广东省广州市2013届高三考前训练题数学文试题

2013年广州市高考备考冲刺阶段数学学科训练材料

（文科）

说明： ⒈ 本训练题由广州市中学数学教学研究会高三中心组与广州市高考数学研究组共同编写，共24题．

⒉ 本训练题仅供本市高三学生考前冲刺训练用，希望在5月31日之前完成．

3．本训练题与市高三质量抽测、一模、二模等数学试题在内容上相互配套，互为补充．四套试题覆盖了高中数学的主要知识和方法．因此，希望同学们在5月31日至6月6日之间，安排一段时间，对这四套试题进行一次全面的回顾总结，同时，将高中数学课本中的基本知识（如概念、定理、公式等）再复习一遍．

希望同学们保持良好的心态，在高考中稳定发挥，考取理想的成绩！

0???π)，x?R的最大值是1，其图像经过点 1.已知函数f(x)?Asin(x??)(A?0，?π1?M?，?． ?32?（1）求f(x)的解析式；

（2）已知?，???0，?，且f(?)?

2. 设函数f(x)?2sinx?cosx.

??π?2?312，f(?)?，求f(???)的值． 513（1）若x0是函数f(x)的一个零点，求cos2x0的值； （2）若x0是函数f(x)的一个极值点，求sin2x0的值.

3. 在?ABC中，内角A,B,C所对的边长分别是a,b,c, 已知A?（1）求cosC的值；

（2）若BC?10,D为AB的中点，求CD的长.

?4，cosB?4. 5

4. 一缉私艇发现在方位角（从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角）45°方向，距离15 海里的海面上有一走私船正以25 海里/小时的速度沿方位角为105°的方向逃窜．若缉私艇的速度为35 海里/小时，缉私艇沿方位角为45°+α的方向追去，若要在最短时间内追上该走私船． （1）求角α的正弦值；

（2）求缉私艇追上走私船所需的时间．

5. 某学校餐厅新推出A，B，C，D四款套餐，某一天四款套餐销售情况的条形图如下.为 了了解同学对新推出的四款套餐的评价，对每位同学都进行了问卷调查，然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取20份进行统计，统计结果如下面表格所示：

份70 满意 一般 不满意 60 A套餐 50% 25% 25% 50 B套餐 80% 0 20% 40 C套餐 50% 50% 0 30

D套餐 40% 20% 40% 20

10（1）若同学甲选择的是A款套餐，求甲的调查问卷被选中

0的概率； C种类BAD（2）若想从调查问卷被选中且填写不满意的同学中再选出2人

进行面谈，求这两人中至少有一人选择的是D款套餐的概率.

6.汽车是碳排放量比较大的行业之一．欧盟规定，从2012年开始，将对CO2排放量超过 130g/km的M1型新车进行惩罚．某检测单位对甲、乙两类M1型品牌车各抽取5辆进行 CO2排放量检测，记录如下(单位：g/km).

甲 乙 80 100 110 120 120 x 140 150 160 y 经测算发现，乙品牌车CO2排放量的平均值为x乙?120g/km．

（1）从被检测的5辆甲类品牌车中任取2辆，则至少有一辆不符合CO2排放量的概率是多少？ （2）若90?x?130，试比较甲、乙两类品牌车CO2排放量的稳定性．

7．某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表： 女生

初一年级 373 初二年级 x 初三年级 y

男生 377 370 z 已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19. （1） 求x的值；

（2） 现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？ （3） 已知y?245,z?245,求初三年级中女生比男生多的概率.

8．斜三棱柱A1B1C1?ABC中，侧面AA1C1C?底面ABC，侧面AA1C1C是菱形，?A1AC?60?，

AC?3，AB?BC?2，E、F分别是AC11，AB的中点．

（1）求证：EF∥平面BB1C1C； （2）求证：CE⊥面ABC．

（3）求四棱锥E?BCC1B1的体积．.

AFA1EC1B1CB9. 如图，在等腰梯形PDCB中，PＢ∥CD ，PB＝3，DC＝1，PD＝BC＝2，A为PB边 上一点，且PA＝1，将ΔPAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD. （1）求证：平面PAD⊥平面PCD.

（2）在线段PB上是否存在一点M，使截面AMC把几何体分成的两部分的体积之比为

VPDCMA:VM－ACB＝2:1, 若存在，确定点M的位置；若不存在, 说明理由. （3）在（2）的条件下，判断AM是否平行于平面PCD.

D C D

P P

A

B

A C M B 10. 如图所示，圆柱的高为2，底面半径为3, AE、DF是圆柱的两条母线，过AD作圆柱的截面交下底面于BC，且AD＝BC （1）求证：平面AEB∥平面DFC； （2）求证：BC?BE；

（3）求四棱锥E?ABCD体积的最大值.

11.已知等比数列{an}的公比q?1，a1?32，且2a2、3a3、4a4成等差数列.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn?log2an，求数列{bn}的前n项和Tn.

