《概率论与数理统计》习题答案（复旦大学出版社）第二章

习题二

1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X表示取出的3只

球中的最大号码，写出随机变量X的分布律. 【解】

X?3,4,5P(X?3)?P(X?4)?1?0.13C53 ?0.3C35C24P(X?5)?3?0.6C5故所求分布律为 X P 3 0.1 4 0.3 5 0.6 2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品个数，求： （1） X的分布律；

（2） X的分布函数并作图； (3)

133P{X?},P{1?X?},P{1?X?},P{1?X?2}.

222【解】

X?0,1,2.3C1322P(X?0)?3?.C15352C112 2C13P(X?1)?3?.C1535C11P(X?2)?13?.3C1535故X的分布律为 X P 0 1 2 22 3512 351 35 （2） 当x<0时，F（x）=P（X≤x）=0

当0≤x<1时，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)=

22 35 1

当1≤x<2时，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)+P(X=1)=当x≥2时，F（x）=P（X≤x）=1 故X的分布函数

34 35x?0?0,?22?,0?x?1?35 F(x)??34?,1?x?2?35?1,x?2?(3)

1122P(X?)?F()?,2235333434P(1?X?)?F()?F(1)???0223535

3312P(1?X?)?P(X?1)?P(1?X?)?2235341P(1?X?2)?F(2)?F(1)?P(X?2)?1???0.35353.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】

设X表示击中目标的次数.则X=0，1，2，3.

P(X?0)?(0.2)3?0.0082P(X?1)?C130.8(0.2)?0.096P(X?2)?C(0.8)0.2?0.384P(X?3)?(0.8)3?0.512故X的分布律为 X P 分布函数 0 0.008 1 0.096 2 0.384 232

3 0.512 x?0?0,?0.008,0?x?1??F(x)??0.104,1?x?2

?0.488,2?x?3?x?3??1,P(X?2)?P(X?2)?P(X?3)?0.896

4.（1） 设随机变量X的分布律为

2

P{X=k}=a?kk!，

其中k=0，1，2，?，λ＞0为常数，试确定常数a. （2） 设随机变量X的分布律为

P{X=k}=a/N， k=1，2，?，N，

试确定常数a. 【解】（1） 由分布律的性质知

1??P(X?k)?a?k?0k?0???kk!???a?e?

故 a?e

(2) 由分布律的性质知

NN1??P(X?k)??k?1k?1a?a N即 a?1.

5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求： （1） 两人投中次数相等的概率; （2） 甲比乙投中次数多的概率.

【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数，则X~b（3，0.6）,Y~b(3,0.7)

(1) P(X?Y)?P(X?0,Y?0)?P(X?1,Y?1)?P(X?2,Y?2)?

P(X?3,Y?3)

212?(0.4)3(0.3)3?C130.6(0.4)C30.7(0.3)+

22 C3(0.6)20.4C3(0.7)20.3?(0.6)3(0.7)3

?0.32076

(2) P(X?Y)?P(X?1,Y?0)?P(X?2,Y?0)?P(X?3,Y?0)? P(X?2,Y?1)?P(X?3,Y?1)?P(X?3,Y?2)

23223?C10.6(0.4)(0.3)?C(0.6)0.4(0.3)? 3322(0.6)3(0.3)3?C3(0.6)20.4C130.7(0.3)? 2322(0.6)3C130.7(0.3)?(0.6)C3(0.7)0.3

=0.243

6.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各

3

飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？

【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数，则X~b(200,0.02)，设机场需配备N条跑道，

则有

P(X?N)?0.01

即 利用泊松近似

k?N?1?200k200?kCk(0.02)(0.98)?0.01 200??np?200?0.02?4. e?44kP(X?N)???0.01

k!k?N?1?查表得N≥9.故机场至少应配备9条跑道.

7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？

【解】设X表示出事故的次数，则X~b（1000，0.0001）

P(X?2)?1?P(X?0)?P(X?1)

?1?e?0.1?0.1?e?0.1

8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X满足P{X=1}=P{X=2}，求概率P{X=4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p，则

4223C15p(1?p)?C5p(1?p)

故 p?1 34所以 P(X?4)?C5()134210?. 32439.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号， （1） 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率； （2） 进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率. 【解】（1） 设X表示5次独立试验中A发生的次数，则X~6（5，0.3）

kP(X?3)??C5(0.3)k(0.7)5?k?0.16308

k?35(2) 令Y表示7次独立试验中A发生的次数，则Y~b（7，0.3）

kP(Y?3)??C7(0.3)k(0.7)7?k?0.35293

k?3710.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为（1/2）t的泊松分

4

布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.

