第2章 随机过程与噪声

第2章 随机过程与噪声

在通信系统中，信源发送的信号具有一定的不可预测性，或者说随机性。信号在传输过程中会不可避免地遇到各种噪声和干扰，这些噪声也是不可预测的或随机变化的。电磁波的传播受大气层的变化、地面地形的影响，也使接收的信号随机变化。因此，通信中的信号和噪声都具有一定的随机性，需要借助随机过程的数学方法来描述。

本章介绍随机过程的基本概念、数字特征及噪声的表示方法，重点分析通信系统中几种重要随机过程的统计特性，以及随机过程通过线性系统的情况，这些内容对后面章节中分析通信系统的性能很有用。 2.1随机过程描述 2.1.1 随机过程概念

随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。通信系统中的信号和噪声是具有随机性的，通常称为随机信号，它们均可看作随时间参数t变化的随机过程。

随机过程是时间t 的实函数，但是在某一时刻上观察到的值却是一个随机变量。也就是说，随机过程可以看成是对应不同随机试验结果的时间过程的集合。例如：设有n部性能完全相同的通信机，它们的工作条件相同，如果用n台相同的记录仪同时记录通信机输出热噪声电压波形，结果将发现，尽管测试设备和测试条件都相同，但是纪录的是n条随时间起伏且各不相同的波形，如图2-1所示。这就是说，接收机输出的噪声电压随时间变化是不可预测的。测试结果的每一个记录，即图2-1中的一个波形，都是一个确定的时间函数xi(t),它称之为样本函数或随机过程的一个实现。全部样本函数构成的总体│x1(t),x2(t),?,xn(t)│就是一个随机过程，记作??t?。简言之，随机过程是所有样本函数的集合。

显然，把对接收机输出噪声波形的观察可看作是进行一次随机试验，每次试验之后，??t?取图2-1所示的所有可能样本中的某一样本函数，至于是哪一个样本，在进行观测之前是无法预测的，这正是随机过程随机性的表现。随机过程的这种不可预测性或随机性还可以从另一个角度来理解，在任一观测时刻t1上，不同样本的取值?xi(t1),i?1,2,...,n?是一个随机变量，记作?(t1)。换句话说，随机过程在任意时刻的值是一个随机变量。因此，又可以把随机过程看作是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。

x1?t?tx2?t??t?txn?t?t图2-1 样本函数构成的总体

随机过程具有两个属性： (1) ??t?是时间的函数。

(2) 给定任一时刻t，??t?是不含t 的随机变量。

2.1.2随机过程的统计特性

随机过程的统计特性是通过它的概率分布和数字特征来表述的。

设??t?是一个随机过程，其在任意给定时刻t1,的取值用??t1?表示，随机变量??t1?的统

1

计特性可用分布函数或概率密度函数来描述。

把随机变量??t1?小于或等于某一数值x1的概率p[?(t1)?x1]记作F1(x1,t1)，即 则称F1(x1,t1)为随机过程??t?的一维分布函数。如果F1(x1,t1)对x1的偏导数存在，有

F1(x1,t1)?p[?(t1)?x1] （2.1-1）

则称f1?x1,t1?为??t?的一维概率密度。显然，随机过程的一维分布函数和一维概率密度仅仅描述了随机过程在各个孤立时刻的统计特性，没有反映随机过程在各个时刻取值之间的内在联系，还需在足够多的时刻上考虑随机过程的多维分布函数。

对于任意给定的两个时刻t1,t2,把?(t1)?x1 和?(t2)?x2同时成立的概率 称为随机过程??t?的二维分布函数，如果

?F1?x1,t1??f1?x1,t1? （2.1-2） ?x1 F2(x1,x2;t1,t2)?P??(t1)?x1,?(t2)?x2? （2.1-3）

?2F2(x1,x2;t1,t2)?x1,?x2?f2(x1,x2;t1,t2) （2.1-4）

存在，则称f2(x1,x2;t1,t2)为??t?的二维概率密度函数。

同理，任意给定t1,t2,...,tn?T，则??t?的n维分布函数被定义为 如果存在

Fn?x1,x2,?xn;t1,t2,?tn??p???t1??x1,??t2??x2,???tn??xn? （2.1-5）

则称fn?x1?xn,t1?tn?为??t?的n维概率密度函数。显然，n越大，对随机过程统计特性的描述越充分，但问题的复杂度也随之增加。

2.1.3随机过程的数字特征

上述随机过程的概率分布函数和密度函数虽然能较完整的描述其统计特性，但在实际工作中，用数字特征来描述更为简单和直观。随机过程的数字特征是由随机变量的数字特征推广得到的，其中最常用的是均值、方差和相关函数。

1、均值（数学期望）

随机过程??t?在任意给定时刻t1的取值??t1?是一个随机变量，其一维概率密度函数为

?nFn?x1,x2,?xn;t1,t2,?tn??fn?x1?xn,t1?tn? （2.1-6）

?x1?x2??xnf1(x1,t1)，则??t1?的均值定义为

E???t1???????x1f1?x1,t1?dx1 （2.1-7）

因为t1是任取的，所以可以把t1直接写为t，x1也改为x ,这时上式就变为随机过程在任意时刻的均值（也称数学期望），记为a(t) a?t??E???t???显然，随机过程??t?的均值a(t)是时间t的函数，它表示随机过程的所有样本函数曲线的摆动中心。 2、方差

随机过程的方差定义为

????xf1?x,t?dx （2.1-8）

?2?t??D???t???E???t??E???t???2

???E???t????a?t?????x22????E?2?t??2E???t???E???t???E???t??222 (2.1-9)

f1?x,t?dx??a?t???2

可见，方差等于均方值与数学期望平方之差，它表示随机过程在时刻t相对于均值a(t)

的偏离程度。

3、协方差和相关函数

衡量随机过程在任意两个时刻上获得的随机变量之间的关联程度时，常用协方差函数B(t 1, t 2)和相关函数R（t1, t 2）来表示。协方差函数定义为

B?t1,t2??E?[??t1??a?t1?][??t2??a?t2?]??????????[x1?a?t1?][x2?a?t2?]?f2?x1,x2;t1,t2?dx1dx2 (2.1-10)

