基于MATLAB的控制系统校正设计

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摘 要

控制系统校正属于系统设计环节，通过校正可以使系统的性能得到改善，从而使系统满足期望的性能指标。

本文主要研究线性定常系统的串联校正方法，包括串联超前校正、串联滞后校正和串联滞后超前校正。本文首先回顾了系统的时域性能指标和频域性能指标以及系统的校正方式，然后分别讨论了系统校正的根轨迹法和频率特性法。针对两种方法，分别给出了控制系统超前校正、滞后校正，滞后超前校正的理论依据、适用范围、校正步骤和相应的算法流程图，并针对各个校正方法编写了相应的MATLAB仿真程序，同时利用MATLAB的图形用户界面设计功能对控制系统校正进行了可视化界面设计，为每种校正方法设计了对应的GUI界面。针对每种方法给出具体实例验证了校正方法的有效性以及算法的正确性。

关键词： 串联校正，MATLAB，根轨迹法，频率特性法，GUI

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Abstract

····························· ·································································Control system correction is a part of system design. With a compensator, the system

can be more precise and more stable, thus the system can meet the requirement.

This paper investigates the design of cascade compensators for linear time invariant system, including cascade phase-lead compensators, cascade phase-lag compensators and cascade phase lag-lead compensators. We first recall the performance indicators in time domains and in frequency domains, and the correction methods for linear time invariant systems. Then, we discuss the compensator design methods based on root-locus and frequency characteristics. For the both methods, the theoretical basis and applicable range, correct steps and the corresponding algorithm flow charts are given for phase-lead compensator, phase-lag compensator and phase lag-lead compensator. MATLAB programs are written for each correction methods. Visual interfaces are designed using MATLAB’s GUI design function. Also, we give some examples to illustrate the effectiveness of our correction methods and the correctness of our algorithms.

Key words: cascade compensator, root-locus method, frequency characteristics

method, MATLAB, GUI

装订线II

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目 录

摘 要 .................................................................. I Abstract .............................................................. II 1 绪 论 ............................................................... 1

·····························2 ·装·················订3 ·················线 ··························· ···1.1 课题的意义及研究现状 ........................................... 1

1.1.1 MATLAB的发展及系统构成 ................................... 2 1.1.2 MATLAB的GUI设计 ......................................... 3 1.2 创新点 ......................................................... 4 1.3 论文的结构 ..................................................... 4 控制系统校正的方法 .................................................. 5

2.1控制系统的性能指标 .............................................. 5

2.1.1控制系统的时域指标 ........................................ 5 2.1.2控制系统的频域指标 ........................................ 6 2.1.3一阶系统的性能指标 ........................................ 7 2.1.4二阶系统的性能指标 ........................................ 8 2.2控制系统的校正方式 ............................................. 10 控制系统的根轨迹校正 ............................................... 12

3.1 根轨迹方法 .................................................... 12

3.2开环零极点对根轨迹的影响 ....................................... 12

3.2.1开环零点对根轨迹的影响 ................................... 12 3.2.2开环极点对根轨迹的影响 ................................... 13 3.2.3开环偶极子对根轨迹的影响 ................................. 14 3.3基于根轨迹的超前校正 ........................................... 14

3.3.1超前校正装置 ............................................. 14 3.3.2超前校正的步骤 ........................................... 15 3.3.3算法流程图 ............................................... 15 3.3.4实例仿真 ................................................. 16 3.4基于根轨迹的滞后校正 ........................................... 18

3.4.1滞后校正装置 ............................................. 18 3.4.2滞后校正的步骤 ........................................... 19 3.4.3算法流程图 ............................................... 19 3.4.4实例仿真 ................................................. 20 3.5基于根轨迹的滞后超前校正 ....................................... 22

3.5.1滞后超前校正装置 ......................................... 22 3.5.2滞后超前校正的步骤 ....................................... 23

III

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3.5.3算法流程图 ............................................... 24 3.5.4实例仿真 ................................................. 24 3.6本章小结 ....................................................... 26 4 控制系统校正的频率特性法 ........................................... 27

4.1系统的频率特性 ................................................. 27 4.2基于频率特性的超前校正 ......................................... 27

4.2.1超前校正装置 ............................................. 27 4.2.2超前校正的步骤 ........................................... 28 4.2.3算法流程图 ............................................... 29 4.2.4实例仿真 ................................................. 30

4.3基于频率特性的滞后校正 ......................................... 31

4.3.1滞后校正装置 ............................................. 32 4.3.2滞后校正的步骤 ........................................... 32 4.3.3算法流程图 ............................................... 33 4.3.4实例仿真 ................................................. 33 4.4基于频率特性的滞后超前校正 ..................................... 35

4.4.1滞后超前校正装置 ......................................... 36 4.4.2滞后超前校正的步骤 ....................................... 36 4.4.3算法流程图 ............................................... 37 4.4.4实例仿真 ................................................. 37 4.5本章小结 ....................................................... 40 结 论 ................................................................. 41 致 谢 ................................................................. 42 参考文献 .............................................................. 43

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1 绪 论

1.1 课题的意义及研究现状

控制系统的校正属于系统设计的环节。主要是指定控制系统的期望性能指标并依据这些指标计算出开环系统的特性，然后比较期望的开环特性与实际的开环特性，并依据这些结果来确定在开环系统中增加某些校正装置，并计算出校正装置的参数。然而系统的校正是一个反复试验各种参数的过程，需要相当的经验的积累，并需要进行大量的计算。

在计算机出现之前，科学研究的绝大部分工作是利用数学手段或其他方法对事物和真实世界进行描述。计算机的出现对科学和工程计算技术的发展产生了深远的影响，使人们能对复杂事物和系统建立模型并利用计算机进行求解，这些手段和方法逐步形成了计算机仿真技术。仿真已成为当今科学技术研究的主要内容之一，仿真技术也渗透到各学科和工程技术领域[1]。

计算机仿真技术有着巨大的优越性，利用它可以求解许多复杂而无法用数学手段解析求解的问题，利用它可以预演或再现系统的运动规律或运动过程，利用它可以对

[2]

无法直接进行试验的系统进行仿真实验研究，从而节省大量的资源和费用。由于计算机仿真技术的优越性，他的应用领域已经非常广泛，而且越来越受到普遍的重视。 计算机仿真是构造现实实际系统和在计算机上进行仿真的复杂活动，它主要包括实际系统，模型和计算机三个基本部分，关系如图1-1。

实际系统计算机 ································ ······························································装订线建模仿真模型

图 1-1 计算机仿真模型

自动控制系统仿真就是以自动控制系统模型（传递函数或状态空间）为基础，采用数学模型替代实际控制系统，以计算机为工具，对自动控制系统进行实验、分析、评估及预测研究的一种技术与方法。

本论文选择使用MATLAB作为仿真工具进行综合设计与仿真。以下简要介绍MATLAB的发展，构成及其特点和MATLAB中的图形界面（GUI）的设计方法。

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1.1.1 MATLAB的发展及系统构成

MATLAB的产生是与数学计算紧密联系在一起的。1980年，美国新墨西哥州大学计算机系主任Cleve Moler在给学生讲授线性代数课程时，发现学生在高级语言编程上花费很多时间，于是着手编写供学生使用的Fortran字程序库接口程序，他将这个接口程序取名为MATLAB(即Matrix Laboratory的前三个字母的组合，意为“矩阵实验室”)。这个程序获得了很大的成功，受到学生的广泛欢迎。

