2012年冲刺高考精品题库（七）

2009年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)

文科数学

第Ⅰ卷(共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.集合A??0,2,a?,B??1,a2?,若A?B??0,1,2,4,16?,则a的值为( D ) A.0 B.1 C.2 D.4

3?i等于（C ）. 1?iA．1?2i B.1?2i C.2?i D.2?i

2.复数

3.将函数y?sin2x的图象向左平移的函数解析式是( A).

?个单位, 再向上平移1个单位,所得图象4A. y?2cos2x B. y?2sin2x C.y?1?sin(2x?y?cos2x

?4) D.

【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式的基本知识和基本技能,学会公式的变形.

4. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( C ).

A.2??23 B. 4??23 C. 2??23 323 D. 32 正(主)

2 侧(左)视

2 2 2 4??5.在R上定义运算⊙: a⊙b?ab?2a?b,则满足x⊙(x?2)<0的实数x的取值范围为( B ).

1

A.(0,2) B.(-2,1) C.(??,?2)?(1,??) D.(-1,2) 6. 函数

ex?e?xy?x?x的图像大致为( A ).

e?e y 1O 1 x 1yyy 1 O 1 x D

1 O1xO1 xC x?0?log2(4?x),7. 定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ?，则f（3）的值B

f(x?1)?f(x?2),x?0?A B 为( B )

A.-1 B. -2 C.1 D. 2. ????????????A 8.设P是△ABC所在平面内的一点，BC?BA?2BP，则（ B ）

C P

第8题图

????????????????????????????????????????A.PA?PB?0 B. PB?PC?0 C. PC?PA?0 D.PA?PB?PC?0

9. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“???”是“m??”的( B )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

10. 设斜率为2的直线l过抛物线y2?ax(a?0)的焦点F,且和y轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为(B ).

A.y2??4x B.y2??8x C. y2?4x D. y2?8x

2

11.在区间[?( A ).

??1,]上随机取一个数x，cosx的值介于0到之间的概率为2221212A. B. C. D. 323?

12. 已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x?4)??f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则( D ).

A.f(?25)?f(11)?f(80) B. f(80)?f(11)?f(?25) C. f(11)?f(80)?f(?25) D. f(?25)?f(80)?f(11)

第?卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。 13.在等差数列{an}中,a3?7,a5?a2?6,则a6?____________.13.

14.若函数f(x)=ax-x-a(a>0且a?1)有两个零点，则实数a的取值范围是 . w.w.w. {a|a?1}

15.执行右边的程序框图，输出的T= . 30

16.某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能 生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产 品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元, 设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A类产品50件

3

y f(x)=m (m>0) -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 x

开始 S=0,T=0,n=0 是 T>S 否 S=S+5 n=n+2 输出T 结束 ,B类产品140件,所需租赁费最少为__________元. 2300 三、解答题：本大题共6小题，共74分。 17.(本小题满分12分)设函数f(x)=2sinxcos2?2?cosxsin??sinx(0????)在

x??处取最小值. (1) 求?.的值;

(2) 在?ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,已知a?1,b?2,f(A)?C..

18.（本小题满分12分）

如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2, AA1=2, E、E1分别是棱AD、AA1的中点. （1） 设F是棱AB的中点,证明：直线EE1//平面FCC1； （2） 证明:平面D1AC⊥平面BB1C1C.

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3,求角2DCAEA

ED F

BC

B

19. （本小题满分12分）

一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆):

舒适型 标准型 轿车A 100 300 轿车B 150 450 轿车C z 600 按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆.

（1） 求z的值.

（2） 用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看

成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率;

（3） 用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如

下:9.4, 8.6, 9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.

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20.（本小题满分12分）

等比数列{an}的前n项和为Sn， 已知对任意的n?N? ，点(n,Sn)，均在函数y?bx?r(b?0且b?1,b,r均为常数)的图像上. （1）求r的值； （11）当b=2时，记 bn?

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n?1(n?N?) 求数列{bn}的前n项和Tn 4an

21.（本小题满分12分）

1已知函数f(x)?ax3?bx2?x?3,其中a?0

3（1） 当a,b满足什么条件时,f(x)取得极值?

已知a?0,且f(x)在区间(0,1]上单调递增,试用a表示出b的取值范围.

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22. （本小题满分14分）

?设m?R,在平面直角坐标系中,已知向量a?(mx,?y1,)向量???,ab?(x,y?1)?b,动点M(x,y)的轨迹为E.