12.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度 x（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0 ；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20?x?200时，车流速度v是车流密度x的一次函数． (1)当0?x?200时，求函数v?x?的表达式；

(2)当车流密度x为多大时，车流量f(x)?x?v(x)可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）. (车流量为单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）

13．某地区有荒山2200亩，从2002年开始每年年初在荒山上植树造林，

第一年植树100亩，以后每年比上一年多植树50亩．

（1）若所植树全部成活，则到哪一年可以将荒山全部绿化？

（2）若每亩所植树苗木材量为2立方米，每年树木木材量的自然增长率

为20％，那么到全部绿化后的那一年年底，该山木材总量是多少？

（精确到１立方米, 1.2?4.3）

8x2y214. 已知抛物线C1:y?8x与双曲线C2:2?2?1(a?0,b?0)有公共焦点F2，点A

ab2 是曲线C1,C2在第一象限的交点，且AF2?5． （1）求双曲线C2的方程；

M与直线y?3x相切，圆N： （2）以双曲线C2的另一焦点F1为圆心的圆

(x?2)?y?1．过点P(1,3)作互相垂直且分别与圆M、圆N相交的直线l1和l2，设l1被

圆M截得的弦长为s，l2被圆N截得的弦长为t．

22s是否为定值？请说明理由． t

15. 如图，长为m＋1（m＞0）的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，点M是线

?????????段AB上一点，且AM?mMB．

（1）求点M的轨迹Γ的方程，并判断轨迹Γ为何种圆锥曲线；

1

（2）设过点Q(2，0)且斜率不为0的直线交轨迹Γ于C、D两点．

试问在x轴上是否存在定点P，使PQ平分∠CPD？若存在，求点P的坐标； 若不存在，请说明理由．

16.已知数列?an?的前n项和的平均数为2n?1 （1）求?an?的通项公式；

an，试判断并说明cn?1?cn(n?N?)的符号； 2n?1an2（3）设函数f(x)??x?4x?，是否存在最大的实数?? 当x??时，对于一切非零自然

2n?1（2）设cn?数n，都有f(x)?0

17. 数列{an}满足a1=1an-1，且n32时，an=， 32-an-1（1） 求数列{an}的通项公式；

（2） 设数列{an}的前n项和为Sn，求证对任意的正整数n都有

21(1-n)?Sn325 6?1?(x?0)k?R18. 设，函数f(x)??x，F(x)?f(x)?kx ，x?R．

?ex(x?0)?（1）当k?1时，求函数F(x)的值域； （2）试讨论函数F(x)的单调性．

19.已知函数f(x)?ax?（1）用a表示出b,c；

b?c(a?0)的图像在点(1,f(1))处的切线方程为y?x?1. x

（2）若f(x)?lnx在[1,??)上恒成立，求a的取值范围； （3）证明：1?

20.如图,已知直线l:y?4x及曲线C:y?x2,C上的点Q1的横坐标为a1(0?a1?4).从曲线C上的点Qn(n?1)作直线平行于x轴，交直线l于点P，再从点Pn?1作直线平行于y轴，交曲线n?1的横坐标构成数列?an?. C于点Qn?1. Qn(n?1,2,3,?）(1)试求an?1与an的关系;

(2)若曲线C的平行于直线l的切线的切点恰好介于点Q1,Q2之间 (不与Q1,Q2重合),求a3的取值范围; (3)若a1?3,求数列?an?的通项公式.

21. 已知函数f?x??x?2111n???????ln(n?1)?(n?1). 23n2(n?1)yPPO32Q1Q2Q3aaa321x2?alnx?x?0?,f?x?的导函数是f'?x?, 对任意两个不相等 x的正数x1,x2, 证明: (1)当a?0时,

f?x1??f?x2??x?x??f?12?;

2?2?'' (2)当a?4时, f?x1??f?x2??x1?x2.

22. 对于函数f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)?x0成立，则称x0为f(x)的不动点．

x2?a 如果函数f(x)＝有且仅有两个不动点0和2．

bx?c

（1）试求b、c满足的关系式；

（2）若c＝2时，各项不为零的数列{an}满足4Sn·f(an?1an1)＝1， an?1?求证：?1??an??1?1?＜＜?1??； e?an? （3）在(2)的条件下, 设bn＝－

1，Tn为数列{bn}的前n项和， an 求证：T2009?1?ln2009?T2008．

23.已知定义在R上的单调函数f(x)，存在实数x0，使得对于任意实数x1,x2，总有

f(x0x1?x0x2)?f(x0)?f(x1)?f(x2)恒成立．

（1）求x0的值；

（2）若f(x0)?1，且对任意正整数n，有an?11,bn?f(n)?1， f(n)24记Sn?a1a2?a2a3???anan?1,Tn?bb，比较?bb???bbSn与Tn的大小关系，并给出证1223nn?13明．

x(x?0)，设f(x)在点(n,f(n))(n?N*）处的切线在y轴上的截距为1?x1bn，数列?an?满足：a1?,an?1?f(an)(n?N*）．

2（1）求数列?an?的通项公式；

24. 已知函数f(x)??bn??bn??取最小值，求?的取值范围； 中，仅当时，?n?5?22anan?anan?12（3）令函数g(x)?f(x)(1?x)，数列?cn?满足：c1?，cn?1?g(cn)(n?N*），

2111求证：对于一切n?2的正整数，都满足：1??????2．

1?c11?c21?cn（2）在数列?