MATLAB经过几十年研究与不断完善，现已成为国际上最为流行的科学与工程计算软件工具之一，现在的MATLAB已经不仅仅是一个最初的“矩阵实验室”了，它已发展成为一种具有广泛应用前景、全新的计算机高级编程语言。自20世纪90年代，在美国和欧洲大学中将MATLAB正式列入研究生和本科生的教学计划，MATLAB软件已成为应用代数、自动控制原理、数理统计、数字信号处理、时间序列分析、动态系统仿真等课程的基本教学工具，成为学生所必须掌握的基本软件之一。在研究单位和工业界，MATLAB也成为工程师们必须掌握的一种工具，被认作进行高效研究与开发的首选软件工具，其特点是：

(1) 可扩展性：MATLAB最重要的特点是易于扩展，它允许用户自行建立特定功能的M文件。

(2) 易学易用性：MATLAB不需要用户有高深的数学知识和程序设计能力，不需要用户深刻了解算法及编程技巧。

(3) 高效性：MATLAB语句功能十分强大，一条语句可完成十分复杂的任务。它大大加快了工程技术人员从事软件开发的效率[3]。

MATLAB的最新版本为MATLAB R2012a，即7.14版本。最新版本改进了矩阵排序和转置运算，增强了对64位操作系统的支持，强化了大型数据集处理能力。除此之外，MATLAB R2012a还改进了对文件I/O和外部接口连接的支持。

本文采用MATLAB R2010a进行相关的数学运算、图形界面绘制，和控制系统仿真。

MATLAB系统由MATLAB开发环境、MATLAB数学函数库、MATLAB语言、MATLAB图形处理系统和MATLAB应用程序接口(API)五大部分构成。

(1) MATLAB开发环境 MATLAB开发环境是一套方便用户使用MATLAB函数和文件的工具集，其中许多工具是图形化用户接口。它是一个集成化的工作空间，可以让用户输入、输出数据，并提供了M文件的集成编译和调试环境。它包括MATLAB桌面、命令窗口、M文件编辑调试器、MATLAB工作空间和在线帮助文档。

(2) MATLAB数学函数库

MATLAB数学函数库包括了大量的计算算法，从基本运算(如加法、正弦等)到复杂算法，如矩阵求逆、贝赛尔函数、快速傅里叶变换等。

(3) MATLAB语言

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MATLAB语言是一个高级的基于矩阵/数组的语言，它有程序流控制、函数、数据结构、输入/输出和面向对象编程等特色。用户既可以用它来快速编写简单的程序，也可以用来编写庞大复杂的应用程序。

(4) MATLAB图形处理系统[4]

图形处理系统使得MATLAB能方便地图形化显示向量和矩阵，而且能对图形添加标注和打印。它包括强大的二维、三维图形函数、图像处理和动画显示等函数。

(5) MATLAB应用程序接口(API)

MATLAB应用程序接口(API)是一个使MATLAB语言能与C、Fortran等其他高级编程语言进行交互的函数库，该函数库的函数通过调用动态链接库(DLL)实现与MATLAB文件的数据交换，其主要功能包括在MATLAB中调用C和Fortran程序，以及在MATLAB与其它应用程序间建立客户/服务器关系。

································ ······························································1.1.2 MATLAB的GUI设计

图形用户界面(GUI，Graphical User Interface)是提供人机交互的工具。GUI是用

图形对象—GUI控件，如：按钮、文本、滑块和菜单等组成的用户界面。一个设计优秀的GUI能够非常直观地让用户知道如何操作MATLAB界面。例如，只要简单移动一下滑块，一个变量的值就随着发生变化；当点击OK按钮时，我们的设置得到应用并且对话框关闭。更重要的是，绝大多数使用计算机用户都知道如何应用GUI的标准控件。这也为GUI设计提供了广阔的前景[5]。

MATLAB的GUI为开发者提供了一个不脱离MATLAB的开发环境，更有益于MATLAB程序的GUI的集成，为一般用户提供了极大的方便。通过用户与底层的程序代码创建的界面，用户可以不了解具体程序命令行而去操作应用程序。因此，应用程序比直接运行命令行更容易学习和使用。特别是使用MATLAB计算软件的绝大多数用户，并不关心GUI的开发，而重点关注于MATLAB巨大的数值计算、工程分析等。但是开发者拥有了工程开发成果时，面向的不是自己，而是客户(使用者)，很不幸的是，客户对MATLAB一无所知或根本不想去了解那么多令人费解的代码，这时GUI设计显得很重要。GUI成为高质量程序与其用户交流的平台。由于MATLAB强大的应用功能，使得越来越多的用户从原先的开发环境转到MATLAB上来。使用MATLAB让用户不再关心大量底层与开发无关的工作，真正地解放了用户的双手，极大地提高了开发效率，让用户更专注于更需要它他的地方。MATLAB为了解决用户开发与客户交互的局限性，提供了一个全新GUI设计方案。让那些其他环境的用户和新用户能够快速地转换和上手[6]。

在GUI设计程序前，首先考虑设计对象的结构和开发流程。开发前的思考、开发文档的编辑对于理清编程者的思路、提高开发效率有十分重要的作用。即使是相同要求，设计出来GUI也是千差万别的。一个优秀的界面应当符合下面的标准：

(1)易用性

设计界面时，力求简洁、直接、清晰的反映界面的功能和特征。组件名称应该易

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懂，用词准确，与同一界面上的其他组件相区分，最好做到顾名思义。

(2)统一性

统一性包括使用标准的组件，也指使用相同的信息表现方法，如在字体、标签风格、颜色、术语、显示错误信息等方面保持一致。

(3)规范性

通常界面设计都按Windows界面的规范来设计，即包含“菜单条、工具栏、按钮、右键快键菜单”的标准格式。

(4)合理性

界面大小合适，布局力求简洁、有序、易于操作。

································ ······························································1.2 创新点

本文的创新点包括：

(1)本论文主要是利用MATLAB R2010a对控制系统的串联校正进行分析与仿真，包括基于根轨迹的系统校正和基于频率特性的系统校正，并在此基础上编写相应程序，用于系统校正的计算。

(2)用户通过输入简单的命令就可以查看系统校正前后的各种图形，从中可以直观地看出系统的各种性能指标。

(3)在仿真程序的基础上，利用MATLAB提供的GUI设计功能，设计人机交互界面，将控制系统的校正过程通过图形的方式展现，便于人机交互。同时提供综合实例进行分析验证。

装订1.3 论文的结构

本论文主要分为五部分：

第一章：绪论。主要介绍了本课题的写作目的，相关的研究现状，以及本论文的创新点和论文的结构。

第二章：控制系统校正的方法。主要介绍控制系统的性能指标，一阶系统和二阶系统的性能指标，控制系统校正方法的分类。

第三章：控制系统的根轨迹校正。介绍了基于根轨迹法的串联超前校正网络设计的理论基础，算法步骤和仿真实现；基于根轨迹法的串联滞后校正网络设计的理论基础算法步骤和仿真实现；以及基于根轨迹法的串联滞后超前校正网络设计的理论基础算法步骤和仿真实现。设计了基于根轨迹的串联校正的GUI界面。

