信息论与编码期末考试题(全套)

编码答案

（一）

7、某二元信源

一、判断题共 10 小题，满分 20 分.

1. 当随机变量X和Y相互独立时，条件熵H(X|Y)等于信源熵H(X). （ ）

2. 由于构成同一空间的基底不是唯一的，所以不同的基

1 X 0

P(X) 1/21/2 ，其失真矩阵

0a

，则该信源的Dmax= D a0

三、本题共 4 小题，满分 50 分.

1、某信源发送端有2种符号xi(i 1,2),p(x1) a；接收端

底或生成矩阵有可能生成同一码集. 符 号 y ( j 1 ,2 ) ， 转 移 概 率 矩 阵 为 有3 种,3（ ） 3.一般情况下，用变长编码得到的平均码长比定长编码大得多. （ ）

4. 只要信息传输率大于信道容量，总存在一种信道编译码，可以以所要求的任意小的误差概率实现可靠的通

信

（ ） 5. 各码字的长度符合克拉夫特不等式，是唯一可译码存在的充分和必要条件. （ ） 6. 连续信源和离散信源的熵都具有非负性. （ ）

7. 信源的消息通过信道传输后的误差或失真越大，信宿收到消息后对信源存在的不确 定性就越小，获得的信息量就越小. 8. 汉明码是一种线性分组码. （ ） 9. 率失真函数的最小值是0

. （ ）

10.必然事件和不可能事件的自信息量都是0. （ ）

二、填空题共 6 小题，满分 20 分.

1

、

码

的

检

、

纠

错

能

力

取

决

于 .

2、信源编码的目的是的目的是 .

3、把信息组原封不动地搬到码字前k位的(n,k)码就叫做 .

4、香农信息论中的三大极限定理

是 、 、 . 5、设信道的输入与输出随机序列分别为X和Y，则

I(XN,YN) NI(X,Y)成立的

条件

6、对于香农-费诺编码、原始香农-费诺编码和哈夫曼编码，编码方法惟一的是 .

iP 1/21/20

1/21/41/4 .

（1） 计算接收端的平均不确

定度H(Y)； （2） 计算由于噪声产生的不

确定度H(Y|X)； （3） 计算信道容量以及最佳入口分布. 2、一阶马尔可夫信源的状态转移

图2-13

图如右图所示， 信源X的符号集为{0,1,2}. （1）求信源平稳后的概率分布；

（2）求此信源的熵；

（ 3 ）近似地认为此信源为无记忆时，符号的概率分布为 平 X )

稳分布.求近似信源的熵H(并与H 进行比较.

4 、 设 二 元 ( 7 , 4 ) 线

性分组码的生成矩阵为 1101000 G

0110100 1110010

. 1010001

（1）给出该码的一致校验矩阵，写出所有的陪集首和与之相对应的伴随式；

（2）若接收矢量v (0001011

)，试计算出其对应的伴随式S并按照最小距离译码准则

试着对其译码. （二）

一、填空题（共15分，每空1分）

1、信源编码的主要目的是 ，信道编码的主要目的是 。

2、信源的剩余度主要来自两个方面，一是 ，二

编码答案

是 。 XY

3、三进制信源的最小熵为 ，最大熵为 。 4、无失真信源编码的平均码长最小理论极限制为 。

5、当 时，信源与信道达到匹配。 6、根据信道特性是否随时间变化，信道可以分为

和 。

7、根据是否允许失真，信源编码可分为

和 。

8、若连续信源输出信号的平均功率为 2，则输出信号幅度

的概率密度是 时，信源具有最大熵，其值为值 。 9、在下面空格中选择填入数学符号“ , , , ”或“ ”

