第七章常微分方程自测题（答案）

第七章:常微分方程(自测题答案)

一、 选择题:

1、 一阶线性非齐次微分方程y??P(x)y+Q(x)的通解是(C ).

?P(x)dxP(x)dx?P(x)dx?P(x)dxdx； (A)y?e?[?Q(x)e?dx?C]； (B)y=e?Q(x)e? (C)y=e?P(x)dx?P(x)dx?P(x)dx. [?Q(x)e?dx?C]； (D)y=ce?2、 方程xy?=x2?y2?y是( A ).

(A)齐次方程； (B)一阶线性非齐次方程； (C) 一阶线性齐次方程； (D)可分离变量方程 .

xyxx' 3、已知y?是微分方程y???()的解，则?()的表达式为（ A ）.

lnxxyyy2y2x2x2(A) ?2； (B) 2； (C) ?2； (D)2.

xxyydydx4、 2?2?0,y(1)?2的特解是(B ).

xy (A)x2?y2=2； (B)x3?y3?9；

x3y3?1. (C)x?y=1； (D)?335、 方程y???=sinx的通解是( A ).

11 (A)y=cosx?C1x2?C2x?C3； (B)y=sinx?C1x2?C2x?C3；

22 (C)y=cosx?C1； (D)y=2sin2x. 6、 方程y????y?=0的通解是( B ).

(A)y?sinx?cosx+C1； (B)y?C1sinx?C2cosx+C3；

33 (C)y?sinx?cosx+C1； (D)y?sinx?C1.

7、 若y1和y2是二阶齐次线性方程y???P(x)y??Q(x)y?0的两个特解,则

y?C1y1?C2y2(其中C1,C2为任意常数)( B ). (A)是该方程的通解； (B)是该方程的解；

(C)不是该方程的解； (D)不一定是该方程的解. 8、求方程yy???(y?)2=0的通解时,可令( B ).

dP (A) y??P,则 y???P?； (B) y??P,则y??=P；

dydPdP (C) y??P,则y??=P； (D) y??P,则y??=P?.

dxdy 9、设线性无关的函数y1，y2，y3都是二阶非齐次线性方程 y''?p(x)y'?q(x)y?f(x)的解，C1,C2为任意常数，则该非齐次方程的通解是( D ).

(A) y?C1y1?C2y2?y3； (B) y?C1y1?C2y2?(C1?C2)y3；

(C) y?C1y1?C2y2?(1?C1?C2)y3 ； (D) y?C1y1?C2y2?(1?C1?C2)y3. 10、方程y???3y??2y?xex的一个特解形式是 ( C ). (A) y?(ax?b)ex； (B)； y?aexx (C) y?(ax?b)exx； (D) y?aex. 二、求下列一阶微分方程的通解: 1、xy?lnx?y?ax(lnx?1)； 2、(y2?6x)dy?2y?0.；

dxcy23 y?ax?； x??cy;

lnx2xxxyy3、(1?2e)dx?2e(1?)dy?0.

y x?2ye?c.

三、求下列高阶微分方程的通解:

1、

xyy???y??x； 2、y????y???2y??0.

y?C1ex?12x?x?C2； y?C1?C2ex?C3e?2x; 2dP3dP?x2P?1，，代入原方程，得 x dxdx32??xy?xy??1； 3、

解 方程中不显含未知函数y，令y??P，y???dP11?P?3，这是关于未知函数P(x)的一阶线性微分方程，代入常数变易法的通解dxxx公式，所以

1?dxP(x)?e(?3exdx?C1）

x1111C11?lnx(?3elnxdx?C1）=(?3?xdx?C1）=(??C1）=?2?1， =exxxxxxxdy1C由此 =?2?1，

xdxx1C1y??(?2?1)dx=?C1lnx?C2，

xxx??xdx11因此，原方程的通解为 y=

1?C1lnx?C2 （C1,C2为任意常数）. x 4、

y???4y??8y?e2xsin2x.