第四章：控制系统校正的频率特性法。主要介绍了基于频率法的串联超前校正网络设计的理论基础，算法步骤和仿真实现；基于频率法的串联滞后校正网络设计的理论基础，算法步骤和仿真实现；以及基于频率法的串联滞后超前校正网络设计的理论基础，算法步骤和仿真实现。设计了基于频率特性的串联校正的GUI界面。

第五章：结论。

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线

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2 控制系统校正的方法

································ ······························································控制系统的校正属于系统设计的环节，主要是指定控制系统期望的性能指标，并

依据这些指标计算出开环系统的特性，然后比较期望的开环系统和实际系统的开环特性，并依据这些结果来确定在开环系统中增加某些校正装置并计算出校正装置的参数。

2.1控制系统的性能指标

控制系统的性能指标主要有两种形式：

(1) 时域性能指标是描述系统输出信号随时间变化的一些特征参数，包括静态性能指标和动态性能指标。

(2) 频域性能指标是通过系统的开环频率特性和闭环频率特性的一些特征量间接地表征系统的性能。包括：开环频率特性中的相位裕量、增益裕量；闭环频率特性中的谐振峰值、频带宽度和谐振频率等。

装2.1.1控制系统的时域指标

控制系统的时域指标包括静态性能指标和动态性能指标。 静态性能指标指在无静差度（系统型别），典型输入（单位阶跃输入，单位斜坡输入，单位加速度输入）作用下的稳态误差ess。扰动引起的误差也属于稳态性能指标的范畴。

动态性能指标主要是指调节时间ts和超调量?%。此外还有上升时间tr，峰值时间tp等。通常采用调节时间ts和超调量?%来刻画系统的瞬态性能指标，如图2-1。

y(t)订线ymaxy(?)?%0.05y(?)0trtptst 图2-1 系统的单位阶跃响应曲线

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(1) 上升时间tr：输出响应第一次达到稳态值的时间。考虑到不敏感区或者允许误差，有时定义为输出响应稳态值的10%到90%所需的时间。

(2) 峰值时间tp：输出响应超出稳态值达到的第一个峰值所需的时间。

(3) 最大超调量（简称超调量）?%：瞬态过程中输出响应的最大值超过稳态值的百分比，即

································ ······························································?%=ymax?y(?)?100% (2-1)

y(?)(4) 调节时间ts：输出与其对应于输入的终值之间的偏差达到容许范围（一般取5%或2%）所经历的暂态过程时间（从t=0开始计时）称为调节时间。

2.1.2控制系统的频域指标

频域性能指标包括开环频域指标和闭环频域指标[7]。

开环频域指标主要包括截止角频率?c，相角稳定裕度?（简称相角裕度）和增益稳定裕度Lg（简称幅值裕度），如图2-2,2-3。

4020L(?)　/dB装订?c?gLg-20?(rad/s)?(?)?90??180?线??(rad/s)?270? 图2-2 系统的Bode图

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jQ(?) ································ ······························································1kg?g????cG(j?)H(j?)?(?c)P(?)装

图2-3 系统的奈奎斯特图

称G(j?)?1的频率为系统的截止角频率，用?c表示，即

订G(j?c)?1。 (2-2)

定义相角稳定裕度??180o??G(j?c)，其物理意义是，如果开环系统对频率为?c的信号的相位滞后再增加?，系统处于临界稳定状态。

设使?G(j?)=-180时的频率为?g，定义

kg?线1 ，Lg??20lgG(j?g) (2-3)

G(j?g)其中，kg为系统的幅值裕度。

幅值裕度的物理意义是，如果开环增益再增加kg倍，系统将处于临界稳定状态。

2.1.3一阶系统的性能指标

一阶系统的闭环传递函数为

C(s)1? (2-4) R(s)Ts?1其单位阶跃响应为

C(s)?111R(s)? (2-5) Ts?1Ts?1sC(t)?1?e (2-6)

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?tT

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单位阶跃响应曲线如图2-4。

y(t) ································ ······························································10t装

图2-4 一阶系统的单位阶跃响应曲线

由分析知，一阶系统的性能指标： (1) 调节时间

?4T,??0.02 (2-7) ts???3T,??0.05订(2) 超调量?%=0，即一阶系统是无超调的系统。

2.1.4二阶系统的性能指标

典型二阶系统的方框图，如图2-5。

R(s)?线?n2s(s?2??n)C(s)

图2-5 典型二阶系统的框图

闭环传递函数为

2?nC(s) (2-8) ?2R(s)s2?2??ns??n其中，?为阻尼比，?n为无阻尼自然振荡角频率。

下面具体分析欠阻尼即0

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j?j?n1??2 ································ ······························································??n0?

图2-6 二阶系统在欠阻尼时的零极点图

系统的单位阶跃响应为

装c(t)?1?e???n1??2sin(?d??) (2-9)

?1??2订其中，?d??n1??2，称为阻尼振荡角频率，??arctan系统的单位阶跃响应曲线如图2-7。

称为阻尼角。

线

图2-7 二阶系统在欠阻尼时的单位阶跃响应曲线

二阶系统的性能指标（欠阻尼情形） (1) 上升时间tr???? ； (2-10) ?d共 43 页 第 9 页

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(2) 峰值时间tp???n1???2 ； (2-11)

??1??2 ································ ······························································(3) 超调量?%?e?100% ； (2-12)

?3???,取?=5?(4) 调节时间ts??n 。 (2-13)

?4,取?=2????n2.2控制系统的校正方式

按校正装置在系统中的连接方式，控制系统的校正方式可以分为串联校正，反馈校正，前馈校正和复合校正等。

校正装置串联在系统的前向通道中，称为串联校正，如图2-8。为了减少功率损耗，串联校正装置一般接在系统误差测量点之后和放大器之前，即低功率部分。

校正装置接在系统的局部反馈通道中，称为反馈校正，如图2-9。 前馈校正又称顺馈校正，是在系统的主回馈通道之外采用的校正方式，如图2-10。前馈校正的作用通常有两种：一种是对参考输入信号进行整形和滤波，此时校正装置接在系统参考输入信号之后，主反馈作用之前的前向通道上。另外一种作用是对扰动信号进行测量、转换后接入系统，形成一条附加的对扰动影像进行补偿的通道。

复合校正是指在系统中同时采用串联（或反馈）校正和前馈校正。

干扰装订线参考输入串联校正—控制器对象输出

图2-8 串联校正框图

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干扰参考输入控制器—对象输出 ································ ······························································反馈校正

图2-9 反馈校正框图

干扰前馈校正+前馈校正—控制器对象装参考输入输出订线图2-10 前馈校正框图

系统设计中，采用何种形式的校正方式，取决于系统中信号的性质、技术实现的方便性、可供选择的元件、经济性、抗干扰性、使用环境条件以及设计者的经验等因素。在设计时需要综合考虑。 根据校正装置的特性，可分为超前校正装置、滞后校正装置和超前滞后校正装置。 (1)超前校正装置

校正装置输出信号在相位上超前于输入信号，即校正装置具有正的相角特性，这种校正装置称为超前校正装置，对系统的校正称为超前校正。

(2)滞后校正装置

校正装置输出信号在相位上滞后于输入信号，即校正装置具有负的相角特性，这种校正装置称为滞后校正装置，对系统的校正称为滞后校正。

(3)滞后超前校正装置

校正装置在某一频率范围内具有负的相角特性，而在另一频率范围内却具有正的相角特性，这种校正装置称为滞后超前校正装置，对系统的校正称为滞后超前校正。

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3 控制系统的根轨迹校正

································ ······························································3.1 根轨迹方法

