1989-1994年高考数学试题全国卷

历年高考数学试题整理 （自我） 试卷版

1989年试题高考数学试题全国卷

(理工农医类)

一、选择题:每一个小题都给出代号为A、B、C、D的四个结论,其中只有一个是正确的,把你认为正确的结论的代号写在题后的括号内.

【 】

【 】

(2)与函数y=x有相同图象的一个函数是

【 】

【 】

河北迁安一中(A)8 (B)16 (C)32 (D)48 【 】

【 】

【 】

(8)已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π,它们位于球心的同一侧,且相距为1,那么这个球的半径是 (A)4 (B)3 (C)2 (D)5 【 】

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【 】

【 】

(11)已知f(x)=8+2x-x2,如果g(x)=f(2-x2),那么g(x) (A)在区间(-1,0)上是减函数 (B)在区间(0,1)上是减函数 (C)在区间(-2,0)上是增函数 (D)在区间(0,2)上是增函数 【 】

(12)由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中小于50000的偶数共有

(A)60个 (B)48个 (C)36个 (D)24个 【 】

二、填空题:只要求直接填写结果.

(14)不等式│x2-3x│>4的解集是 .

河北迁安一中

(16)已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+?+a7x7,那么a1+a2+?+a7= .

(18)如图,已知圆柱的底面半径是3,高是4,A、B两点分别在两底面的圆周上,并且AB=5,那么直线AB与轴OO＇之间的距离等于 .

三、解答题.

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(Ⅰ)求证:顶点A1在底面ABCD的射影O在∠BAD的平分线上; (Ⅱ)求这个平行六面体的体积.

(21)自点A(-3,3)发出的光线L射到x轴上,被x轴反射,其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切,求光线L所在直线的方程.

(22)已知a>0,a≠1,试求使方程loga(x-ak)=loga2(x2-a2有解的k的取值范围.

河北迁安一中

(23)是否存在常数a,b,c使得等式

对一切自然数n都成立？并证明你的结论.

(24)设f(x)是定义在区间(-∞,+∞)上以2为周期的函数,对k∈Z,用Ik表示区间(2k-1,2k+1],已知当x∈I0时f(x)=x2. (Ⅰ)求f(x)在Ik上的解析表达式;

(Ⅱ)对自然数k,求集合Mk={a│使方程f(x)=ax在Ik上有两个不相等的实根}.

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1989年试题(理工农医类)答案

一、本题考查基本概念和基本运算.

(1)A (2)D (3)C (4)A (5)B (6)C (7)D (8)B (9)C (10)D (11)A (12)C 二、本题考查基本概念和基本运算,只需要写出结果.

(15)(-1,1) (16)-2

(17)必要,必要

(18)

三、解答题.

(19)本题主要考查:运用三角公式进行恒等变形的能力.证法一:

河北迁安一中

证法二:

(20)本题主要考查:线面关系,三垂线定理以及空间想象能力.

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(Ⅰ)证明:

如图,连结A1O,则A1O⊥底面ABCD.作OM⊥AB交AB于M,作ON⊥AD交AD于N,连结A1M,A1N.

由三垂线定理得A1M⊥AB,A1N⊥AD.

∵ ∠A1AM=∠A1AN,∴ Rt△A1NA≌Rt△A1MA.∴ A1M=A1N.∴ OM=ON. ∴ 点O在∠BAD的平分线上. (Ⅱ)解:

∴ 平行六面体的体积

(21)本题主要考查直线和圆的方程以及灵活应用有关知识解决问题的能力.

河北迁安一中

解法一:

已知圆的标准方程是(x-2)2+(y-2)2=1,

它关于x轴的对称圆的方程是(x-2)2+(y+2)2=1.

设光线L所在直线的方程是y-3=k(x+3)(其中斜率k待定). 由题设知对称圆的圆心C (2,-2)到这条直线的距离等于1,即

整理得12k2+25k+12=0,

故所求的直线方程是

即 3x+4y-3=0,或4x+3y+3=0. 解法二:

已知圆的标准方程是(x-2)2+(y-2)2=1.

设光线L所在直线的方程是y-3=k(x+3)(其中斜率k待定). 由题意知k≠0,于是L的反射点的坐标是

因为光线的入射角等于反射角,所以反射光线L＇所在直线的方程是

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即 y+kx+3(1+k)=0.

这条直线应与已知圆相切,故圆心C到它的距离等于1,

以下同解法一.

(22)本题主要考查:对数函数的性质以及解不等式的能力. 解:由对数函数的性质可知,原方程的解x应满足

当①,②同时成立时,③显然成立,因此只需解

由①得 2kx=a(2+k2). ④

当 k=0时,由a>0知④无解,因而原方程无解.

把⑤代入②,得

当k<0时得k2>1,即-∞0时得k2<1,即0

(23)本题主要考查:综合运用待定系数法、数学归纳法解决问题的能力. 解法一:

河北迁安一中假设存在a,b,c使题设的等式成立,这时,

令 n=3 得 70=9a+3b+c, 经整理得

解得a=3,b=11,c=10.