（1）当X和Y相互独立时，H（XY） H(X)+H(X/Y) H(Y)+H(X)。

（2）H H X1X2

H X1X2X3 2 X2H3 X 3

（3）假设信道输入用X表示，信道输出用Y表示。在无噪有损信道中，H(X/Y) 0,

H(Y/X) 0,I(X;Y) H(X)。

三、（16分）已知信源

S s1s2s3s4s5s6 P 0.20.20.20.20.10.1

（1）用霍夫曼编码法编成二进制变长码；（6分） （2）计算平均码长L;（4分）

（3）计算编码信息率R ;（2分）

（4）计算编码后信息传输率R;（2分） （5）计算编码效率 。（2分）

四、（10分）某信源输出A、B、C、D、E五种符号，每一个符号独立出现，出现概率分别为1/8、1/8、1/8、1/2、1/8。如果符号的码元宽度为0.5 s。计算： （1）信息传输速率Rt。（5分）

五、(16分)一个一阶马尔可夫信源，转移概率为

P S|S23|S1

11 ,P S21 3

,P S1|S2 1,P S2|S2 0。

(1) 画出状态转移图。(4分)

(2) 计算稳态概率。(4分)

(3) 计算马尔可夫信源的极限熵。(4分)

(4) 计算稳态下H1,H2及其对应的剩余度。(4分) 六、设有扰信道的传输情况分别如图所示。试求这种信道的信道容量。

七、(16分)设X、Y是两个相互独立的二元随机变量，其取0或1的概率相等。定义另一个二元随机变量Z=XY(一般乘积)。试计算 (1) H X ,H Z ;

(2) H XY ,H XZ ;

(3) H X|Y ,H Z|X ;

(4) I X;Y ,I X;Z ;

八、(10分)设离散无记忆信源的概率空间为

X x1x2

P 0.80.2 ，通过干扰信道，信道输出端的接收符号

集为Y y1,y

2 ，信道传输概率如下图所示。

x1

y1

x2

y2

(1) 计算信源X中事件x1包含的自信息量； (2) 计算信源X的信息熵； (3) 计算信道疑义度H X|Y ； (4) 计算噪声熵H Y|X ；

(5) 计算收到消息Y后获得的平均互信息量。

《信息论基础》2参考答案

一、填空题（共15分，每空1分） 1、信源编码的主要目的是提高有效性，信道编码的主要目的是提高可靠性。 2、信源的剩余度主要来自两个方面，一是信源符号间的相关性，二是信源符号的统计不均匀性。

编码答案

3、三进制信源的最小熵为0，最大熵为log3

2 4、无失真信源编码的平均码长最小理论极限制为信源熵（或H(S)/logr= Hr(S)）。

5、当R=C或（信道剩余度为0）时，信源与信道达到匹配。 6、根据信道特性是否随时间变化，信道可以分为恒参信道和随参信道。 7、根据是否允许失真，信源编码可分为无失真信源编码和限失真信源编码。

8、若连续信源输出信号的平均功率为 2

，则输出信号幅度2的概率密度是高斯分布或正态分布或f

x

2 x时，

信源具有最大熵，其值为值1

log2 e 22

。

9、在下面空格中选择填入数学符号“ , , , ”或“ ” （1）当X和Y相互独立时，H（XY）=H(X)+H(X/Y)=H(Y)+H(X)。

（2）HH X1X2

H X1X2X3 2 X 2 H3 X

3

（3）假设信道输入用X表示，信道输出用Y表示。在无噪有损信道中，H(X/Y)> 0, H(Y/X)=0,I(X;Y)<H(X)。 三、（16分）已知信源

S s1s2s3s4s5s6

P 0.20.20.20.20.10.1

（1）用霍夫曼编码法编成二进制变长码；（6分） （2）计算平均码长L;（4分）

（3）计算编码信息率R ;（2分）

（4）计算编码后信息传输率R;（2分） （5）计算编码效率 。（2分）

（1）

S10.200

S20.21S1.030.20

S140.21

S0

50.11

S6

0.1

1

编码结果为：

S1 00S2 01S3 100S4 101 S5 110S6 111

6

（2）L Pi i 0.4 2 0.6 3 2.6码元

i 1

（3）R logr=2.6

（4）R

H S

2.53

0.973bit2.6

其中，H S H 0.2,0.2,0.2,0.2,0.1,0.1 2.53

（5）

H S S logr

H 0.973

评分：其他正确的编码方案：1，要求为即时码 2，平均码长

最短 四、（10分）某信源输出A、B、C、D、E五种符号，每一个符号独立出现，出现概率分别为1/8、1/8、1/8、1/2、1/8。如果符号的码元宽度为0.5 s。计算： （1）信息传输速率Rt。（5分）