根轨迹方法是埃文斯(W.R.Evans)于1948年提出的一种求解闭环特征方程根的图

解方法。它根据开环传递函数的极点与零点的分布，用作图方法求得闭环极点在s平面内随回路增益变化的轨迹。

根轨迹方法不仅研究闭环极点分布与回路增益之间关系的方法，而且经过推广还可以利用这种方法来选择除了系统回路增益之外的参数，以使闭环系统的极点分布在

预先确定的位置附近[8]。

装3.2开环零极点对根轨迹的影响

系统开环零极点的分布对于系统的性能有着直接的影响。 设单位负反馈系统的开环传递函数为

bmsm?bm?1sm?1??b0 ， (3-1) Go(s)=ansn?an?1sn?1??a0则系统的闭环特征方程为

订（ansn?an?1sn?1??a0）（+bmsm?bm?1sm?1??b0）=0。 (3-2)

由上式知，闭环系统的极点位置，即系统根轨迹的位置，是由开环极点和零点的

位置所共同决定的。所以研究开环零极点对于根轨迹的影响是进行根轨迹校正的前提。下面分别研究开环零点和开环极点对根轨迹的影响。

线3.2.1开环零点对根轨迹的影响

在开环系统中增加零点，可以使系统的根轨迹向左移动，从而增加系统的相对稳定性，减小系统响应的调节时间。

j?j?0?0?

图3-1 增加零点对系统根轨迹的影响

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证明：设s为原系统根轨迹上的一点，若

n??i?0mzi为零点相对s的相角和，

??i?0pi为极点相对s的相角和。

mn ································ ······························································由辐角定理，有：??zi-??pi=（2k?1)?180,k?0，?1,?2,i?0i?0mn (3-3)

现增加一零点Zc，则?Zc+??zi-??pi?（2k?1)?180,k?0，?1,?2,i?0i?0m?1i?0 (3-4)

?为零点相对s1的相角和，故根轨迹必然会移动。设增加零点后根轨迹通过s1，??zi ???为极点相对s的相角和。pi1i?0m?1i?0nn装?-??pi?=（2k?1)?180,k??1,?2,若s1在s的右侧，则无法满足??zii?0 (3-5)

订所以，增加一个零点必然使得根轨迹左移，从而使主导极点距虚轴的距离增大，即??n增大，从而使系统的稳定性增加，调节时间ts=4??n 减小。3.2.2开环极点对根轨迹的影响

在开环系统中增加极点，可以使系统的根轨迹向右移动，从而降低系统的相对稳定性，增加系统的调节时间。

j?j?线0?0?

图3-2 增加极点对系统根轨迹的影响

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3.2.3开环偶极子对根轨迹的影响

开环偶极子是指开环系统中相距很近（和其他零极点相比）的一对零点和极点。由于偶极子到其他零极点的矢量近似相等，因此它们在模值条件和辐角条件中的作用相互抵消，几乎不改变根轨迹的形状，也就是说，它们对系统的稳定性和瞬态性能几乎没有影响。

但值得注意的是，如果这对偶极子靠近原点,会较大的影响系统的稳态性能，因为它们能够改变系统的开环增益。

若在原系统中增加一对偶极子Zm?1，Pn?1，则，

································ ······························································K?k'i?1gn?Zj?1mi?PjZm?1Z?Km?1 (3-6) Pn?1Pn?1装其中，K'为增加偶极子后系统的开环增益，K为原系统的开环增益。

' 若Zm?1=10P10倍。n?1??Zi(Pj),则K?10K,即开环增益增加至原系统的j?j?订0?0?线

图3-3 开环偶极子对根轨迹的影响

3.3基于根轨迹的超前校正

3.3.1超前校正装置

超前校正装置的传递函数为：

Gc(s)?Kcs?Zc (3-7) s?Pc图3-4为超前校正装置的零极点图。

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s0 ································ ······························································j??-Pc-Zc?0?

图3-4 超前校正装置的零极点图

根据图中的角度标记，对于上半复平面内的任一实验点s0，Gc(s)的辐角为

arg[Gc(s)]?arctan(s0+Zc)?arctan(s0+Pc) =?-? =??0所以，超前校正装置提供了一个超前角?。

由上述过程可知，超前校正装置总是使校正后的开环传递函数的辐角增加。同时，由于超前校正装置中零点的作用大于极点，所以超前校正装置将使原系统的根轨迹左移。总之，超前校正可以增加系统的稳定裕度并提高闭环系统的响应速度。

(3-8)

装订3.3.2超前校正的步骤

基于根轨迹的超前校正的步骤如下：

(1) 绘制未校正系统的根轨迹，如果希望的闭环主导极点Sd在未校正系统根轨迹的左方，则可以使用超前校正；

(2) 根据给定的闭环主导极点Sd来计算所需要的超前角?；

(3) 根据步骤2所得的超前角选择合适的算法计算校正装置传递函数的零点和极点；

(4) 利用给定的系统参数和模条件计算校正装置的比例系数KC；

(5) 绘制校正后系统的根轨迹图，检验闭环主导极点以及其他闭环性能要求是否符合要求。若不满足要求，重新进行步骤2和步骤3，直至找到合适的参数为止。 在使用计算机编程进行计算时，规定循环计算一定的次数来寻找合适的校正装置参数。若进行一定的迭代后仍找不到合适的参数，则判定算法失败。

线3.3.3算法流程图

基于根轨迹的超前校正的算法流程图，如图3-5。

共 43 页 第 15 页

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开始接收数据 ································ ······························································计算主导极点Sd,判断系统型别计算超前角超前校正？N转入其他校正方法装Y绘制校正前根轨迹利用角平分线法求Zc和Pc结束订求Kc线满足静态性能指标？微调Zc和Pc的位置Y绘制校正后根轨迹输出结果N结束

图3-5 基于根轨迹的超前校正的算法流程图

3.3.4实例仿真

已知系统的开环传递函数为：

共 43 页 第 16 页

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Go(s)?2.3 (3-9)

s(0.2s?1)(0.15s+1)试设计超前校正环节，使系统满足下列性能指标：静态速度误差系数KV?4，闭环主导极点满足阻尼比??0.5，自然振荡角频率?n?7.0rad/s。并绘制校正前后系统的单位阶跃响应曲线和根轨迹。

解：使用MATLAB的GUI设计功能，设计如图3-6的图形用户界面用于系统参数的计算和图形仿真[9]。

································ ······························································装订

图3-6 基于根轨迹的超前校正的GUI界面

在“分子行列式”的输入框内输入原系统分子行列式系数2.3，在“分母行列式”的输入框内输入原系统分母行列式系数 [ 0.03 .035 1 0 ] , 在“静态误差系数”的输入框内输入希望的静态误差系数4，在“阻尼比”的输入框内输入希望的阻尼比0.5，在“自然振荡角频率”的输入框内输入希望的自然振荡角频率7。

