新版高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：88圆锥曲线的综合问题 Word版含解析

1 1 [课 时 跟 踪 检 测]

[基 础 达 标]

1．过抛物线y2＝2x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( )

A．有且只有一条 C．有且只有三条

B．有且只有两条 D．有且只有四条

解析：设该抛物线焦点为F，A(xA，yA)，B(xB，yB)，则|AB|＝|AF|＋|FB|＝xApp

＋2＋xB＋2＝xA＋xB＋1＝3>2p＝2.所以符合条件的直线有且只有两条．

答案：B

2．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是( )

?1515?

? A.?－，

33??

?15?

? C.?－

3，0??

?15?

? B.?0，

3??

??15

? D.?－，－1

3??

?y＝kx＋2，

解析：由?22得(1－k2)x2－4kx－10＝0.设直线与双曲线右支交于

?x－y＝6，

?Δ＝16k－4?1－k?×?－10?>0，?4k

不同的两点A(x，y)，B(x，y)，则?x＋x＝>0，

1－k

?xx＝－10>0，?1－k

2

2

1

1

2

2

1

2

212

21－k2≠0，

15??15

?. 解得－3

3??答案：D

x2y2

3．(山东师大附中模拟)已知两定点A(0，－2)，B(0,2)，点P在椭圆12＋16＝→|－|BP→|＝2，则AP→·→为( )

1上，且满足|APBP

A．－12

B．12

C．－9 D．9

x2y2→|＋|BP→|＝2×4

解析：易知A(0，－2)，B(0,2)为椭圆12＋16＝1的两焦点，∴|AP→|－|BP→|＝2，∴|AP→|＝5，|BP→|＝3.∵|AB→|＝4，∴△ABP为直角三角形，＝8.又|AP

→·→＝|BP→|2＝9. ∴APBP

答案：D

x2y2

4．(北京大兴一中月考)已知双曲线C：a2－b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于C的渐近线的直线交C于点P.若PF1⊥PF2，则C的离心率为( )

A.2 C．2

B.3 D.5

b

解析：取双曲线C的渐近线为y＝ax.因为F1(－c,0)，F2(c,0)，所以过F2作bb

平行于渐近线y＝ax的直线PF2的方程为y＝a(x－c)．

a

因为PF1⊥PF2，所以直线PF1的方程为y＝－b(x＋c)． by＝??a?x－c?，

联立方程组?a

y＝－?x＋c?，??b

22

2ab??b－a

?. 得点P的坐标为?，－c??c

因为点P在双曲线C上，

22

?b－a?2?2ab?2???－?c??b2－a2?24a2?c??

所以a2－b2＝1，即a2c2－c2＝1.

?c2－2a2?24a2

因为c＝a＋b，所以a2c2－c2＝1，整理得

2

2

2

c2＝5a2.

c

因为e＝a>1，所以e＝5.故选D. 答案：D

5．(皖南八校联考)设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为( )

A．y2＝2x C．y2＝－2x

B．(x－1)2＋y2＝4 D．(x－1)2＋y2＝2

解析：(直译法)如图，设P(x，y)，圆心为M(1,0)．连接MA，PM.则MA⊥PA，且|MA|＝1，又因为|PA|＝1，所以|PM|＝|MA|2＋|PA|2＝2，

即|PM|2＝2，所以(x－1)2＋y2＝2. 答案：D

6．(南昌模拟)已知A(－2,0)，B(1,0)两点，动点P不在x轴上，且满足∠APO＝∠BPO，其中O为原点，则P点的轨迹方程是( )

A．(x＋2)2＋y2＝4(y≠0) B．(x＋1)2＋y2＝1(y≠0) C．(x－2)2＋y2＝4(y≠0) D．(x－1)2＋y2＝1(y≠0)

|PA||AO|2

解析：利用角平分线的性质|PB|＝|OB|＝1＝2.设P(x，y)，(y≠0)，则?x＋2?2＋y2＝2?x－1?2＋y2，整理得(x－2)2＋y2＝4(y≠0)． 答案：C

x2y2

7．(绵阳二诊)若点O和点F分别为椭圆4＋3＝1的中心和左焦点，点P在→·→的最大值为( )

椭圆上的任意一点，则OPFP

21

A.4

B．6

C．8 D．12

→·→＝(x，y)·

解析：由题意得F(－1,0)，设P(x，y)，则OPFP(x＋1，y)＝x2＋xx2y2311

＋y，又点P在椭圆上，故4＋3＝1，所以x2＋x＋3－4x2＝4x2＋x＋3＝4(x＋2)2

2

1→·→的最

＋2，又－2≤x≤2，所以当x＝2时，4(x＋2)2＋2取得最大值6，即OPFP大值为6.

