 ()D 45

【答案】C 【解析】因为12PF F ?是底角为30

的等腰三角形，则有

P F F F 212=,，因为02130=∠F PF ，所以

0260=∠D PF ,0230=∠DPF ，所以21222121F F PF D F ==，即c c c a =?=-22

123，所以c a 223=，即43=a c ，所以椭圆的离心率为4

3=e ，选C. 4.【2012高考四川理8】已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则||OM =（ ）

A 、

B 、

C 、4

D 、

【答案】B

【解析】设抛物线方程为22y px =，则点(2,M ±Q 焦点,02p ??

???，点M 到该抛物线

焦点的距离为3，∴ 22492p P ??-+= ??

?， 解得2p =，所以OM ==. [点评]本题旨在考查抛物线的定义: |MF|=d,(M 为抛物线上任意一点，F 为抛物线的焦点，d

为点M 到准线的距离).

5.【2012高考山东理10】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>

的离心学率为.双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为

（A ）22182x y += （B ）221126x y += （C ）221164x y += （D ）22

1205

x y += 【答案】D 【解析】因为椭圆的离心率为23，所以2

3==a c e ，2243a c =，222243b a a c -==，所以22

41a b =，即224b a =，双曲线的渐近线为x y ±=，代入椭圆得12222=+b x a x ，即1454222222==+b x b x b x ，所以b x b x 52,5422±==，2254b y =，b y 5

2±=，则第一象限的交点坐标为)52

,52

(b b ，所以四边形的面积为165

1652

52

42==??b b b ，所以52

=b ，所以椭圆方程为15202

2=+y x ，选D. 6.【2012高考湖南理5】已知双曲线C ：22x a -2

2y b

=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C 的方程为

A ．220x -25y =1 B.25x -220y =1 C.280x -220y =1 D.220x -2

80

y =1 【答案】A

【解析】设双曲线C ：22x a -2

2y b

=1的半焦距为c ，则210,5c c ==. 又 C 的渐近线为b y x a =±

，点P （2,1）在C 的渐近线上，12b a ∴=，即2a b =. 又222c a b =+

，a ∴==∴C 的方程为220x -2

5

y =1. 【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想和基本运算能力，是近年来常考题型.

7.【2012高考福建理8】已知双曲线22

214x y b

-=的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于

A. B. C.3 D.5

【答案】Ａ．

考点：双曲线的定义。

难度：中。

分析：本题考查的知识点为双曲线的定义，焦点，渐近线，抛物线的定义。

【解析】由抛物线方程x y 122=易知其焦点坐标为)0,3(，又根据双曲线的几何性质可知2234=+b ，所以5=b ，从而可得渐进线方程为x y 2

5±=，即025=-±y x ，所以54

5|0235|=+?-?±=d ，故选Ａ． 8.【2012高考安徽理9】过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点，若3AF =，则AOB ?的面积为（ ）

()A ()B ()C ()D 【答案】C

【命题立意】本题考查等直线与抛物线相交问题的运算。

【解析】设(0)AFx θθπ∠=<<及BF m =；则点A 到准线:1l x =-的距离为3， 得：1323cos cos 3θθ=+?= 又232cos()1cos 2

m m m πθθ=+-?==+，

AOB ?的面积为113sin 1(3)22232

S OF AB θ=???=??+?= 9.【2012高考全国卷理3】 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为 A 216x +212y =1 B 212x +28y =1C 28x +24y =1 D 212x +2

4

y =1 【答案】C

【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。通过准线方程确定焦点位置，然后借助于焦距和准线求解参数,,a b c ，从而得到椭圆的方程。

【解析】椭圆的焦距为4，所以2,42==c c 因为准线为4-=x ，所以椭圆的焦点在x 轴上，

且42

-=-c

a ，所以842==c a ，448222=-=-=c a

b ，所以椭圆的方程为14

82

2=+y x ，选C. 10.【2012高考全国卷理8】已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2-y 2=2的左、右焦点，点P 在C 上，

|PF 1|=|2PF 2|，则cos ∠F 1PF 2= (A)14 （B ）35 (C)34 (D)45

【答案】C

【命题意图】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用，以及余弦定理的运用。

首先运用定义得到两个焦半径的值，然后结合三角形中的余弦定理求解即可。 【解析】双曲线的方程为12

22

2=-y x ，所以2,2===c b a ，因为|PF 1|=|2PF 2|，所以点P 在双曲线的右支上，则有|PF 1|-|PF 2|=2a=22,所以解得|PF 2|=22，|PF 1|=24，所以根据余弦定理得4