然后点击“计算校正装置参数并绘图”按钮，则该GUI程序将自动计算校正系统的参数，并在“校正装置参数”一栏中给出计算后的系统参数，并在右侧的绘图区画出原系统和校正后系统的根轨迹及其各自的单位阶跃响应曲线，如图3-6所示。 从运行结果可知，串联滞后校正环节的传递函数为：

s?3.0484Gc(s)?14.3368 (3-10)

s?25.0101校正后系统的速度误差系数为4.01917，闭环主导极点为-3.5?j6.06，满足期望的性能指标。

图3-7为校正前后系统的根轨迹图的放大图示和校正前后系统的阶跃响应曲线的放大图示。

线共 43 页 第 17 页

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································ ······························································装订

图3-7 校正前后系统的根轨迹和单位阶跃响应曲线

在单位阶跃响应曲线上可得到系统的超调量和调节时间。由结果可以看出，校正前的系统超调量?%=18％，调节时间ts=2.8s；校正后的超调量?%=9％，调节时间ts=1.25s，超调量变小，调节时间变短，可知校正后系统的性能提高了。

从根轨迹图可以看出，校正后系统根轨迹左移，从而提高系统的相对稳定性，缩短了系统调节时间。

线3.4基于根轨迹的滞后校正

3.4.1滞后校正装置

滞后校正装置的传递函数为：

Gc(s)?s?Zc (3-11) s?Pc图3-8为滞后校正装置的零点和极点的位置图。

共 43 页 第 18 页

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j? ································ ······························································-Zc-Pc0?

图3-8 滞后校正的零极点图

滞后校正系统的零极点距离原点很近，且两者的间距也很小，是一对偶极子，从

而能够增加系统的开环增益而不改变系统的根轨迹形状和闭环极点的位置。与超前校正装置相反，滞后校正装置传递函数的辐角为负值。一般情况下，进行串联滞后校正后的根轨迹在复平面上会向右移动。

一般而言，滞后校正不能改善系统的闭环稳定性，也不能使闭环系统的时间响应加快，所以，滞后校正一般不用于稳定裕度不大或者时间响应较慢的系统，只用于减小系统的静态误差和提高系统的抗干扰能力。

装3.4.2滞后校正的步骤

基于根轨迹的滞后校正的步骤如下：

(1) 根据稳态精度要求，确定所需要的开环增益值K（或者是静态误差系数Kp，

； Kv或Ka）

(2) 绘制未校正前系统的根轨迹；

(3) 确定希望的主导极点应置于根轨迹上的位置，并确定该点的增益值K1（或静态误差系数Kp1，Kv1或Ka1）；

(4) 取?=K； K1Zc??，并使得两者靠近复平面的坐Pc订线(5) 选择校正装置的零极点Zc，Pc。使得

标原点；

(6) 画出校正后系统的根轨迹图，检验闭环主导极点以及其他闭环特性要求是否得到满足，若不满足则适当修改?值，并重新选择Zc，Pc使之满足性能要求。

在使用计算机编程进行计算时，规定循环计算一定的次数来寻找合适的校正装置参数。若进行一定的迭代后仍找不到合适的参数，则判定算法失败。

3.4.3算法流程图

基于根轨迹的滞后校正的算法流程图，如图3-9所示。

共 43 页 第 19 页

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开始接收数据 ································ ······························································计算主导极点Sd，判断系统型别计算超前角滞后校正？转入其他校正方法NY绘制校正前根轨迹结束装计算beta值订确定一组Pc和Zc微调Zc和Pc的位置满足闭环指标？线NY绘制校正后根轨迹输出结果结束

图3-9 基于根轨迹的滞后校正的算法流程图

3.4.4实例仿真

已知单位负反馈系统的开环传递函数为：

共 43 页 第 20 页

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Go(s)?17.1239 (3-12)

s(s?3)(s?5)设计串联滞后校正装置使系统的静态速度误差系数为KV?10。绘制校正后系统的根轨迹图和阶跃响应曲线。

解：使用MATLAB的GUI设计功能，设计如图3-10的图形用户界面用于系统参数的计算和图形仿真。

································ ······························································装

图3-10 基于根轨迹的滞后校正的GUI界面

在“分子行列式”的输入框内输入原系统分子行列式系数17.1239，在“分母行列

式”的输入框内输入原系统分母行列式系数 [1 8 15 0 ] , 在“静态误差系数”的输入框内输入希望的静态误差系数10。

然后点击“计算校正装置参数并绘图”按钮，则该GUI程序将自动计算校正系统的参数，并在“校正装置参数”一栏中给出计算后的系统参数，并在右侧的绘图区画出原系统和校正后系统的根轨迹及其各自的阶跃响应曲线，如图3-10。

从运行结果可知，串联滞后校正环节的传递函数为：

s?0.087597Gc(s)? (3-13)

s?0.01校正后系统的速度误差系数为9.9999，闭环主导极点为-0.979?j1.31，与校正前得闭环主导极点基本重合，满足期望的性能指标。

图3-11为校正前后系统的根轨迹图和单位阶跃响应曲线的放大图示。

订线共 43 页 第 21 页

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································ ······························································装订

图3-11校正前后系统的根轨迹和单位阶跃响应曲线

从根轨迹图可以看出，校正后系统根轨迹稍微右移。校正后系统的速度误差系数增加，系统的静态性能得到改善。通过根轨迹的右移也可以看出系统的调节时间ts会增加。但是滞后校正使得系统的速度误差系数得到增加，从而减小了系统的速度误差，使得系统的静态性能得到改善。

在单位阶跃响应曲线上可得到系统的超调量和调节时间。由结果可以看出，校正后系统的超调量?%和调节时间ts都比校正前要稍大，这是由于滞后校正不能改善系统的闭环稳定性，也不能使闭环系统的时间响应加快。

线3.5基于根轨迹的滞后超前校正

3.5.1滞后超前校正装置

滞后超前校正装置的传递函数为：

Gc(s)?Kcs?Zc1s?Zc2 (3-14)

s?Pc1s?Pc2图3-12为滞后超前校正装置的零极点图。

共 43 页 第 22 页

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j? ································ ······························································-Pc1-Zc1-Zc2-Pc20?

图3-12 滞后超前校正装置的零极点图

滞后超前校正装置的一对零点和极点与超前校正装置的零点和极点的位置相对应，它们远离原点；另一对零点和极点与滞后校正装置的零点和极点位置相对应，它们是一对偶极子，接近原点。

所以，滞后超前校正装置兼有超前校正的功能和滞后校正的功能，即它既能增加系统的稳定裕度，提高系统的响应速度，又能减小系统的静态误差。

由以上的分析可知，在设计滞后超前校正装置时，可以将其分解为超前校正装置和滞后校正装置分别设计。

装3.5.2滞后超前校正的步骤

基于根轨迹的滞后超前校正的步骤如下：

(1) 根据给定的性能指标确定希望的主导极点Sd位置；

(2) 根据给定的闭环主导极点Sd来计算所需要的超前角?；

(3) 根据步骤2所得的超前角选择合适的算法计算校正装置传递函数中超前校正部分的零点和极点；

(4) 利用给定的系统参数利用模条件计算校正装置的比例系数KC；

订线KcSd?Zc1P(Sd)?1 (3-15)