（1） 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；

（2） 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率. 【解】（1）P(X?0)?e?32 (2) P(X?1)?1?P(X?0)?1?e?52

k2?k11.设P{X=k}=Ck, k=0,1,2 2p(1?p)m4?mP{Y=m}=Cm, m=0,1,2,3,4 4p(1?p)分别为随机变量X，Y的概率分布，如果已知P{X≥1}=【解】因为P(X?1)?5，试求P{Y≥1}. 954，故P(X?1)?. 99而 P(X?1)?P(X?0)?(1?p)2

4, 91即 p?.

3故得 (1?p)?2从而 P(Y?1)?1?P(Y?0)?1?(1?p)?465?0.80247 8112.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000册书中

恰有5册错误的概率.

【解】令X为2000册书中错误的册数，则X~b(2000,0.001).利用泊松近似计算,

??np?2000?0.001?2

e?225?0.0018 得 P(X?5)?5!13.进行某种试验，成功的概率为

31，失败的概率为.以X表示试验首次成功所需试验的次44数，试写出X的分布律，并计算X取偶数的概率. 【解】X?1,2,?,k,?

13P(X?k)?()k?1

44P(X?2)?P(X?4)???P(X?2k)?? 131313???()3???()2k?1?? 444444131??4? 41?(1)254

5

14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡

的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求： （1） 保险公司亏本的概率;

（2） 保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率. 【解】以“年”为单位来考虑.

（1） 在1月1日，保险公司总收入为2500×12=30000元. 设1年中死亡人数为X，则X~b(2500,0.002)，则所求概率为

P(2000X?30000)?P(X?15)?1?P(X?14)

由于n很大，p很小，λ=np=5，故用泊松近似，有

14?1??e?5(X?15)5kP?0.000069

k?0k!(2) P(保险公司获利不少于10000)

?P(30000?2000X?10000)?P(X?10)

10 ??e?55kk?0k!?0.986305

即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上

P（保险公司获利不少于20000）?P(30000?2000X?20000)?P(X?5) ??5e?5 5k?0.615961k?0k!

即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%

15.已知随机变量X的密度函数为

f(x)=Ae?|x|, ?∞

求：（1）A值；（2）P{0

????f(x)dx?1得

1???Ae?|x|dx?2????0Ae?xdx?2A

故 A?12. (2) p(0?X?1)?11?x1?12?0edx?2(1?e)

(3) 当x<0时，F(x)??x1??2exdx?12ex 当x≥0时，F(x)??x1??2e?|x|dx??01xx1??2edx??02e?xdx ?1?1?x2e

6

?1xe,??2故 F(x)???1?1e?x??2x?0

x?016.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X的密度函数为

100??,x?100,

f(x)=?x2?x?100.?0,求：（1） 在开始150小时内没有电子管损坏的概率； （2） 在这段时间内有一只电子管损坏的概率； （3） F（x）. 【解】

1001dx?. ?100x2328p1?[P(X?150)]3?()3?

32741122(2) p2?C3()?

339（1） P(X?150)?150(3) 当x<100时F（x）=0

当x≥100时F(x)? ? ??x??100f(t)dt f(t)dt??x100???xf(t)dt

100100dt?1? ?100t2x?100,x?100?1?故 F(x)?? x?x?0?0,17.在区间［0，a］上任意投掷一个质点，以X表示这质点的坐标，设这质点落在［0，a］中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X的分布函数. 【解】 由题意知X~∪[0,a]，密度函数为

?1?,0?x?a f(x)??a?其他?0,故当x<0时F（x）=0 当0≤x≤a时F(x)?当x>a时，F（x）=1

即分布函数

?x??f(t)dt??f(t)dt??0xx01xdt? aa 7

?0,?x?F(x)??,?a??1,x?00?x?a x?a18.设随机变量X在[2，5]上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测，求至少有两次的观测

