专题：电磁感应现象中有关电容器类问题 及问题详解

专题：电磁感应现象中有关电容器类问题

1、电磁轨道炮利用电流和磁场的作用使炮弹获得超高速度，其原理可用来研制新武器和航天运载器。电磁轨道炮示意如图，图中直流电源电动势为E，电容器的电容为C。两根固定于水平面的光滑平行金属导轨间距为L，电阻不计。炮弹可视为一质量为m、电阻为R的金属棒MN，垂直放在两导轨间处于静止状态，并与导轨良好接触。首先开关S接1，使电容器完全充电。然后将S接至2，导轨间存在垂直于导轨平面、磁感应强度大小为B的匀强磁场（图中未画出），MN开始向右加速运动。当MN上的感应电动势与电容器两极板间的电压相等时，回路中电流为零，MN达到最大速度，之后离开导轨。

问：

（1）磁场的方向；

（2）MN刚开始运动时加速度a的大小；

（3）MN离开导轨后的最大速度v m的大小。

试题分析：（1）根据通过MN电流的方向，结合左手定则得出磁场的方向．（2）根据欧姆定律得出MN刚开始运动时的电流，结合安培力公式，根据牛顿第二定律得出MN刚开始运动时加速度a的大小．（3）开关S接2后，MN开始向右加速运动，速度达到最大值时，根据电动势和电荷量的关系，以及动量定理求出MN 离开导轨后最大速度.

解：（1）电容器上端带正电，通过MN的电流方向向下，由于MN向右运动，根据左手定则知，磁场方向垂直于导轨平面向下．

2、一对无限长平行导轨位于竖直平面，轨道上串联一电容器C

（开始未充电）.另一根质量为m的金属棒ab可沿导轨下滑，导

轨宽度为L，在讨论的空间围有磁感应强度为B、方向垂直整个

导轨平面的匀强磁场，整个系统的电阻可以忽略，ab棒由静止开

始下滑，求它下滑h高度时的速度v.

解：设ab 棒下滑过程中某一瞬时加速度为a i ，则经过一微小的时间间隔Δt ，其

速度的增加量为Δv=a i ·Δt.

棒中产生的感应电动势的增加量为：ΔE=BL Δv=BLa i ·Δt

电容器的极板间电势差的增加量为：ΔU i =ΔE=BLa i ·Δt

电容器电荷量的增加量为：ΔQ=C ·ΔU=CBLa i ·Δt

电路中的充电电流为：I=t

Q ??=CBLa i ab 棒所受的安培力为：F=BLI=CB 2L 2a i

由牛顿第二定律得：mg-F=ma i ，即mg-CB 2L 2a i =ma i ，所以，a i =22L

CB m mg +，可见，棒的加速度与时间无关，是一个常量，即棒ab 向下做匀加速直线运动.所以要求的速度为v=2222L

CB m mgh ah +=.

3、如图所示，处于匀强磁场中的两根足够长且电阻不计的平行金属导轨相距L ，导轨平面与水平面重合，左端用导线连接电容为C 的电容器（能承受的电压足够大）．已知匀强磁场的磁感应强度大小为B 、方向竖直向上．一质量为m 、电阻不计的直金属棒垂直放在两导轨上，一根绝缘的、足够长的轻绳一端与棒的中点连接，另一端跨过定滑轮挂一质量为m 的重物．现从静止释放重物并通过轻绳水平拖动金属棒运动（金属棒始终与导轨垂直并保持良好接触，不计滑轮质量和所有摩擦）．求：

（1）若某时刻金属棒速度为v ，则电容器两端的电压多大？

（2）求证：金属棒的运动是匀加速直线运动；

（3）当重物从静止开始下落一定高度时，电容器带电量为Q ，则这个高度h 多大？

解：（1）电容器两端的电压U 等于导体棒上的电动势E ，有：U=E=BLv

（2）金属棒速度从v 增大到v+△v 的过程中，用时△t （△t →0），加速度为a ，有：

电容器两端的电压为：U=BLv

电容器所带电量为：

式中各量都是恒量，加速度保持不变，故金属棒的运动是匀加速直线运动．

（3）由于金属棒做匀加速直线运动，且电路中电流恒定

4、如图所示，有一间距为L 且与水平方向成θ角的光滑平行轨道，轨道上端接有电容器和定值电阻，S 为单刀双掷开关，空间存在垂直轨道平面向上的匀强0磁场，磁感应强度为B 。将单刀双掷开关接到a 点，一根电阻不计、质量为m 的导体棒在轨道底端获得初速度v 0后沿着轨道向上运动，到达最高点时，单刀双

掷开关接b 点，经过一段时间导体棒又回到轨道底端，已知定值电阻的阻值为R ，电容器的电容为C ，重力加速度为g ，轨道足够长，轨道电阻不计，求：

（1）导体棒上滑过程中加速度的大小；

（2）若已知导体棒到达轨道底端的速度为v ，求导体棒下滑过程中定值电阻产

生的热量和导体棒运动的时间。

解：（1）导体棒上滑的过程中，根据牛顿第二定律得： 又，有：

联立解得：

（2）导体棒上滑过程中，有 导体棒下滑的过程中，由动量定理得： 而 联立解得：

导体棒下滑的过程中，由能量守恒定律得： 解得：

5、如图，两条平行导轨所在平面与水平地面的夹角为θ，间距为L .导轨上端接有一平行板电容器，电容为C .导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B ，方向垂直于导轨平面．在导轨上放置一质量为m 的金属棒，棒可沿导轨下滑，且在下滑过程中保持与导轨垂直并良好接触．已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g .忽略所有电阻．让金属棒从导轨上端由静止开始下滑，求：