（1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; （2）已知m?1,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E4恒有两个交点A,B,且OA?OB(O为坐标原点),并求出该圆的方程; (3)已知m?1,设直线l与圆C:x2?y2?R2(1

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2009年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)

文科数学

答案：DCACB ABBBB AD 13、13. 14、{a|a?1}15、30 16、2300 17、解: （1）f(x)?2sinx?1?cos??cosxsin??sinx 2?sinx?sinxcos??cosxsin??sinx ?sinxcos??cosxsin? ?sin(x??)

因为函数f(x)在x??处取最小值，所以sin(???)??1,由诱导公式知sin??1,因为0????,所以????.所以f(x)?sin(x?)?cosx 2233,所以cosA?,因为角A为?ABC的内角,所以22ab?,也就sinAsinB（2） 因为f(A)?A??6.又因为a?1,b?2,所以由正弦定理,得

bsinA12, ?2??a22是sinB?因为b?a,所以B?3?.

44???7?3??3???. 当B?时,C?????;当B?时,C????4641246412?或B?18、证明:（1）在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，取A1B1的中点F1， 连接A1D，C1F1，CF1，因为AB=4, CD=2,且AB//CD， //

所以CD=A1F1，A1F1CD为平行四边形，所以CF1//A1D， 又因为E、E1分别是棱AD、AA1的中点，所以EE1//A1D， 所以CF1//EE1，又因为EE1?平面FCC1，CF1?平面FCC1， 所以直线EE1//平面FCC1.

（2）连接AC,在直棱柱中，CC1⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,

A

9

DAEA

EDF F

CBC

B

DCB

DEA C

E

B 所以CC1⊥AC,因为底面ABCD为等腰梯形，AB=4, BC=2, F是棱AB的中点,所以CF=CB=BF，△BCF为正三角形，

?BCF?60?,△ACF为等腰三角形，且?ACF?30?

所以AC⊥BC, 又因为BC与CC1都在平面BB1C1C内且交于点C, 所以AC⊥平面BB1C1C,而AC?平面D1AC, 所以平面D1AC⊥平面BB1C1C.

19、解: (1).设该厂本月生产轿车为n辆,由题意得,z=2000-100-300-150-450-600=400

(2) 设所抽样本中有m辆舒适型轿车,因为用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本,所以

400m?,解得m=2也就是抽取了2辆舒适型轿100055010?,所以n=2000. n100?300车,3辆标准型轿车,分别记作S1,S2;B1,B2,B3,则从中任取2辆的所有基本事件为(S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),(B1 ,B2), (B2 ,B3) ,(B1 ,B3)共10个,其中至少有1辆舒适型轿车的基本事件有7个基本事件: (S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),所以从中任取2辆,至少有1辆舒适型轿车的概率为

7. 101(3)样本的平均数为x?(9.4?8.6?9.2?9.6?8.7?9.3?9.0?8.2)?9,

8那么与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的数为9.4, 8.6, 9.2, 8.7, 9.3, 9.0这6个数,总的个数为8,所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为

6?0.75. 820、解:因为对任意的n?N?,点(n,Sn)，均在函数y?bx?r(b?0且b?1,b,r均为常数)的图像上.所以得Sn?bn?r, 当n?1时,a1?S1?b?r,

当n?2时,an?Sn?Sn?1?bn?r?(bn?1?r)?bn?bn?1?(b?1)bn?1,

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又因为{an}为等比数列, 所以r??1, 公比为b, 所以an?(b?1)bn?1 （2）当b=2时，an?(b?1)bn?1?2n?1, bn?则Tn?n?1n?1n?1 ??4an4?2n?12n?1234n?1????? 234n?122221234nn?1Tn??????? 22324252n?12n?2121111n?1相减,得Tn?2?3?4?5???n?1?n?2

222222211?(1?)n?11n?1123n?132 ??n?2??n?1?n?2

1422221?231n?13n?3所以Tn??n?n?1??n?1

2222221、解: (1)由已知得f'(x)?ax2?2bx?1,令f'(x)?0,得ax2?2bx?1?0,

f(x)要取得极值,方程ax2?2bx?1?0必须有解,

所以△?4b2?4a?0,即b2?a, 此时方程ax2?2bx?1?0的根为

?2b?4b2?4a?b?b2?a?2b?4b2?4a?b?b2?a,x2?, x1???2aa2aa所以f'(x)?a(x?x1)(x?x2) 当a?0时,

x f’(x) f (x) (-∞,x1) ＋ 增函数 x 1 0 极大值 (x1,x2) － 减函数 x2 0 极小值 (x2,+∞) ＋ 增函数 所以f(x)在x 1, x2处分别取得极大值和极小值.