于是,对n=1,2,3下面等式成立:

记 Sn=1222+2232+?+n(n+1)2. 设 n=k时上式成立,即

那么Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2

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它的判别式是△=(4k+a)2-16k2=a(a+8k).

上述方程在区间Ik上恰有两个不相等的实根的充要条件是a满足

也就是说,等式对n=k+1也成立.

综上所述,当a=3,b=11,c=10时,题设的等式对一切自然数n成立. 解法二:

因为 n(n+1)2=n3+2n2+n,所以 Sn=1222+2232+?+n(n+1)2

=(13+2212+1)+(23+2222+2)+?+(n3+2n2+n) =(13+23+?+n3)+2(12+22+?+n2)+(1+2+?+n). 由于下列等式对一切自然数n成立:

由此可知

综上所述,当a=3,b=11,c=10时, 题设的等式对一切自然数n成立.

(24)本题主要考查:周期函数的概念,解不等式的能力. (Ⅰ)解:∵ f(x)是以2为周期的函数,∴ 当k∈Z时,2k是f(x)的周期. 又∵ 当x∈Ik时,(x-2k)∈I0,∴ f(x)=f(x-2k)=(x-2k)2. 即对 k∈Z,当x∈Ik时,f(x)=(x-2k)2.

(Ⅱ)解:当k∈N且x∈Ik时,利用(Ⅰ)的结论可得方程(x-2k)2=ax, 整理得 x2-(4k+a)x+4k2=0.

河北迁安一中

化简得

由①知a>0,或a<-8k. 当a>0时:

当a<-8k时:

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故所求集合

河北迁安一中

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1990年试题高考数学试题全国卷

（理工农医类）

一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后括号内.

【 】

(3)如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于

河北迁安一中

【 】

(4)方程sin2x=sinx在区间(0,2π)内的解的个数是 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 【 】

(5)

【 】

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(A){-2,4} (B){-2,0,4}

(C){-2,0,2,4} (D){-4,-2,0,4} 【 】

(7)如果直线y=ax＋2与直线y=3x－b关于直线y＝x对称,那么

(C)a=3,b=-2

(D)a=3,b=6 【 】

(A)圆 (B)椭圆

(C)双曲线的一支 (D)抛物线 【 】

(B){(2,3)}

(C)(2,3) (D){(x,y)│y=x+1} 【 】

【 】

(11)如图,正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长相等,如果E、F分别为SC、AB的中点,那么异面直线EF与SA所成的角等于

河北迁安一中

(A)90° (B)60° (C)45° (D)30° 【 】

(12)已知h>0.设命题甲为:两个实数a,b满足│a－b│<2h;命题乙为:两个实数a,b满足│a－1│

(A)甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件 (B)甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件 (C)甲是乙的充分条件

(D)甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件 【 】

(13)A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果B必须站在A的右边（A,B可以不相邻）,那么不同的排法共有 (A)24种 (B)60种 (C)90种 (D)120种 【 】 (14)以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有 (A)70个 (B)64个 (C)58个 (D)52个 【 】

(15)设函数y=arctgx的图象沿x轴正方向平移2个单位所得到的图象为C.又设图象C＇与C关于原点对称,那么C＇所对应的函数是 (A)y=-arctg(x-2) (B)y=arctg(x-2) (C)y=-arctg(x+2) (D)y=arctg(x+2) 【 】

二、填空题:把答案填在题中横线上.

(17)(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中,x2的系数等

于 .

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(18)已知{an}是公差不为零的等差数列,如果Sn是{an}的前n项的和,那

(19)函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值是 .

(20)如图,三棱柱ABC－A1B1C1中,若E、F分别为AB、AC

的中点,平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分,那么V1:V2＝ .

三、解答题.7

(21)有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12.求这四个数.

河北迁安一中

(23)如图,在三棱锥S-ABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC．DE垂直平分SC,且分别交AC、SC于D、E.又SA＝AB,SB＝BC.求以BD为棱,以BDE与BDC为面的二面角的度数.

(24)设a≥0,在复数集C中解方程z2+2│z│＝a.

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n≥2.

(Ⅰ)如果f(x)当x∈(-∞,1]时有意义,求a的取值范围; (Ⅱ)如果a∈(0,1],证明2f(x)

河北迁安一中

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1990年试题（理工农医类）答案

一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.

(1)A (2)B (3)D (4)C (5)C (6)B (7)A (8)D

(9)B

(10)D (11)C (12)B (13)B (14)C (15)D 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.

三、解答题.

(21)本小题考查等差数列、等比数列的概念和运用方程（组）解决问题的能力.

解法一:

①

由②式得 d=12-2a.

③

整理得 a2-13a+36=0

解得 a1=4,a2=9. 代入③式得 d1=4,d2=-6.

从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.

河北迁安一中解法二:设四个数依次为x,y,12-y,16-x ①

由①式得 x=3y-12. ③

将③式代入②式得 y(16-3y+12)=(12-y)2, 整理得 y2-13y+36=0. 解得 y1=4,y2=9. 代入③式得 x1=0,x2=15.