2013年广州市高考备考冲刺阶段数学学科(文科)训练材料参考答案

1.解：（1）依题意有A?1，则f(x)?sin(x??)，将点M(而0????，??1?1,)代入得sin(??)?， 32325??????，???，故f(x)?sin(x?)?cosx. 3622312?（2）依题意有cos??,cos??，而?,??(0,)，

5132? ?sin??1?()?,sin??1?(352451225)?， 13133124556????. 51351365 f(???)?cos(???)?cos?cos??sin?sin??2. 解：（1）?x0是函数f(x)的一个零点, ∴ 2sinx0?cosx0?0, 从而tanx0?1. 21cosx0?sinx01?tanx04?3 ∴cos2x0???15cos2x0?sin2x01?tan2x01?42221? （2）f'(x)?2cosx?sinx, ?x0是函数f(x)的一个极值点 ∴2cosx0?sinx0?0, 从而tanx0?? ∴sin2x0?2sinx0cosx0?3. 解：（1）?cosB?

1. 22sinx0cosx02tanx04. ???sin2x0?cos2x01?tan2x0543,且B?(0,?)，∴sinB?1?cos2B?． 553?cosC?cos(??A?B)?cos(?B) ∴

4?cos3?3?24232cosB?sinsinB???????． 44252510

（2）由（1）可得sinC?1?cos2C?1?(?227)?2． 1010 由正弦定理得

BCAB10AB??，即，解得AB?14．

7sinAsinC22102222

在?BCD中，BD?7， CD?7?10?2?7?10?4?37，∴CD?37． 5 x1Cx2o105B

4. 解：（1）设缉私艇追上走私船所需的时间为t小时， 则有|BC|＝25t，|AB|＝35t，

Ao45α

且∠CAB＝α，∠ACB＝120°， 根据正弦定理得：

|BC||AB|?， sin?sin1200即

25t35t53?， ∴ sinα＝． sin?1432（2）在△ABC中由余弦定理得：|AB|2＝|AC|2＋|BC|2－2|AC||BC|cos∠ACB， 即 （35t）2＝152＋（25t）2－2·15·25t·cos120°，即24t2―15t―9＝0， 解之得：t=1或t=－

9（舍） 24故缉私艇追上走私船需要1个小时的时间． 5. 解：（1）由条形图可得，选择A，B，C，D四款套餐的学生

共有200人，其中选A款套餐的学生为40人， 由分层抽样可得从A款套餐问卷中抽取了 20?40?4份. 2004?0.1 . 40设 “甲的调查问卷被选中” 为事件M，则P(M)?答：若甲选择的是A款套餐，甲被选中调查的概率是0.1.

(2) 由图表可知，选A，B，C，D四款套餐的学生分别接受调查的人数为4，5，6，5. 其中不满意的人数分别为1，1，0，2个 .

记对A款套餐不满意的学生是a；对B款套餐不满意的学生是b；对D款套餐不满意的学生是c，d.

设“从填写不满意的学生中选出2人，这两人中至少有一人选择的是D款套餐” 为事件N, 从填写不满意的学生中选出2人，共有(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)6个基本事件， 而事件N有(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)5个基本事件， 则P?N??5. 66. 解：（1）从被检测的5辆甲类品牌车中任取2辆，共有10种不同的CO2排放量结果： (80,110)；(80,120)；(80,140)；(80,150)；(110,120)；

(110,140)；(110,150)；(120,140)；(120,150)；(140,150). 设“至少有一辆不符合CO2排放量”为事件A，则事件A包含以下7种不同的结果：

(80,140)；(80,150)；(110,140)；(110,150)；(120,140)；(120,150)；(140,150). 所以，P(A)?7?0.7. 答：至少有一辆不符合CO2排放量的概率为0.7 10（2）由题可知，x甲?x乙?120，x?y?220.

25S甲??80?120???110?120?2??120?120?2??140?120?2??150?120?2?3000

22222225S乙??100?120???120?120???x?120???y?120???160?120?