2解 对应的齐次微分方程的特征方程 r?4r?8?0，特征根 r1,2?2?2i.于是所对应的齐次微分方程通解为

yc?e2x(C1cos2x?C2sin2x)．

为了求原方程y???4y??8y?e2x sin2x的一个特解,先求y???4y??8y?e(2?2i)x（?）

的特解.由于??2?2i是特征方程的单根，且Pm(x)?1是零次多项式。所以设特解为

y??Axe(2?2i)x，代入原方程，化简得

(4?4i)A?8iAx?4[A?(2?2i)Ax]?8Ax?1,

1i??. 比较同类项系数，得 4Ai?1，A?4i4所以，方程（?）的特解为

i1y???xe2x(cos2x?isin2x)=?xe2x(icos2x?sin2x),

4412x其虚部即为所求原方程的特解 yP??xecos2x.

4因此原方程通解为

y?e2x(C1cosx?C2sinx)?12xxecos2x. 4

四、求下列微分方程满足所给初始条件的特解:

1.xydy?dx?y2dx?ydy 满足条件yx?0?2的特解.

y1解 这是可以分离变量的微分方程，将方程分离变量，有 2dy?dx，

x?1y?11ydx， 两边积分，得 ?2dy??x?1y?1求积分得

1lny2?1?lnx?1?C1，lny2?1?ln(x?1)2?2C1， 2y2?1?(x?1)2e2C1，y2?1??e2C1(x?1)2，

?C?0，得方程的解 y2?1?C(x?1)2.

可以验证 C?0时，y??1，它们也是原方程的解，因此，式y2?1?C(x?1)2中的C可

记 ?e以为任意常数，所以原方程的通解为 y2?1?C(x?1)2 （C为任意常数）. 代入初始条件 yx?0?2C12 得 C?3，所以特解为 y2?1?3(x?1)2.

x?1?2，

22. 2(y?)?y??(y?1)满足初始条件yy?x?1??1的特解.

解 方程不显含x，令 y??P，y???P当 P?0时 根据 ydPdP2(y?1)， ，则方程可化为 2P?PdydydP2?dy，于是 P?C1(y?1)2. Py?1，y?x?1?x?1?2?1，知y?y?2??1 代入上式，得 C1??1，从而得到

x?1?2dy1?x?C2，再由y，积分得 ??dx2y?1(y?1)，求得 C2?0，于是当P?0时，

原方程满足所给初始条件的特解为

1?x， y?11?x中. y?1当P?0时，得y?C(常数)，显然这个解也满足方程，这个解可包含在解故原方程满足所给初始条件的特解为

11?x，即 y?1? y?1x

五、已知某曲线经过点(1,1),它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标,求它的方程 .

解 设所求曲线方程为 y?f(x)，P(x,y)为其上任一点，则过P点的曲线的切线方程

为 Y?y?y?(X?x)，

由假设，当X?0时 Y?x，从而上式成为

dy1?y??1.因此求曲线y?y(x)的问题，dxx1??y??y??1转化为求解微分方程的定解问题 ?，的特解. x??yx?1?1?P(x)dxP(x)dx由公式 y?e?(Q(x)e?dx?C，得

?y?e代入y?xdx1(?(?1)e??xdx1dx?C)=?xlnx?Cx，

x?1?1得

C?1，故所求曲线方程为 y?x(1?lnx).

六、一质量为m的质点由静止开始沉入液体，当下沉时，液体的反作用力与下沉速度成正比，求此质点的运动规律.

解 设质点的运动规律为x?x(t).由题意，有

?d2xdxm?mg?k,??dt2dt （k?0为比例系数） ?dx?xt?0?0,t?0?0,?dt?d2xkdx??g， 方程变为 2mdtdt齐次方程的特征方程为 r2?kkkr?0， r(r?)?0，r1?0，r2??. mmmk?tm故原方程所对应的齐次方程的通解为 xc?C1?C2e，

mg， k因??0是特征单根，故可设 xp?at，代入原方程，即得 a?故xp?mgt，所以原方程的通解 kx?C1?C2e由初始条件得 C1??m2gk2k?tm?mgt, k，C2?m2gk2，

k?tmgm2gt?2(1?em). 因此质点的运动规律为 x(t)?kk

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