式中，t 1与t 2是任取的两个时刻，a(t1)与a(t2)是t1,t2时刻的均值，f2(x1,x2;t1,t2)为

二维概率密度函数。

相关函数定义为：

R?t1,t2??E???t1???t2?????????式中，??t1?和??t1?分别是在t1,t2时刻观测??t?得到的随机变量。可以看出，R（t1，t2）是两个变量t1和t2的确定函数。

R(t1，t2)与B(t1，t2)之间的关系为

B?t1,t2??R?t1,t2??a(t1)a(t2) （2.1-12） 若a?t1??0或a?t2??0,则B(t1，t2)=R(t1，t2)。由于B(t1，t2)和R(t1，t2) 是衡量同一过程相关程度的，因此，它们又分别称为自协方差函数和自相关函数，本书中只采用R(t1，t2)。

如果把相关函数的概念引申到两个或多个随机过程，也可以定义互相关函数。设?(t)和

??x1x2f2?x1,x2;t1,t2?dx1dx2 (2.1-11)

?(t)分别表示两个随机过程，则互相关函数为

R ? ??t1,t2??E???t1???t2??

?????????xy?f?x,t1;y,t2?dxdy （2.1-13）

若t2>t1,并令??t2?t1，则相关函数R(t1，t2)可以表示为R(t1,t1??)。这说明，相关函数依赖于起始时刻t1及t2与t1之间的时间间隔?，即相关函数是t1和?的函数。 2.2 平稳随机过程

平稳随机过程是一种特殊类型的随机过程，在通信领域中应用很广泛。 2.2.1 严平稳过程与广义平稳过程

严平稳随机过程的全称是随机过程在严格意义下的平稳过程，是指它的任何n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关。也就是说，对于任意的正整数n和所有实数?，随机过程?(t)的n维概率密度函数满足

fn?x1,x2,?xn;t1,t2,?tn??fn?x1,?xn;t1??,t2??,?tn??? （2.2-1）

该定义表明，严平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而改变。由此推论出，它的一维分布函数与时间t 无关，即

f1(x,t1)?f1(x1) （2.2-2） 而它的二维分布函数只与时间间隔?有关，即

f2(x1,x2;t1,t2)?f?x1x2;?? （2.2-3） 显然，随着概率密度函数的简化，平稳随机过程?(t)的一些数字特征也可以相应地简化，其均值为

a?t??E???t???????xf?x?dx?a （2.2-4）

为一常数，它表示平稳随机过程的各样本函数围绕着一水平线起伏。 自相关函数为

R?t1t1????E???t1???t1?????????????x1x2f?x1,x2;??dx1dx2?R(?) （2.2-5）

3

可见，严平稳随机过程?(t)具有显明的数字特征：①均值与t无关，为常数a；②自相关函数只与时间间隔??t2?t1有关，即R(t1,t1??)?R(?)。

实际中常用这两个条件来直接判断随机过程的平稳性，把同时满足①和②的随机过程定义为广义平稳随机过程。严平稳随机过程必定是广义平稳的，反之不一定成立。

在通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数均可视为广义平稳随机过程，将广义平稳随机过程简称为平稳过程。本书此后的讨论都假定是平稳过程。 2.2.2平稳过程的各态历经性

平稳随机过程在满足一定条件下有一个非常有用的特性，称为“各态历经性”。是指随机过程的数字特征（统计平均）可由随机过程中任一实现的数学特征（时间平均）来代替。大量实际观测和理论分析表明，许多平稳随机过程都具有这样的特性。 假设x(t)是平稳随机过程?(t)的任意一个实现，它的时间均值和时间相关函数分别定义为

1limT??T

?1T??Tlim1T??Tlim?????????T2xtdt?aT?2T22xt?adt?T?2T2xtxt?dt?T?2???2R??????????? （2.2-6） ?????如果平稳随机过程使下式成立

a?a ?2??2R????R?????? （2.2-7） ??即平稳过程的统计平均值等于它的任意一次实现的时间平均值，则称该平稳过程具有各态历经性。

“各态历经性”的含义是：随机过程的任一实现都好象经历了随机过程的所有可能状态。因此，无需获得大量用来计算统计平均的样本函数，而只需作一次考察，用一次实现的“时间平均”值代替过程的“统计平均”值即可，这使实际测量和计算过程大为简化。

注意，具有各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程，但平稳随机过程不一定是各态历经的。在通信系统中所遇到的随机信号及噪声，一般均可满足各态历经条件。 2.2.3平稳过程自相关函数与功率谱密度

在平稳过程中，均值、方差、自相关函数和互相关函数这四个数字特征中，自相关函数最为重要。其一，平稳随机过程的统计特性可通过自相关函数来描述；其二，自相关函数与平稳随机过程的谱特性有着内在的联系。

1、自相关函数

设?(t)为实平稳随机过程，则自相关函数 R????E???t???t?????具有以下主要性质：

① R?0??E?????????（2.2-8） x1x2f?x1x2,??dx1dx2

?2?t???S (2.2-9)

即??0的自相关函数等于信号的平均功率。

② R????R???? （2.2-10）

即R(?)是关于?的偶函数。这一性质可直接由定义式（2.2-8）证。

③ R????R?0? （2.2-11） 即自相关函数R(?)在??0有最大值。考虑一个非负式E??(t)??(t??)??0可以证明此关系。

2 4

?? E???t???2E???t???t?????E???t???0E?2?t??2??t???t?????2?t????022 2R(0)?2R(?)?0 R(?)?R(0)

④ R????E2???t???a2

??? （2.2-12）

2即R???等于?(t)的直流功率，证明如下。

limR????limE???t???t?????E???t???E???t?????E???t??

???上式利用了当???时，?(t)与?(t??)不存在依赖关系，即统计独立，且?(t)中不含周期分量。

⑤ R?0??R????? （2.2-13）

2即左端表达式代表的是?(t)的交流功率，证明如下。

D???t???E???t??a??E?2?t??2a??t??a22??