(1)电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的

关系；

(2)金属棒的速度大小随时间变化的关系．

解：(1)设金属棒下滑的速度大小为v ，则感应电动势为

E ＝BLv ①

平行板电容器两极板之间的电势差为

U ＝E ②

设此时电容器极板上积累的电荷量为Q ，按定义有

C ＝Q U

③ 联立①②③式得

Q ＝CBLv ④

(2)设金属棒的速度大小为v时经历的时间为t，通过金属棒的电流为i.金属棒受到的磁场的作用力方向沿导轨向上，大小为

F＝BLi⑤

设在时间间隔(t，t＋Δt)流经金属棒的电荷量为ΔQ，按定义有

⑥

ΔQ也是平行板电容器极板在时间间隔(t，t＋Δt)增加的电荷量．由④式得

ΔQ＝CBLΔv⑦

式中，Δv为金属棒的速度变化量．按定义有

⑧

金属棒所受到的摩擦力方向斜向上，大小为F f＝μF N⑨

式中，F N是金属棒对于导轨的正压力的大小，有

F

＝mg cos θ⑩

N

金属棒在时刻t的加速度方向沿斜面向下，设其大小为a，根据牛顿第二定律有mg sin θ－F－F

＝ma?

f

联立⑤至?式得

?

由?式及题设可知，金属棒做初速度为零的匀加速运动．t时刻金属棒的速度大小为

6、在光滑水平地面上，两根彼此平行的光滑导轨PQ、MN相距为L=1m，在它们的末端垂直PQ、MN跨放一金属杆ab，ab的质量为m=0.005kg，在导轨的另一端连接一个已经充电的电容器，电容器的电容C=200F，有一匀强磁场，方向垂直导轨PQ、MN所在平面向下，如图所示，磁感强度为B=0.5T．(除导轨PQ、MN和金属杆ab外其余部分都是绝缘的)当闭合电键K时，ab杆将从导轨上冲出，并沿光滑斜面升到高为0.2m处，这过程电容器两端电压减小了一半，求：

(1)磁场对金属杆ab冲量的大小．

(2)电容器原来充电电压是多少．

7、如图所示，水平桌面上放置一U形金属导轨，两导轨平行，间距为L，导轨距水平地面高h。导轨左端连接有一个电源、一个单刀双掷开关、一个电容器。电源电动势为E，电阻为r，电容器电容为C。一根质量为m不计电阻的裸导线放在导轨上，方向与导轨垂直，导轨所在平面有一个方向向下的匀强磁场，磁感应强度为B。先将单刀双掷开关拨到a；待电路稳定后将单刀双掷开关拨到b。开关拨到b后，导线在安培力作用下向右运动离开导轨，然后做平抛运动直至落到水平地面上。

（1）在开关拨到a到电路稳定的过程中，画出电容器电压u随电量q变化的图象。

。

（2）结合（1）中所画图象，求稳定时电容器储存的能量E

C

（3）导线落到水平地面，此时电容器两端的电压为，求落地位置与导轨右端的

。

水平距离x及开关拨到b后电阻R上产生的热Q

R

解：（1）电容器充电完毕后，电容器两端的电压等于电源的电动势，所以电容器的带电量：q=CE根据电容器的定义式：C=q /U

所以：u=q，电压与电量成正比，所以画出u-q的图线如图：

充电的过程中克服电场力做的功：W=qU

所以图线与横坐标围成的面积即为电容器储存的能量．有：E0＝EQ

联立得：E0＝CE2

（3）根据平抛运动的规律可得

由动量定理，

It=q，

q=EC

联立解得

由能量关系可知，此过程中R上产生的焦耳热：

点睛：本题是电磁感应与电路、力学知识的综合，解答的关键是由电路的串联关系先求出电容器两端的电压，再根据动量定理及电量表达式求出导体棒最大速度．同时要搞清能量转化关系.

8、某同学设计了一个电磁击发装置，其结构如图所示。间距为L=10cm的平行长直导轨置于水平桌面上，导轨中NO和N′O′段用绝缘材料制成，其余部分均为导电金属材料，两种材料导轨平滑连接。导轨左侧与匝数为100匝、半径为5cm 的圆形线圈相连，线圈存在垂直线圈平面的匀强磁场。电容为1F的电容器通过单刀双掷开关与导轨相连。在轨道间MPP′M′矩形区域存在垂直桌面向上的匀强磁场，磁感强度为2T。磁场右侧边界PP′与OO′间距离为a =4cm。初始时金属棒A处于NN′左侧某处，金属棒B处于OO'左侧距OO'距离为a处。当开关与1连接时，圆形线圈中磁场随时间均匀变化，变化率为；稳定后将开关拨向2,金属棒A被弹出，与金属棒B相碰，并在B棒刚出磁场时A棒刚好运动到OO′处，最终A棒恰在PP′处停住。已知两根金属棒的质量均为0.02kg、接入电路中的电阻均为0.1Ω,金属棒与金属导轨接触良好，其余电阻均不计，一切摩擦不计。问：

(1)当开关与1连接时，电容器电量是多少？下极板带什么电？

(2)金属棒A与B相碰后A棒的速度v是多少？

(3)电容器所剩电量Q′是多少？

【解析】(1)

将开关拨向2 时A 棒会弹出说明所受安培力向右，电流向上，故电容器下板带正电；

(2) A、B 棒相碰地方发生时没有构成回路，没有感应电流，A、B 棒均作匀速直线运动直至A 棒到达OO′处，设碰后A 棒速度为v ，由于B 棒的位移是A 棒的两倍，故B 棒速度是2v。A 棒过OO′ 后在安培力作用下减速。

由动量定理可知：

即

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