（1）R1

t t

H X H X

H X

18log18 4 112log2 1log8 1

log2 22

31

2log2 2log2 2log2 2bitR 2bitt s

4 1060.5bps

五、(16分)一个一阶马尔可夫信源，转移概率为

P S21

1|S1 3,P S2|S1 3

,P S1|S2 1,P S2|S2 0。

(1) 画出状态转移图。(4分)

(2) 计算稳态概率。(4分)

(3) 计算马尔可夫信源的极限熵。(4分)

(4) 计算稳态下H1,H2及其对应的剩余度。(4分) 解：(1)

1

(2)由公式P Si 2

P Si

|Sj

P Sj

j 1

有

编码答案

2

P S1 PS|SPS 2P S1 P S2

1i i i 13 2

P

S1

2 P S2|Si P Si P S1 i 13 P S1 P S2 1

P S 3得 1 4

P S12

4

(3)该马尔可夫信源的极限熵为：

22

H P Si P Sj|Si logP Sj|Si

i 1j 1

34 23 log2311

3 4 3 log

3 1

2 0.578 1

4 1.599 0.681bit符号 0.472nat符号 0.205hart(4)在稳态下：

2

P x 3

311 i logP xi i 1

4 log4 4 log4 0.811bit符号

H2 H 0.205hart符号 0.472nat 0.681bit

对应的剩余度为

H10.811

1 1H 1 0.189

0 1 2log 1 1 1

2 2log 2

2 1

H20.681H 1 0.319 0 1 1 2log 2 1 1

2log 2

六、设有扰信道的传输情况分别如图所示。试求这种信道的信道容量。

X

Y

解：信道传输矩阵如下

1

1 2200 011 P220 Y|X

1 001 22 11 2

2

可以看出这是一个对称信道，L=4,那么信道容量为

C log4 H 11

2,2,0,0

L

logL p yj|xi logp yj|xi

j 1

log4 2 11

2log

2

1bit

七、(16分)设X、Y是两个相互独立的二元随机变量，其取0或1的概率相等。定义另一个二元随机变量Z=XY(一般乘积)。试计算 (1) H X ,H Z ; (2) H XY ,H XZ ; (3) H X|Y ,H Z|X ; (4) I X;Y ,I X;Z ;

H X H 1 2,1

2 1bit

H(2) H 3 4,1

4

0.8113bit

(2) H XY H X H Y 1 1 2bit对

H XZ H X H Z|X 1 11 12H 1,0 1

2H 2,2

1.5bit对

(3) H X|Y H X 1bit

H Z|X

112H 1,0 2H 11

2,2

0.5bit

编码答案

(4) I X,Y H Y H Y|X H Y H Y 0 I X,Z H Z H Z|X 0.8113 0.5 0.3113bit

八、(10分)设离散无记忆信源的概率空间为

X x1x2

P 0.80.2 ，通过干扰信道，信道输出端的接收符号

集为Y y1,y2 ，信道传输概率如下图所示。

x1

y1

x2

y2

(6) 计算信源X中事件x1包含的自信息量； (7) 计算信源X的信息熵； (8) 计算信道疑义度H X|Y ； (9) 计算噪声熵H Y|X ；

(10) 计算收到消息Y后获得的平均互信息量。

解：

(1) I x1 log0.8 0.322bit 0.0969hart 0.223nat (2) H X H 0.8,0.2 0.722bit 0.5nat 0.217hart符号 (3)