从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.

(22)本小题考查三角公式以及三角函数式的恒等变形和运算能力.

解法一:由已知得

解法二:如图,不妨设0≤α≤β＜2π,且点A的坐标是（cosα,

sinα）,点B的坐标是（cosβ,sinβ）,则点A,B在单位圆x2+y2=1上.连结

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连结OC,于是OC⊥AB,若设点D的坐标是（1,0）,再连结OA,OB,则有

解法三:由题设得 4(sinα+sinβ)=3(cosα+cosβ).

将②式代入①式,可得 sin(α-)=sin(-β). 于是 α－＝(2k+1)π-(-β)(k∈Z), 或 α-=2kπ+(-β)(k∈Z).

若 α-=(2k+1)π-(-β)(k∈Z),则α＝β＋(2k+1)π(k∈Z).于是 sinα=-sinβ,即sinα+sinβ=0.

河北迁安一中

由此可知 α-=2kπ+(-β)(k∈Z), 即 α＋β＝2+2kπ(k∈Z).

所以

(23)本小题考查直线和平面,直线和直线的位置关系,二面角等基本知识,以及逻辑推理能力和空间想象能力.

解法一:由于SB＝BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE.

又已知 SC⊥DE,BE∩DE＝E, ∴SC⊥面BDE, ∴SC⊥BD.

又 ∵SA⊥底面ABC,BD在底面ABC上, ∴SA⊥BD.

而SC∩SA＝S,∴BD⊥面SAC.

∵DE＝面SAC∩面BDE,DC＝面SAC∩面BDC, ∴BD⊥DE,BD⊥DC.

∴∠EDC是所求的二面角的平面角. ∵SA⊥底面ABC,∴SA⊥AB,SA⊥AC. 设SA＝a,

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又因为AB⊥BC,

∴∠ACS＝30°.

又已知DE⊥SC,所以∠EDC＝60°,即所求的二面角等于60°.

解法二:由于SB＝BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE.

又已知SC⊥DE,BE∩DE＝E∴SC⊥面BDE, ∴SC⊥BD.

由于SA⊥底面ABC,且A是垂足,所以AC是SC在平面ABC上的射影.由三垂线定理的逆定理得BD⊥AC;又因E∈SC,AC是SC在平面ABC上的射影,所以E在平面ABC上的射影在AC上,由于D∈AC,所以DE在平面 ABC上的射影也在AC上,根据三垂线定理又得BD⊥DE. ∵DE面BDE,DC面BDC,

∴∠EDC是所求的二面角的平面角. 以下同解法一.

(24)本小题考查复数与解方程等基本知识以及综合分析能力. 解法一:设z＝x+yi,代入原方程得

河北迁安一中

于是原方程等价于方程组

由②式得y=0或x=0.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数.下面分别加以讨论.

情形1.若y=0,即求原方程的实数解z=x.此时,①式化为 x2+2│x│=a. ③

(Ⅰ)令x>0,方程③变为x2＋2x=a. ④

.

由此可知:当a=0时,方程④无正根;

(Ⅱ)令x<0,方程③变为x2-2x=a. ⑤

.

由此可知:当a=0时,方程⑤无负根; 当a>0时,方程⑤有负根

x=1-.

(Ⅲ)令x=0,方程③变为0=a.

由此可知:当a=0时,方程⑥有零解x=0; 当a>0时,方程⑥无零解. 所以,原方程的实数解是: 当a=0时,z=0;

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.

情形2.若x=0,由于y=0的情形前已讨论,现在只需考查y≠0的情形,即求原方程的纯虚数解z=yi(y≠0).此时,①式化为 -y2+2│y│=a. ⑦

(Ⅰ)令y>0,方程⑦变为-y2+2y=a,即(y-1)2=1-a. ⑧ 由此可知:当a>1时,方程⑧无实根. 当a≤1时解方程⑧得

y=1±

,

从而, 当a=0时,方程⑧有正根 y=2;

当0

.

(Ⅱ)令y<0,方程⑦变为-y2-2y=a,即 (y+1)2=1-a. ⑨ 由此可知:当a>1时,方程⑨无实根.

当a≤1时解方程⑨得

y=-1±

,

从而,当a=0时,方程⑨有负根 y=-2; 当0

所以,原方程的纯虚数解是: 当a=0时,z=±2i; 当0

z=±(1+

)i,z=±(1-)i. 而当a>1时,原方程无纯虚数解.

解法二:设z=x+yi代入原方程得

于是原方程等价于方程组

河北迁安一中由②式得y=0或x=0.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数.下面分别加以讨论.

情形1.若y=0,即求原方程的实数解z=x.此时,①式化为 x2+2│x│=a.

即 | x |2+2│x│=a. ③ 解方程③得

,

所以,原方程的实数解是

.

情形2.若x=0,由于y=0的情形前已讨论,现在只需考查y≠0的情形,即求原方程的纯虚数解z=yi(y≠0).此时,①式化为 -y2+2│y│=a.