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当a?0时,

x f’(x) f (x) (-∞,x2) － 减函数 x 2 0 极小值 (x2,x1) ＋ 增函数 x1 0 极大值 (x1,+∞) － 减函数 所以f(x)在x 1, x2处分别取得极大值和极小值. 综上,当a,b满足b2?a时, f(x)取得极值.

(2)要使f(x)在区间(0,1]上单调递增,需使f'(x)?ax2?2bx?1?0在(0,1]上恒成立.

ax1ax1?,x?(0,1]恒成立, 所以b?(??)max 22x22x1a(x2?)ax1a1a, 设g(x)???,g'(x)???2?222x22x2x即b??令g'(x)?0得x?11或x??(舍去),

aa当a?1时,0?1ax11?1,当x?(0,)时g'(x)?0,g(x)???单调增函数; a22xa当x?(ax11,1]时g'(x)?0,g(x)???单调减函数,

22xa所以当x?11时,g(x)取得最大,最大值为g()??a. aa所以b??a 当0?a?1时,ax11?1,此时g'(x)?0在区间(0,1]恒成立,所以g(x)???在

22xaa?1,所以2区间(0,1]上单调递增,当x?1时g(x)最大,最大值为g(1)??

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b??a?1 2a?1 2综上,当a?1时, b??a; 当0?a?1时, b??????解:（1）因为a?b,a?(mx,y?1),b?(x,y?1),

??所以a?b?mx2?y2?1?0, 即mx2?y2?1. 当m=0时,方程表示两直线,方程为y??1; 当m?1时, 方程表示的是圆

当m?0且m?1时,方程表示的是椭圆; 当m?0时,方程表示的是双曲线.

1x2(2).当m?时, 轨迹E的方程为?y2?1,设圆心在原点的圆的一条切线为

44y?kx?t,解方程组

?y?kx?t?2?x2??y?1?4得

x2?4(kx?t)2?4,即

(1?4k2)x2?8ktx?4t2?4?0, 要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B,

则使△=64k2t2?16(1?4k2)(t2?1)?16(4k2?t2?1)?0,

8kt?x?x??12??1?4k22222即4k?t?1?0,即t?4k?1, 且? 2?xx?4t?412?1?4k2?k2(4t2?4)8k2t2t2?4k22, y1y2?(kx1?t)(kx2?t)?kx1x2?kt(x1?x2)?t???t?2221?4k1?4k1?4k22????????4t2?4t2?4k25t2?4k2?4???0, 要使OA?OB, 需使x1x2?y1y2?0,即2221?4k1?4k1?4k所以5t2?4k2?4?0, 即5t2?4k2?4且t2?4k2?1, 即4k2?4?20k2?5恒

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成立.

所以又因为直线y?kx?t为圆心在原点的圆的一条切线,

所以圆的半径为r?x2?y2?4. 5t1?k24(1?k2)2t45,r2?, 所求的圆为??221?k1?k5222x25,与?y2?1交于点(5,?5)当切线的斜率不存在时,切线为x??5554或(?225,?5)也满足OA?OB. 554，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒5综上, 存在圆心在原点的圆x2?y2?????????有两个交点A,B,且OA?OB.

1x2(3)当m?时,轨迹E的方程为?y2?1,设直线l的方程为y?kx?t,因为直线

44l与圆C:x2?y2?R2(1

①,

因为l与轨迹E只有一个公共点B1,

?y?kx?t?22由（2）知?x2得x?4(kx?t)?4, 2??y?1?4即(1?4k2)x2?8ktx?4t2?4?0有唯一解

则△=64k2t2?16(1?4k2)(t2?1)?16(4k2?t2?1)?0, 即4k2?t2?1?0, ②

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?23R2t???4?R2由①②得?, 此时A,B重合为B1(x1,y1)点, 2?k2?R?1??4?R28kt?x?x??12?4t2?416R2?16?1?4k22?由? 中x1?x2,所以,x1?, 2221?4k3R4t?4?xx?12?1?4k2?4124?R2222|OB|?x?y?5?B1(x1,y1)点在椭圆上,所以y?1?x1?,所以, 111R243R221在直角三角形OA1B1中,|A1B1|2?|OB1|2?|OA1|2?5?442?R?5?(?R2)因为22RR4?R2?4当且仅当R?2?(1,2)时取等号,所以|A1B1|2?5?4?1当2RR?2?(1,2)时|A1B1|取得最大值,最大值为1.

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