值大于3的概率. 【解】X~U[2,5]，即

?1?,2?x?5 f(x)??3?其他?0,P(X?3)??故所求概率为

5312dx? 3323202221p?C3()?C3 3()?3332719.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分钟计）服从指数分布E().某顾客在窗口

等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等

到服务而离开窗口的次数，试写出Y的分布律，并求P{Y≥1}. 【解】依题意知X~E()，即其密度函数为

x?1?5?e,x?0 f(x)??5?0,x?0?1515该顾客未等到服务而离开的概率为

x1?5P(X?10)??edx?e?2

105?Y~b(5,e?2),即其分布律为

kP(Y?k)?C5(e?2)k(1?e?2)5?k,k?0,1,2,3,4,5P(Y?1)?1?P(Y?0)?1?(1?e)?0.5167?25

20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X服

从N（40，102）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X服从N（50，42）. （1） 若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？ （2） 又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？ 【解】（1） 若走第一条路，X~N（40，102），则

?x?4060?40?P(X?60)?P?????(2)?0.97727

10??10 8

若走第二条路，X~N（50，42），则

?X?5060?50?P(X?60)?P?????(2.5)?0.9938++

4??4故走第二条路乘上火车的把握大些.

（2） 若X~N（40，102），则

?X?4045?40?P(X?45)?P?????(0.5)?0.6915

10??10若X~N（50，42），则

?X?5045?50?P(X?45)?P?????(?1.25)

44?? ?1??(1.25)?0.1056 故走第一条路乘上火车的把握大些.

21.设X~N（3，22），

（1） 求P{2

?0.8413?1?0.6915?0.5328??4?3X?310?3?P(?4?X?10)?P????

22??2 ????7??7????????0.9996 ?2??2?P(|X|?2)?P(X?2)?P(X??2)

?X?32?3??X?3?2?3??P???P????2222?????1??5??1??5? ?1???????????????1????

?2??2??2??2??0.6915?1?0.9938?0.6977P(X?3)?P(X?33-3?)?1??(0)?0.5 22(2) c=3

22.由某机器生产的螺栓长度（cm）X~N（10.05,0.062）,规定长度在10.05±0.12内为合格品,

9

求一螺栓为不合格品的概率. 【解】P(|X?10.05|?0.12)?P??X?10.050.12? ??0.06??0.06

?1??(2)??(?2)?2[1??(2)]?0.045623.一工厂生产的电子管寿命X（小时）服从正态分布N（160，σ2），若要求P{120＜X≤200}

≥0.8，允许σ最大不超过多少？ 【解】P(120?X?200)?P??120?160???X?160200?160?????? ???40???????????40??????2???40??????1?0. 8故 ??401.29?31.25 24.设随机变量X分布函数为

（x）=??A?Be?xtF,x?0,0,(??0),

?x?0.（1） 求常数A，B；

（2） 求P{X≤2}，P{X＞3}； （3） 求分布密度f（x）.

?limF(x)?1【解】（1）由??x????A?1??xlim?0?F(x)?得?xlim?0?F(x)?B??1

（2） P(X?2)?F(2)?1?e?2?

P(X?3)?1?F(3)?1?(1?e?3?)?e?3?

(3) f(x)?F?(x)????e??x,x?00,

?x?025.设随机变量X的概率密度为

?0?x?1,f（x）=?x,?2?x,1?x?2, ??0,其他.求X的分布函数F（x），并画出f（x）及F（x）.

【解】当x<0时F（x）=0

当0≤x<1时F(x)??x??f(t)dt??0??f(t)dt??x0f(t)dt

10

x2 ??tdt?

02x当1≤x<2时F(x)??x??0f(t)dt

f(t)dt??f(t)dt??f(t)dt01x1x????1??tdt??(2?t)dt01

?1x23

2?2x?2?2x2??2?2x?1当x≥2时F(x)??x??f(t)dt?1

??0,x?0?x20?x?1故 F(x)???2,

?x2???2x?1,1?x?2?2?1,x?226.设随机变量X的密度函数为

（1） f(x)=ae??|x|,λ>0;

?bx,0?x?(2) f(x)=?1,?12,1?x?2,

?x?0,其他.试确定常数a,b，并求其分布函数F（x）. 【解】（1） 由

????f(x)dx?1知1???ae??|x|dx?2a??e??xdx2a??0??