?E?2?t??2aE???t???a2?R?0??2a?a?a2

?????R?0??a2?R?0??R???2当均值为0时，有R(0)??。

由上述性质可知，用自相关函数几乎可表述?(t)所有的数字特征，因而具有实用意义。

2、功率谱密度

随机过程的频谱特性是用它的功率谱密度来表述的。由于随机过程的任意一个实现是一个确定的功率信号，设为f?t?，它的功率谱密度Pf???定义为

Pf????limFT???T2T?? （2.2-14）

式中，FT???是f?t?的截短函数fT?t?所对应的频谱函数，见图2-2。

f?t?0fT?t?t?T20图2-2 截短函数T2t

可以把f?t?看成是平稳过程??t?的任一样本，因而每个样本的功率谱密度也可以用式（2.2-14）来表示。一般而言，不同样本函数具有不同的谱密度Pf???，因此，某一样本的功率谱密度不能作为随机过程的功率谱密度，而应看作是对所有样本功率谱的统计平均，即

P?????EPf(?)?lim??EFT???T?2T??? （2.2-15）

上式给出了平稳随机过程??t?的功率谱密度P尽管该定义非常直观，但却很难直????定义，接用它来计算功率谱。

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由确知信号理论可知，非周期的功率型确知信号的自相关函数与其功率谱密度是一对傅里叶变换的关系。这种关系对平稳随机过程同样成立，也就是说，平稳过程的功率谱密度P????与其自相关函数R???也是一对傅里叶变换关系，即

P?????

????R????e?j??d????1R????2??P?????e （2.2-16）

j??d?简记为

R(?)?P?(?)

关系式（2.2-16）称为维纳-辛钦关系，它在平稳随机过程的理论和应用中是一个非常重要的工具。它是联系频域和时域两种分析方法的基本关系式。

在维纳-辛钦关系的基础上，可以得到以下结论：

（1）对功率谱密度进行积分，可以得到平稳过程的总功率

R(0)?12?????P?(?)d??E?2(t) （2.2-17）

??这正是维纳-辛钦关系的意义所在，它不仅指出了用自相关函数来表示功率谱密度的方法，同时还从频域的角度给出了平稳随机过程??t?平均功率的计算法，而式R(0)?E?(t)

2??是时域计算法。这一点进一步验证了R???与功率谱密度P????的关系。

（2）功率谱密度P????具有非负性和实偶性，即有

P?(?)?0 （2.2-18） 和

P?(??)?P?(?) （2.2-19）

?ct??)，其中A和?c均为常数；?是在【例2-1】 某随机相位余弦波?(t)?Acos((0,2?)内均匀分布的随机变量。

（1）求??t?的自相关函数与功率谱密度； （2）讨论??t?是否具有各态历经性。 【解】（1）先观测??t?是否广义平稳 ??t?的数学期望为

a(t)?E??(t)???Acos(?ct??)02?1d?2???t?的自相关函数为

A2?(cos?ctcos??sin?ctsin?)d??0 2?2?2?A??cos?ct?cos?d??sin?ct?sin?d???00??2???0? 6

R(t1,t2)?E??(t1)?(t2)??E?Acos(?ct1??)?Acos(?ct2??)?A2 ?E?cos?c(t2?t1)?cos??c(t2?t1)?2???2A2A22?1?cos?c(t2?t1)?cos?(t?t)?2?d???c21?0222?A2?cos?c(t2?t1)?02令 t2?t1??，得

A2 R(t1,t2)?cos?c??R(?)

2可见，??t?的数学期望为常数，而自相关函数只与时间间隔?有关，故??t?为广义平

稳随机过程。

根据平稳随机过程相关函数与功率谱密度的关系，即R(?)?P?(?)，由于

cos?c?????(???c)??(???c)? 所以，功率谱密度为

P?(?)?而平均功率为

?A22??(???C)??(???C)?

1?A2 S?R(0)? P?(?)d??2????2（2）再来求??t?的时间平均。根据式（2.2-6）可得 1 a?limT??T?T2T?2Acos(?ct??)dt?0

1R(?)?limT??T?T2T?2Acos(?ct??)?Acos??c(t??)???dtTT?A2?22cos( ?limcos??dt?2?t????2?)dt??T? Tccc?T??2T??2?2?A2?cos?c?2比较统计平均与时间平均，可得a?a,R(?)?R(?)，因此，随机相位余弦波具有各

态历经性。

2.3 平稳随机过程通过线性系统

通信过程主要是信号通过系统传输的过程。通信系统中所遇到的信号或噪声一般都是随机的，这些随机过程通过线性系统后，输出将是什么样的过程？

随机过程通过线性系统的分析，完全是建立在确知信号通过线性系统的分析基础之上的。这里只考虑平稳随机过程通过线性时不变系统的情况。对于线性时不变系统，输出响应v0(t)等于输入信号vi(t)与系统的冲击响应h(t)的卷积，即

vo(t)?vi(t)?h(t)?或

????vi(?)h(t??)d? （2.3-1）

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vo(t)?h(t)?vi(t)??h(?)v(t??)d? （2.3-2）

i对应的傅里叶变换关系为

VO(?)?H(?)Vi(?) （2.3-3） 本。显然,输入随机过程为?i?t?的每个样本与输出过程?0?t?的相应样本之间都满足式（2.3-2）的关系。因此，输入与输出随机过程也应满足式（2.3-2）,即有

现假定输入过程?i?t?是平稳随机过程，可根据上述关系求系统输出过程?0?t?的统计特性。

1、输出过程?0?t?的均值

如果把vi(t)看作是输入随机过程的一个样本,则v0(t)可看作是输出随机过程的一个样

?0?t??h?t???i?t???h????i?t???d? (2.3-4)

???对式(2.3-4)两边取统计平均，则输出过程?0?t?的均值为

???? E??0?t???E?h????i?t???d???h???E??i?t????d? ????????输入过程是平稳的，则有E??i?t?????E??i?t???a(常数），所以

可见，输出过程的均值等于输入过程的均值与直流传递函数H(0)的乘积，且E??0(t)?与t无关。

2、输出过程?0?t?的自相关函数

E??0?t???E??i?t???h???d??a?H?0? （2.3-5）

???根据自相关函数的定义，输出过程?0?t?的自相关函数为

R0?t1,t1????E??0?t1??0?t1????