32422214

)24()22(cos 2221=??-+=PF F ,选C. 11.【2012高考北京理12】在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线=4x 的焦点F.且与该撇

物线相交于A 、B 两点.其中点A 在x 轴上方。若直线l 的倾斜角为60o.则△OAF 的面积为 【答案】3

【解析】由x y 42

=可求得焦点坐标F(1,0)，因为倾斜角为?60，所以直线的斜率为360tan =?=k ，利用点斜式，直线方程为33-=x y ，将直线和曲线联立

?????-??????=-=)332,3

1()32,3(4332B A x y x y ，因此33212121=??=??=?A OAF y OF S ． 二、填空题

12.【2012高考湖北理14】如图，双曲线22

22 1 (,0)x y a b a b

-=>的两顶点为1A ，2A ，虚轴两端点为1B ，2B ，两焦点为1F ，2F . 若以12A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ，切点分别为

,,,A B C D . 则

（Ⅰ）双曲线的离心率e = ；

（Ⅱ）菱形1122F B F B 的面积1S 与矩形ABCD 的面积2S 的比值12

S S = . 【答案】;215+=e 2

5221+=S S 考点分析：本题考察双曲线中离心率及实轴虚轴的相关定义，以及一般平面几何图形的面积计算.

【解析】（Ⅰ）由于以12A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ，因此点O 到直线22B F 的距离为a ，又由于虚轴两端点为1B ，2B ，因此2OB 的长为b ，那么在22OB F ?中，由三角形的面积公式知，222)(2

1||2121c b a F B a bc +==，又由双曲线中存在关系222b a c +=联立可得出222)1(e e =-，根据),1(+∞∈e 解出;2

15+=e （Ⅱ）设θ=∠22OB F ,很显然知道θ=∠=∠222AOB O A F ,因此)2sin(222θa S =.在

22OB F ?中求得,cos ,sin 2222c b c c b b +=+=θθ故2222

24cos sin 4c b bc a a S +==θθ； 菱形1122F B F B 的面积bc S 21=，再根据第一问中求得的e 值可以解出2

5221+=S S . 13.【2012高考四川理15】椭圆22

143

x y +=的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，当FAB ?的周长最大时，FAB ?的面积是____________。

【答案】3

【命题立意】本题主要考查椭圆的定义和简单几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系、，考查推理论证能力、基本运算能力，以及数形结合思想，难度适中.

【解析】当直线x m =过右焦点时FAB ?的周长最大，1m ∴=；

将1x =带入解得32y =±；所以132322

FAB S ?=??=. 14.【2012高考陕西理13】右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米

. 【答案】62. 【解析】设水面与桥的一个交点为A ，如图建立直角坐标系则，A

的坐标为（2，-2）.设抛物线方程为py x 22-=，带入点A 得1=p ，设水位下降1米后水

面与桥的交点坐标为)3,(0-x ，则6,3202

0±=-?-=x x ，所以水面宽度为62.

15.【2012高考重庆理14】过抛物线22y x =的焦点F 作直线交抛物线于,A B 两点，若25,,12

AB AF BF =

<则AF = . 【答案】6

5 【解析】抛物线22y x =的焦点坐标为)0,21

(，准线方程为21-

=x ，设A,B 的坐标分别为的),(),,(2211y x y x ，则4

14221==p x x ，设n BF m AF ==,，则21,2121-=-=n x m x ，所以有???