?2000??x?120?2??y?120?2

222?x?y?220,?5S乙?2000??x?120???x?100?，

令x?120?t，?90?x?130，??30?t?10，

22?5S乙?2000?t2??t?20?，

22?5S乙?5S甲?2t2?40t?600?2(t?30)(t?10)?0

22，∴乙类品牌车碳排放量的稳定性好.

x?0.1 9 ? x?380 200048?500?12 2000 （2）初三年级人数为y＋z＝2000－（373＋377＋380＋370）＝500， 现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为：名

（3）设初三年级女生比男生多的事件为A ，初三年级女生男生数记为（y，z）； 由（2）知 y?z?500 ，且 y,z?N,基本事件空间包含的基本事件有：

（245，255）、（246，254）、（247，253）、??（255，245）共11个

事件A包含的基本事件有：（251，249）、（252，248）、（253，247）、(254,246)、(255,245) 共5个, ? P(A)?5. 118.（1）证明：取BC中点M，连结FM，C1M．在△ABC中， ∵F，M分别为BA，BC的中点，

A1E1 ∴FM ∥AC．

2∵E为AC11的中点，AC ∥AC11 ∴FM ∥EC1．

AFMBCC1B1∴四边形EFMC1为平行四边形 ∴EF∥C1M．

∵C1M?平面BB1C1C，EF?平面BB1C1C， ∴EF∥平面BB1C1C． （2）证明： 连接A1C，∵四边形AA1C1C是菱形，?A1AC?60?

∴△A1C1C为等边三角形

∵E是AC11的中点． ∴CE⊥A1C1

∵四边形AA1C1C是菱形 , ∴A1C1∥AC . ∴CE⊥AC. ∵ 侧面AA1C1C⊥底面ABC, 且交线为AC，CE?面AA1C1C ∴ CE⊥面ABC

（3）连接B1C，∵四边形BCC1B1是平行四边形，所以四棱锥VE?BCC1B1? 2VC?EC1B1 由第(2)小问的证明过程可知 EC?面ABC

∵ 斜三棱柱A1B1C1?ABC中，∴ 面ABC ∥ 面A1B1C1. ∴ EC?面EB1C1 ∵在直角△CEC1中CC1?3，EC1?3， ∴EC?33

22∴S?B1EC1?13337 ??22?()2?222813733321 ???3828∴ 四棱锥VE?BCC1B1? 2VC?EC1B1=2?9．（1）证明：连接AＣ， ∵ PA∥CD ∴ 四边形PACD为平行四边形

∴ PD＝AＣ ∵ PD＝2 ∴ AＣ＝2

∵ DC＝PA＝1 ∴ AC?AD?CD ∴ CD⊥AD，

∵ 平面PAD⊥平面ABCD，且交线为AD ∴ DC⊥平面PAD.

∵ DC?平面PCD，∴ 平面PAD⊥平面PCD.

（2） 在线段PB上是存在这样的点M，当M为PB中点时，使截面AMC把几何体分成的两

部分VPDCMA:VM－ACB＝2:1．理由如下: ∵ DC∥PA， CD⊥AD，∴ PA⊥AD， ∵ 平面PAD⊥平面ABCD，且交线为AD ∴ PA ⊥平面ABCD

∵ M为PB中点 ∴点Ｍ到面ACB的距离等于∴ VM?ACB?22211PA?. 22111??S?ACB?. 326

∵ VP?ABCD?11?PA?S?ABCD＝, 32VPDCMA1?. ∴VMABC3∴ VPDCMA?VP?ABCD?VM?ADP（3） AM与平面PCD不平行

?21，故M为PB中点.

∵AB∥CD，AB??平面PCD，CD?平面PCD，∴AB∥平面PCD 若AM∥平面PCD，∵AB∩AM=A，∴平面ABM∥平面PCD 这与平面ABM与平面PCD有公共点P矛盾 ∴AM与平面PCD不平行

10.（1）证明：∵AE、DF是圆柱的两条母线

∴ AE∥DF.

∵AE?平面DFC，DF?平面DFC,∴ AE∥平面DFC 在圆柱中： ?上底面//下底面，且上底面∩截面ABCD＝AD， 下底面∩截面ABCD＝BC ∴ BC//AD

∵ AD＝BC ∴四边形ABCD为平行四边形 ∴ AB∥CD.

∵AB?平面DFC,CD?平面DFC, ∴ AB∥平面DFC. ∵ AB?AE?A ∴ 平面AEB∥平面DFC （2）证明：∵AE、DF是圆柱的两条母线，?AE//DF

? 四边形ADFE平行四边形， ? AD∥EF? EF∥BC且EF=BC

且AD=EF

∵ 四边形ABCD为平行四边形 ? AD∥BC且AD=BC

在圆柱底面上因为EF∥BC且EF=BC ? EC为直径 ? BC?BE

（3）解法1：作EO?AB ∵ AE圆柱的母线 ? AE垂直于底面 ∴ AE?CB

∵ BC?BE AE?EB?E

∴ BC?平面ABE ∴BC?OE

∵ AB?BC?B ∴ EO?平面ABCD

设BE?x 在Rt△BEC中，EC?23 ∴BC?12?x2

在Rt△ABE中，EA?2，∴AB?4?x2

由（2）的证明过程可知BC?平面ABE ∴BC?AB

∵ 四边形ABCD为平行四边形 ∴四边形ABCD为矩形

∴ S矩形ABCD?4?x2?12?x2

在Rt△ABE中，OE?AE?BE?AB2x4?x2 ∵x?(0,23)