????E?h????i?t1???d???h????i?t1?????d?? ????????????????h???h???E???ti?1????i?t1??????d?d?根据输入过程的平稳性，有

E??I(t1??)?i(t1????)??Ri(?????) 于是

R0(t1,t1??)??可见，?0?t?的自相关函数只与时间间隔?有关，与时间起点无关。

??h???h???R???????d?d??R??? (2.3-6)

????i0??式（2.3-5）和式（2.3-6）表明，若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过程也是平稳的。

3、输出过程?0?t?的功率谱密度 对式(2.3-6)进行傅里叶变换，输出过程?0?t?的功率谱密度为

'P0?????R0???e?j??d?????????????????h???h???R???????d?d??e?i

?j??d??j??'令???????，则有 P0(?)?即

?h???e???j??d??h???e????j??d??Ri(?)e???'d?'

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P0(?)??H????H????Pi????H????P i??? (2.3-7)

?2可见，线性系统输出功率谱密度是输入功率谱密度Pi(?)与系统功率传递函数H(?)是先计算出功率谱密度P0(?)，然后求其反变换，这比直接计算R0(?)要简便得多。

2的乘积。这是一个很重要的公式，若想得到输出过程的自相关函数R0(?)，比较简单的方法2.4 高斯过程

高斯过程也称为正态随机过程，在实践中观测到的大多数噪声都属于高斯过程，在信道的建模中经常用到高斯模型。 2.4.1高斯过程定义

若随机过程??t?的任意n 维（n=1,2,?）分布都服从正态分布，则称它为高斯随机过程或正态过程。其n维正态概率密度函数表示如下：

fn?x1,x2,?,xn;t1,t2,?,tn???1nn?xj?aj??xk?ak?? (2.4-1)

?exp?|B|jk???????n/2n/2???2???1?2??n|B|???j???k???2|B|j?1k?1?22式中，ak?E???tk??,?k?E???tk??ak?,B为归一化协方差矩阵的行列式

11 B?b121??b1n?b2n?1

b21?bn1bn2?Bjk为行列式B中元素bjk的代数余因子；bjk为归一化协方差函数，且 bjk?E?[??tj??aj][??tk??ak]??j?k (2.4-2)

2.4.2 高斯过程主要特性

(1)高斯过程的n维分布只依赖各个随机变量的均值、方差和归一化协方差。因此，对于高斯过程，只需要研究它的数字特征就可以了。

(2)广义平稳的高斯过程也是严平稳的。因为若高斯过程是广义平稳的，则它的均值与时间无关，协方差函数只与时间间隔有关，而与时间起点无关，因此它的n维分布也与时间起点无关。

(3)如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，即对所有j?k，有bjk?0，这时式(2.4-1)变为

??xk?ak?2?fn?x1,x2,?,xn;t1,t2,?,tn???exp???2 2?2??kk?1k?? (2.4-3)

?f?x1,t1??f?x2,t2??f?xn,tn?n1这表明，如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，那么它们也是统计独立的。

(4)高斯过程经过线性系统后的过程仍然是高斯过程。 2.4.3 高斯过程一维分布

高斯过程在任一时刻上的取值是一个正态分布的随机变量，也称高斯随机变量，其一维概率密度函数表示为

f?x???(x?a)2exp???2?22???12??? (2.4-4) ?式中，a为高斯随机变量的数学期望，?为方差。f(x)曲线如图2-3所示。

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12??f?x?0a图2-3 高斯概率密度函数x

f(x)具有以下特性：

(1)f?x?对称于x?a这条直线，在a处为最大，等于(2)及

?1。 2???f?x?dx?1 (2.4-5)

??01 （2.4-6） ???02(3)a表示分布中心，?称为标准偏差。f(x)图形将随着?的减小而变高和变窄。 当a?0,??1时，称为标准化的正态分布，即有

f?x?dx??f?x?dx???x2?f?x??exp??? (2.4-7)

2??2?当要求计算高斯随机变量?小于或等于任意取值x 的概率P???x?时，可由下式得到

1 F?x??P???x???x????z?a?2?exp???dz (2.4-8) 22??2???1这个积分无法用闭合形式计算，但可以通过查表得到数值解。(2.4-8)常用以下几种特殊函

数来表示：

(1)误差函数和互补误差函数 误差函数定义为

erf?x??2??x0e?tdt (2.4-9)

2，erf??x???erf?x?。它是自变量的递增函数，且有erf?0??0，erf????1

称1-erf?x?为互补误差函数，记为erfc(x)，即

erfc?x??1?erf?x??互补误差函数是自变量的递减函数，且有

2???xe?tdt （2.4-10）

2erfc?0??1，erfc????0，erfc??x??2?erfc?x?

当x??1时，近似有

erfc?x??1?xe?x2 （2.4-11）

实际应用中只要x＞2就可满足要求。

(2)概率积分函数和Q(x)函数 概率积分函数定义为

??x??12??x??e?t22dt （2.4-12）

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这是又一个在数学手册上有数值和曲线可查的特殊函数，且有?????1。

Q(x)函数是一种经常用于表示高斯尾部曲线下的面积的函数，其定义为

?edt x?0 （2.4-13） 2?x?x?a?借助该函数可以计算概率P???x??Q??。

??? 比较式（2.4-10）和式（2.4-13），可得

Q?x??1???x??1??t221?x?erfc?? （2.4-14） 22??1?x? ??x??1?erfc?? （2.4-15）

2?2? Q?x?? erfc?x??2Q?2x?2?1???z?a??2x? （2.4-16）

??现在利用以上特殊函数与式（2.4-8）进行联系，以表示正态分布函数F(x）。若对式（2.4-8）进行变量代换，令新积分变量t?则有

?，有dz??dt，并与式（2.4-12）联系，

?x?a?? （2.4-17） ???z?a若对式（2.4-8）进行变量代换，令新积分变量t?并利用式（2.4-6）， ，有dz?2?dt，2? F?x????则还可得到

?11?x?a??erf?22??2????? F?x????x?a??1?1erfc? ????2???2x?a （2.4-18）

x?a在分析通信系统的抗噪声性能时常用误差函数或互补误差函数表示F(x)。

2.4.4 高斯白噪声

1、白噪声

在通信系统中，常会遇到这样一类噪声，它的功率谱密度均匀分布在整个频率范围内，即

n0 ????f???? (2.4-19) 2或 Pn?f??n0 ?0?f???? (2.4-20)

