吉林省长白山2013学年高数学 第二章综合素质能力检测 新人教A版

第二章 综合素质能力检测

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的．)

1．(2010～2011·河南汤阴县一中高二期中)等比数列{an}中，a7·a11＝6，a4＋a14＝5，则

a20

＝( ) a10

232A.或 B. 323311C. D.或－ 232

2．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且满足Sn，Sn＋2，Sn＋1成等差数列，则a3

等于( )

11A. B．－ 2211C. D．－ 44

3．(2012·辽宁理，6)在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝( )

A．58 B．88 C．143 D．176

4．已知－1，a1，a2,8成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，那么

a1a2

的值为b2

( )

A．－5 B．5

55C．－ D. 22

5．等差数列{an}中，a1＝－8，它的前16项的平均值是7，若从中抽取一项，余下的15项的平均值为7.2，则抽取的是( )

A．第7项 B．第8项 C．第15项 D．第16项

6．(2012·新课标全国理，5)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10

＝( )

A．7 B．5 C．－5 D．－7

7．(2011·北京朝阳区期末)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2，则a2等于( )

A．4 B．2 C．1 D．－2

8．某工厂去年产值为a，计划今后5年内每年比上年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个厂的总产值为( )

45

A．1.1a B．1.1a

56

C．11×(1.1－1)a D．10(1.1－1)a

9．一个等差数列共有10项，其中奇数项的和为26，偶数项的和为15，则这个数列的第6项是( )

A．3 B．4 C．5 D．6

10．(2010·江西文，7)等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5>a2，则an＝( )

n－1n－1

A．(－2) B．－(－2)

nnC．(－2) D．－(－2)

11．已知数列{an}中，a1＝3，a2＝6，an＋2＝an＋1－an，则a2009＝( )

用心 爱心 专心

1

A．6 C．3 B．－6 D．－3

1

12．等比数列{an}中，a1＝512，公比q＝－，用Mn表示它的前n项之积，即Mn＝

2

a1·a2·a3…an，则数列{Mn}中的最大项是( )

A．M11 B．M10 C．M9 D．M8

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13．(2012·辽宁文，14)已知等比数列{an}为递增数列，若a1>0，且2(an＋an＋2)＝5an＋

1，则数列{an}的公比q＝________.

n14．在等比数列{an}中，前n项和Sn＝3＋a，则通项公式为__________．

15．有三个数成等比数列，其和为21，若第三个数减去9，则它们成等差数列，这三个数分别为__________．

16．等差数列{an}前n项和Sn，若S10＝S20，则S30＝__________. 三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)若{an}是公差d≠0的等差数列，通项为an，{bn}是公比q≠1的等比数列，已知a1＝b1＝1，且a2＝b2，a6＝b3.

(1)求d和q.

*

(2)是否存在常数a，b，使对一切n∈N都有an＝logabn＋b成立，若存在求之，若不存在说明理由．

2**

18．(本题满分12分)已知数列{an}的前n项和Sn＝10n－n(n∈N)，又bn＝|an|(n∈N)，求{bn}的前n项和Tn.

[分析] 本题求数列{bn}的前n项和，应首先确定数列{bn}的特性，由题意可得{bn}是由一个首项为正值，而公差为负的一个等差数列，{an}的各项取绝对值后得到的一个新数列，因此求{bn}的前n项和可转化为求数列{an}的和的问题．

19．(本题满分12分)一个等差数列前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为3227，求公差d.