即 -│y│2 +2│y│=a. ④

当a=0时,因y≠0,解方程④得│y│=2, 即当a=0时,原方程的纯虚数解是z=±2i. 当0

,

即当0

.

而当a>1时,方程④无实根,所以这时原方程无纯虚数解.

解法三:因为z2=-2│z│+a是实数,所以若原方程有解,则其 解或为实数,或为纯虚数,即z=x或z=yi(y≠0).

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情形1.若z=x.以下同解法一或解法二中的情形1.

情形2.若z=yi(y≠0).以下同解法一或解法二中的情形2.

解法四:设z=r(cosθ+isinθ),其中r≥0,0≤θ<2π.代入原方程得 r2cos2θ＋2r+ir2sin2θ＝a. 于是原方程等价于方程组

情形1.若r=0.①式变成 0=a. ③

由此可知:当a=0时,r=0是方程③的解. 当a>0时,方程③无解.

所以, 当a=0时,原方程有解z=0; 当a>0时,原方程无零解.

考查r>0的情形.

(Ⅰ)当k=0,2时,对应的复数是z=±r.因cos2θ=1,故①式化为 r2+2r=a. ④

.

由此可知:当a=0时,方程④无正根; 当a>0时,方程④有正根 .

所以,当a>0时,原方程有解

.

河北迁安一中(Ⅱ)当k=1,3时,对应的复数是z=±ri.因cos2θ=-1,故①式化为 -r2+2r=a,即(r-1)2=1-a, ⑤

由此可知:当a>1时,方程⑤无实根,从而无正根;

.

从而, 当a=0时,方程⑤有正根 r=2;

.

所以, 当a=0时,原方程有解z=±2i; 当0

当a>1时,原方程无纯虚数解.

(25)本小题考查椭圆的性质,距离公式,最大值知识以及分析问题的能力. 解法一:根据题设条件,可取椭圆的参数方程是

其中a>b>0待定,0≤θ<2π.

设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,则

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大值,由题设得

,

因此必有

, 由此可得 b=1,a=2. 所求椭圆的参数方程是

河北迁安一中.

解法二:设所求椭圆的直角坐标方程是

其中a>b>0待定.

,

设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,则

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其中

-byb.

由此得

,

由此可得 b=1,a=2.

所求椭圆的直角坐标方程是

河北迁安一中

(26)本题考查对数函数,指数函数,数学归纳法,不等式的知识以及综合运用有关知识解决问题的能力.

(Ⅰ)解:f(x)当x∈(-∞,1]时有意义的条件是 1+2x+?(n-1)x+nxa>0 x∈(-∞,1],n≥2,

上都是增函数,

在(-∞,1]上也是增函数,从而它在x=1时取得最大值

也就是a的取值范围为

(Ⅱ)证法一:2f(x)

[1+2x+?+(n-1)x+nxa]2

现用数学归纳法证明②式.

（A）先证明当n=2时②式成立. 假如0

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(1+2xa)2=1+222xa+22xa2≤2(1+22x)<2(1+22xa). 假如a=1,x≠0,因为1≠2x,所以

因而当n=2时②式成立.

（B）假如当n=k(k≥2)时②式成立,即有

[1+2x+?+(k-1)x+kxa]2

=(1+2x+?+kx)2+2(1+2x+?+kx)(k+1)xa+(k+1)2xa2

+k2x)+{[1+(k+1)2xa2]+[22x+(k+1)2xa2]+?

+[k2x+(k+1)2xa2]}+(k+1)2xa2]

其中等号当且仅当a1=a2=?=an时成立.

利用上面结果知,当a=1,x≠0时,因1≠2x,所以有 [1+2x+?+(n-1)x+nx]2≤n[1+22x+?+(n-1)2x+n2xa2]

=(k+1)[1+22x+?+k2x+(k+1)2xa2] ≤(k+1)[1+22x+?+k2x+(k+1)2xa], 这就是说,当n=k+1时②式也成立.

根据(A),(B)可知,②式对任何n≥2(n∈N)都成立.即有 2f(x)

因为

河北迁安一中

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1991年试题高考数学试题全国卷

(理工农医类)

一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.把所选项前的字母填在题后括号内.

【 】

(2)焦点在(-1,0),顶点在(1,0)的抛物线方程是 (A)y2=8(x+1) (B)y2=-8(x+1)

(C)y2=8(x-1) (D)y2=-8(x-1) 【 】 (3)函数y=cos4x-sin4x的最小正周期是

【 】

(4)如果把两条异面直线看成“一对”,那么六棱锥的棱所在的12条直线中,异面直线共有

(A)12对 (B)24对 (C)36对 (D)48对 【 】

【 】

(6)如果三棱锥S-ABC的底面是不等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等,且顶点S在底面的射影O在△ABC内,那么O是△ABC的 (A)垂心 (B)重心 (C)外心 (D)内心 【 】

河北迁安一中(7)已知{an}是等比数列,且an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么a3+a5的值等于 (A)5 (B)10 (C)15 (D)20 【 】

(A)(0,0),(6,π) (B)(-3,0),(3,0)