故 a??2

??e??x,x?0即密度函数为 f(x)????2????2e?xx?0当x≤0时F(x)??x??f(x)dx??x???2e?xdx?12e?x 当x>0时F(x)??x)dx??0?x??f(x??2e?xdx??x???02edx

?1?1??2ex 11

故其分布函数

?1??x1?e,x?0??2F(x)??

?1e?x,x?0??2(2) 由1?????f(x)dx??1bxdx?210?1x2dx?b2?12 得 b=1

即X的密度函数为

??x,0?x?1f(x)???12,1?x?2

?x??0,其他当x≤0时F（x）=0 当0

??xdx?x20x2

当1≤x<2时F(x)??x??f(x)dx??01x1??0dx??0xdx??1x2dx ?32?1x 当x≥2时F（x）=1 故其分布函数为

??0,x?0?x2,0?x?1F(x)???2

?3?1?x?2?2?1x,?1,x?227.求标准正态分布的上?分位点， （1）?=0.01，求z?; （2）?=0.003，求z?，z?/2. 【解】（1） P(X?z?)?0.01

即 1??(z?)?0.01 即

?(z?)?0.09

12

故 z??2.33 （2） 由P(X?z?)?0.003得

1??(z?)?0.003

即 ?(z?)?0.997 查表得 z??2.75 由P(X?z?/2)?0.0015得

1??(z?/2)?0.0015

即

?(z?/2)?0.9985

查表得 z?/2?2.96 28.设随机变量X的分布律为 X Pk ?2 ?1 0 1 3 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 求Y=X2的分布律.

【解】Y可取的值为0，1，4，9

P(Y?0)?P(X?0)?15117??61530

P(Y?1)?P(X??1)?P(X?1)?1511P(Y?9)?P(X?3)?30P(Y?4)?P(X??2)?故Y的分布律为

Y Pk 0 1 4 9 1/5 7/30 1/5 11/30 29.设P{X=k}=(

1k

), k=1,2,?,令 2?1,当X取偶数时Y??

?1,当X取奇数时.?求随机变量X的函数Y的分布律.

【解】P(Y?1)?P(X?2)?P(X?4)???P(X?2k)??

13

?(1)2?(1)4???(1)2k 222???(1

4)/(1?114)?3P(Y??1)?1?P(Y?1)?23 30.设X~N（0，1）.

（1） 求Y=eX的概率密度； （2） 求Y=2X2+1的概率密度； （3） 求Y=｜X｜的概率密度.

【解】（1） 当y≤0时，FY(y)?P(Y?y)?0

当y>0时，FY(y)?P(Y?y)?P(ex?y)?P(X?lny)

??lny??fX(x)dx

故 fdFY(y)111Y(y)?dy?yf(lny)?y2πe?ln2y/2x,y?0(2)P(Y?2X2?1?1)?1

当y≤1时FY(y)?P(Y?y)?0

当y>1时FY(y)?P(Y?y)?P(2X2?1?y)

?P??X2?y?1???P???y?1y?1??2???X??22?? ? ??(y?1)/2?(y?1)/2fX(x)dx

故 fdF12??Y(y)?dyY(y)?4y?1??f???y?1?y?1??X??2???fX???2??? ????? ?121y?12πe?(y?1)/42,y?1

(3) P(Y?0)?1

当y≤0时FY(y)?P(Y?y)?0

当y>0时FY(y)?P(|X|?y)?P(?y?X?y)

14

??y?yfX(x)dx

故fdY(y)?dyFY(y)?fX(y)?fX(?y) ?2?y2/22πe,y?0 31.设随机变量X~U（0,1），试求：

（1） Y=eX的分布函数及密度函数； （2） Z=?2lnX的分布函数及密度函数. 【解】（1） P(0?X?1)?1

故 P(1?Y?eX?e?) 1当y?1时FY(y)?P(Y?y)?0

当1

??lny0dx?lny

当y≥e时FXY(y)?P(e?y)?1 即分布函数

?0,y?1F??Y(y)?lny,1?y?e

??1,y?e故Y的密度函数为

?1fy)???y,1?y?eY( ??0,其他（2） 由P（0

P(Z?0)?1

当z≤0时，FZ(z)?P(Z?z)?0

当z>0时，FZ(z)?P(Z?z)?P(?2lnX?z)