答案：B

x2y2

8．(温州十校联考)若双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的虚轴端点到直线y＝a2x

ab的距离为1，则双曲线的离心率的最小值为( )

A．3 C.3

B．2 D.2

x2y2

解析：因为双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的虚轴端点(0，b)或(0，－b)到直线y

2

bc242

＝a2x的距离为1，所以22＝1，即b＝1＋a，所以离心率e＝a2，＝1＋1＋?a?

a4＋112

2≥1＋2，∴e≥3，当且仅当a＝2，即a＝1，b＝2时取等号，故选C. aa

答案：C

9．(西宁模拟)已知点P(2,1)，若抛物线y2＝4x的一条弦AB恰好是以P为中点，则弦AB所在直线方程是________．

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB所在直线方程为y－1＝k(x－2)，即y＝kx＋1－2k，

?y＝kx＋1－2k，联立?2

?y＝4x，

整理得k2x2＋[2k(1－2k)－4]x＋(1－2k)2＝0. 2k?1－2k?－4

所以有x1＋x2＝－，

k22k?1－2k?－4

∵弦AB恰好是以P为中点，∴－＝4，解得k＝2.

k2所以直线方程为y＝2x－3，即2x－y－3＝0. 答案：2x－y－3＝0

12

10．如图，过抛物线y＝4x的焦点F的直线l与抛物线和圆x2＋(y－1)2＝1→·→＝________.

交于A，B，C，D四点，则ABDC

y＝1，??

解析：不妨设直线AB的方程为y＝1，联立?12

y＝x，??4

解得x＝±2，则A(－

→＝(1,0)，DC→＝(－1,0)，所以AB→·→

2,1)，D(2,1)，因为B(－1,1)，C(1,1)，所以ABDC＝－1.

答案：－1

x2y2x2y2

11．(河南郑州质检)已知椭圆C1：－＝1与双曲线C2：m＋n＝1有

m＋2n相同的焦点，则椭圆C1的离心率e1的取值范围为________．

x2y2222

解析：∵椭圆C1：－n＝1，∴a21＝m＋2，b1＝－n，c1＝m＋2＋n，e1＝m＋2m＋2＋nnx2y222

＝1＋.∵双曲线C2：m＋n＝1，∴a22＝m，b2＝－n，c2＝m－n.由m＋2m＋2题意可得m＋2＋n＝m－n，则n＝－1.∴e21＝1－

1

.由m>0，得m＋2>2.∴m＋2

111111120<<2，－>－2，∴1－>2，即e2>.而0

22

2

答案：2

12．(宜昌模拟)已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左右焦点3??

分别为F1和F2，且|F1F2|＝2，点?1，2?在该椭圆上．

??

(1)求椭圆C的方程；

122

(2)过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AF2B的面积为7，求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程．

解：(1)因为|F1F2|＝2，所以c＝1.∴F1(－1,0)，F2(1,0)． 3?19?1，??又点2?在该椭圆上，∴a2＋4b2＝1， ?a2＝b2＋c2，∴a2＝4，b2＝3. x2y2

所以椭圆C的方程为4＋3＝1.

3??3??

(2)①当直线l⊥x轴时，可得A?－1，－2?，B?－1，2?，△AF2B的面积为3，

????不符合题意；②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)．代入椭圆方程得(3＋4k2)x2＋4k2x＋4k2－12＝0，

显然Δ>0成立，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

8k2－1212?k2＋1?4k2

x1＋x2＝－，xx＝，可得|AB|＝，用点到直线的距离3＋4k2123＋4k23＋4k2公式可得圆F2的半径r＝

2|k|

2， 1＋k

12k4＋k21221

∴△AF2B的面积＝2|AB|r＝＝7，

3＋4k2化简得17k4＋k2－18＝0，得k＝±1， ∴r＝2，圆的方程为(x－1)2＋y2＝2.

[能 力 提 升]

1．(杭州二中质检)已知抛物线y2＝2px(p>0)与直线ax＋y－4＝0相交于A，B两点，其中A点的坐标是(1,2)．如果抛物线的焦点为F，那么|FA|＋|FB|等于( )

A．5 C．35

B．6 D．7

解析：把点A的坐标(1,2)分别代入抛物线y2＝2px与直线方程ax＋y－4＝0，

2

?y＝4x，

得p＝2，a＝2，由?消去y得x2－5x＋4＝0，则xA＋xB＝5.由抛

?2x＋y－4＝0，

物线定义得|FA|＋|FB|＝xA＋xB＋p＝7，故选D.