(C)(0,0),(3,0) (D)(0,0),(6,0) 【 】

(9)从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少要有甲型与乙型电视机各1台,则不同的取法共有

(A)140种 (B)84种 (C)70种 (D)35种 【 】

(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

【 】

(11)设甲、乙、丙是三个命题.如果甲是乙的必要条件;丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件,那么

(A)丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件 (B)丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件 (C)丙是甲的充要条件

(D)丙不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件 【 】

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【 】

(13)如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值为5,那么f(x)在区间[-7,-3]上是

(A)增函数且最小值为－5 (B)增函数且最大值为－5

(C)减函数且最小值为－5 (D)减函数且最大值为－5 【 】

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(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 【 】

(15)设全集为R,f(x)=sinx,g(x)=cosx,M={x│f(x)≠0},N={x│g(x)≠0},那么集合{x│f(x)g(x)=0}等于

【 】

二、填空题:把答案填在题中横线上.

(18)已知正三棱台上底面边长为2,下底面边长为4,且侧棱与底面所成的角是45°,那么这个正三棱台的体积等于 .

(19)在(ax+1)7的展开式中,x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项,若实数a>1,那么a= .

(20)在球面上有四个点P、A、B、C,如果PA、PB、PC两两互相垂直,且PA＝PB＝PC＝a.那么这个球面的面积是 .

三、解答题.

(21)求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值,并写出使函数y取最小值的x的集合.

河北迁安一中

(23)已知ABCD是边长为4的正方形,E、F分别是AB、AD的中点,GC垂直于ABCD所在的平面,且GC＝2.求点B到平面EFG的距离.

(24)根据函数单调性的定义,证明函数f(x)=-x3+1在(-∞,+∞)上是减函数.

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(25)已知n为自然数,实数a>1,解关于x的不等式

河北迁安一中

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1991年试题（理工农医类）答案

一、选择题:本题考查基本知识和基本运算. 常规卷和A型卷答案

(1)A (2)D (3)B (4)B (5)A (6)D (7)A (8)D (9)C (10)C (11)A (12)C (13)B (14)C (15)D 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.

三、解答题.

(21)本小题考查三角形函数式的恒等变形及三角函数的性质. 解:y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x =(sin2x+cos2x)+

2sinxcosx+2cos2x =1+sin2x+(1+cos2x) =2+sin2x+cos2x

(22)本小题考查复数基本概念和运算能力.

河北迁安一中

(23)本小题考查直线与直线,直线与平面,平面与平面的位置关系,以及逻辑推理和空间想象能力.

解:如图,连结EG、FG、EF、BD、AC.EF、BD分别交AC于H、O. 因为ABCD是正方形,E、F分别为AB和AD的中点,故EF∥BD,H为AO的中点.

BD不在平面EFG上.否则,平面EFG和平面ABCD重合,从而点G在平面的ABCD上,与题设矛盾.

由直线和平面平行的判定定理知BD∥平面EFG,

所以BD和平面EFG的距离就是点B到平面EFG的距离.

∵BD⊥AC, ∴EF⊥HC.

∵GC⊥平面ABCD, ∴EF⊥GC,

∴EF⊥平面HCG.

∴平面EFG⊥平面HCG,HG是这两个垂直平面的交线.

作OK⊥HG交HG于点K,由两平面垂直的性质定理知OK⊥平面EFG,所以线段OK的长就是点B到平面EFG的距离.

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注:未证明“BD不在平面EFG上”不扣分.

(24)本小题考查函数单调性的概念,不等式的证明,以及逻辑推理能力. 证法一:在(-∞,+∞)上任取x1,x2,且x1

∵x1

所以,函数f(x)=-x

3+1在(-∞,+∞)上是减函数. 证法二:在(-∞,+∞)上任取x1,x2,且x1

∵ x1

∵ x1,x2不同时为零,

河北迁安一中

即 f(x2)

所以,函数f(x)=-x3+1在(-∞,+∞)上是减函数.

(25)本小题考查对数、数列、解不等式基本知识,以及分析问题的能力.解:利用对数换底公式,原不等式左端化为

因为a>1,②式等价于

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logax1,②式等价于 河北迁安一中(26)本小题考查双曲线性质,两点距离公式,两直线垂直条件,代数二次方程等基本知识,以及综合分析能力.

依题意知,点P,Q的坐标满足方程组

将②式代入①式,整理得

(5b2-3a2)x2+6a2cx-(3a2c2+5a2b2)=0. ③

因为

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根据根与系数的关系,有

整理得3c(x1+x2)-8x1x2-3c2=0. ⑥

将④,⑤式及c2=a2+b2代入⑥式,并整理得 3a4+8a2b2-3b4=0, (a2+3b2)(3a2-b2)=0.

因为 a2+3b2≠0,解得b2=3a2,

整理得(x1+x2)2-4x1x2-10=0. ⑦

将④,⑤式及b2=3a2,c=2a代入⑦式,解得a2=1.

河北迁安一中将a2 =1代入b2=3a2 得 b2=3.

解法二:④式以上同解法一.