?P(lnX??z)?P(X?e?z/22) ??1e?z/2dx?1?e?z/2

15

即分布函数

z?0?0, FZ(z)??-z/2?1-e,z?0故Z的密度函数为

?1?z/2?e,z?0fZ(z)??2

?z?0?0,32.设随机变量X的密度函数为

?f(x)=?2x?π2,0?x?π,

??0,其他.试求Y=sinX的密度函数. 【解】P(0?Y?1)?1

当y≤0时，FY(y)?P(Y?y)?0

当0

?P(0?X?arcsiny)?P(π?arcsiny?X?π) ??arcsiny2xπ0π2dx??2xπ?arcsinyπ2dx

?1212π2（arcsiny）?1-π2（π-arcsiny） ?2πarcsiny

当y≥1时，FY(y)?1 故Y的密度函数为

?2f(y)???1,?π1?y20?y?1Y ??0,其他33.设随机变量X的分布函数如下：

?1F(x)???1?,x?(1),

?2x2?(),x?(3).试填上(1),(2),(3)项.

【解】由limx??F(x)?1知②填1。

16

F(x)?F(x0)?1知x0?0，故①为0。 由右连续性lim+x?x0从而③亦为0。即

?1,x?0? F(x)??1?x2?x?0?1,34.同时掷两枚骰子，直到一枚骰子出现6点为止，求抛掷次数X的分布律. 【解】设Ai={第i枚骰子出现6点}。（i=1,2）,P(Ai)=

抛掷出现6点}。则

1.且A1与A2相互独立。再设C={每次6P(C)?P(A1?A2)?P(A1)?P(A2)?P(A1)P(A2)

111111???? 66663611 故抛掷次数X服从参数为的几何分布。

36 ?35.随机数字序列要多长才能使数字0至少出现一次的概率不小于0.9? 【解】令X为0出现的次数，设数字序列中要包含n个数字，则

X~b(n,0.1)

0nP(X?1)?1?P(X?0)?1?C0n(0.1)(0.9)?0.9

即 (0.9)n?0.1 得 n≥22 即随机数字序列至少要有22个数字。 36.已知

??0,?1?F（x）=?x?,2??1,??x?0,10?x?,

21x?.2则F（x）是（ ）随机变量的分布函数.

（A） 连续型； （B）离散型； （C） 非连续亦非离散型.

【解】因为F（x）在（?∞,+∞）上单调不减右连续，且limF(x)?0

x???x???limF(x)?1,所以F（x）是一个分布函数。

但是F（x）在x=0处不连续，也不是阶梯状曲线，故F（x）是非连续亦非离散型随机变量的分布函数。选（C）

37.设在区间[a,b]上，随机变量X的密度函数为f(x)=sinx，而在[a,b]外，f(x)=0，则区间 [a,b]

17

等于（ ）

(A) [0,π/2]; (B) [0,π]; (C) [?π/2,0]; (D) [0,【解】在[0,]上sinx≥0，且

在[0,π]上在[?3π]. 2π2?π/20sinxdx?1.故f(x)是密度函数。

?π0sinxdx?2?1.故f(x)不是密度函数。

π,0]上sinx?0，故f(x)不是密度函数。 233在[0,π]上，当π?x?π时，sinx<0，f(x)也不是密度函数。

22故选（A）。

38.设随机变量X~N（0，σ2），问：当σ取何值时，X落入区间（1，3）的概率最大？ 【解】因为X~N(0,?),P(1?X?3)?P(21?3?X??3?)

??()??()令g(?)

1??利用微积分中求极值的方法，有

g?(?)?(?3?311??)?()??() 22?????

3?212??1?9/2?21e?2?2?21?1/2?2e2?2??1/2??8/2?e[1?3e]?02令

得?0?242,则 ?0? ln3ln3又 g??(?0)?0 故?0?2为极大值点且惟一。 ln32时X落入区间（1，3）的概率最大。 ln3故当??39.设在一段时间内进入某一商店的顾客人数X服从泊松分布P（λ），每个顾客购买某种物

品的概率为p，并且各个顾客是否购买该种物品相互独立，求进入商店的顾客购买这种物品的人数Y的分布律.

e???m,m?0,1,2,? 【解】P(X?m)?m!设购买某种物品的人数为Y，在进入商店的人数X=m的条件下，Y~b(m,p)，即

18

km?kP(Y?k|X?m)?Ck,k?0,1,?,m mp(1?p)由全概率公式有

P(Y?k)??P(X?m)P(Y?k|X?m)

m?k?e???mkk???Cmp(1?p)m?km!m?k??e ?e??m?k???k!(m?k)!p(?p)kk!???mk(1?p)m?k

[?(1?p)]m?k?(m?k)!m?k(?p)k???(1?p)?eek!(?p)k??p?e,k?0,1,2,?k!此题说明：进入商店的人数服从参数为λ的泊松分布，购买这种物品的人数仍服从泊松分布，但参数改变为λp.