∴VE?ABCD22212x12?x22x?(12?x)??OE?S矩形ABCD?≤4 ?3332当x?12?x时，即x?6时，四棱锥E?ABCD的体积最大，最大值为4

解法2：VE?ABCD?2VE?ABC?2VA?EBC

设BE?x（或设?BEC??）

在Rt△BEC中，EC?23 ∴BC?12?x2（BC?23sin?，BE?23cos?） ∵ AE垂直于底面，设BE?x，x?(0,23) ∴ VE?ABCD?2VA?EBC222222x12?x22x?(12?x)??AE?S?BCE?≤4 ?333当x?12?x时，即x?6时，四棱锥E?ABCD的体积最大，最大值为4

解法3：VE?ABCD?2VE?ABC?2VA?EBC

设?BEC??，??(0,?2)

在Rt△BEC中，EC?23 ∴BC?23sin?，BE?23cos? ∵ AE垂直于底面， ∴ VE?ABCD?2VA?EBC?当sin2??1，即??221?AE?S?BCE=?2?BE?BC=4sin2?≤4

323?4时，四棱锥E?ABCD的体积最大，最大值为4.

11.解：（1）因为2a2、3a3、4a4成等差数列，

所以2a2?4a4?6a3，即a1q?2a1q?3a1q.

因为a1?0，q?0，所以2q?3q?1?0，即(q?1)(2q?1)?0.

232

1?1?因为q?1，所以q?.所以an?a1qn?1?32???2?2?所以数列{an}的通项公式为an?26?n(n?N*). （2）因为an?26?n，所以bn?log226?n?6?n. 所以bn?6?n??n?1?26?n.

?6?n,1?n?6,

?n?6,n?7.当1?n?6时，Tn?b1?b2?????bn?b1?b2?????bn

?n?[5?(6?n)]111??n2?n；

222当n?7时，Tn?b1?b2?????bn?(b1?b2?????b6)?(b7?b8?????bn)

?2(b1?b2?????b6)?(b1?b2?????bn)

11?111?1?2?15???n2?n??n2?n?30.

2?22?2?1211?n?n,1?n?6,??22综上所述，Tn??

?1n2?11n?30,n?7.??2212. 解:(1)由题意，当0?x?20时，v(x)?60;当20?x?200时，设v(x)?ax?b.

1?60,0?x?20?a?????200a?b?0?3?v(x)??1由已知得?.,解得?(200?x),20?x?200. ?200?3?20a?b?60?b??3??60x,0?x?20?. (2)依题意得f(x)??x(200?x),20?x?200??3当0?x?20时，f(x)为增函数，故f(x)?1200. 当20?x?200时，x?100时，f(x)取最大值

10000?3333. 3答：车流密度x为100时，车流量f(x)达到最大值3333.

13.解：（1）设植树n年后可将荒山全部绿化，记第n年初植树量为an，

依题意知数列{an}是首项a1?100，公差d?50的等差数列， 则100n??n?n?1??50?2200, 即n2?3n?88?0?(n?11)(n?8)?0 2∵n?N ∴n?8

∴到2009年初植树后可以将荒山全部绿化．

（2）2002年初木材量为2a1m，到2009年底木材量增加为2a1(1.2)8m, 2003年初木材量为2a2m，到2009年底木材量增加为2a2(1.2)7m,?? 2009年初木材量为2a8m，到2009年底木材量增加为2a8?1.2m. 则到2009年底木材总量S?2a1?1.28?2a2?1.27?2a3?1.26???2a8?1.2

333333S?900?1.2?800?1.22???400?1.26?300?1.27?200?1.28----------① 1.2S?900?1.22?800?1.23???400?1.27?300?1.28?200?1.29---------②

②-①得

0.2S?200?1.29?100?(1.22?1.23???1.28)?900?1.2?700?1.29?500?1.22?900?1.2?840?1.28?1800?840?4.3?1800?1812

∴S?9060ｍ2

答：到全部绿化后的那一年年底，该山木材总量为9060ｍ2 14. 解：（1）∵抛物线C1:y2?8x的焦点为F2(2,0)， ∴双曲线C2的焦点为F1(?2,0)、F2(2,0)， 设A(x0,y0)在抛物线C1:y2?8x上，且AF2?5，

2由抛物线的定义得，x0?2?5，∴x0?3，∴y0?8?3，∴y0??26，

|AF1|?∴(3?2)2?(?26)2?7，又∵点A在双曲线C2上，由双曲线定义得，

2y2a?1， ∴?1． 2a?|7?5|?2，∴双曲线C2的方程为：x?3（2）

s为定值．下面给出说明． t222设圆M的方程为：(x?2)?y?r， ∵圆M与直线y?3x相切，

∴圆M的半径为r?231?(3)2?3，故圆M：(x?2)2?y2?3.