将④式及c2=a2+b2代入⑤式并整理得 3a4+8a2b2-3b4=0, 即 (a2+3b2)(3a2-b2)=0. 因a2+3b2≠0,解得b2=3a2.

即 (x2-x1)2=10. ⑥

将④式代入⑥式并整理得 (5b2-3a2)2-16a2b4=0.

将b2=3a2代入上式,得a2=1, 将a2=1代入b2=3a2得b2=3. 故所求双曲线方程为

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1992年试题高考数学试题全国卷

(理工农医类)

一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.把所选项前的字母填在题后的括号内.

【 】

(2)如果函数y=sin(ωx)cos(ωx)的最小正周期是4π,那么常数ω为 【 】

(3)极坐标方程分别是ρ=cosθ和ρ=sinθ的两个圆的圆心距是

【 】

(4)方程sin4xcos5x=-cos4xsin5x的一个解是

(A)10°. (B)20°. (C)50°. (D)70° 【 】

(5)已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等,则圆柱的全面积与球的表面积的比是

(A)6:5. (B)5:4. (C)4:3. (D)3:2 【 】

个值,则相应于曲线c1、c2、c3、c4的n依次为

河北迁安一中

【 】

(7)若loga2(C)a>b>1 (D)b>a>1 【 】

(A)20°. (B)70°. (C)110°. (D)160° 【 】

(9)在四棱锥的四个侧面中,直角三角形最多可有

(A)1个. (B)2个. (C)3个. (D)4个. 【 】

(10)圆心在抛物线y2=2x上,且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是

【 】

(11)在(x2+3x+2)5的展开式中x的系数为

(A)160. (B)240. (C)360. (D)800. 【 】 (12)若0

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【 】

(13)已知直线l1和l2夹角的平分线为y=x,如果l1的方程是ax+by+c=0 (ab>0),那么l2的方程是

(A)bx+ay+c=0. (B)ax-by+c=0.

(C)bx+ay-c=0. (D)bx-ay+c=0. 【 】

(14)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M和N分别为A1B1和BB1的中点,那么直线AM与CN所成角的余弦值是

【 】

(15)已知复数z的模为2,则│z-i│的最大值为

【 】

(A)是奇函数,它在(0,+∞)上是减函数. (B)是偶函数,它在(0,+∞)上是减函数. (C)是奇函数,它在(0,+∞)上是增函数.

(D)是偶函数,它在(0,+∞)上是增函数. 【 】

(17)如果函数f(x)=x2+bx+c对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t),那么

河北迁安一中(A)f(2)

(C)f(2)

(18)长方体的全面积为11,十二条棱长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为

(C)5. (D)6. 【 】

二、填空题:把答案填在题中横线上.

(20)sin15°sin75°的值是 .

(21)设含有10个元素的集合的全部子集数为S,其中由3个元素组成的

(22)焦点为F1(-2,0)和F2(6,0),离心率为2的双曲线的方程是. (23)已知等差数列{an}的公差d≠0,且a1,a3,a9成等比数列,则

三、解答题:解答应写出文字说明、演算步骤.

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(26)已知:两条异面直线a、b所成的角为θ,它们的公垂线段AA1的长度为d.在直线a、b上分别取点E、F,设A1E=m,AF=n.

河北迁安一中(27)设等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a3=12,S12>0,S13<0. (Ⅰ)求公差d的取值范围.

(Ⅱ)指出S1,S2,?,S12中哪一个值最大,并说明理由.

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1992年试题(理工农医类)答案

一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.

(1)A (2)D (3)D (4)B (5)D (6)B (7)B (8)C (10)D (11)B (12)B (13)A (14)D (15)D (16)C (17)A 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.

三、解答案

(24)本小题考查复数相等的条件及解方程的知识. 解:设z=x+yi(x,y∈R). 将z=x+yi代入原方程,得 (x+yi)(x-yi)-3i(x-yi)=1+3i, 整理得

x2+y2-3y-3xi=1+3i.

根据复数相等的定义,得

由①得 x=-1.

将x=-1代入②式解得y=0,y=3. ∴z1=-1,z2=-1+3i.

(25)本小题主要考查三角函数和角公式等基础知识及运算能力. 解:由题设知α-β为第一象限的角,

由题设知α+β为第三象限的角,

(9)D (18)C 河北迁安一中

∴ sin2α=sin[(α-β)+(α+β)]

=sin(α-β)cos(α+β)+cos(α-β)sin(α+β)

(26)本小题考查空间图形的线面关系,空间想象能力和逻辑思维能力.

解法一:设经过b与a平行的平面为α,经过a和AA1的平面为β,α∩β=c,则c∥a.因而b,c所成的角等于θ,且AA1⊥c(如图).

∵ AA1⊥b, ∴ AA1⊥α.

根据两个平面垂直的判定定理,β⊥α.

在平面β内作EG⊥c,垂足为G,则EG=AA1.并且根据两个平面垂直的性质定理,EG⊥α.连结FG,则EG⊥FG.在Rt△EFG中,EF2=EG2+FG2. ∵ AG=m, ∴在△AFG中,

FG2=m2+n2-2mncosθ. ∵ EG2=d2,

∴ EF2=d2+m2+n2-2mncosθ.

