三角函数化简和证明题练习
更新时间:2023-05-26 23:23:01 阅读量: 实用文档 文档下载
一、化简题
1、已知 为第四象限角,化简:cos
2、已知270 360 ,化简
3、化简: sin440
2
1 sin 1 cos
sin
1 sin 1 cos
1111 cos2 2222
4、已知
sin1 sin
1 sin 1 sin
教务处2111811
1 cos1 cos
1 cos 5、1 cos
(, )
2
sinxtanx sinx
tanx sinx 6、1 cosx
cos2 2cos
7、 sin
sin
二、证明题
1、在ΔABC中,设tanA+tanC=2tanB,求证cos(B+C-A)=
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4 5cos2C
.
5 4cos2C
2、求证:(2 cos2
)(1 2cot2 ) (2 cot2 )(2 sin2 )
3、求证:tan2x cot2
x
2 3 cos4x 1 cos4x
4、证明:tan2x cot2
x
2(3 cos4x)
1 cos4x
5、sin(2A B)sinsinA 2cos(A B) B
sinA
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答案
一、化简题
1、因为 为第四象限角
(1 sin )2(1 cos )2
所以原式=cos sin 22
1 sin 1 cos
cos
1 sin 1 cos
sin 1 sin 1 cos cos sin
cos sin
2、 270 360 , cos 0,cos
2
0
所以原式=
11 cos211 cos
cos2 cos2 cos 22222222
sin2(360 80 ) sin280 cos280 cos80
3、解:原式
原式
4、解:
(1 sin)(1 sin)(1 sin)(1 sin)
(1 sin )(1 sin )(1 sin )(1 sin )
(1 sin )2(1 sin )21 sin 1 sin
22
|cos ||cos | 1 sin 1 sin
是第三象限角, cos 0
原式
1 sin 1 sin
2tan
cos cos (注意象限、符号)
(1 cos )2(1 cos )2
2
sin sin2 5、原式=
=
1 cos 1 cos sin sin 22
sin sin
(, )
=
2
sinx
sinx
sinx
1 cosx sinx
cosx6、原式=
sinxsinx(1 cosx)
1 cosxsinx(1 cosx) =
=
sinx1 cosxsinx
1 cosxsinxsinx
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1x (2k , 2k (2k ,2k )(k z) 22
1x (2k ,2k 3 ) (2k 3 ,2k 2 )(k z)
sin sin 22 7、原式
cos cos
2tan 0
2tan 0 0
二、证明题
(2k 2k (2k
2
(k z)
2
2k )
3
(2k 2k )
2
3 (2k 2k 2 )
2
( k )
C) tanC 1、证明: tan(A B) tan(
tanA tanB
tanC
tanA tanB tanC tanA tanB tanC 1 tanAtanB
由条件得tanA tanB tanC 3tanB
3tanB tanA tanB tanC
而tanB 0,tanC 0 ,
tanA
3
tanC
1 tan2A
cos(B C A) cos2A
1 tan2A 又
3
1
9 tan2CtanC 2
9 tan2C 3
1 tanC
2 cos2 2 cot2
22
2、证明:可先证:2 sin 1 2cot (※) cos2 2
22cos2 2sin2 cos2 1
sin2 =sin2 2cos2 右式=
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2
2 2cos2 cos2 2 cos2
222
=sin 2 2sin =2 sin =左式
∴(※)式成立,即原等式成立.
1 tan2C4 5 29 tan2C 2
1 tanC9 tan2C4 5cos2C
5 4
1 tan2C而5 4cos2C 4 5cos2C
cos(B+C-A)=5 4cos2C
3、思路点拨:要据角度x与4x的特点和函数名的特点,可采用化切为弦,并用倍角公式证明。 证:左边=
sin2xcos2xsin4x cos4xsin2x cos2x 2sin2xcos2x4 2sin22x
22222
1cosxsinxsinxcosxsin2xsin22x4
2
23 1 2sin22x24 2sin22x4 2sin22x右边= 222
1 1 2sin2x2sin2x2sin2x
所以左边=右边,即等式成立。
4、左边
sin2xcos2xsin4x cos4x(sin2x cos2x)2 2sin2xcos2x 2222
1cosxsinxsinxcosxsin22x4
11
1 sin22x1 sin22x
8 4sin22x4 4cos22x
21 cos4x1 cos4xsin2x(1 cos4x)48
4 2(1 cos4x)2(3 cos4x)
右边,∴得证.
1 cos4x1 cos4x
说明:由等式两边的差异知:若选择“从左证到右”,必定要“切化弦”;若“从右证到左”,必定要用倍
角公式.
5、左边
sin[(A B) B] 2cos(A B)sinAsin(A B)cosA cos(A B)sinA
sinAsinAsin[(A B) A]sinB 右边,∴得证.
sinAsinA
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