Pn?f??这类噪声被称为白噪声，用n(t)表示。式中n0为一常数，单位是W/HZ。

式(2.4-19)表示双边功率谱密度，如图2-4（a）所示，而式(2.4-20)为单边功率谱密度。将式(2.4-19)取傅里叶反变换，可得到白噪声的自相关函数，即

n0???? (2.4-21) 2（即??0）如图2-4（b）所示，这表明，白噪声仅在??0才相关，而在任意两个时刻上的

R????随机变量都是互不相关的。

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p???n02n0????2f0(b)τ0(a)图2-4 白噪声功率谱密度与自相关函数

如果白噪声是高斯分布的，就称之为高斯白噪声。由式(2.4-21)和高斯过程的性质可知，高斯白噪声在任意两个不同时刻上的取值之间，不仅是互不相关的，而且还是统计独立的。

应当指出，真正“白”的噪声是不存在的，它只是构造的一种理想化的噪声形式，目的是为了使问题的分析大大简化。在实际中，只要噪声的功率谱是均匀分布的，频率范围远远大于通信系统的工作频带，就可以把它视为白噪声。例如，在第3章中将要讨论的热噪声和散粒噪声均是近似白噪声的例子。

2、低通白噪声

如果白噪声通过理想矩形的低通滤波器或理想低通信道，则输出的噪声称为低通白噪声。假设白噪声的双边功率谱密度为n0/2，理想低通滤波器的传输特性为

H?????则可得输出的功率谱密度为

?K0,?0,2???H其它2

P0????H(?)Pi????K0?其自相关函数为

n0,???H (2.4-22) 2R0????

12?fH?fH2????P0???ej?td?2??K0?K0n0fHn0j2?f?edf (2.4-23) 2sin?H??H?R0???2k0n0fH 对应的曲线如图2-5所示。式中，?H?2?fH。

P0???n02K02??fH12fH12fH0（b)自相关函数0(a)功率谱密度fH??图2-5 带限白噪声的功率谱和自相关函数

由图2-5（a）可见，输出噪声的功率谱密度被限制在f?fH内，在此范围外则为零，通常把这样的噪声也称为带限白噪声。

由图2-5（b）可见，这种带限白噪声仅在??k/2fH?k?1,2,??上得到的随机变量才互不相关。也就是说，如果对带限白噪声按抽样定理抽样的话，则各抽样值是互不相关的随机变量，这个概念很重要。

12

3、带通白噪声

如果白噪声通过理想矩形的带通滤波器或理想带通信道，则输出的噪声称为带通白噪声。

设理想带通滤波器的传输特性为

??1H?f?????0式中，fc为中心频率，B为带通宽度。

则其输出的噪声的功率谱密度为

fc?BB?f?fc?22 (2.4-24)

其它BB?n0,f??f?f?cc?2222? (2.4-25) P0?f??H?f?Pi?f????0,其它??利用P0????R0???，则得输出噪声的自相关函数为

R0?????P0?f?ej2?f?df?????B2B?fc?2?fc?Bfc?nn0j2?f?edf??B20ej2?f?df (2.4-26)

fc?222?n0Bsin?B?cos2?fc??B?其平均功率为

N0?R0?0??n0B （2.4-27） 理想带通白噪声的功率谱和自相关函数对应曲线如图2-6所示。

Pn?f?BBn02?fc0(a)功率谱密度R???fcf?1B(b) 自相关函数图2-6 理想带通白噪声的功率谱和自相关函数

通常，带通滤波器的B??fc，因此也称窄带滤波器，相应的把带通白噪声称为窄带高斯白噪声。因此，它的表达式和统计特性与一般窄带随机过程相同。 2.5 窄带高斯噪声

所谓窄带随机过程??t?，是指它的频谱密度集中在中心频率fc附近相对窄的频带范围

?f内，即满足?f??fc条件，且fc远离零频率。实际中，大多数通信系统都是窄带带通

型的，通过窄带系统的信号或噪声必然是窄带随机过程。如果用示波器观测某一次实现的波形，则它是一个频率近似为fc，包络和相位随机缓慢变化的正弦波，如图2-7所示。

13

因此，窄带随机过程??t?可用下式表示 ??t??a??t?cos?ct????t??f??a??t??0 （2.5-1）

S?f??f?fc0(a)S(t)缓慢变化的包络[a(t)]fcf0t频率近似为(b)fc图2-7 窄带过程的频谱和波形示意图式中，a??t?和???t?分别为??t?的随机包络和随机相位，也是随机过程。

上式利用三角函数和角公式，可写成

式中

??t??a??t??cos???t?cos?ct?sin???t?sin?ct??a??t?cos???t?cos?ct?a??t?sin???t?sin?ct （2.5-2） ??c?t?cos?ct??s?t?sin?ct ?c?t??a??t?cos???t? （2.5-3） ?s?t??a??t?sin???t? （2.5-4）

?c?t?及?s?t?分别称为??t?的同相分量和正交分量，也是随机过程。显然，它们的变化相对于载波cos?ct的变化要缓慢得多。 由式（2.5-1）～（2.5-4）可看出，??t?的统计特性可由a??t?，???t?或?c?t?，?s?t?的统计特性确定。反之，如果已知窄带过程??t?的统计特性，可确定a??t?，???t?以及

?c?t?，?s?t?的统计特性。

如果??t?的概率密度函数为高斯分布，则称为窄带高斯过程或窄带高斯噪声。 2.5.1窄带高斯噪声统计特性

???t?设窄带随机过程是平稳高斯窄带过程，且均值为零，方差为??。现在分析a??t?，

2或?c?t?，?s?t?的统计特性。

1、?c?t?和?s?t?的统计特性 对式（2.5-2）求数学期望，有

因为??t?平稳且均值为零，那么对于任意的时间t都有E???t???0，所以由式（2.5-5）

可得

?E??C?t??cos?ct?E??s?t??sin?ct （2.5-5）

E???t???E??C?t?cos?ct??s?t?sin?ct?

E??c?t???0???? ? （2.5-6） E????s?t????0?

14

??t?的自相关函数

R??t,t????E???t???t?????

Rc?t,t???cos?ctcos?c?t????Rcs?t,t???cos?ctsin?c?t????Rsc?t,t???sin?ctcos?c?t????Rs?t,t???sin?ctsin?c?t???

（2.5-7）

Rc?t,t????E??c?t??c?t????其中

Rcs?t,t????E??c?t??s?t????Rs?t,t????E??s?t??s?t????Rsc?t,t????E??s?t??c?t????