H XY H 2 3,215,320,1

20

1.404bit符号

0.973nat 0.423hartH Y H 49/60,11/60 0.687bit 0.476nat 0.207hart符号

H X|Y H XY H Y 0.717bit 0.497nat 0.216hart

(4)

H Y|X H XY H X 0.682bit 0.473nat符号 0.205hart符号

(5)

I X;Y H X H X|Y 0.00504bit符号 0.00349nat符号 0.00152hart

(三)

一、 选择题（共10分，每小题2分）

1、有一离散无记忆信源X，其概率空间为

X x1

x2x3x4 P 0.50.250.1250.125 ，则其无记忆二 次扩展信源的熵H(X2)=( ) A、1.75比特/符号； B、3.5比特/符号； C、9比特/符号； D、18比特/符号。 2、信道转移矩阵为

P(1y/1

x)2

P(

1

y/x)0

00P3

y(/ 2x4P)2y(x 0

0P

50y3x

其中P(yj/xi)两两不相等，则该信道为

3、A、一一对应的无噪信道

B、具有并归性能的无噪信道 C、对称信道

D、具有扩展性能的无噪信道

3、设信道容量为C，下列说法正确的是：（ ）

A、互信息量一定不大于C B、交互熵一定不小于C

C、有效信息量一定不大于C D、条件熵一定不大于C

4、在串联系统中，有效信息量的值（ ）

A、趋于变大 B、趋于变小 C、不变 D、不确定

5、若BSC信道的差错率为P，则其信道容量为：（ ） A、

H p

p

log 1 p

2 1 B、

p p

编码答案

C、

1 H p

D、 Plog(P)

二、填空题（20分，每空2分）

1、(7,4)线性分组码中，接受端收到分组R的位数为____ ，伴随式S可能的值有____ 种,差错图案e的长度为系统生成矩阵Gs为____ 行的矩阵，系统校验矩阵Hs为____ 行的矩阵，Gs和Hs满足的关系式是 。

2、香农编码中,概率为P(xi)的信源符号xi对应的码字Ci的长度Ki应满足不等式

3、设有一个信道，其信道矩阵为

0.250.50.25 0.250.250.5 ，（填 则它是 信道 0.50.250.25

对称，准对称），其信道容量是 比特/信道符号。

三、（20分） X x1x2

P(X)

0.50.5 ，通过一个干扰信 道，接受符号集为

Y y1y2

，信道转移矩阵为

13

44 31 4

4

试求（1）H(X),H(Y),H(XY);（7分）

(2) H(Y|X),H(X|Y);（5分） (3) I(Y;X)。（3分）

(4)该信道的容量C（3分）

（5）当平均互信息量达到信道容量时，接收端Y的熵H（Y）。（2分）

计算结果保留小数点后2位,单位为比特/符号。

四、（9分）简述平均互信息量的物理意义，并写出应公式。

六、（10分）设有离散无记忆信源，其概率分布如下：

X x

1x2x3x4x5x6x7 P(X)

1111111 24816326464

对其进行费诺编码，写出编码过程，求出信源熵、平均码长和编码效率。 七、信道编码（21分）

1

000111 现有生成矩阵G

100110 s 0010011 0

00110

1

1. 求对应的系统校验矩阵Hs。（2分）

2求该码字集合的最小码字距离d、最大检错能力lmax 、最大纠错能力t max 。（3分）

2.

