三角函数化简和证明题练习

一、化简题

1、已知 为第四象限角，化简：cos

2、已知270 360 ，化简

3、化简： sin440

2

1 sin 1 cos

sin

1 sin 1 cos

1111 cos2 2222

4、已知

sin1 sin

1 sin 1 sin

教务处2111811

1 cos1 cos

1 cos 5、1 cos

(, )

2

sinxtanx sinx

tanx sinx 6、1 cosx

cos2 2cos

7、 sin

sin

二、证明题

1、在ΔABC中，设tanA+tanC=2tanB,求证cos(B+C-A)=

教务处2111811

4 5cos2C

.

5 4cos2C

2、求证：(2 cos2

)(1 2cot2 ) (2 cot2 )(2 sin2 )

3、求证：tan2x cot2

x

2 3 cos4x 1 cos4x

4、证明：tan2x cot2

x

2(3 cos4x)

1 cos4x

5、sin(2A B)sinsinA 2cos(A B) B

sinA

教务处2111811

答案

一、化简题

1、因为 为第四象限角

(1 sin )2(1 cos )2

所以原式=cos sin 22

1 sin 1 cos

cos

1 sin 1 cos

sin 1 sin 1 cos cos sin

cos sin

2、 270 360 ， cos 0,cos

2

0

所以原式=

11 cos211 cos

cos2 cos2 cos 22222222

sin2(360 80 ) sin280 cos280 cos80

3、解：原式

原式

4、解：

(1 sin)(1 sin)(1 sin)(1 sin)

(1 sin )(1 sin )(1 sin )(1 sin )

(1 sin )2(1 sin )21 sin 1 sin

22

|cos ||cos | 1 sin 1 sin

是第三象限角， cos 0

原式

1 sin 1 sin

2tan

cos cos （注意象限、符号）

(1 cos )2(1 cos )2

2

sin sin2 5、原式＝

＝

1 cos 1 cos sin sin 22

sin sin

(, )

＝

2

sinx

sinx

sinx

1 cosx sinx

cosx6、原式＝

sinxsinx(1 cosx)

1 cosxsinx(1 cosx) ＝

＝

sinx1 cosxsinx

1 cosxsinxsinx

教务处2111811

1x (2k , 2k (2k ,2k )(k z) 22

1x (2k ,2k 3 ) (2k 3 ,2k 2 )(k z)

sin sin 22 7、原式

cos cos

2tan 0

2tan 0 0

二、证明题

(2k 2k (2k

2

(k z)

2

2k )

3

(2k 2k )

2

3 (2k 2k 2 )

2

( k )

C) tanC 1、证明： tan(A B) tan(

tanA tanB

tanC

tanA tanB tanC tanA tanB tanC 1 tanAtanB

由条件得tanA tanB tanC 3tanB

3tanB tanA tanB tanC

而tanB 0,tanC 0 ，

tanA

3

tanC

1 tan2A

cos(B C A) cos2A

1 tan2A 又

3

1

9 tan2CtanC 2

9 tan2C 3

1 tanC

2 cos2 2 cot2

22

2、证明：可先证：2 sin 1 2cot （※） cos2 2

22cos2 2sin2 cos2 1

sin2 ＝sin2 2cos2 右式＝

教务处2111811

2

2 2cos2 cos2 2 cos2

222

＝sin 2 2sin ＝2 sin ＝左式

∴（※）式成立，即原等式成立．

1 tan2C4 5 29 tan2C 2

1 tanC9 tan2C4 5cos2C

5 4

1 tan2C而5 4cos2C 4 5cos2C

cos(B+C-A)=5 4cos2C

3、思路点拨：要据角度x与4x的特点和函数名的特点，可采用化切为弦，并用倍角公式证明。 证：左边=

sin2xcos2xsin4x cos4xsin2x cos2x 2sin2xcos2x4 2sin22x

22222

1cosxsinxsinxcosxsin2xsin22x4

2

23 1 2sin22x24 2sin22x4 2sin22x右边= 222

1 1 2sin2x2sin2x2sin2x

所以左边=右边，即等式成立。

4、左边

sin2xcos2xsin4x cos4x(sin2x cos2x)2 2sin2xcos2x 2222

1cosxsinxsinxcosxsin22x4

11

1 sin22x1 sin22x

8 4sin22x4 4cos22x

21 cos4x1 cos4xsin2x(1 cos4x)48

4 2(1 cos4x)2(3 cos4x)

右边，∴得证．

1 cos4x1 cos4x

说明：由等式两边的差异知：若选择“从左证到右”，必定要“切化弦”；若“从右证到左”，必定要用倍

角公式．

5、左边

sin[(A B) B] 2cos(A B)sinAsin(A B)cosA cos(A B)sinA

sinAsinAsin[(A B) A]sinB 右边，∴得证．

sinAsinA

教务处2111811

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/sew4.html