因为??t?是平稳的，故有

R??t,t????R????

这就要求式（2.5-7）的右边也应该与t无关，而仅与时间间隔?有关。因此，若令t=0,则式（2.5-7）仍应成立，即有

R?????Rc?t,t???cos?c??Rcs?t,t???sin?c? （2.5-8） 这时，应有

Rc?t,t????Rc???Rcs?t,t????Rcs???

故式（2.5-8）变为

R?????Rc???cos?c??Rcs???sin?c? （2.5-9） 再令t??，同理可得 2?cR?????Rs???cos?c??Rsc???sin?c? （2.5-10）

Rs?t,t????Rs???Rsc?t,t????Rsc???

其中有

与?s?t?也是平稳的。

由以上数学期望和自相关函数分析可知，如果窄带高斯过程??t?是平稳的，则它的?c?t?进一步分析，式（2.5-9）和（2.5-10）应同时成立，故有

Rc????Rs??? （2.5-11）

可见，同相分量?c?t?和正交分量?s?t?具有相同的自相关函数，而且根据互相关函数的性质，应有

Rcs????Rsc????

将上式代入（2.5-12），可得

Rsc?????Rsc???? （2.5-13） 同理可得

Rcs?????Rcs???? （2.5-14）

Rcs?????Rsc??? （2.5-12）

式（2.5-13）和式（2.5-14）说明，?c?t?和?s?t?的互相关函数Rsc???、Rcs???都是?的奇

函数，在??0时，有

Rsc?0??Rcs?0??0 （2.5-15） 于是，由式（2.5-9）及（2.5-10）可得

15

R??0??Rc?0??Rs?0? （2.5-16）

即 ????c??s （2.5-17） 这表明，?c?t?，?s?t?和??t?具有相同的平均功率和方差（因为均值为0）。

另外，根据??t?是平稳高斯型的，故??t?在任意时刻的取值都是服从高斯分布的随机变量，则由式（2.5-2）可得

取t?t1?0时， ??t1???c?t1?

222?时， ??t2???s?t2? 2?c所以，?c?t1?、?s?t2?是高斯随机变量，从而?c?t?和?s?t?也是高斯随机过程。又根据式（2.5-15）可知，?c?t?与?s?t?在??0互不相关，因此它们也是统计独立的。

综上所述，可以得到一个重要结论：一个均值为零的窄带平稳高斯过程??t?，它的同相分量?c?t?和正交分量?s?t?也是平稳高斯过程，而且均值都为零，方差也相同。此外，在同一时刻得到的?c,?s是互不相关的或统计独立的。

2、a??t?和???t? 的统计特性

取t?t2?以上分析可知，?c和?s的联合概率密度函数为 f??c,?s??f??c?f??s??12???2设a?,??的联合概率密度函数为fa?,??，则根据概率论知识，有

fa?,???f??c,?s?????2c??s2?exp??? （2.5-18） 22???????????c,?s? （2.5-19）

??a?,???根据式（2.5-3）和式（2.5-4）随机变量之间的关系 ?可得

??c?a?cos??

??asin????s???c,?s?

??a?,???于是

??c?a????c?????scos???a????s?a?sin?????sin??a?cos???a?

f?a?,????a?f??c,?s??a?2???a?2???22??a?cos???2??a?sin???2?exp??? （2.5-20）

2???????a?2??exp??2?2??????2??内取值。 注意，这里a??0,而??在?0，再利用概率论中边际分布知识，将fa?,??对??积分可求得包络a?的一维概率密度函数为

?? 16

f?a????f?a?,???d???????2?a?2???20?a?2?exp???d?? 2??2???? ?a???2?a?2?exp???， a??0 （2.5-21） 2??2????可见，a?服从瑞利分布。

同理，将fa?,??对a?积分可求得相位??的一维概率密度函数为

??f??????f?a?,???da??01?2??12???0?a?2?exp??da? 2?2????2????a?,?0????2?? （2.5-22）

可见，随机相位??服从均匀分布。

综上所述，得到又一个重要结论：一个均值为零，方差为??的窄带平稳高斯过程??t?，

2其包络a??t?的一维分布是瑞利分布，相位???t?的一维分布是均匀分布。并且就一维分布而言，a??t?与???t?是统计独立的，即有下式成立

f?a?,????f?a???f???? （2.5-23）

2.5.2 正弦波加窄带高斯噪声 在通信系统中，传输的信号是用一个正弦波作为载波的已调信号，信号经过信道传输时总会受到加性噪声的影响。为了减小噪声的影响，通常在接收机前端加一个带通滤波器，以滤除信号频带以外的噪声。因此，带通滤波器的输出是正弦波已调信号与窄带高斯噪声的混合波形，这是通信系统中常会遇到的一种情形。所以有必要了解合成信号的包络和相位的统计特性。

设正弦波加窄带高斯噪声的混合信号为

r?t??Acos??ct????n?t? （2.5-24） 式中，n?t??nc?t?cos?ct?ns?t?sin?ct为窄带高斯噪声，其均值为零，方差为?n；正弦

22??上均匀分布的随机变量。于是有 信号的A，?c均为常数，?是在?0，r?t??f?t??n?t??Acos??ct?????nc?t?cos?ct?ns?t?sin?ct?

??Acos??nc?t??cos?ct??Asin??ns?t??sin?ct （2.5-25） ?zc?t?cos?ct?zs?t?sin?ct?z?t?cos??ct???t??式中：

zs?t??Asin??ns?t? （2.5-27）

合成信号 r(t)的包络和相位为

z?t??zc?t??Acos??nc?t? （2.5-26）

zc2?t??zs2?t?z?0 （2.5-28）

??t??arctanzs?t?zc?t?0???2? （2.5-29）

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由上面讨论可知，如果?值已给定，则zc、zs是相互独立的高斯随机变量，且有 E?zs??Asin?E?zc??Acos?

?c2??s2??n2所以，在给定相位?的条件下zc和zs的联合概率密度函数为

f?zc,zs/???12??n2?1?22????exp??z?Acos??z?Asin?cs2?2?n?????? ??利用与以上分析a?,??相似的方法，根据式（2.5-26）、式（2.5-27）可以求得在给定相位?的条件下的z和?的联合概率密度函数为 f?z,?/???f?zc,zs/?? ?求条件边际分布，有

???c,?s??z?f?zc,zs/??