Sd?Pc1其中，P(Sd)为未校正系统的开环传递函数。

(5) 根据稳态性能指标（开环增益K）的计算公式确定校正装置滞后部分零极点的关系，并求?值；

??Zc2ZZ,K?Kcc1c2P(0) (3-16) Pc2Pc1Pc2其中，P(0)为未校正系统的开环传递函数在s=0时的取值。

(6) 根据步骤5确定的?值，在原点附近寻找-Zc2和-Pc2,使之满足

Sd?Zc2?1 (3-17)

Sd?Pc2共 43 页 第 23 页

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arg(Sd?Zc2)?5 (3-18)

Sd?Pc2在使用计算机编程进行计算时，规定循环计算一定的次数来寻找合适的校正装置参数。若进行一定的迭代后仍找不到合适的参数，则判定算法失败。

································ ······························································3.5.3算法流程图

基于根轨迹的滞后超前校正的算法流程图，如图3-13 。

开始接收数据装计算主导极点Sd超前校正子程序滞后校正子程序订满足性能指标？N线Y绘制校正后根轨迹输出结果

图3-13 基于根轨迹的滞后超前校正的算法流程图

结束3.5.4实例仿真

已知车辆导航系统的开环传递函数为：

Go(s)?8 (3-19)

s(s?0.4)试设计超前滞后校正环节，使系统满足下列性能指标：静态速度误差系数为

共 43 页 第 24 页

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KV=5，闭环主导极点满足阻尼比?=0.2，自然振荡角频率为?n=5rad/s，并绘制校正前后系统的阶跃响应曲线、根轨迹[10]。

解：使用MATLAB的GUI设计功能，设计如图3-14的图形用户界面用于系统参数的计算和图形仿真。

································ ······························································装

图3-14 基于根轨迹的滞后超前校正装置的GUI界面

在“分子行列式”的输入框内输入原系统分子行列式系数8，在“分母行列式”的输入框内输入原系统分母行列式系数 [1 0.4 0 ] , 在“静态误差系数”的输入框内输入希望的静态误差系数5，在“阻尼比”的输入框内输入希望的阻尼比0.2，在“自然振荡角频率”的输入框内输入希望的自然振荡角频率5。

然后点击“计算校正装置参数并绘图”按钮，则该GUI程序将自动计算校正系统的参数，并在“校正装置参数”一栏中给出计算后的系统参数，并在右侧的绘图区画出原系统和校正后系统的根轨迹及其各自的阶跃响应曲线，如图3-14。

从运行结果可知，串联滞后校正环节的传递函数为：

s?3.8252s?0.0010593Gc(s)?4.0321 (3-20)

s?6.5256s?0.01校正后系统的速度误差系数为4.9819，闭环主导极点为-1.01?j4.9，满足期望的性能指标。

图3-15为校正前后系统的根轨迹图和系统的单位阶跃响应曲线的放大图示。 在单位阶跃响应图上可得到系统的超调量和调节时间。由结果可以看出，校正前的系统超调量?%=80％，调节时间ts=18s；校正后的超调量?%=60％，调节时间ts=4s，超调量变小，调节时间变短，可知校正后系统的性能显著提高。

从根轨迹图可以看出，校正后系统根轨迹左移，从而提高系统的相对稳定性，缩短了系统调节时间。同时，系统的静态性能指标也能够满足要求。

订线共 43 页 第 25 页

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································ ······························································装订

图3-15校正前后系统的根轨迹和单位阶跃响应曲线

3.6本章小结

本章主要研究的是控制系统校正的根轨迹法。讨论了超前校正装置，滞后校正装

置和滞后超前校正装置，并分别针对基于根轨迹法的串联超前校正，滞后校正和滞后超前校正给出了算法步骤，绘制了响应算法流程图，编写了通用程序，同时应用MATLAB的GUI对系统进行了可视化界面的设计，并用实例进行了仿真，仿真显示校正后的系统性能改善，表明了此设计方法的有效性。

线共 43 页 第 26 页

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4 控制系统校正的频率特性法

································ ······························································4.1系统的频率特性

在正弦输入信号的作用下，系统输出的稳态分量称为频率响应。系统的频率响应

与正弦输入信号之间的关系称为频率特性。

频率特性虽然是一种稳态特性，但它却不仅能够反映系统的稳态性能，而且还可以用来研究系统的稳定性和暂态性能。频域分析法是一种图解分析方法，其特点是可以根据系统的开环频率特性去判断闭环系统的性能，并方便的比较分析系统中的参量对系统暂态性能的影响，从而进一步的指出改善系统性能的途径。频域分析和设计方法已成为一种常用的工程方法，应用十分广泛。

系统对数频率特性的低频段对系统的稳态误差有较大影响，当要求系统的输出量以某一精度跟随输入时，需要系统在低频段具有相当高的增益；在中频段，为了保证系统有足够的相位裕量，其特性频率应为-20dB/dec，一般最大不超过-30dB/dec，而且在穿越频率附近要有一定的延伸段；为了减小高频干扰的影响，通常需要在高频段有尽快衰减的特性[11]。

装订4.2基于频率特性的超前校正

超前校正的基本原理是利用超前校正网络的相角超前特性去增大系统的相角裕度，以改善系统的暂态响应。

4.2.1超前校正装置

超前校正装置的传递函数为

Gc(s)?Ts?1,0???1 (4-1)

?Ts?1线其幅频特性和相频特性分别为

(?T)2?1 (4-2) A(?)?Gc(j?)?2(??T)?1?(?)??Gc(j?)?arctan?T?arctan??T (4-3)

对数幅频特性和相频特性如图4-1。

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L(?)（dB） ································ ······························································?(rad/s)?(?)9001T1?T1?T?(rad/s)

1-?。1+?图4-1 超前校正装置的Bode图

由Bode图知，超前校正装置在?=?m=11装?T处产生最大的超前角?m=arcsin超前校正装置在?=?m=?T处使得开环系统的幅频特性提高

订Lm(?)?20lg(1/?)?10lg(1/?) (4-4)

超前校正正是利用超前校正装置产生的相位超前效应，补偿原系统的相位滞后。通常将最大超前角频率?m选在开环截止频率?c附近，使系统的相角裕度增大。由于系统的相角裕度和开环截止频率增大，系统的瞬态性能得到改善，调节时间变短，相对稳定性增加。

线4.2.2超前校正的步骤

用频率特性法设计串联超前校正装置的步骤大致如下：

(1) 根据给定的系统稳态性能指标，确定系统的开环增益K； (2) 绘制在确定的K值下系统的Bode图，并计算其相角裕度?o； (3) 根据给定的相角裕度?，计算所需的相角超前量?o

?o????o?? , (4-5)

其中??5~20，是因为考虑到校正装置影响剪切频率的位置而留出的余量；

(4) 令超前校正装置的最大超前角?m=?o，按下式计算网络系数?的值

??1?sin?m (4-6)

1?sin?m(5) 校正网络在?=?m处的增益为10lg(1/?)，同时确定未校正系统Bode图上增

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益为?10lg(1/?)处的频率即为校正后系统的剪切频率?c=?m；

(6) 下式求参数T，

T?1??m (4-7)

································ ······························································(7) 画出校正后系统的Bode图，验算系统的相角稳定裕度。如不符合要求，可

增大?，并重新计算；

(8) 校验其他性能指标，必要时重新设计参数，使校正后系统满足全部性能指标[12]