如果点F(或E)在点A(或A1)的另一侧,则 EF2=d2+m2+n2+2mncosθ.

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解法二:经过点A作直线c∥a,则c、b所成的角等于θ,且AA1⊥c. 根据直线和平面垂直的判定定理,AA1垂直于b、c所确定的平面?. 在两平行直线a、c所确定的平面内,作EG⊥c,垂足为G,则EG平行且等于AA1, 从而EG⊥α.

连结FG,则根据直线和平面垂直的定义,EG⊥FG. 在Rt△EFG中,EF2=EG2+FG2. (以下同解法一)

(27)本小题考查数列、不等式及综合运用有关知识解决问题的能力. (Ⅰ)解:依题意,有

由a3=12,得 a1=12-2d. ③

将③式分别代①、②入,得

(Ⅱ)解法一:由d<0可知 a1>a2>a3>?>a12>a13.

因此,若1≤n≤12在中存在自然数n,使得an>0,an+1<0, 则Sn就是S1,S2,?,S12中的最大值. 由于 S12=6(a6+a7)>0,

河北迁安一中S13=13a7<0, 即 a6+a7>0, a7<0.

由此得 a6>-a7>0. 因为 a6>0,a7<0,

故在S1,S2,?,S12中S6的值最大. (Ⅱ)解法二:

∵ d<0,

∴ S6最大. (Ⅱ)解法三:

由d<0可知 a1>a2>a3>?>a12>a13.

因此,若在1≤n≤12中存在自然数n,使得an>0,an+1<0, 则Sn就是S1,S2,?,S12中的最大值.

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故在S1,S2,?,S12中S6的值最大.

(28)本小题考查椭圆性质、直线方程等知识,以及综合分析能力.

证法一:设A、B的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2).因线段AB的垂直平分线与x轴相交,故AB不平行于y轴,即x1≠x2.又交点为P(x0,0),故 │PA│=│PB│,即

∵ A、B在椭圆上,

将上式代入①,得

∵ x1≠x2,可得

河北迁安一中

∵ -a≤x1≤a,-a≤x2≤a,且x1≠x2, ∴ -2a

证法二:设A、B的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2).因P(x0,0)在AB的垂直平分线上,以点P为圆心,│PA│=r为半径的圆P过A、B两点,圆P的方程为 (x-x0)2+y2=r2,

与椭圆方程联立,消去y得

因A、B是椭圆与圆P的交点,故x1,x2为方程①的两个根.由韦达定理得

因-a≤x1≤a,-a≤x2≤a,且x1≠x2,故

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1993年试题高考数学试题全国卷

(理工农医类)

一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.把所选项前的字母填在题后括号内.

(1)如果双曲线的实半轴长为2,焦距为6,那么该双曲线的离心率为

(C)既无最大值也无最小值

(D)有最大值1,但无最小值 【 】

【 】

【 】

(A)45° (B)60° (C)90° (D)120° 【 】

(A)1 (B)-1 (C)i (D)-i 【 】 (5)直线bx+ay=ab(a<0,b<0)的倾斜角是

【 】

(6)在直角三角形中两锐角为A和B,则sinAsinB

河北迁安一中

(7)在各项均为正数的等比数列{an}中,若a5a6=9,则log3a1+log3a2+?+log3a10= (A)12 (B)10 (C)8 (D)2+log35 【 】

(A)是奇函数 (B)是偶函数

(C)可能是奇函数也可能是偶函数

(D)不是奇函数也不是偶函数 【 】

(A)线段 (B)双曲线的一支 (C)圆弧 (D)射线 【 】

(10)若a、b是任意实数,且a>b,则

【 】

(11)已知集合E={θ│cosθ

【 】

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(12)一动圆与两圆:x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切,则动圆圆心的轨迹为 (A)抛物线 (B)圆

(C)双曲线的一支 (D)椭圆 【 】

(20)在半径为30m的圆形广场中央上空,设置一个照明光源,射向地面的光呈圆锥形,且其轴截面顶角为120°.若要光源恰好照亮整个广场,则其高度应为 m(精确到0.1m).

(21)在50件产品中有4件是次品,从中任意抽出5件,至少有3件是次品的抽法共

(A)三棱锥 (B)四棱锥

(C)五棱锥 (D)六棱锥 【 】

(14)如果圆柱轴截面的周长l为定值,那么圆柱体积的最大值是 【 】

(A)50项 (B)17项

(C)16项 (D)15项 【 】

(16)设a,b,c都是正数,且3a=4b=6c,那么

【 】

(17)同室四人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,则四张贺年卡不同的分配方式有 (A)6种 (B)9种 (C)11种 (D)23种 【 】

(18)已知异面直线a与b所成的角为50°,P为空间一定点,则过点P且与a,b所成的角都是30°的直线有且仅有

(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条 【 】 二、填空题:把答案填在题中横线上.