显然当直线l1的斜率不存在时不符合题意，

设l1的方程为y?3?k(x?1)，即kx?y?3?k?0， 设l2的方程为y?3??1(x?1)，即x?ky?3k?1?0， k∴点F1到直线l1的距离为d1?|3k?3|1?k2，点F2到直线l2的距离为d2?2|3k?1|1?k2，

?3k?3?63k?6k2∴直线l1被圆M截得的弦长s?23??， 2?1?k2???21?k???3k?1?23k?2k2直线l2被圆N截得的弦长t?21??， 2?1?k2???21?k??s63k?6k26(3k?k2)s??3∴?， 故为定值3． 22tt23k?2k2(3k?k)15. 解：（1）设A、B、M的坐标分别为(x0，0)、(0，y0)、(x，y)，则

22

x20＋y0＝(m＋1)， ① →→

由AM＝mMB，得(x－x0，y)＝m(－x，y0－y)，

2????x－x0＝－mx，

∴?∴?m＋1?y＝m(y0－y)．?y＝y．?0

x0＝(m＋1)x，

m

?

②

y2

化简即得点M的轨迹Γ的方程为x＋m2＝1（m＞0）． 当0＜m＜1时，轨迹Γ是焦点在x轴上的椭圆；

当m＝1时，轨迹Γ是以原点为圆心，半径为1的圆； 当m＞1时，轨迹Γ是焦点在y轴上的椭圆．

1

（2）依题意，设直线CD的方程为x＝ty＋2，

2

将②代入①，得

m＋1

(m＋1)2x2＋(m)2y2＝(m＋1)2，

?由?y

x＋?m＝1．

22

21x＝ty＋2，

3

消去x并化简整理，得(m2t2＋1)y2＋m2ty－4m2＝0，

△＝m4t2＋3m2(m2t2＋1)＞0， 设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则

m2t3m2

y1＋y2＝－22，yy＝－． ③

mt＋1124(m2t2＋1)

假设在x轴上存在定点P(a，0)，使PQ平分∠CPD， 则直线PC、PD的倾斜角互补，

y1y2∴kPC＋kPD＝0，即＋＝0，

x1－ax2－a11y1y2∵x1＝ty1＋2，x2＝ty2＋2，∴＋＝0， 11

ty1＋2－aty2＋2－a

化简，得4ty1y2＋(1－2a)( y1＋y2)＝0． ④

m2t(1－2a)3m2t

将③代入④，得－22－22＝0，即－2m2t(2－a)＝0，

mt＋1mt＋1

∵m＞0，∴t(2－a)＝0，∵上式对?t∈R都成立，∴a＝2． 故在x轴上存在定点P(2，0)，使PQ平分∠CPD．

16.解：（1）由题意，a1?a2?a3?...?an?n(2n?1),a1?a2?a3?...?an?1?(n?1)(2n?1)，两

式相减得an?4n?1,(n?2)，而a1?3，?an?4n?1,(n?N?)

（2）cn?an4n?133??2?,cn?1?2?， 2n?12n?12n?12n?333cn?1?cn???0,?cn?1?cn

2n?12n?3(3)由（2）知c1?1是数列?cn?的最小项.

当x??时，对于一切非零自然数n，都有f(x)?0, 即?x?4x?2an?cn,??x2?4x?c1?1，即x2?4x?1?0， 2n?1解得x?2?3或x?2?3，?取??2?3. 17. 解：（1）

12-an-11112 ==-1，则-1=(-1) 2n-1 则an=n1+2ana1anan-1an-1111111a>a>a>?a1 ==a，因此，nn-1n-2n-12222n-12+2n2(1+2n-1)2（2） 由于an>a1+a2+?+an?1(131n1112+?+n-1)=?2231-121-21(1-n) 32又an=11< nn1+2212111152所以从第二项开始放缩： a1+a2+?+an<+2+?+n<+=

32231-162

因此

21(1-n)?Sn325 6?1??x(x?0)18.解:（1）F(x)??x，

?ex?x(x≤0)?当x?0时，F(x)?1?x≥2，即x?1时，F(x)最小值为2． x当x≤0时，F(x)?ex?x，在???,0?上单调递增，所以F(x)≤F(0)?1． 所以k?1时，F(x)的值域为(??,1]?[2,??]．

1?k?(x?0)?2（2）依题意得F'(x)?? x?ex?k(x≤0)?''①若k?0，当x?0时，F(x)?0，F(x)递减，当x≤0时，F(x)?0，F(x)递增．

'②若k?0，当x?0时，令F(x)?0，解得x?1， k 当0?x?11''时，F(x)?0，F(x)递减，当x?时，F(x)?0，F(x)递增． kk' 当x?0时，F(x)?0，F(x)递增．