????=+=--1225

41)21)(21(n m n m ，解得65=m 或45=n ，所以65=AF . 16.【2012高考辽宁理15】已知P ，Q 为抛物线2

2x y =上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，-2，过P 、Q 分别作抛物线的切线，两切线交于A ，则点A 的纵坐标为__________。

【答案】-4

【解析】因为点P ，Q 的横坐标分别为4，-2，代人抛物线方程得P ，Q 的纵坐标分别为

8,2. 由2212,,,2

x y y x y x '==∴=则所以过点P ，Q 的抛物线的切线的斜率分别为4，-2，所以过点P ，Q 的抛物线的切线方程分别为48,22,y x y x =-=--联立方程组解得

1,4,

x y ==-故点A 的纵坐标为-4 【点评】本题主要考查利用导数求切线方程的方法，直线的方程、两条直线的交点的求法，属于中档题。曲线在切点处的导数即为切线的斜率，从而把点的坐标与直线的斜率联系到一起，这是写出切线方程的关键。

17.【2012高考江西理13】椭圆 )0(122

22>>=+b a b

y a x 的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F 1，F 2。若1AF ，

21F F ，B F 1成等比数列，则此椭圆的离心率为_______________. 【答案】5

5 【命题立意】本题考查椭圆的几何性质，等比数列的性质和运算以及椭圆的离心率。

【解析】椭圆的顶点)0,(),0,(A B a A -,焦点坐标为)0,(),0,(21c F c F -，所以c a B F c a AF +=-=11,，c F F 221=,又因为1AF ，21F F ，B F 1成等比数列，所以有222))((4c a c a c a c -=+-=，即225a c =，所以c a 5=，离心率为5

5==a c e . 18.【2012高考江苏8】（5分）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22

214

x y m m -=+的离心

m 的值为 ▲ ．

【答案】2。

【考点】双曲线的性质。

【解析】由22

214

x y m m -=+得a b c

∴=c e a 244=0m m -+，解得=2m 。 三、解答题

19.【2012高考江苏19】（16分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左、右焦点分别为1(0)F c -，，2(0)F c ，

．已知(1)e ，

和e ? ??

都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率．

（1）求椭圆的方程；

（2）设,A B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线1AF 与直线2BF 平行，2AF 与1BF 交于点P ． （i

）若12AF BF -=

，求直线1AF 的斜率； （ii ）求证：12PF PF +是定值．

【答案】解：（1）由题设知，222==c a b c e a

+，，由点(1)e ，在椭圆上，得 2222222222222222111=1===1e c b c a b a a b b a b a a b

+=?+?+??，∴22=1c a -。

由点e ?

??

在椭圆上，得

222224222244

1311144=0=214e c a a a a a b a a -????+=?+=?+=?-+? ∴椭圆的方程为2

212

x y +=。 （2）由（1）得1(10)F -，

，2(10)F ，，又∵1AF ∥2BF ， ∴设1AF 、2BF 的方程分别为=1=1my x my x +-，，

()()11221200A x y B x y y >y >，，，，，。

∴(

)

2

21221111111221=02=1x y m y my y my x ?+=??+--???+?。

∴

)21212

m AF m +++

。①

同理，)22212m BF m +-+。②

（i ）由①②得，12AF BF -

=

2m =2。

∵注意到0m >，∴m 。

∴直线1

AF 的斜率为1m （ii ）证明：∵1AF ∥2BF ，∴211BF PB PF AF =，即2121

1111

11BF PB PF BF AF PB PF AF PF AF +++=+?=。 ∴11112

=AF PF BF AF BF +。

由点B 在椭圆上知，12BF

BF +=()

11212=AF PF BF AF BF +。

同理。()22112=

BF PF AF AF BF +

。

∴(

)()

12212211212122+=AF BF AF BF PF PF BF AF AF BF AF BF AF BF +=++

+ 由①②得，)2121

=2m AF BF m +++，221=2m AF BF m ++，

∴12

+

PF PF

∴

12

PF PF

+是定值。

20.【2012高考浙江理21】(本小题满分15分)如图，椭圆C：

22

22

+1

x y

a b

=(a＞b＞0)的离心率为

1

2

，其左焦点到点P(2，1)

O的直线l与C相交于A，B两点，

且线段AB被直线OP 平分．

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ) 求?ABP的面积取最大时直线l的方程．

【命题立意】本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。

【解析】(Ⅰ)由题：

1

2

c

e

a

==；(1)

左焦点(﹣c，0)到点P(2，1)

的距离为：d=

(2)

由(1) (2)可解得：222

431

a b c

===

，，．

∴所求椭圆C的方程为：

22

+1

43

x y

=．

(Ⅱ)易得直线OP的方程：y＝

1

2

x，设A(x A，y A)，B(x B，y B)，R(x0，y0)．其中y0＝

1

2

x0．∵A，B在椭圆上，

∴

22

22

+1

2

333

43

4422

+1

43

A A

A B A B

AB

A B A B

B B

x y

x

y y x x

k

x x y y y

x y

?

