直线与平面的夹角

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第 三 章

3.2 3.2. 3 直线 与平 面的 夹角

理解教材新知 考点一 把握热 点考向 考点二 考点三

空 间 向 量 与 立 体 几 何

应用创新演练

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3.2.3

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如图在正方体ABCD—A1B1C1D1中. 问题1:AC是A1C在平面ABCD内的射 影吗？ 提示：因为AA1⊥平面ABCD,所以AC

是A1C在平面ABCD内的射影.

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问题2:你能比较∠A1CA与∠A1CB的大小吗？ 1 提示：能，tan∠A1CA= ,tan∠A1CB= 2 .故 2 ∠A1CA小于∠A1CB.问题3:由问题2你能得到什么结论？ 提示：斜线与射影的夹角小于斜线与平面内其他直

线的夹角.问题4:若平面ABCD的法向量为n,∠A1CA=α, 〈 A1C ,n〉=θ,则α与θ有什么关系？

提示：当θ为锐角时α+θ=90°,当θ为钝角时， θ=90°+α. 返回

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1.直线与平面的夹角(1)如果一条直线与一个平面垂直，这条直线与平面 π 的夹角为 2 ; (2)如果一条直线与一个平面平行或在平面内，这条 直线与平面的夹角为 0 ; (3)斜线和它在平面内的 射影 所成的角叫做斜线和 平面所成的角(或斜线和平面的夹角); π 0, 2

(4)直线与平面的夹角的范围是

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2.最小角定理(1)线线角、线面角的关系式： 如图，OB是OA在平面α内的射影， OM α,θ是OA与OM所成的角， θ1是OA与OB所成的角，

θ2是OB与OM所成的角，则cos θ=

cos θ1cos θ2 .

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(2)最小角定理： 斜线和 它在平面内的射影所成的角，是斜线和这个 平面内所有直线所成角中最小的角. 设向量 AB 在平面α内的射影为 A B ,且直线AB与平 面α的夹角为θ,则〈 AB , A B 〉=θ,| A B | | AB |cos θ = .

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1.斜线和它在平面内的射影所成的角是锐角.

2.cos θ=cos θ1· θ2中，θ1,θ2,θ分别是斜线 cos与射影，射影与平面内的直线，斜线与平面内的直线 所成的角，θ>θ1,θ>θ2.

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[例1]

在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4,BC=3,作出B1点在平面A1BCD1内的射影，从而

AA1=5,试求B1D1与面A1BCD1所成角的正弦值. [思路点拨] 得到B1D1在平面A1BCD1内的射影.

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[精解详析]

作B1E⊥A1B,垂足为E,

又因为A1D1⊥平面ABB1A1,∴A1D1⊥B1E. 由B1E⊥A1B及B1E⊥A1D1得B1E⊥面 A1BCD1,

所以，D1E就是D1B1在平面A1BCD1内的射影， 从而∠B1D1E就是D1B1与面A1BCD1所成的角.

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EB1 在Rt△ B1D1E中，有sin∠B1D1E= . D1B1 D1B1= A1B2+A1D2= 16+9=5, 1 1 1 1 又S△ A1BB1= A1B· 1= A1B1· 1, EB BB 2 2 A1B= 25+16= 41, ∴EB1= 4× 5 20 4 41 = ,∴sin∠B1D1E= . 41 41 41

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[一点通]

作直线与平面夹角的一般方法：在直

线

上找一点，通过这个点作平面的垂线，从而确定射影， 找到要求的角.其中关键是作平面的垂线，此方法简 称为“一作，二证，三计算”.

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1.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为

直角梯形，AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB= 2BC,M、N分别为PC、PB的中点. (1)求证：PB⊥DM; (2)求BD与平面ADMN所成的角.

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解：(1)证明：∵N是PB的中点，PA=AB,

∴AN⊥PB.∵PA⊥底面ABCD, ∴PA⊥AD, 又∵∠BAD=90°, ∴AD⊥面PAB,∴AD⊥PB. ∴PB⊥平面ADMN. ∵DM 平面ADMN,∴PB⊥DM.

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(2)连接DN, ∵PB⊥平面ADMN, ∴∠BDN是BD与平面ADMN所成的角. 在Rt△ BDN中，BD= AB2+AD2= 2AB, 1 1 2 2 2 BN= PB= AB +PA = AB, 2 2 2 BN 1 ∴sin∠BDN= = , BD 2 π 故BD与平面ADMN所成的角是 . 6

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2.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为AA1、AB 的中点，求EF和平面ACC1A1夹角的大小.解：如图，由正方体性质得平面 ACC1A1⊥平面ABCD,交线为AC, 所以过F作FG⊥AC于G,则有FG⊥ 平面AA1C1C. 连接EG,则∠FEG为EF与平面ACC1A1的夹角. 1 又F是AB的中点，所以AG= AC, 4

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又E、F分别是AA1、AB的中点， 1 1 所以EF= A1B= AC. 2 2 π 在Rt△ AGF中，因为∠GAF= , 4 1 所以GF=AG= AC,所以在Rt△ FGE中， 4 1 AC GF 4 1 π sin∠FEG= = = ,所以∠FEG= . EF 1 2 6 AC 2 π 所以EF与平面ACC1A1的夹角为 . 6返回

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[例2]

∠BOC在平面α内，OA是平面α的一条斜线，

若∠AOB=∠AOC=60°,OA=OB=OC=a,BC=a,求

OA与平面α所成的角.[思路点拨] 根据定义或cos θ=cos θ1·cos θ2求解.

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[精解详析] 法一：∵OA=OB=OC=a, ∠AOB=∠AOC=60° , ∴AB=AC=a. 又∵BC= 2a, ∴AB2+AC2=BC2. ∴△ABC为等腰直角三角形.同理△ BOC也为等腰直角三角 形.取BC中点为H,连接AH,OH, 2 2 ∴AH= a,OH= a,AO=a, 2 2

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