20．(本题满分12分)在4月份(共30天)，有一新款服装投放某专卖店销售，日销售量

*

(单位：件)f(n)关于时间n(1≤n≤30，n∈N)的关系如图所示，其中函数f(n)图象中的点位于斜率为5和－3的两条直线上，两直线的交点的横坐标为m，且第m天日销售量最大．

(1)求f(n)的表达式，及前m天的销售总数；

(2)按规律，当该专卖店销售总数超过400件时，社会上流行该服装，而日销售量连续下降并低于30件时，该服装的流行会消失．试问该服装在社会上流行的天数是否会超过10天？并说明理由．

21．(本题满分12分)已知数列{an}是等差数列，且a1＝2，a1＋a2＋a3＝12. (1)求数列{an}的通项公式；

n(2)令bn＝anx(x∈R)，求数列{bn}的前n项和．

22．(本题满分14分)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且an和Sn满足：4Sn＝(an＋2

1)(n＝1,2,3……)，

(1)求{an}的通项公式；

用心 爱心 专心 2

(2)设bn＝

1

，求{bn}的前n项和Tn；

an·an＋1

*

(3)在(2)的条件下，对任意n∈N，Tn>都成立，求整数m的最大值．

23

详解答案 1[答案] A

[解析] 在等比数列{an}中，a7·a11＝a4·a14＝6，又a4＋a14＝5，∴?

??a4＝3?

?a14＝2?

?a4＝2???a14＝3

m

或

，又a14＝a4·q，

10

23a20102310

∴q＝或，∴＝q＝或.

32a1032

2[答案] C

[解析] ∵Sn、Sn＋2、Sn＋1成等差数列，∴Sn＋2－Sn＝Sn＋1－Sn＋2.∴an＋2＋an＋1＝－an＋2，∴1＝－.

2

1

又a1＝1，∴a3＝.

4

3[答案] B

[解析] 本题主要考查等差数列的性质及求和公式．

11a1＋a1111×16

由条件知a4＋a8＝a1＋a11＝16，S11＝＝＝88.

22

*

[点评] 注意等差数列的性质应用：若m，n，p，q∈N，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.

4[答案] A

[解析] ∵－1，a1，a2,8成等差数列，设公差d， ∴8－(－1)＝3d，∴d＝3， ∴a1＝2，a2＝5，

2

∵－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，b2＝4，

又b2＝－1·q<0，∴b2＝－2，∴5[答案] A

a1＋a16×16

[解析] S16＝＝7×16,7×16－x＝7.2×15，∴x＝4，又a1＝－8，∴a16

2

1

＝22，d＝(a16－a1)＝2，∴an＝－8＋(n－1)·2＝4，∴n＝7.

156[答案] D

[解析] 本题考查了等比数列的性质及分类讨论思想．

a4＋a7＝2，a5a6＝a4a7＝－8?a4＝4，a7＝－2或a4＝－2，a7＝4， a4＝4，a7＝－2?a1＝－8，a10＝1?a1＋a10＝－7， a4＝－2，a7＝4?a10＝－8，a1＝1?a1＋a10＝－7. 7[答案] A

[解析] S1＝2a1－2＝a1，∴a1＝2，S2＝2a2－2＝a1＋a2，∴a2＝4. 8[答案] C

[解析] 设从去年开始，每年产值构成数列为{an}，则a1＝a，

an＝a(1＋10%)n－1(1≤n≤6)，从今年起到第5年是求该数列a2到a6的和，应为S6－a1

用心 爱心 专心

3

2

an＋2an＋1

a1a2

＝－5. b2

＝

a1.16－11.1－1

9[答案] A

－a＝11×(1.1－1)a.

5

10a5＋a6[解析] 由题意，S偶－S奇＝5d，∴d＝－2.2，S10＝＝5(a5＋a6)＝5(2a6＋

2

2.2)＝41，∴a6＝3.

10[答案] A

33

[解析] ∵|a1|＝1，∴a1＝1或－1，∵a5＝－8a2＝a2q，a2≠0，∴q＝－8，∴q＝－2，

3

又a5>a2，∴a2q>a2，∴a2<0，

n－1

∵a2＝a1q<0，∴a1>0，∴a1＝1，∴an＝(－2). 11[答案] B

[解析] 由条件an＋2＝an＋1－an可得：an＋6＝an＋5－an＋4＝(an＋4－an＋3)－an＋4＝－an＋3＝－(an＋2－an＋1)＝－[(an＋1－an)－an＋1]＝an，于是可知数列{an}的周期为6，∴a2009＝a5，又a1＝3，a2＝6，∴a3＝a2－a1＝3，a4＝a3－a2＝－3，a5＝a4－a3＝－6.