4. 现有接收序列为r (1100100)，求纠错译码输

出c 。（4分）

5. 画出该码的编码电路 （4分）

(四)

四、简答题（共20 分，每题10分

1. 利用公式介绍无条件熵、条件熵、联合熵和平均互信息

量之间的关系。

2. 简单介绍哈夫曼编码的步骤

五、计算题（共40 分）

1． 某信源含有三个消息，概率分别为p(0)=0.2，p(1)=0.3，

421 p(2)=0.5，失真矩阵为D 032 。 01 2

求Dmax、Dmin和R (Dmax)。（10分）

编码答案

1 3

2． 设对称离散信道矩阵为P

1 61

31616131 6

，求信道容1 3

（ ）

（5） 信源剩余度用来衡量信源的相关性程度，信源剩余度

大说明信源符号间的依赖关系较小。 （ ）

（6） 对于固定的信源分布，平均互信息量是信道传递概率

的下凸函数。 （ ）

（7） 非奇异码一定是唯一可译码，唯一可译码不一定是非

奇异码。 （ ）

（8） 信源变长编码的核心问题是寻找紧致码（或最佳码），

量C。（10分）

3． 有一稳态马尔可夫信源，已知转移概率为p(S1/ S1)= 2/3，

p(S1/ S2)= 1。求：

(1) 画出状态转移图和状态转移概率矩阵。 (2) 求出各状态的稳态概率。 (3) 求出信源的极限熵。 （20分）

（五）

一、（11’）填空题

（1） 1948年，美国数学家 香农 发表了题为

“通信的数学理论”的长篇论文，从而创立了信息论。

（2） 必然事件的自信息是 0 。 （3） 离散平稳无记忆信源X的N次扩展信源的熵等于离

散信源X的熵的 N倍 。

（4） 对于离散无记忆信源，当信源熵有最大值时，满足条

件为__信源符号等概分布_。

（5） 对于香农编码、费诺编码和霍夫曼编码，编码方法惟

一的是 香农编码 。

（6） 已知某线性分组码的最小汉明距离为3，那么这组码

最多能检测出_2_______个码元错误，最多能纠正个码元错误。

（7） 设有一离散无记忆平稳信道，其信道容量为C，只要

待传送的信息传输率R__小于___C（大于、小于或者等于），

则存在一种编码，当输入序列长度n足够大，使译码错误概率任意小。

（8） 平均错误概率不仅与信道本身的统计特性有关，还与

___和有关

二、（9 ）判断题

（1） 信

息

就

是

一

种

消

息

。 （ ）

（2） 信息论研究的主要问题是在通信系统设计中如何实

现信息传输、存储和处理的有效性和可靠性。 （ ）

（3） 概率大的事件自信息量大。 （ ） （4） 互信息量可正、可负亦可为零。 霍夫曼编码方法构造的是最佳码。 （ ）

（9）信息率失真函数R(D)是关于平均失真度D的上凸函数. ( )

五、 （ 18 ’ ） .黑白气象传真图的消息只有黑色和白色两种，

求：

1） 黑色出现的概率为0.3，白色出现的概率为0.7。给出这

个只有两个符号的信源X的数学模型。假设图上黑白消息出

现前后没有关联，求熵H X ； 3）分别求上述两种信源的冗余度，比较它们的大小并说明其物理意义。

解：1）信源模型为 （1分）

（2分）

2）由题意可知该信源为一阶马尔科夫信源。

（2分）

由

4分）

得极限状态概率

2分）

（

编码答案

3分）

1 1

H(X)

log2 0.1192 （1分）

2 1

H (X)