=

?-+

?

?==-?=-?=-

?

-+

?=

??

．

设直线AB的方程为l：y＝﹣

3

2

x m

+(m≠0)，

代入椭圆：22

22+143

333032

x y x mx m y x m ?=???-+-=?

?+??＝-．

显然222(3)43(3)3(12)0m m m ?=-?-=->．

m

m ≠0．

由上又有：A B x x +＝m ，A B y y +＝23

3

m -．

∴|AB |

A B x x -|

．

∵点P (2，1)到直线l

的距离表示为：d =

=

∴S ?ABP ＝12d |AB |＝1

2

|m ＋

当|m ＋2|

m ＝﹣3 或m ＝0(舍去)时，(S ?ABP )max ＝1

2

．

此时直线l 的方程y ＝﹣31

22

x +．

21.【2012高考辽宁理20】(本小题满分12分)

如图，椭圆0C ：22

22

1(0x y ab a b

+=>>，a ，b 为常数)，动圆222

11:C xyt +=，1b t a <<。点12,A A 分别为0C 的左，右顶点，1C 与0C 相交于A ，B ，C ，D 四点。 (Ⅰ)求直线1AA 与直线2A B 交点M 的轨迹方程;

(Ⅱ)设动圆22222:C xyt +=与0C 相交于////

,,,A B C D 四点，其中2b t a <<， 12t t ≠。若矩形A B C D 与矩形////

A B C D 的面积相等，证明：2212t t +

为定值。 【命题意图】本题主要考查圆的方程、椭圆方程、轨迹求法、解析几何中的定值问题，考查

转化与化归能力、运算求解能力，是难题.

【解析】设()()1111,,,-A x y B x y ，又知()()12-,0,,0A a A a ，则 直线1A A 的方程为 ()1

1=++y y x a x a ① 直线2A B 的方程为

()11-=--y

y x a x a

②

由①②得 ()22

22

1221-=--y y x a x a

③

由点()11,A x y 在椭圆0C 上，故可得221122+=1x y a b ，从而有222112=1-x y b a ?? ???

，代入③得 ()22

22

-=1<-,<0x y x a y a b ……6分 （2）证明：设()22',A x y ，由矩形ABCD 与矩形''''A B C D 的面积相等，得

2222112211224=4,=x y x y x y x y ∴，因为点,'A A 均在椭圆上，所以

2222221212221-=1-x x b x b x a a ???? ? ?????

由12t t ≠，知12x x ≠，所以22212+=x x a 。从而22212+=y y b ，因而222212+=+t t a b 为定值…12分

【点评】本题主要考查圆的性质、椭圆的定义、标准方程及其几何性质、直线方程求解、直线与椭圆的关系和交轨法在求解轨迹方程组的运用。本题考查综合性较强，运算量较大。在求解点M 的轨迹方程时，要注意首先写出直线1AA 和直线B A 2的方程，然后求解。属于中档题，难度适中。

22.【2012高考湖北理】（本小题满分13分）

设A 是单位圆221x y +=上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足||||(0,1)DM m DA m m =>≠且. 当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C ．

（Ⅰ）求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；

（Ⅱ）过原点且斜率为k 的直线交曲线C 于P ，Q 两点，其中P 在第一象限，它在y 轴

上的射影为点N ，直线QN 交曲线C 于另一点H . 是否存在m ，使得对任意的

0k >，都有PQ PH ⊥？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（Ⅰ）如图1，设(,)M x y ，00(,)A x y ，则由||||(0,1)DM m DA m m =>≠且，

可得0x x =，0||||y m y =，所以0x x =，01||||y y m

=. ① 因为A 点在单位圆上运动，所以22001x y +=. ②

将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为2

2

2 1 (0,1)y x m m m

+=>≠且. 因为(0,1)(1,)m ∈+∞，所以 当01m <<时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，

两焦点坐标分别为(0)

，0)；

当1m >时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，

两焦点坐标分别为(0,

，(0,. （Ⅱ）解法1：如图2、3，0k ?>，设11(,)P x kx ，22(,)H x y ，则11(,)Q x kx --，1(0,)N kx ，

直线QN 的方程为12y kx kx =+，将其代入椭圆C 的方程并整理可得 222222211(4)40m k x k x x k x m +++-=.