。

4.2.3算法流程图

基于频率特性的超前校正的算法流程图，如图4-2。

开始装计算K订计算原系统的的相角裕度选择超前校正装置的参数线N满足性能指标？Y

图4-2 基于频率特性的超前校正的算法流程图

结束共 43 页 第 29 页

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4.2.4实例仿真

已知单位反馈系统的开环传递函数为G(s)? ································ ······························································10,试设计系统的相位超前校

s(s?1)正，使系统校正后系统的相角稳定裕度?满足??45。

解:利用MATLAB的GUI设计功能，设计如图4-3的图形用户界面用于系统参数的计算和图形仿真。

在“分子系数”的输入框内输入原系统分子行列式系数10，在“分母系数”的输入框内输入原系统分母行列式系数 [1 1 0 ] , 在“相角稳定裕度”的输入框内输入期望的相角稳定裕度45。

然后点击“开始计算”按钮，则该GUI程序将自动计算校正系统的参数，并在“校正装置参数”一栏中给出计算后的系统参数，并在下侧的绘图区画出原系统和校正后系统的波特图及其各自的单位阶跃响应曲线，如图4-3。

装订线

图4-3 基于频率特性的超前校正GUI界面

共 43 页 第 30 页

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从运行结果可知，串联滞后校正环节的传递函数为：

0.443572s+1Gc(s)? (4-8)

0.120717s+1图4-4为校正前后系统的波特图的放大图示和校正前后系统的阶跃响应曲线的放大图示。

································ ······························································装订线

图4-4 校正前后系统的Bode图和单位阶跃响应曲线

从波特图可以看出，校正前系统的相角裕度为18，剪切频率为3.08rad/s, 校正后系统的相角裕度为47.9o，剪切频率为4.32rad/s。校正后系统的相角稳定裕度明显增大，达到系统期望值，提高系统的相对稳定性，缩短了系统调节时间。

在单位阶跃响应图上可得到系统的超调量和调节时间。由运行结果可以看出，校正前的系统超调量?%=65％，调节时间ts=7.5s；校正后的超调量?%=30％，调节时间ts=1.2s，超调量变小，调节时间变短，可知校正后系统的性能显著提高。

4.3基于频率特性的滞后校正

频率法的串联滞后校正在于提高系统的开环增益，改善控制系统的稳态性能，而尽量不影响原有系统的动态性能。串联滞后校正主要适用于未校正系统或经串联超前校正的系统的动态性能满足给定性能指标的需要，只需要增大开环增益用以提高控制

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系统精度的一类系统中[13]。

4.3.1滞后校正装置

滞后校正装置的传递函数为

Gc(s)?Ts?1,??1 (4-9) ?Ts?1 ································ ······························································其幅频特性和相频特性分别为

(?T)2?1A(?)?Gc(j?)?, (4-10) 2(??T)?1?(?)??Gc(j?)?arctan?T?arctan??T (4-11)

对数幅频特性和相频特性如图4-5。

L(?)（dB）O装1?T1?T1T?(rad/s)订?(?)O?(rad/s)-90线

图4-5 滞后校正装置的Bode图

滞后校正环节的主要作用是造成高频衰减，因此在系统的开环传递函数中串入滞后环节后，系统的幅频特性在中高频段会降低，因而截止频率?c减小，从而达到增加相角裕度的目的。

滞后环节的相角滞后特性在校正中虽然是不利因素，但由于最大滞后角频率通常被安排在低频段，远离截止频率?c，因此相角滞后特性对于系统的瞬态性能和稳定性影响较小。

4.3.2滞后校正的步骤

基于频率特性的滞后校正的步骤如下：

(1) 根据给定的稳态性能的要求确定系统的开环增益； (2) 绘制未校正的系统在已确定的开环增益下的Bode图，并求出其相角裕度?0； (3) 令未校正系统的Bode图在希望的剪切频率?c处的增益为20lg?，由此确定

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滞后网络的?值；

(4) 按下列的关系式确定滞后校正网络的参数

1?c?c=~ (4-12) T210(5) 画出校正后系统的Bode图，校验相角裕度和其他性能指标。若不满足，重新选择T值进行计算。

································ ······························································4.3.3算法流程图

基于频率特性法的滞后校正的算法流程图，如图4-6。

开始装计算K及原系统的的相角裕度选择滞后校正装置的参数订N满足性能指标？线Y结束

图4-6 基于频率特性的滞后校正的算法流程图

4.3.4实例仿真

已知单位负反馈系统和被控对象的传递函数为

Go(s)?Ko (4-13)

s(0.1s?1)(0.2s?1)使用滞后校正，使系统满足：

(1) 在单位斜坡信号下，系统的速度误差系数Kv?30； (2) 校正后系统的剪切频率?c?2.5s-1；

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(3) 校正后系统的稳定裕度??40。

解：在单位斜坡信号作用下，要使得KV?30，则K0?30取K0?30。

利用MATLAB的GUI设计功能，设计如图4-7的图形用户界面用于系统参数的计算和图形仿真。

································ ······························································装订

图4-7 基于频率特性的滞后校正的GUI界面

在“分子系数”的输入框内输入原系统分子行列式系数30，在“分母系数”的输入框内输入原系统分母行列式系数 [0.02 0.3 1 0 ] , 在“相角稳定裕度”的输入框内输入期望的相角稳定裕度40，在“剪切频率”的输入框内输入期望的剪切频率2.5。.

然后点击“开始计算”按钮，则该GUI程序将自动计算校正系统的参数，并在“校正装置参数”一栏中给出计算后的系统参数，并在下侧的绘图区画出原系统和校正后系统的波特图及其各自的阶跃响应曲线，如图4-7。

从运行结果可知，串联滞后校正环节的传递函数为：

4s+1G（s）? (4-14) c41.6506s+1图4-8为校正前后系统的波特图的放大图示和校正前后系统的阶跃响应曲线的放大图示。

线共 43 页 第 34 页

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································ ······························································装订

图4-8 校正前后系统的Bode图和单位阶跃响应曲线

通过校正前系统的阶跃响应曲线和波特图可以看出校正前系统不稳定。

在单位阶跃响应曲线上可得到系统的超调量和调节时间。校正后的超调量?%=30％，调节时间ts=1.7s，超调量变小，调节时间变短，可知校正后系统的性能显著提高。

从波特图可以看出，校正前系统的相角裕度为-17.2，剪切频率为9.77rad/s, 校正后系统的相角裕度为44.1，剪切频率为2.51rad/s。校正后系统的相角稳定裕度明显增大，达到系统期望值，使系统从不稳定的转变成稳定的，并缩短了系统的调节时间。

线4.4基于频率特性的滞后超前校正

单纯的超前校正或滞后校正只能够改变系统的动态性能或者是静态性能。如果对于系统的动态性能和静态性能都有较高的要求，可以采用串联滞后超前校正来进行校正。利用网络中的超前部分改善系统的动态性能，利用其滞后部分改善系统的静态性能[14]。

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4.4.1滞后超前校正装置

滞后超前校正装置的传递函数为

（T1s+1）（T2s?1）Gc(s)?,???-1?1，T2?T1 (4-15)

（?T1s+1）（?T2s?1） ································ ······························································其中，第一项分式

T1s+1Ts+1是超前校正网络，第二项分式2是滞后校正网络。 ?T1s+1?T2s+1图4-9为滞后超前校正装置的Bode图。

L(?)/dB1?T21T21T11?T1?(rad/s)装?(?)0订?1?(rad/s)