12[答案] C

1n－110

[解析] 由题设an＝512·(－).∴Mn＝a1·a2·a3…an＝[512×(－)]×[512×(－

22

11121n－1)]×[512×(－)]×…×[512×(－)] 222

11＋2＋3＋…＋(n－1)n＝512×(－)

2

[点评] 此题若直接用列举法可很简明求解：

a1＝512，a2＝－256，a3＝128，a4＝－64，a5＝32，a6＝－16，a7＝8，a8＝－4，a9＝2，a10＝－1，

当n≥11时，|an|<1，又M9>0，M10<0，∴M9最大． 13[答案] 2

[解析] 本题考查了等比数列的通项公式． ∵{an}是递增的等比数列，且a1>0， ∴q>1，

又∵2(an＋an＋2)＝5an＋1，

2

∴2an＋2anq＝5anq， ∵an≠0，

2

∴2q－5q＋2＝0，

1

∴q＝2或q＝(舍去)，

2

∴公比q为2.

[点评] 一定要注意数列{an}是递增数列且a1>0，则公比q大于1.

n－1

14[答案] an＝2×3

nn－1n－1

[解析] an＝Sn－Sn－1＝(3＋a)－(3＋a)＝2×3，∴a1＝2.又a1＝S1＝3＋a，∴3＋a＝2，∴a＝－1.

用心 爱心 专心

4

15[答案] 16,4,1

[解析] 设三个数为a，b，c，由题意可知

a＋b＋c＝21??

?2b＝a＋c－9??b2＝ac

，

解之得：b＝4，a＝1，c＝16或b＝4，a＝16，c＝1. 16[答案] 0

10×920×19

[解析] ∵S10＝S20，∴10a1＋d＝20a1＋d，∴2a1＝－29d.

22

10×29

∴S30＝30a1＋d＝15×(－29d)＋15×29d＝0.

2

[点评] 既可以运用一般方法求解，也可以充分利用等比数列的性质求解，设数列{an}第一个10项的和为b1，第二个10项的和为b2，第三个10项的和为b3，则∵S10＝S20，∴b2＝0，由条件知b1，b2，b3成等差，∴2b2＝b1＋b3，∴b3＝－b1，∴S30＝b1＋b2＋b3＝0.

2

17[解析] (1)a2＝1＋d＝b2＝q，a6＝1＋5d＝b3＝q，∴q＝4，d＝3. (2)假设存在常数a、b满足等式，由an＝1＋(n－1)d＝3n－2，bn＝qn－1＝4n－1及an＝logabn＋b得(3－loga4)n＋loga4－b－2＝0，

?3－loga4＝0?3*

∵n∈N，∴?，∴a＝4，b＝1，故存在．

??loga4－b－2＝0

2

18[解析] 由Sn＝10n－n可得， an＝11－2n，故bn＝|11－2n|.

2

显然n≤5时，bn＝an＝11－2n，Tn＝10n－n. n≥6时，bn＝－an＝2n－11，

Tn＝(a1＋a2＋…＋a5)－(a6＋a7＋…＋an)

2

＝2S5－Sn＝50－10n＋n

2

?10n－n n≤5，?

故Tn＝? 2

?50－10n＋n n≥6.?

19[解析] 设首项为a1，公差为d，则由题意：

S奇＋S偶＝354，??

?S奇27

＝.??S偶32

??S偶＝192，

∴?

?S奇＝162.?

又S偶－S奇＝6d，∴d＝5. 57－2

20[解析] (1)由题意＝5解得：m＝12.

m－1

?5n－3 1≤n≤12，n∈N，?

f(n)＝?*

??93－3n 12

*

2＋57＝354. 2

(2)∵S12＝354<400，∴前12天不流行． ∵S13＝354＋f(13)＝408， 且f(21)＝30，f(22)＝27.