依题意可知此方程的两根为1x -，2x ，于是由韦达定理可得

21122

244k x x x m k -+=-+，即21

222

4m x x m k =+. 因为点H 在直线QN 上，所以21

21222

224km x y kx kx m k -==+.

于是11(2,2)PQ x kx =--，2211

21212

22242(,)(,)44k x km x PH x x y kx m k m k =--=-++. 而PQ PH ⊥等价于222

122

4(2)04m k x PQ PH m k -?=

=+， 即220m -=，又0m >

，得m =

故存在m =使得在其对应的椭圆2

2

12

y x +=上，对任意的0k >，都有PQ PH ⊥.

解法2：如图2、3，1(0,1)x ?∈，设11(,)P x y ，22(,)H x y ，则11(,)Q x y --，1(0,)N y ，

因为P ，H 两点在椭圆C 上，所以2222

112222

22

,

,m x y m m x y m ?+=??+=?? 两式相减可得 222221212()()0m x x y y -+-=. ③

依题意，由点P 在第一象限可知，点H 也在第一象限，且P ，H 不重合， 故1212()()0x x x x -+≠. 于是由③式可得

212121212()()

()()

y y y y m x x x x -+=--+. ④

又Q ，N ，H 三点共线，所以QN QH k k =，即112

112

2y y y x x x +=

+. 于是由④式可得2

11212121121212()()12()()2

PQ PH

y y y y y y y m k k x x x x x x x --+?=?=?=---+. 而PQ PH ⊥等价于1PQ PH

k k ?=-，即212

m -=-，又0m >，得m =

图2 (01)m <<

图3 (1)m >

图1 第21题解答图

故存在m =使得在其对应的椭圆2

2

12y x +=上，对任意的0k >，都有PQ PH ⊥. 23.【2012高考北京理19】（本小题共14分）

已知曲线()()()22

:528C m x m y m -+-=∈R . （1）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的取值范围；

（2）设4m =，曲线C 与y 轴的交点为A ，B （点A 位于点B 的上方），直线4y kx =+与

曲线C 交于不同的两点M ，N ，直线1y =与直线BM 交于点G ，求证：A ，G ，N 三点共线.

解：（1）原曲线方程可化简得：22

152

x y m m +=-- 由题意可得：8852805802m m m

m ?>?--??>?-??>?-?，解得：752m << （2）由已知直线代入椭圆方程化简得：22(21)16240k x kx +++=，

2=32(23)k ?-，解得：232

k > 由韦达定理得：21621M N k x x k +=+①，22421

M N x x k =+，② 设(,4)N N N x k x +，(,4)M M M x kx +，(1)G G x ，

MB 方程为：62M M kx y x x +=-，则316M M x G kx ?? ?+??

，， ∴316M M x AG x k ??=- ?+??

，，()2N N AN x x k =+，， 欲证A G N ，，三点共线，只需证AG ，AN 共线 即3(2)6

M N N M x x k x x k +=-+成立，化简得：(3)6()M N M N k k x x x x +=-+ 将①②代入易知等式成立，则A G N ，

，三点共线得证。 24.【2012高考广东理20】（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率

，且椭圆C 上的点到Q （0，2）的距离的最大值为3.

