自主招生数学问题

高校自主招生数学问题

陶平生

全国重点大学自主招生考试是自2006年开始的一个新的考试门类，目前，这种考试有三大联盟：即，以清华为首的七校联盟，简称“华约”（清华、上海交大、西安交大、南京大学、浙江大学、中国科大、中国人大）；以北大为首的十三校联盟，简称“北约”（北大、北航、北师大、复旦、南开、武大、厦大、川大、山东大学、兰州大学、中山大学、华中科大、香港大学）（注：复旦、南开两校今年起退出北约单独干）；以及以北京理工大学为首的九校联盟，简称“卓越联盟”（北理工、大连理工、华南理工、天津大学、同济大学、重庆大学、东南大学、西北工大、哈尔滨工大）．

其试题特点是注重基础，知识全面，强化应用，突出能力，灵活多变，并与大学的知识内容及思想方法有所衔接，部分试题具有一定的高等数学以及数学竞赛背景．

自2013年起，自主招生试题已由各有关高校自行命题，改为由国家考试中心命题，目前还没有制定考试大纲，今年仍然按三个联盟分别命题，明年，或许又将合为一卷，这正如三国演义开篇所说：“话说天下大势，分久必合，合久必分”．

自主招生试题，包括中学所涉及的全部知识（而不单是按某个省的教材），内容可能会有某些超越．

试题例讲

1、对于数列?an?：1,3,3,3,5,5,5,5,5,?,即正奇数k有k个，且按自小到大排列，是

否存在整数r,s,t，使得对于任意正整数n，都有an?r?n?s??t恒成立？

??（[x]表示不超过x的最大整数）（上海交大）

2、已知一无穷等差数列中有三项：13,25,41，求证：2009为数列中的一项．

（2009北大）

（2009清华大学理科） 3、写出所有公差为8的三项等差质数数列，并证明之．

4、设5?1的整数部分为A，小数部分为B；(1)、求出A,B； 5?1(2)、求A2?B2?1（2009清华大学理科） AB的值；(3)、求lim(1?B?B2???B2)．

n??25、已知a2?a?1?0,b2?b?1?0,a?b，设数列?an?,?bn?满足：a1?1,a2?b， an?1?an?an?1?0(n?2)，bn?an?1?aan，

(1)、证明数列?bn?是等比数列；(2)、求数列?an?的通项；

(3)、设c1?c2?1,cn?2?cn?1?cn，证明：当n?3时，有(?1)n(cn?2a?cnb)?bn?1．

（华南理工大学）

6、n个圆至多将平面分成多少个部分？n个球至多将空间分成多少个部分？

1

（2009南京大学）

n117、数列?an?满足：???；

i?1aii?1ain(1)、求an和an?1的关系；

(2)、若0?a1?1，证明0?an?1；

(3)、若a1?[0,1]，证明an?an?1,(n?2)． （2008中国科大）

8、设二次函数y?f(x)的图像过原点(0,0)，且满足?3x2?1?f(x)?6x?2，而数

列?an?满足a1?1，an?1?f(an) 3(1)、确定f(x)的表达式； (2)、证明：an?1?an；

(3)、证明：

11?a12?11?a22???11?an2?3n?1?3． （2007武汉大学）

9、对于函数f?x,y?，如果存在函数 a?x?,b?y?,c?x?,d?y?，使 f?x,y??a?x?b?y??c?x?d?y?，则称f?x,y?为p?函数. 试确定：

?1?.xy?1是否为p?函数？ ?2?.x2y2?xy?1是否为p?函数？（2006上海交大）

10、求所有的正整数n，使得集合M??1,2,?,4n?可以分拆成n个四元子集：M??Mk，对于每个集合Mk??ak,bk,ck,dk?，k?1,2,?,n， 而ak,bk,ck,dk四数，

k?0n其中的一数等于另外三数的算术平均．（2010北大夏季）

11、在由若干南方球队和北方球队参加的排球单循环赛中，已知南方队比北方队多9支，所有南方队得分总和是所有北方队得分总和的9倍（每场比赛胜者得1分，负者得0分）．

证明：循环赛结束后，某支南方队积分最高．（2008年北京大学）

12、集合A?n!?nn?N*，集合B是集合A对于N*的补集；

(1)、证明：不存在无限项的等差数列，使得各项都在集合B中；

（2009中国科大） (2)、是否存在满足条件的等比数列？说明理由．

??13、设a,b,c都是有理数，并且a?b?c也是有理数；

2

证明：a,b,c都是有理数． （2008清华大学）

14、?ABC三个内角的正切值皆为整数，如果将彼此相似的三角形只算作是同一种三

角形，那么，全部合符条件的三角形的共有几种？

求所有非Rt?ABC，使得tanA?tanB?tanC??tanA???tanB???tanC?． （2009南京大学）

15、设u是方程x3?3x?10?0 ? ①的根，f(x)是系数为有理数的二次多项式，

且??12(u?u?2),f(?)?u，求f(0)． （2010华约） 216、九个连续正整数自小到大排成一个数列a1,a2,?,a9，若a1?a3?a5?a7?a9为

一平方数，a2?a4?a6?a8为一立方数，求这九个正整数之和的最小值．

17、在1,2,?,2012中取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，最多能取多少

个数？ （2012北京大学）

18、若对一切实数a,b,c,d，皆有ab?2bc?cd?k(a2?b2?c2?d2)成立，求实数

k的最小值．

19、n(n?2)个正数x1,x2,?,xn满足：x1?x2???xn?1，

求证：

111?????4．（2010浙江大学） 33x1?x13x2?x2xn?xn20、设a,b?0，求证：

111n?????． （2008浙江大学） a?ba?2ba?nb1??n?1??a?ba?b????2??2??

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