答案：D

x2y2

2．已知双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4，若抛物线y＝ax2上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝x＋m对称，

1

且x1x2＝－2，则m的值为( )

3A.2 C．2

5B.2 D．3

解析：由双曲线的定义知2a＝4，得a＝2，所以抛物线的方程为y＝2x2.因

2

为点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线y＝2x2上，所以y1＝2x21，y2＝2x2，两式相减

得y1－y2＝2(x1－x2)(x1＋x2)，不妨设x1

2

x1＋x2y1＋y22x211＋2x25

y1)，B(x2，y2)的中点为M(x0，y0)，则x0＝2＝－4，y0＝2＝＝4，2

513

因为中点M在直线y＝x＋m上，所以4＝－4＋m，解得m＝2. 答案：A

3．若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0,2)，直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为________．

解析：因为椭圆的中心在原点，一个焦点为(0,2)，则a2－b2＝4，所以可设?y＝3x＋7，?2yx

椭圆方程为2＋b2＝1，联立?yx2

b＋4＋2＝1，2??b＋4b

2

2

得(10b2＋4)y2－14(b2＋4)y－

9b4＋13b2＋196＝0，设直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的端点为(x1，y1)，(x2，14?b2＋4?

y2)，由一元二次方程根与系数的关系得y1＋y2＝＝2.解得b2＝8.所以a2210b＋4x2y2

＝12.则椭圆方程为8＋12＝1.

x2y2

答案：8＋12＝1

x2y2

4．(徐汇区校级模拟)设直线l过点P(0,3)，和椭圆9＋4＝1交于A、B两点|AP|

(A在B上方)，试求|PB|的取值范围________．

解析：当直线l的斜率不存在时，A点坐标为(0,2)，B点坐标为(0，－2)，这|AP|1时|PB|＝5.

当直线l斜率为k时，直线l方程为y＝kx＋3，设A点坐标为(x1，y1)，B点→＝(－x3－y)，PB→＝(x，y－3)，所以|AP|＝x1，

坐标为(x2，y2)，则AP1,122

|PB|x

2

因为直线y＝kx＋3与椭圆有两个交点，且它们的横坐标不同，把y＝kx＋3x2y2

代入9＋4＝1后的一元二次方程(9k2＋4)x2＋54k＋45＝0的判别式(54k)2－4(9k255

＋4)×45>0，所以k>3或k<－3，

x1

设x＝λ，则x1＝λx2，

2

54k45

因为x1＋x2＝－2，xx＝，

9k＋4129k2＋4所以(1＋λ)x2＝－λx22＝

45

，② 9k2＋4

?1＋λ?3632425，由k>得4<

4?9λ<5. ?

5×?9＋k2???

2

54k

，① 9k2＋4

①2?1＋λ?2由可得λ＝②

显然λ不等于1，解得0<λ<1. |AP|?1?

综上所述|PB|的范围是?5，1?.

???1?

答案：?5，1?

??

1?x2y2?

5．已知点A(0,1)与B?3，2?都在椭圆C：a2＋b2＝1(a>b>0)上，直线AB交

??x轴于点M.

(1)求椭圆C的方程，并求点M的坐标；

(2)设O为原点，点D与点B关于x轴对称，直线AD交x轴于点N，问：y轴上是否存在点E，使得∠OEM＝∠ONE？若存在，求点E的坐标；若不存在，说明理由．

1?x2y2?

解：(1)因为点A(0,1)与B?3，2?都在椭圆C：a2＋b2＝1(a>b>0)上，

??

1??b2＝1，所以?31

＋2??a4b2＝1，

2

?a＝4，解得?2

b＝1.?

x22

所以椭圆C的方程为4＋y＝1. 1－1

y－12

直线AB的方程为x＝，

3整理，得x＋23y－23＝0，

当y＝0时，x＝23，所以点M的坐标为(23，0)．

1??

(2)因为点A(0,1)，B?3，2?，O为原点，点D与点B关于x轴对称，直线

??AD交x轴于点N，

y－11??

所以D?3，－2?，直线AD：x＝??即3x＋23y－23＝0，

23?23?令y＝0，得x＝，所以N?，0?， 3?3?

?y0?

?23??3y0?

23?＝??，tan∠ONE＝?设E(0，y0)，tan∠OEM＝?，因为∠OEM???2??y0???3?＝∠ONE，所以

?23??3y0?

?＝??，解得y0＝±tan∠OEM＝tan∠ONE，所以?2. ?y0??2?所以y轴上存在点E(0，±2)，使得∠OEM＝∠ONE.

1－2－1

3

，

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