（1）求椭圆C 的方程；

（2）在椭圆C 上，是否存在点M （m,n ）使得直线l ：mx+ny=1与圆O ：x 2+y 2=1相交于不同的两点A 、B ，且△OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及相对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由．

【答案】本题是一道综合性的题目，考查直线、圆与圆锥曲线的问题，涉及到最值与探索性问题，意在考查学生的综合分析问题与运算求解的能力。

【解析】（1）设c = 由2223

c e c a a ===，所以222213b a c a =-= 设(,)P x y 是椭圆C 上任意一点，则22

22

1x y a b +=，所以2

22

222(1)3y x a a y b =-=-

||PQ ===

当1b ≥时，当1y =-时，||PQ 有最大值3=，可得a =

1,b c ==

当1b <时，3PQ <

= 不合题意 故椭圆C 的方程为：2

213

x y += （2）AOB ?中，1OA OB ==，11sin 22

AOB S OA OB AOB ?=

???∠≤ 当且仅当90AOB ?∠=时，AOB S ?有最大值12，

90AOB ?∠=时，点O 到直线AB 的距离为2

d =

22

222d m n =?=?+=

又22223133,22m n m n +=?==，此时点(2M ±。

25.【2012高考重庆理20】（本小题满分12分（Ⅰ）小问5分（Ⅱ）小问7分） 如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左右焦点分别为21,F F ，线段 的中点分别为21,B B ，且△21B AB 是面积为4的直角三角形.

（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；

（Ⅱ）过 做直线l 交椭圆于P ，Q 两点，使22QB PB ⊥，求直线l 的方程

【命题立意】本题考查椭圆的标准方程，平面向量数量积的基本运算，直线的一般式方程以及直线与圆锥曲线的综合问题. 解：设所求椭圆的标准方程为()22

2210x y a b a b

+=>>，右焦点为()2,0F c 。 因12AB B 是直角三角形，又12AB AB =,故12B AB ∠为直角，因此2OA OB =,得2

c b =。 结合222c a b =-得2224b a b =-，故22225,4a b c b ==

，所以离心率c e a ==。 在12Rt AB B 中，12OA B B ⊥，故

122122122AB B c S B B OA OB OA b b ==== 由题设条件124AB B S =，得24b =，从而22520a b ==。

因此所求椭圆的标准方程为：

22

1204

x y += （2）由（1）知1(2,0),(2,0)B B -，由题意知直线l 的倾斜角不为0，故可设直线l 的方程为：2x my =-，代入椭圆方程得()2254160m y my +--=，

设()()1222,,,P x y Q x y ，则12,y y 是上面方程的两根，因此

12245m y y m +=+,122165

y y m =-+ 又()()2112222,,2,B P x y B Q x y =-=-，所以 ()()22121222B P B Q x x y y =--+

()()121244my my y y =--+

()

()212121416m y y m y y =+-++ ()

2222161161655

m m m m +=--+++ 2216645

m m -=-+ 由21PB QB ⊥,得220B P B Q =,即2

16640m -=，解得2m =±，

所以满足条件的直线有两条，其方程分别为：220x y ++=和220x y -+=。

26.【2012高考四川理21】(本小题满分12分)

如图，动点M 到两定点(1,0)A -、(2,0)B 构成MAB ?，且2MBA MAB ∠=∠，设动点M 的轨迹为C 。

（Ⅰ）求轨迹C 的方程；

（Ⅱ）设直线2y x m =-+与y 轴交于点P ，与轨迹C 相交于点Q R 、，且||||PQ PR <，求||||

PR PQ 的取值范围。y x B A

O M

【答案】本题主要考查轨迹方程的求法，圆锥曲线的定义等基础知识，考查基本运算能力，逻辑推理能力，考查方程与函数、数形结合、分类讨论、化归与转化等数学思想

[解析]（1）设M 的坐标为（x,y ），显然有x>0,0≠y .

当∠MBA=90°时，点M 的坐标为（2，, ±3）

当∠MBA≠90°时；x≠2.由∠MBA=2∠MAB,

有tan ∠MBA=MAB MAB ∠-∠2tan 1tan 2,即2)1||(11|

|2

2||+-+=--x y x y x y 化简得：3x 2-y 2-3=0,而又经过（2，,±3）

综上可知，轨迹C 的方程为3x 2-y 2-3=0（x>1）…………………5分

(II)由方程???=--+-=0

33222y x m x y 消去y ，可得03422=++-m mx x 。（*） 由题意，方程（*）有两根且均在（1，+∞）内，设34)(22++-=m mx x x f

所以????