'③若?1?k?0，当x?0时，F(x)?0，F(x)递减．

'x 当x?0时，解F(x)?e?k?0得x?ln(?k)， 当ln(?k)?x?0时，F(x)?0，F(x)递增， 当x?ln(?k)时，F(x)?0，F(x)递减．

'④k≤?1，对任意x?0，F(x)?0，F(x)在???,0?,?0,???上递减．

''综上所述，当k?0时，F(x)在(??,0]或(11,??)上单调递增，在(0,)上单调递减； kk当k?0时，F(x)在(??,0]上单调递增，在(0,??)上单调递减；

当?1?k?0时，F(x)在(ln(?k),0]上单调递增，在(??,ln(?k))，(0,??)上 单调递减；

当k≤?1时，F(x)在???,0?,?0,???上单调递减．

?f'(1)?a?b?1?b?a?1b19. 解：（1）f(x)?a?2,则有?. ,解得?x?c?1?2a?f(1)?a?b?c?0' （2）由（1）得f(x)?ax?a?1?1?2a. xa?1?1?2a?lnx,x?[1,??).g(1)?0, 令g(x)?f(x)?lnx?ax?x1?aa(x?1)(x?)a?11'ag(x)?a?2??. 2xxx11?a1?a'① 当0?a?时，，g(x)?0,g(x)是减函数， ?1.若1?x?a2a∴g(x) ?g(1)?0，即f(x)?lnx,故f(x)?lnx在[1,??)不恒成立.

11?a时，?1.若x?1，g'(x)?0,g(x)是增函数，∴g(x)?g(1)?0， 2a1 即f(x)?lnx,故x?1时f(x)?lnx.综上所述，a的取值范围是[,??).

21111（3）由（2）知，当a?时，有f(x)?lnx(x?1).令a?，则f(x)?(x? )?lnx.即当

2x22k?11k?1k11k?1?(?) (x?)?lnx.令x?，则lnx?1时，总有

2xk2kk?1k111111?(?),ln(k?1)?lnk?(?),k?1,2,???,n.将上述n个不等式累加得2kk?12kk?1②当a?ln(n?1)?11111111n?(??????)?,整理得1???...??ln(n?1)?223n2(n?1)23n2(n?1)

2220.解:(1)因为点Qn的坐标为(an,an),Qn?1的坐标为(an+1,an?1), 2所以点Pn?1的坐标为(an+1,4an?1),则4an?1?an,故an?1与an的关系为an?1?2/（1） 设切点为(t,t),则y?2x得2t?4,所以t?2.

12an. 4解不等式??a2?2,得2?a1?22.

?a1?2112112214a2?(a1)?a1.?2?a1?22,??a3?1.

4444641a3的取值范围是(,1).

41212111(3) 由an?1?an得lgan?1?lg(an),即lgan?1?2lgan?lg,故lgan?1?lg?2(lgan?lg)

44444a3?

113?lg3?lg?lg?0, 4441所以数列{lgan?lg}是以

4lga1?lglgan?lg2

为公比,首项为lg3的等比数列, 43n?1133n?1a3n?1?2n?1lg?lg()2,即lgn?lg()2,解得an?4()2,

44444432n?1数列?an?的通项公式为an?4().

4

21. 略解：（1）

f?x1??f?x2?2??11?a122x?x???????lnx1?lnx2? 12?2?x1x2?2 ?x1?x2122x?x??alnx1x2. ?12?2x1x22x?x4?x?x??x?x?f?12???12???aln12，

2?2??2?x1?x21212?x1?x2?22而?x1?x2?x?x?2xx???1212???, 24?2?22又?x1?x2??x1?x2?2x1x2?4x1x2,得

22x1?x24, ?x1x2x1?x2又x1x2?x1?x2x?x2x?x2,得lnx1x2?ln1,由于a?0,故alnx1x2?aln1. 222212x?x24x?x?x?x?2所以?x1?x2??1?alnx1x2??12???aln12.

2x1x22?2?x1?x2所以

f?x1??f?x2??x?x??f?12?.

2?2?（2）f'?x??2x?2?x1?x2?2aa''fx?fx?，故 ?x?x2??????1212222xxx1x2x1x22?x1?x2?2x12x2'' f?x1??f?x2??x1?x2?2??a?1， x1x22?x1?x2?a下面证明：2???1成立. 2x12x2x1x2

法1：2?2?x1?x2?2x12x2?a?2?x1x24?x1x2?3?a?2?x1x24?x1x2?3?4. x1x2 令t?1，则u?t??2?4t3?4t2?t?0?， x1x22?x1?x2?a?2?38可知u?t??u????1.即2???1. 22327xxxx??1212法2：2?2?x1?x2?2?x1?x2?a即 ??1a?xx?1222x1x2x1x2x1x2 由于x1x2?令t?2?x1?x2?x1x2?x1x2?4. x1x2x1x2，则u?t??t2?4?t?0?，可知u?t??ut?2??3334?3108?4?a.

