解答题训练--三角函数、平面向量与解三角形1

三角函数、平面向量与解三角形

解答题针对性训练题组

1. 已知函数f(x)?sinx?sin(x??2)?3cos2(3??x)?132(x?R)．

（1）求f(x)的最小正周期； （2）求f(x)的单调递增区间；

（3）求f(x)图象的对称轴方程和对称中心的坐标． 解:f(x)?

1cos2x?11sin2x?3?3 222???=?1sin2x?3cos2x?=sin(2x?) ?2?23?? （1）T=π； （2）由??2?2k??2x??3??2?2k?(k?z)

可得单调增区间[k???12,k??5?]（k?z)． 125?k??(k?z)， 122 （3）由2x?

由2x??3??2?k?得对称轴方程为x?k?,0)(k?z)

362????2.已知向量a?(?1,cos?x?3sin?x),b?(f(x),cos?x)，其中?＞0，且a?b，

??k?得对称中心坐标为(??又f(x)的图像两相邻对称轴间距为(Ⅰ)求?的值；

3?. 2(Ⅱ) 求函数f(x)在[－2?,2?]上的单调减区间.

??解： (Ⅰ) 由题意a?b?0

?f(x)?cos?x(cos?x?3sin?x)

?1?cos2?x3sin2?x?

22 1

?1??sin(2?x?) 261； 3 由题意，函数周期为3?，又?＞0，??? (Ⅱ) 由(Ⅰ)知f(x)?12x??sin(?) 236?2x?3???2k??,k?z ?2k???2362 ?3k???2?x?3k??2?,k?z

又x???2?,2??，?f(x)的减区间是??2?,????????,2??. ?2?3、在?ABC中，a、BC的对边，且满足b2?c2?a2?bc. b、c分别为角A、、（Ⅰ）求角A的值；

（Ⅱ）若a?3，设角B的大小为x,?ABC的周长为y，求y?f(x)的最大值.

b2?c2?a21? 解：（Ⅰ）在?ABC中，由b?c?a?bc及余弦定理得cosA?2bc2222 而0?A??，则A??3；

（Ⅱ）由a?3,A??3及正弦定理得

bca???sinBsinCsinA3?2， 322?2?2??x，则b?2sinx,c?2sin(?x)(0?x?) 3332???x)?23sin(x?)?3， 于是y?a?b?c?3?2sinx?2sin(362? 由0?x?得，当即时，。

3 而B?x,C?5、设函数

（Ⅰ）写出函数的最小正周期及单调递减区间；

（）当时，函数的最大值与最小值的和为，的图象、轴的正半轴及轴的正半轴三者围成

图形的面积.

解：（Ⅰ）………2分 ………4分 ………6分 （）

………8分

的图象与x轴正半轴的第一个交点为 ………10分

2

所以的图象、y轴的正半轴及x轴的正半轴三者围成图形的面积 = …12分

6、已知向量m＝（，1），n＝(，)。 （I） m?n=1,求的值; （II） 记f(x)=m?n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a,b,c，

且满足（2a-c）cosB=bcosC，求函数f(A)的取值范围。 解：（I）m?n= = = ∵m?n=1

∴┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分

=

┉┉┉┉┉┉┉6分

（II）∵（2a-c）cosB=bcosC

由正弦定理得┉┉┉┉┉┉7分 ∴

∴ ∵ ∴，且

∴┉┉┉┉┉┉8分 ∴┉┉┉┉┉┉9分 ∴┉┉┉┉┉┉10分

又∵f(x)=m?n＝，

∴f(A)= ┉┉┉┉┉┉11分

故函数f(A)的取值范围是（1,）┉┉┉┉┉┉12分 7、在中，分别是的对边长，已知. (Ⅰ)若,求实数的值; (Ⅱ)若,求面积的最大值. 解:(Ⅰ) 由两边平方得: 即

解得: …………………………3分 而可以变形为

即 ，所以…………………………6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ,则…………………………7分 又…………………………8分

所以即…………………………10分 故………………………………12分

8、已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为，且满足

（I） 求角B大小； （II） 设，求的最小值.

3

9、在等比数列。 （1）求的值； （2）若的值。 解：（I）依题意，

由正弦定理及 3分 6分 （II）由

由（舍去负值） 8分 从而， 9分 由余弦定理，得 代入数值，得 解得 12分

10、在锐角中，是角所对的边，是该三角形的面积，若

。

（1）求角的度数；（2）若，求的值。 解：（1），则…… （6分）

（2）……………（9分）

…………（12分） 11、已知（其中0<<1）,

函数若直线是函数图像的一条对称轴，

（I） 试求的值； （II） 先列表在作出函数在区间上的图像

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解： 列表

描点作图，函数在的图像如图所示。

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