?????>+--=?>++-=>--0)3(4)4(0341)1(1

242222m m m m f m

解得，m>1,且m ≠2

设Q 、R 的坐标分别为),(),,(00R R y x y x ，由PR PQ <有

)1(32,)1(32202--=-+=m m x m m x R 所以)11(3241)11(32)11(32)1(32)1(3222222m m m m m m m x x PQ PR Q R --+-=---

+=---+== 由m>1，且m ≠2，有

.7m 11324

1,347)11(324

1122≠--+-+<--+-<）（且m 所以PQ

PR 的取值范围是())347,7(7,1+ ................................................ 12分 [点评]本小题主要考察直线、双曲线、轨迹方程的求法等基础知识，考察思维能力、运算能力，考察函数、分类与整合等思想，并考察思维的严谨性。

27.【2012高考新课标理20】（本小题满分12分）

设抛物线2

:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，A C ∈，已知以F 为圆心， FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点；

（1）若090=∠BFD ，ABD ?的面积为24；求p 的值及圆F 的方程；

（2）若,,A B F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，

求坐标原点到,m n 距离的比值.

【答案】（1）由对称性知：BFD ?是等腰直角?，斜边2BD p =

点A 到准线l

的距离d FA FB ===

122

ABD S BD d p ?=???=?= 圆F 的方程为22(1)8x y +-=

（2）由对称性设2000(,)(0)2x A x x p

>，则(0,)2p F 点,A B 关于点F 对称得：22220000(,)3222

x x p B x p p x p p p --?-=-?=

得：3,)2p A

，直线3:02p p p m y x -=+?+=

22

22x x x py y y x p p p '=?=?==?=?

切点)6p P

直线:06p n y x x p -=?-= 坐标原点到,m n

3=. 28.【2012高考福建理19】如图，椭圆E ：

的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率.过F1的直线交椭圆于A 、B 两点，且△ABF2的周长为

8.

（Ⅰ）求椭圆E 的方程.

（Ⅱ）设动直线l ：y=kx+m 与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线x=4相较于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.

解答：

（Ⅰ）设c = 则2212342

c e a c a b a ==?=?= 2ABF ?

的周长为22121288

482,1AB AF BF AF AF BF BF a a b c ++=?+++=?=?===

椭圆E 的方程为22

143

x y += （Ⅱ）由对称性可知设000(,)(0)P x y y >与(,0)M x

220031434x x y y y k y '+=?==?=-

直线000000

33(1)

:()(4,)4x x l y y x x Q y y --=-

-? 00000

3(1)

0()(4)0(1)(1)(3)x M P M Q x x x y x x x x

y -=?--+?=?-=--（*）

（*）对0(2,2)x ∈-恒成立1x ?=， 得(1,0)M

29.【2012高考上海理22】（4+6+6=16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线1C ：

1222=-y x ．

（1）过1C 的左顶点引1C 的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及x 轴围成的三角形的面积；

（2）设斜率为1的直线l 交1C 于P 、Q 两点，若l 与圆12

2=+y x 相切，求证：OQ OP ⊥；

（3）设椭圆2C ：1422=+y x ，若M 、N 分别是1C 、2C 上的动点，且ON OM ⊥，求证：O 到直线MN 的距离是定值. [解]（1）双曲线1:

212

1

2

=-y C x ，左顶点)0,(2-

A ，渐近线方程：x y 2±=.

过点A 与渐近线x y 2=平行的直线方程为)(22+=x y ，

即12+=x y . 解方程组???+=-=122x y x y ，得?????=-

=2

1

4

2

y x . ……2分

所以所求三角形的面积1为21||||==y OA S . ……4分

（2）设直线PQ 的方程是b x y +=.因直线与已知圆相切，

故

12

||=b ，即22=b . ……6分

由??

?=-+=1

22

2y x b x y ，得0122

2=---b bx x . 设P (x 1, y 1)、Q (x 2, y 2)，则???--==+122

2

121b x x b

x x .（lb ylfx ） 又2，所以

221212121)(2b x x b x x y y x x OQ OP +++=+=?

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