∴从第13天到第21天，服装销售总数超过400件，日销售量不低于30件， ∴该服装在社会上流行不会超过10天． 21[解析] (1)设数列{an}的公差为d，则 ??a1＋a2＋a3＝3a1＋3d＝12，?解得：d＝2. ?a1＝2.?

前m天的销售总数Sm＝S12＝

12

用心 爱心 专心 5

∴an＝a1＋(n－1)d＝2n.

n(2)令Sn＝b1＋b2＋…＋bn，其中bn＝2nx，

2n－1n则Sn＝2x＋4x＋…＋(2n－2)x＋2nx.① 当x＝0时，Sn＝0.

当x＝1时，Sn＝n(n＋1)．

23nn＋1

当x≠0且x≠1时，xSn＝2x＋4x＋…＋(2n－2)x＋2nx②

①－②得：(1－x)S＝2(x＋x2＋…＋xn)－2nxn＋1

n.

n∴S2x1－x2nxn＋1

n＝1－x2－1－x. 22[解析] (1)∵4S(a2

n＝n＋1)， ①

∴4S2

n－1＝(an－1＋1)(n≥2)， ② ①－②得

4(S22

n－Sn－1)＝(an＋1)－(an－1＋1).

∴4a＝(a22

nn＋1)－(an－1＋1).

化简得(an＋an－1)·(an－an－1－2)＝0. ∵an>0，∴an－an－1＝2(n≥2)．

∴{an}是以1为首项，2为公差的等差数列． ∴an＝1＋(n－1)·2＝2n－1.

(2)b11111

n＝a·a＝n－12n＋1＝2(2n－1－2n＋1)．nn＋12∴T1

n＝

2

〔

1－113

＋3－14

＋…＋12n－1－12n＋1

＝12(1－12n＋1)＝n2n＋1

. (3)由(2)知T11

n＝2(1－2n＋1)，

T1111

n＋1－Tn＝2(1－2n＋3)－2(1－2n＋1

) ＝12(12n＋1－12n＋3

)>0. ∴数列{Tn}是递增数列．

∴[T1

n]min＝T1＝3

. ∴m23<13，∴m<233

. ∴整数m的最大值是7.

用心 爱心 专心 6

〕

∴an＝a1＋(n－1)d＝2n.

n(2)令Sn＝b1＋b2＋…＋bn，其中bn＝2nx，

2n－1n则Sn＝2x＋4x＋…＋(2n－2)x＋2nx.① 当x＝0时，Sn＝0.

当x＝1时，Sn＝n(n＋1)．

23nn＋1

当x≠0且x≠1时，xSn＝2x＋4x＋…＋(2n－2)x＋2nx②

①－②得：(1－x)S＝2(x＋x2＋…＋xn)－2nxn＋1

n.

n∴S2x1－x2nxn＋1

n＝1－x2－1－x. 22[解析] (1)∵4S(a2

n＝n＋1)， ①

∴4S2

n－1＝(an－1＋1)(n≥2)， ② ①－②得

4(S22

n－Sn－1)＝(an＋1)－(an－1＋1).

∴4a＝(a22

nn＋1)－(an－1＋1).

化简得(an＋an－1)·(an－an－1－2)＝0. ∵an>0，∴an－an－1＝2(n≥2)．

∴{an}是以1为首项，2为公差的等差数列． ∴an＝1＋(n－1)·2＝2n－1.

(2)b11111

n＝a·a＝n－12n＋1＝2(2n－1－2n＋1)．nn＋12∴T1

n＝

2

〔

1－113

＋3－14

＋…＋12n－1－12n＋1

＝12(1－12n＋1)＝n2n＋1

. (3)由(2)知T11

n＝2(1－2n＋1)，

T1111

n＋1－Tn＝2(1－2n＋3)－2(1－2n＋1

) ＝12(12n＋1－12n＋3

)>0. ∴数列{Tn}是递增数列．

∴[T1

n]min＝T1＝3

. ∴m23<13，∴m<233

. ∴整数m的最大值是7.

用心 爱心 专心 6

〕

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