40.设随机变量X服从参数为2的指数分布.证明：Y=1?e?2X在区间（0，1）上服从均匀分布. 【证】X的密度函数为

?2e?2x,x?0 fX(x)??x?0?0,由于P（X>0）=1，故0<1?e?2X<1，即P（0

当y≤0时，FY（y）=0 当y≥1时，FY（y）=1

当0

1?P(X??ln(1?y))2 ??即Y的密度函数为

1?ln(1?y)202e?2xdx?y?1,0?y?1 fY(y)???0,其他即Y~U（0，1）

41.设随机变量X的密度函数为

19

?1?3,0?x?1,??2f(x)=?,3?x?6,

?9其他.?0,??若k使得P{X≥k}=2/3，求k的取值范围. (2000研考) 【解】由P（X≥k）=

21知P（X

1k1dx??033?3 1 当k=1时P（X

311k1dx?0dx?若1≤k≤3时P（X

0339933若0≤k≤1,P(X6,则P（X

故只有当1≤k≤3时满足P（X≥k）=42.设随机变量X的分布函数为

2. 3x??1,?0,?0.4,?1?x?1,?F(x)=?

?0.8,1?x?3,?x?3.?1,求X的概率分布. （1991研考）

【解】由离散型随机变量X分布律与分布函数之间的关系，可知X的概率分布为 X P ?1 0.4 1 0.4 3 0.2

43.设三次独立试验中，事件A出现的概率相等.若已知A至少出现一次的概率为19/27，求A

在一次试验中出现的概率.

【解】令X为三次独立试验中A出现的次数，若设P（A）=p,则

X~b(3,p)

由P（X≥1）=故p=

198知P（X=0）=（1?p）3= 27271 344.若随机变量X在（1，6）上服从均匀分布，则方程y2+Xy+1=0有实根的概率是多少？ 【解】

20

?1?,1?x?6 f(x)??5??0,其他P(X2?4?0)?P(X?2)?P(X??2)?P(X?2)?45.若随机变量X~N（2，σ2），且P{2

P{X<0}= . 【解】0.3?P(2?X?4)?P(4 52?2??X?2??4?2?)

22??()??(0)??()?0.5

??故 ?(2?)?0.8

X?2因此 P(X?0)?P(?2?0?2?)??(?2?)

?1??()?0.2

?46.假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂；以概率0.3需进一步调试，经调

试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了n(n≥2)台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立）.求 （1） 全部能出厂的概率α；

（2） 其中恰好有两台不能出厂的概率β；

（3）其中至少有两台不能出厂的概率θ. 【解】设A={需进一步调试}，B={仪器能出厂}，则

A={能直接出厂}，AB={经调试后能出厂}

由题意知B=A∪AB，且

P(A)?0.3,P(B|A)?0.8P(AB)?P(A)P(B|A)?0.3?0.8?0.24 P(B)?P(A)?P(AB)?0.7?0.24?0.94令X为新生产的n台仪器中能出厂的台数，则X~6（n，0.94）, 故

??P(X?n)?(0.94)nn?2??P(X?n?2)?C2(0.06)2 n(0.94)??P(X?n?2)?1?P(X?n?1)?P(X?n) ?1?n(0.94)n?10.06?(0.94)n

47.某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩为72

分，96分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率. 【解】设X为考生的外语成绩，则X~N（72，σ2）

21

24?X?7296?72?0.023?P(X?96)?P???1??() ??????故 ?(查表知 从而X~N（72，122） 故 P(60?X?84)?P?24?)?0.977

24??2,即σ=12

?60?72X?7284?72????