??a?,???z2??n2?2??1??22??exp??z?A?2Azcos???? 2??2?n????f?z/????

0f?z,?/??d?z2?由于

2??n?z2?A2?2??Az?

?exp???2?2???0exp??2cos??????d?n???n?

故有

12??2?0exp?xcos??d??I0?x? （2.5-30）

?Az??Az??2? ??expcos???d??J?0??0????n???n?式中，J0?x?为零阶修正贝塞尔函数。当x?0时，J??x?是单调上升函数，且有J0?0??1。

12?2?故有

f?z/???z?n2z由上式可知，f?z/??与?无关，故合成信号r(t)的包络z 的概率密度函数为：

f?z???1?exp??z2?A22?2?n????J?Az??2? 0?????n??n2?122exp??z?A2?2?n????J?Az??2??????????0?????n?z?0 （2.5-31）

该概率密度函数称为广义瑞利分布，也称莱斯（Rice）分布。

式（2.5-31）存在两种极限情况：

（1）当信号很小时，A?0，即信号功率与噪声功率之比r?A2?n2?0时，相对于x 值很小，于是有I0?x??1，这时合成波r(t)中只存在窄带高斯噪声，式（2.5-31）近似为式（2.5-21），即由莱斯分布退化为瑞利分布。

（2）当信噪比r很大时，有I0?x??即

18

ex2?x，这时在z?A附近，f(z)近似于高斯分布，

f?z????z?A?2?exp??2?2?n2??n?1?? ??由此可见，信号加噪声的合成包络的分布与信噪比有关。小信噪比时，它接近瑞利分布；大信噪比时，它接近于高斯分布；在一般情况下才是莱斯分布。图2-8（a）给出不同的r值时f(z)的曲线。

关于信号加噪声的合成波相位分布f???，由于比较复杂，这里就不再推导了。不难想象，f???也与信噪比有关。小信噪比时，f???接近均匀分布，它反映这时窄带高斯噪声为主的情况；大信噪比时，f???主要集中在有用信号相位附近。图2-8（b）给出不同的?值时f???的曲线。

?nf?z?r=00.5r>>10.30.20.10f???r>>1r=0?n(a)Az??0(b)????图2-8 正弦波加窄带高斯过程的包络与相位分布

2.6 matlab仿真举例

高斯噪声对调幅信号的影响。设调制信号是一个幅度为2v,频率为1000Hz的余弦波，调制度为0.5，载波信号是一个幅度为5v，频率为10kHz的余弦波，所有余弦波的初相位为0.若信道中没有噪声干扰，则接收机的天线接收到的调幅波形如图2-9（a）所示.若信道中存在加性噪声n(t)，则接收机所收到的调幅信号r(t)=y(t)+n(t)是叠加噪声的调幅信号，如图2-9（b）所示。n(t)是利用randn命令产生的高斯噪声。实现调幅信号的程序源代码如下：

dt=1e-6; %仿真采样间隔 T=3*1e-3; %仿真终止时间 t=0:dt:T;

input=2*cos(2*pi*1000*t); %输入调制信号 carrier=5*cos(2*pi*1e4*t); %载波 output=(2+0.5*input).*carrier; %调制输出

subplot(2,1,1);plot(t,output);xlabel('t/s');ylabel('调幅输出');%作图调幅输出波形

noise=randn(size(t)); %噪声

r=output+noise; %调制信号加性噪声信道

%作图输出调幅信号

subplot(2,1,2);plot(t,r);

xlabel('t/s');ylabel('调幅输出');

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(a) 无噪声的调幅输出信号的仿真波形（b) 叠加噪声的调幅输出信号的仿真波形利用Matlab提供的专用高斯噪声SX?f?是随机过程或噪声的自相关函数RX???傅氏变换。

对于平稳随机过程和噪声信号X(t),在频域范围内可用功率谱SX?f?来表征，而

图2-9 调幅输出信号波形函数wgn( )，可以方便的对高斯噪声信号进行相关操作和功率谱分析。程序源代码如下： N=1024;

noise=wgn(1,N,10); %产生高斯噪声1 noise1=wgn(1,N,10); %产生高斯噪声2 psd=spectrum(noise,N); %噪声功率谱密度 y1=xcorr(noise,noise1); %两个噪声的互相关 y=xcorr(noise,noise); %一个噪声的自相关

subplot(2,2,1);plot(1:N,noise); %绘图输出如图2-10所示 title('The Noise Signal'); xlabel('Time');grid;

subplot(2,2,2);specplot(psd,1);grid; subplot(2,2,3);plot(y);grid;

title('The self-correlation of one noise'); subplot(2,2,4);plot(y1);grid;

title('The across-correlation of two noise');

20

图2-10 信号的功率谱及相关函数

2.7 本章小结

通信中的信号和噪声都可看作是随时间变化的随机过程。因此，本章是分析通信系统必需的数学基础和工具。

随机过程具有随机变量和时间的特点，可以从两个既不相同又紧密联系的角度来描述：①随机过程是无穷多个样本函数的集合；②随机过程是一簇随机变量的集合。

随机过程的统计特性由分布函数或概率密度函数描述。若一个随机过程的统计特性与时间起点无关，则称其为严平稳过程。

数字特征是另一种描述随机过程的简便手段。若过程的均值是常数，且自相关函数R?t1,t1????R???，则称该过程为广义平稳过程。

若一个过程是严平稳的，则它必是广义平稳的，反之不一定成立。若一个过程的时间平均等于对应的统计平均，则该过程是各态历经性的。

广义平稳过程的自相关函数R???是时间的偶函数，且R?0?等于总平均功率。功率谱密度与自相关函数是傅里叶变换及反变换关系，即P?????R???。

高斯过程的概率分布服从正态分布，它的统计特性可用数字特征来描述。一维概率分布只取决于均值和方差，二维概率分布主要取决于相关函数。高斯随机过程通过线性系统后，输出的仍为高斯过程。

正态分布函数与Q(x)或erfc(x)函数的关系在分析数字通信系统的抗噪声性能时很有用。

平稳随机过程?i?t?通过线性系统后，其输出过程?0?t?也是平稳的。 高斯白噪声是分析信道加性噪声的理想模型，它在任意两个不同时刻上的取值之间互不相关，且统计独立的。