故a?x1x2?2?x1?x2?成立.

x1x22?a?0?a?0?cx?a??c?即即b?1?且c?0 ?x的不动点为0和2∴22. 解： (1)设??c2bx?cb?1??4?a?2??2??2b?cx2(2)∵c＝2 ∴b＝2 ∴f?x???x?1?，

2?x?1?由已知可得2Sn＝an－an2……①，且an ≠ 1．

2当n ≥ 2时，2 Sn -1＝an－1－an， ?1……②

①－②得(an＋an－1)( an－an－1＋1)＝0，

∴an＝－an－1 或 an＝－an－1 ＝－1， 当n＝1时，2a1＝a1－a12 ?a1＝－1，

若an＝－an－1，则a2＝1与an ≠ 1矛盾．∴an－an－1＝－1， ∴an＝－n．

?1?∴要证不等式，只要证 ?1???n?只要证 nln?1?考虑证不等式

??n?1?1?1??1??1????1??，即证 ?1???e??1??e?n??n??n??nnn?1，

??1?1?1??1?1，即证 ?1?n?1ln1??ln??????1???．

n?nn?1???n?nx?ln?x?1??x(x＞0) . (**) x?1

令g(x)＝x－ln(1＋x)， h(x)＝ln(x＋1)－∴g'?x?＝

x (x＞0) ． x?1xx， h'?x?＝， 21?x?x?1?∵x＞0， ∴g(x)、h(x)在(0, ＋∞)上都是增函数， g'?x?＞0， h'?x?＞0，∴∴g(x)＞g(0)＝0， h(x)＞h(0)＝0，∴x＞0时，

x?ln?x?1??x． x?1an?1?11?令x?则(**)式成立，∴??nan??(3)由(2)知bn＝

在

an?11?1?＜＜?1??， e?an?1111，则Tn＝1????????． n23n1?1?1?ln?1???中，令n＝1，2，3，?，2008，并将各式相加， n?1?n?n111232009111???????ln?ln?????ln?1???????， 232009122008232008得

即T2009－1＜ln2009＜T2008． 23.解:（1）令x1?x2?0，得f(0)?f(x0)?2f(0)，

?f(x0)??f(0)??①，

令x1?1,x2?0得f(x0)?f(x0)?f(1)?f(0)．

??f ?f(1)(??②0)

由①、②，得f?x0??f?1?．

?f(x)为单调函数，?x0?1．

（2）由（1）得f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)?f(1)?f(x1)?f(x2)?1

?f(n?1)?f(n)?f(1)?1?f(n)?2，f(1)?1，

1． 2n?11111又?f(1)?f(?)?f()?f()?f(1)．

222211?f()?0,b1?f()?1?1．

22111111?f(n)?f(n?1?n?1)?f(n?1)?f(n?1)?f(1)?2f(n?1)?1

222222111?2bn?1?2f(n?1)?2?f(n)?1?bn. ?bn?()n?1

222?f(n)?2n?1(n?N?)，?an?

Sn?11111111111?????(1???????)?(1?) 1?33?5(2n?1)?(2n?1)23352n?12n?122n?111[1?()n]1111111114?2[1?(1)n]Tn?()0()1?()1()2???()n?1()n??()3???()2n?1?21222222222341?4

421?Sn?Tn?(1??)33n2?12[?131211n． ](?)]n[?()434n?2110?4n?(3?1)n?Cnn3n?Cnn?13n?1???Cn3?Cn?3n?1?2n?1

42114?Sn?Tn?[()n?]?0. ?Sn?Tn

33342n?1

ax(x?0)，则an?1?f(an)?n，

1?an1?x1111??1，即??1， 得

an?1anan?1an111∴数列{}是首项为2、公差为1的等差数列，∴?n?1，即an?.

anann?11（2）?[f(x)]??，∴函数f(x)在点(n,f(n))(n?N*）处的切线方程为： 2(1?x)n1nnn2y??(x?n)，令x?0，得bn?． ??2221?n(1?n)1?n(1?n)(1?n)bn??2?22?2??n??(n?1)?(n?)???，仅当n?5时取得最小值， anan2424.解:（1）? f(x)?2（3）?g(x)?f(x)(1?x)2?x(1?x)，故cn?1?g(cn)?cn(1?cn)，

11111111???c1??0，故cn?0，则，即． ???1?ccccc(1?c)c1?c2nnn?1n?1nnnn111111111∴?????(?)?(?)???(?) 1?c11?c21?cnc1c2c2c3cncn?1111?2??2． =?c1cn?1cn?111111112426又????????????1，

131?c11?c21?cn1?c11?c21?37211?24111故1??????2．

1?c11?c21?cn

只需4.5????5.5，解得?11????9，故?的取值范围为(?11,?9)．

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