1212??12

??(1)??(?1)?2?(1)?1?0.68248.在电源电压不超过200V、200V~240V和超过240V三种情形下，某种电子元件损坏的概

率分别为0.1，0.001和0.2（假设电源电压X服从正态分布N（220，252））.试求： （1） 该电子元件损坏的概率α;

(2) 该电子元件损坏时，电源电压在200~240V的概率β 【解】设A1={电压不超过200V}，A2={电压在200~240V}，

A3={电压超过240V}，B={元件损坏}。 由X~N（220，252）知

P(A1)?P(X?200)

?X?220200?220??P???

2525????(?0.8)?1??(0.8)?0.212P(A2)?P(200?X?240)

?200?220X?220240?220??P????

252525????(0.8)??(?0.8)?0.576P(A3)?P(X?240)?1?0.212?0.576?0.212

由全概率公式有

??P(B)??P(Ai)P(B|Ai)?0.0642

i?13由贝叶斯公式有

??P(A2|B)?P(A2)P(B|A2)?0.009

P(B)49.设随机变量X在区间（1，2）上服从均匀分布，试求随机变量Y=e2X的概率密度fY(y).

22

【解】f?1,1?x?2X(x)???0,其他

因为P（1

当e2

当y≥e4时，FY(y)?P(Y?y)?1

??0,y?e2即 F?124Y(y)??2lny?1,e?y?e

???1,y?e4?故 f?1,e2?y?e4Y(y)??2y

??0,其他50.设随机变量X的密度函数为

f(x)=??e?x,x?0,X0,x?0.

?求随机变量Y=eX的密度函数fY(y). 【解】P（Y≥1）=1

当y≤1时，FY(y)?P(Y?y)?0

当y>1时，FY(y)?P(Y?y)?P(eX?y)?P(X?lny) ??lnyx0e?dx?1?1y ?即 F?1?1Y(y)??y,y>1

??0,y?1?1故 f?2,y>1Y(y)??y

??0,y?1

(1995研考) 23

51.设随机变量X的密度函数为

fX(x)=

1,

π(1?x2)求Y=1?3x的密度函数fY(y).

33【解】FY(y)?P(Y?y)?P(1?X?y)?P(X?(1?y))

??

11dx?arctgx(1?y)3π(1?x2)π??(1?y)3?1?π3??arctg(1?y)?π??2?

3(1?y)2故 fY(y)?

π1?(1?y)652.假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N（t）服从参数为λt的泊松分布.

（1） 求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布； （2） 求在设备已经无故障工作8小时的情形下，再无故障运行8小时的概率Q.（1993

研考） 【解】（1） 当t<0时，FT(t)?P(T?t)?0

当t≥0时，事件{T>t}与{N(t)=0}等价，有

FT(t)?P(T?t)?1?P(T?t)?1?P(N(t)?0)?1?e??t

?1?e??t,t?0即 FT(t)??

0,t?0?即间隔时间T服从参数为λ的指数分布。

e?16??8?（2） Q?P(T?16|T?8)?P(T?16)/P(T?8)??8??e

e53.设随机变量X的绝对值不大于1，P{X=?1}=1/8，P{X=1}=1/4.在事件{?1

件下，X在{?1，1}内任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比，试求X的分布函数F（x）=P{X≤x}. (1997研考) 【解】显然当x

由题知P(?1?X?1)?1?115?? 848x?1 2当?1

24

?P(X?,?1?X?1)?P(X?x,X??1)?P(X?x,X?1)?P(X?x,?1?X?1)?P(X?x,x??1) ?P(X?x|?1?X?1)P(?1?X?1)?P(X??1)

?x?15151???(x?1)?2881681 8当x=?1时，F(x)?P(X?x)?P(X??1)?故X的分布函数

x??1?0,?51?F(x)??(x?1)?,-1?x<1

8?16x?1??1,54. 设随机变量X服从正态分N（μ1,σ12),Y服从正态分布N(μ2,σ22)，且P{|X-μ1|<1}>P{|Y-μ2|<1}，试比较σ1与σ2的大小. (2006研考) 解： 依题意

X??1?1?N(0,1)，

Y??2?2?N(0,1)，则

P{X??1?1}?P{X??1?1Y??2?1?11}，

P{Y??2?1}?P{因为P{X??1?1}?P{Y??2?1}，即

?2??2}.

P{X??1?11?1?1}?P{Y??1?2?1?2}，

所以有

?1?1?2，即?1??2.

25

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