6导数与函数的极值 - 图文

建三江一中导学案 （高二数学）

编号：5 授课教师 备课时间 课 题 【学习目标】 1.知识与能力：了解函数在某点的极值的定义，掌握函数极值的求法 2.过程与方法：通过对具体实例的分析，掌握极值的意义和利用导数求极值的方法和步骤 3.情感态度与价值观：体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性，提高分析问题和解决问题的能力 【学习重点难点】重点：函数极值的概念与求法． 难点：函数极值的求法． 【学法指导】 1．曲线在极值点处切线的斜率为0，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正，据此得到可导函数极值的概念．对此概念的几点说明如下： (1)函数f(x)在点x0及其附近有定义，是指在点x0及其左右邻域都有意义． (2)极值是一个局部概念，是仅对某一点的左右两侧邻域而言的． (3)极值总是函数f(x)定义域的某个开区间内的点，因而端点绝不是函数的极值点． (4)连续函数f(x)在其定义域上的极值点可能不止一个，也可能没有．函数的极大值与极小值没有必然的大小关系，函数的一个极小值也不一定比极大值小． 2．极值点与导数为0的点的关系： (1)导数为0的点不一定是极值点．如函数f(x)?x3在x＝0处的导数是0，但它不是极值点．对于可导函数，极值点的导数必为0.因此对于可导函数，导数为0是点为极值点的必要而不充分条件． (2)函数的导数不存在的点也可能是极值点． 如函数f(x)?3x2f(x)＝|x|，在x＝0处，左侧(x＜0时)f′(x)＜0，右侧(x＞0时)f′(x)＞0，当x＝0时f(x)＝0是f(x)的极小值点，但f′(0)不存在． 【知识链接】 单调性与导数：① 若f?(x)?0在?a,b?上恒成立，?f(x)在 函数 若f?(x)?0在?a,b?上恒成立，?f(x)在 函数 a,b?② f(x)在区间?a,b?上是增函数?f?(x) 0在?上恒成立； f(x)在区间?a,b?上为减函数?f?(x) 0在?a,b?上恒成立. 2.你能利用图象判断函数y?13x?4x?313是否有极大值、极小值吗？如果有，请求出. 主备人 授课时间 备课组长 年级（科目） 高二数学 函数的极值与导数 3：观察下图，看函数的极值与函数的导数有怎样的关系呢? （完成下表） y y o a x0 b x a x0 o b x 极大值与导数的关系：（图1） x f?(x)（符号） x0 x0右侧 x0左侧 f(x)（单调性）极小值与导数的关系：（图2） x f?(x)（符号） f(x)（单调性） x0左侧 x0 x0右侧 4：请问如何判断f(x0)是极大值或是极小值？ 二、自我检测 1．函数y＝1＋3x－x3有( ) A．极小值－2，极大值2 B．极小值－2，极大值3 C．极小值－1，极大值1 D．极小值－1，极大值3 2．设x0为f(x)的极值点，则下列说法正确的是( ) A．必有f′(x0)＝0 B．f′(x0)不存在 C．f′(x0)＝0或f′(x0)不存在 D．f′(x0)存在但可能不为0 3．对于函数f(x)＝x3－3x2，给出命题： ①f(x)是增函数，无极值；②f(x)是减函数，无极值；③f(x)的递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，递减区间为(0,2)； 【学习过程】 一、自主预习 预习课本93-96，完成下列题目 请同学们观察右图. 1.极值的概念: __ 类似地，图中f(x2) 是函数f(x)的一个极小值.y P(x1，f(x1)) y?f(x) ④f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值．其中正确的命题有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极y 极大值与极小值统称为极值. O a x1 Q?x2,f(x2)? x2 小值点( ) A．1个 C．3个 ay?f?(x)_____为极大值点，____为极小值点，____________________统称为极值点. B．2个 b D．4 O b x x 1

三、合作探究 探究1：求函数的极值 例1:求下列函数的极值. （1）f(x)?x3?3x2?9x?11 （2）f(x)?x?e?x 小结：求可导函数极值的步骤 1.___________________;2._________________;3.____________________;4.___________________________. 探究2：已知极值求参数的值 例2： 变式：若函数f(x)?x?ax?bx?a在x?1处取得极值10，试求a、b的值 小结:函数f（x）可导，则在x0处的导数 f ∕ (x0）=0”是“f（x）在该点处取得极值”的 _______________条件. 探究3：极值的综合运用 例3：求函数f(x)?x?3x?a(a?R)的极值，并讨论a为何值时函数f(x)恰有一个零点. 【巩固提高】 1．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则函数f(x)的极值是( ) 32322A．极大值为44，极小值为0 B．极大值为0，极小值为 272744 D．极大值为－，极小值为0 2727C．极大值为0，极小值为－32. 若函数f?x??x?3bx?3b在（0，1）内有极小值，则 （ ） A.0?b?1 B. b?1 C.b?0  D. b?3. 如图是y?f(x)导函数的图象，对于下列四个判断： ①f(x)在［-2，-1］上是增函数；②x??1是f(x)的极小值点； ③f(x)在［-1，2］上是增函数，在［2，4］上是减函数；④x?3是f(x)的极小值点.其中判断正确的是 . 4. 函数y?1?3x?x3的极大值为M，极小值为N，则M?N? . 5. 已知函数f(x)?x3?ax2?bx?a2，在x?1时有极值10，则a? ；b? . 12 .已知f(x)?ax?bx32?cx在点x0处取得极大值，其导函数f(x)的图像经过点'(1，0)，(2，0).如图，求（1）x0的值；（2）a、b、c的值.y O12x6.函数f(x)?x3?3x2?3x有 个极值点.. 7. 已知函数f(x)?x3?x2?x?a有且只有一个零点，则实数a的取值范围是 . C8. 若函数f(x)?x3?ax?1在R上有两个极值点，则实数a的取值范围是 . aC9．设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d(a>0)，且方程f′(x)－9x＝0的两个根分别为1,4. 3(1)当a＝3且曲线y＝f(x)过原点时，求f(x)的解析式；(2)若f(x)在(－∞，＋∞)内无极值点，求a的取值范围． C10.已知函数f(x)?14x?413ax?ax?a(a?0) 3224（1）求函数y?f(x)的单调区间；Ks5u（2）若函数y?f(x)的图像与直线y?1恰有两个交点，求a的取值范围． 【学后反思】

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