图4-9 滞后超前校正装置的Bode图

由图可见，当0????1时，校正网络具有滞后的相角特性，当???1时，校正网络具有超前的相角特性。所以，利用滞后超前校正装置可以同时提高系统的动态性能和静态性能。

线4.4.2滞后超前校正的步骤

基于Bode图的滞后超前校正的步骤如下：

(1) 根据要求的性能指标，确定系统的开环增益K的值；

(2) 根据求得的K值，画出校正前系统的Bode图，并检验性能指标是否满足要求；

(3) 确定滞后校正器的传递函数的参数

Gc1(s)?1?T1s， (4-16)

1??T1s其中，常取

1?0.1?c1（?c1为原系统的剪切频率），?=8~10. T1共 43 页 第 36 页

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(4) 选择一个新的系统的剪切频率?c2，使得在这一点上超前校正器所提供的相位超前量达到系统对稳定裕度的要求，并使得该点在加上滞后校正后的总和幅频特征为0；

(5) 由公式20lg?=（L?c2），?cnew=?m=1 ································ ······························································?T（其中，?cnew为期望的剪切频率）

确定超前校正部分的传递函数Gc2(s)?1?T1s。

1??T1s(6) 绘制校正后系统的Bode图，并校验校正后系统的性能指标[15]。

4.4.3算法流程图

基于频率特性的滞后超前校正的算法流程图，如图4-10。

开始装计算K及原系统的的相角裕度订选择滞后部分的网络参数选择超前部分的网络参数线满足性能指标？NY结束

图4-10 基于频率特性的滞后超前的算法流程图

4.4.4实例仿真

设单位负反馈系统的开环传递函数为

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G(s)?K0 (4-17)

s(s?1)(s?4)设计滞后超前校正装置，使校正后系统满足如下性能指标： (1)在单位斜坡信号作用下，系统的速度误差系数KV?10； (2)校正后系统的剪切频率?c?1.5； (3)系统校正后相角稳定裕度??50。

解：在单位斜坡信号作用下，要使得KV?10，则K0?40取K0?40。

利用MATLAB的GUI设计功能，设计如图4-11的图形用户界面用于系统参数的计算和图形仿真。

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图4-11 基于频率特性的滞后超前校正的GUI界面

在“分子系数”的输入框内输入原系统分子行列式系数10，在“分母系数”的输入框内输入原系统分母行列式系数 [1 5 4 0 ] , 在“相角稳定裕度”的输入框内输入期望的相角稳定裕度的数值50，在“剪切频率”的输入框内输入期望的剪切频率1.5。

然后点击“开始计算”按钮，则该GUI程序将自动计算校正系统的参数，并在“校正装置参数”一栏中给出计算后的系统参数，并在下侧的绘图区画出原系统和校正后

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系统的波特图及其各自的阶跃响应曲线，如图4-11。

从运行结果可知，串联滞后校正环节的传递函数为：

12.1341s2+8.48679s+1G（ (4-18) cs)?15.465s2+63.5775s+1 ································ ······························································图4-12分别为校正前后系统的波特图的放大图示和校正前后系统的阶跃响应曲

线的放大图示。

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图4-12 校正前后系统的Bode图和单位阶跃响应曲线

从波特图可以看出，校正前系统的相角裕度为-15度，剪切频率为2.78rad/s,系统不稳定； 校正后系统的相角裕度为57.8度，剪切频率为1.5rad/s，校正后系统的相角稳定裕度明显增大，达到系统期望值，提高系统的相对稳定性，缩短了系统调节时间。

在单位阶跃响应图上可得到系统的超调量和调节时间。由运行结果可以看出，校正前系统不稳定；校正后的超调量?%=12％，调节时间ts=7s，校正后系统从不稳定变成稳定，性能达到设计要求。

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4.5本章小结

针对控制系统的串联校正问题，本章采用了频率特性法进行了分析。通过应用MATLAB进行辅助分析，提高了控制系统校正的效率。同时，本章给出了基于频率特性法的超前校正，滞后校正和滞后超前校正的步骤，算法流程图和相应的仿真，并绘制了针对三种校正方法的图形界面用以帮助问题的解决。

································ ······························································装订线共 43 页 第 40 页

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结 论

································ ······························································本文主要研究线性定常系统的串联校正方法的MATLAB实现。控制系统的串联

校正方法包括基于根轨迹的串联校正和基于频率特性的串联校正，通过对两种串联校正方法的理论分析，本文给出了利用MATLAB进行系统校正的详细步骤，并在此基础上给出各个校正方法的算法流程图，并编制了相应的程序。

本文使用MATLAB R2010a作为仿真工具，将系统的串联校正的方法编制为实际可以利用的MATLAB程序，使得系统的校正的效率得到提高，同时编制的一些子程序也可以在控制系统仿真的相关的程序中进行调用。

本文利用MATLAB的图形界面设计功能，设计出针对各个校正方法的通用GUI仿真界面，进一步简化了系统校正的步骤，并通过实例给予验证。

本文的主要成果为：

(1) 将控制系统校正的理论成果利用MATLAB进行仿真验证，写出了各种校正方法的算法程序，并通过实例进行了验证说明；

(2) 利用MATLAB的GUI设计功能，设计出针对各个校正方法的通用GUI图形界面，便于直观的进行仿真设计。

然而，由于时间和能力的限制，本设计还存在一些可以进一步改进的地方，从而使系统更加完善。比如，本文在控制系统的滞后超前校正的算法实现上进行了简化，降低了复杂度；同时，本文针对不同的校正方法给出了不同的GUI界面，所以在图形界面的整合方面应该还有较大的改进空间。

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致 谢

································ ······························································本课题在研究过程中得到姚凤麒老师的悉心指导。姚老师多次询问研究进程，并

为我指点迷津，帮助我开拓研究思路，精心点拨、热忱鼓励。感谢姚凤麒老师在我做毕业设计的每个阶段，从查阅资料，论文提纲的确定，疑难问题的解决，中期检查，后期论文格式调整等各个环节中给予的悉心指导。

感谢大三时教授《自动控制原理》课程的张捍东教授，正是在他的课堂上我学习了自动控制理论。自动控制理论的学习为我完成本论文奠定了坚实基础，同时张教授严谨治学的态度也让我十分敬佩。

感谢大学四年给予我无私支持的父母，感谢授业解惑的诸位老师，感谢陪伴在我身边的同学、朋友，感谢他们为我提出的有益的建议和意见，有了他们的支持、鼓励和帮助，我才能充实的度过了四年的学习生活。

同时，本篇毕业论文的写作过程也得到了室友杨彬彬、高翔、曹飞，以及方阳等同学的热情帮助。感谢在整个毕业设计期间和我密切合作的同学和曾经在各个方面给予过我帮助的伙伴们。在此，我再一次真诚地向帮助过我的老师和同学表示感谢！

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参考文献

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Mechatronic Systems[M].NewJersey: John Wiley&Sons, Inc., Hoboken. 2012.

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[4] 王中鲜.MATLAB建模与仿真应用[M].北京:机械工业出版社,2010.

[5] 罗华飞.MATLAB GUI设计学习手记[M].北京:北京航空航天大学出版社,2011. [6] Roger Green, Getting a handle on MATLAB graphics [J]. IEEE Potentials. 2007.

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/sf2p.html