log 0.447

22

2 1。说明：当信源的符号之间有依赖时，信源输出消息

的不确定性减弱。而信源冗余度正是反映信源符号依赖关系的强弱，冗余度越大，依赖关系就越大。（2分）

六、（18’）.信源空间为

X x2x3x4x5

P(X) x1x6x7

0.20.190.180.170.150.10.01

，试分别构造二元香农码和二元霍夫曼码，计算其平均码长

和编码效率（要求有编码过程）。

7

L p(ai)li 3.14

R H

(X)2i 1

L

.61

3.14 0.831

2）（3分）最大后验概率准则下，有，

八（10 ）.二元对称信道如图。

1）若p 0

34，p 1 1

4

，求H X 、H X|Y 和I X;Y ； 2）求该信道的信道容量。

解：1）共6分

H X|Y 0.749bit/符号

2）， （3分）此时输入概率分布为等概率分布。（1分）

九、（18 ）设一线性分组码具有一致监督矩阵

000111

H 011001

101011

1）求此分组码n=?,k=?共有多少码字？

编码答案

2）求此分组码的生成矩阵G。

5.写出香农公式，并说明其物理意义。当信道带宽为5000Hz，

3）写出此分组码的所有码字。 4）若接收到码字（101001），求出伴随式并给出翻译结果。

解：1）n=6,k=3,共有8个码字。（3分）

2）设码字C

C5C4C3C2C1C0 由HCT 0T得

C2 C1 C0 0

C4 C3 C0 0 C5

C3 C1 C0 0

（3分）

令监督位为

C2C1C0 ，则有

C2 C5 C3

C1 C 5 C4 C0 C4 C

3

（3分） 100110

010011 生成矩阵为

001101 （2分） 3）所有码字为000000，001101，010011，011110，100110，101011，110101，111000。（4分） 4）由ST

HRT

得

S 101 ，（2分）该码字在第5位发生错误，（101001）纠正为（101011），即译码为（101001）（1分）

（六）

一、概念简答题（每题5分，共40分）

1.什么是平均自信息量与平均互信息，比较一下这两个概念的异同？

2.简述最大离散熵定理。对于一个有m个符号的离散信源，其最大熵是多少？

3.解释信息传输率、信道容量、最佳输入分布的概念，说明平均互信息与信源的概率分布、信道的传递概率间分别是什么关系？

4.对于一个一般的通信系统，试给出其系统模型框图，并结合此图，解释数据处理定理。

信噪比为30dB时求信道容量。 6.解释无失真变长信源编码定理。 7.解释有噪信道编码定理。 8.

什么是保真度准则？对二元信源

，其失真矩阵

，求a>0时率

失真函数的

和

？

二、综合题（每题10分，共60分）

1.黑白气象传真图的消息只有黑色和白色两种，求： 1） 黑色出现的概率为0.3，白色出现的概率为0.7。给出这

个只有两个符号的信源X的数学模型。假设图上黑白消息出现前后没有关联，求熵

；

2）

假设黑白消息出现前后有关联，其依赖关系为：

，

，

，

，

求其熵

；

2.二元对称信道如图。

；

1）若，，求和；

2）求该信道的信道容量和最佳输入分布。 3.

信源空间为

，试分别构

造二元和三元霍夫曼码，计算其平均码长和编码效率。

编码答案

5.已知一（8，5）线性分组码的生成矩阵为。

求：1）输入为全00011和10100时该码的码字；2）最小码距。

答案

一、 概念简答题（每题5分，共40分）

1.答：平均自信息为

表示信源的平均不确定度，也表示平均每个信源消息所提供的信息量。平均互信息

表示从Y获得的关于每个X的平均信息量，也表示发X前后Y的平均不确定性减少的量，还表示通信前后整个系统不确定性减少的量。 2.答：最大离散熵定理为：离散无记忆信源，等概率分布时熵最大。

最大熵值为

。

平均互信息是信源概率分布的∩型凸函数，是信道传递概率的U型凸函数。

5.答：香农公式为，它是

高斯加性白噪声信道在单位时间内的信道容量，其值取决于信噪比和带宽。

由得

，则

6.答：只要，当N足够长时，一定存在一种无失真编

码。

7.答：当R＜C时，只要码长足够长，一定能找到一种编码方法和译码规则，使译码错误概率无穷小。

8.答：1）保真度准则为：平均失真度不大于允许的失真度。

2）因为失真矩阵中每行都有一个0，所以有

，而

。

二、综合题（每题10分，共60分）

1.答：1）信源模型为

2）由

得

则

2.答：1）

2），最佳输入概率分布为等概率分布。

3.答：1）二元码的码字依序为：10，11，010，011，1010，1011，1000，

1001。

平均码长，编码效率

2）三元码的码字依序为：1，00，02，20，21，22，010，011。

平均码长，编码效率

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