白噪声通过带限系统后，其输出的是带限噪声。分析中常见的有低通白噪声和带通白噪声。

瑞利分布、莱斯分布、正态分布是通信中常见的三种分布。正弦载波信号加窄带高斯噪声的包络一般为莱斯分布。当信号幅度大时，趋近于正态分布；幅度小时，近似于瑞利分

21

布。

思 考 题

2-1 何谓随机过程？它具有什么特点？

2-2 随机过程的数字特征主要有哪些？分别表征随机过程的什么特性？ 2-3 何谓平稳随机过程？广义平稳随机过程与严平稳随机过程有何区别？ 2-4 何谓统计平均？何谓时间平均？两者有何区别？

2-5 平稳过程的自相关函数有哪些性质？说明维纳-欣钦定理的含义和用途。 2-6 什么是高斯过程？其主要性质有哪些？ 2-7 试说明随机过程通过线性系统时的特性。

2-8 什么是白噪声？白噪声通过理想低通或理想带通滤波器后的情况如何？ 2-9 何谓高斯白噪声？它的概率密度函数、功率谱密度如何表示？

2-10何谓带限高斯白噪声？低通白噪声和带通白噪声的功率谱密度与自相关函数各有何特点？

2-11 什么是窄带随机过程？它的频谱和时间波形有什么特点？ 2-12 窄带高斯噪声有何特点？它的幅度和相位服从什么概率分布？ 2-13 窄带高斯过程的同相分量和正交分量的统计特性如何？ 2-14 正弦波加窄带高斯噪声的包络和相位概率密度分布如何？

习 题

2-1设随机过程??t?可表示成??t??2cos?2?t???,式中?是一个离散随机变量，且P(θ=0)=1/2,P(θ=π/2)=1/2,试求E?1?,及R??0,1?。

2-2 设随机过程Y(t)=X1cosω0t-X2sinω0t,若X1与X2是彼此独立且均值为0、方差为?的高斯随机变量，试求：

2、EY?t?； （1）E?Y?t??（2）Y(t)的一维概率分布函数f(y)； (3) R?t1,t2?和B?t1,t2?。

2-3 已知x(t)和y(t)是统计独立的平稳随机过程，且它们的自相关函数分别为Rx(τ)、RY(τ).

(1) 试求乘积z(t)=x(t)y(t)的自相关函数； （2）试求乘积z(t)=x(t)+y(t)的自相关函数。

2-4 已知随机过程z(t)=m(t)cos(ωct+θ),它是广义平稳随机过程m(t)对一余弦载波进行振幅调制的结果。此载波的相位θ在（0，2π）上服从均匀分布，m(t)和θ是统计独立的，且m(t)的自相关函数为

2???1??,?Rm?????1??,?0,??1???00???0

其他(1)证明z(t)是广义平稳的；

(2)试画出自相关函数Rz(τ)的波形； (3)试求功率谱密度Pz(ω)及平均功率。

2-5 一个中心频率为fc、带宽为B的理想带通滤波器如图2-11所示。假设输入是均值为0、功率谱密度为n0/2的高斯白噪声，试求

22

H?f?BB?fc0fcf图2-11

（1） 滤波器输出噪声的自相关函数； （2） 滤波器输出噪声的平均功率； （3） 输出噪声的一维概率密度函数。

2-6 一个RC低通滤波器如图2-12所示。假设输入是均值为零、功率谱密度为n0/2的白噪声，试求输出噪声的功率谱密度和自相关函数。

RC 2-7 设有一个随机二进制矩形脉冲波形，它的每个脉冲的持续时间为Tb，脉冲幅度取±1的概率相等。现假设任一间隔Tb内波形取值与其他间隔内取值统计无关，且具有宽平稳性，试证：

（1）自相关函数

（2）功率密度

P?????Tb?Sa??fTb??

2图2-12?1??Tb,R???????0,??Tb

??Tb2-8图2-13为单个输入、两个输出的线性过滤器，若输入过程η（t）是平稳的，求?1?t?与?2?t?的互功率谱密度的表达式。

?1?t?h1?t???t?h2?t??2?t?

2-9若X(t)是平稳随机过程，其自相关函数为Rx???，试求它通过图2-14系统后的自相关函数和功率谱密度。

图2-13 23

X(t)相加Y(t)延时T图2-142-10 若通过图2-12所示的随机过程是均值为零、功率谱密度为n0

2的高斯白噪声，

试求输出过程的一维概率密度函数。

2-11设平稳过程X(t)的功率谱密度为Px???,其自相关函数为Rx???。试求功率谱密度为

1?Px????0??Px????0?? 2所对应过程的相关函数(其中,?0为正常数)。

分别为z1?t?与z2?t?，试证明z1?t?与z2?t?也是互不相关的。

第2章

2-1 E?1??1, R??0,1??2 2-2 （1）E?Y?t???0,2-12 设x1?t?与x2?t?为零均值且互不相关的平稳过程，经过线性时不变系统，其输出2-13 利用matlab对随机噪声的自相关特性、互相关特性及功率谱特性进行仿真分析。

EY2?t???2

???y2??; exp??（2）f?y??2??2???2??2（3）R?t1,t2??B?t1,t2????cos?0?

12-3 （1）R?t1,t2??Rx????Ry???

（2） R?t1,t2??Rx????Ry????2a1a2 2-4 （1）E?z?t???0,Rz?t1,t2??Rz???,所以平稳

1Rm????cos?0? 21（3）s?Rz?0??

22-5 （1）R0????n0BSa??B??cos2?fc?

（2）N0?R0?0??n0B

（2）Rz????

?x2?exp?? (3) f?x???

2?n0B?2n0B?n12?6P0????0?21???RC?21R0????2-7 略

n0e4RC1??RC

24

2?8P?j????'12???????h1???ed?????h2???e?j??d?????R'????e?j??d?'

?H?1????H2????p????2?9R0????2Rx????Rx???T??Rx???T?P

Y????2?1?cos?T??Px???2?10f?x??2RC?2RC2??nexp?0???nx?0? ?2?11Rx????cos?0?

2-12 略 2-13 略

25

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