河北迁安一中

种(用数字作答).

(22)建造一个容积为8m3,深为2m的长方体无盖水池.如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元,那么水池的最低总造价为 元. (23)设f(x)=4x-2x+1,则f-1(0)= .

三、解答题:解答应写出文字说明、演算步骤.

(26)如图,A1B1C1-ABC是直三棱柱,过点A1、B、C1的平面和平面ABC的交线记作l.

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(Ⅰ)判定直线A1C1和l的位置关系,并加以证明;

(Ⅱ)若A1A=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,求顶点到直线l的距离.

出以M,N为焦点且过点P的椭圆方程.

河北迁安一中

(29)已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根α,β.证明: (Ⅰ)如果│α│<2,│β│<2,那么2│α│<4+b且│b│<4; (Ⅱ)如果2│α│<4+b且│b│<4,那么│α│<2,│β│<2.

1993年试题(理工农医类)答案

一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.

(1)C (2)B (3)C (4)D (5)C (6)B (7)B (8)A (9)A

(10)D (11)A (12)C (13)D (14)A (15)B (16)B (17)B (18)B 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.

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(19)2 (20)17.3 (21)4186

三、解答题.

(25)本小题考查对数函数的概念及性质,不等式的解法.

(26)本小题主要考查空间图形的线面关系、三棱柱的性质、空间想象能力和逻辑推理能力.

解:(Ⅰ)l∥A1C1.证明如下:

根据棱柱的定义知平面A1B1C1和平面ABC平行.

由题设知直线A1C1=平面A1B1C1∩平面A1BC1,直线l=平面A1BC1∩平面ABC. 根据两平面平行的性质定理有l∥A1C1.

河北迁安一中

(Ⅱ)解法一:

过点A1作A1E⊥l于E,则A1E的长为点A1到l的距离. 连结AE.由直棱柱的定义知A1A⊥平面ABC. ∴ 直线AE是直线A1E在平面ABC上的射影. 又 l在平面ABC上,根据三垂线定理的逆定理有 AE⊥l.

由棱柱的定义知A1C1∥AC,又l∥A1C1, ∵ l∥AC.

作BD⊥AC于D,则BD是Rt△ABC斜边AC上的高,且BD=AE,

在Rt△A1AE中,

∵ A1A=1,∠A1AE=90°,

解法二:

同解法一得l∥AC.

由平行直线的性质定理知∠CAB=∠ABE,从而有Rt△ABC∽Rt△BEA,AE:BC=AB:AC,

以下同解法一.

(27)本小题主要考查坐标系、椭圆的概念和性质、直线方程以及综合应用的能力.

解法一:建立直角坐标系如图:以MN所在直线为x轴,线段MN的垂直平分线为y轴.

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(c,0)和(x0,y0).

∵ tgα=tg(π-∠N)=2, ∴ 由题设知

解法二:

河北迁安一中

(28)本小题考查复数的基本概念和运算,三角函数式的恒等变形及综合解题能力.

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(29)本小题考查一元二次方程根与系数的关系,绝对值不等式的性质和证明;逻辑推理能力和分析问题、解决问题的能力. 证法一:

依题设,二次方程有两个实根α,β,所以判别式 △=a2-4b≥0.

平方得 a2-4b<16-8a+a2,a2-4b<16+8a+a2, 由此得 -4(4+b)<8a<4(4+b), ∴2│a│<4+b.

(Ⅱ)∵2│a│<4+b,│b│<4,

河北迁安一中

4±a>0;

且 △=a2-4b

∴ -2<α≤β<2,

得 │α│<2,│β│<2. 证法二:

(Ⅰ)根据韦达定理│b│=│αβ│<4.

因为二次函数f(x)=x2+ax+b开口向上,│α│<2,│β│<2. 故必有f(±2)>0,

即4+2a+b>0,2a>-(4+b); 4-2a+b>0,2a<4+b. ∴2│a│<4+b.

(Ⅱ)由2│a│<4+b得4+2a+b>0即22+2a+b>0,f(2)>0. ① 及4-2a+b>0即(-2)2+(-2)a+b>0,f(-2)>0. ②

由此可知f(x)=0的每个实根或者在区间(-2,2)之内或者在(-2,2)之外.若两根α,β均落在(-2,2)之外,则与│b│=│αβ│<4矛盾.

若α(或β)落在(-2,2)外,则由于│b│=│αβ│<4,另一个根β(或α)必须落在(-2,2)内,则与①、②式矛盾. 综上所述α,β均落在(-2,2)内. ∴│α│<2,│β│<2.

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1994年普通高等学校招生全国统一考试 数学

(理工农医类)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分,考试时间120分钟.

第Ⅰ卷(选择题共65分)

一、选择题:本大题共15小题;第(1)-(10)题每小题4分,第(11)-(15)题每小题5分,共65分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)设全集I={0,1,2,3,4},集合A={0,1,2,3},集合B={2,3,4},则

(A){0} (B){0,1} (C){0,1,4} (D){0,1,2,3,4} 【 】

(2)如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是 (A)(0,+∞) (B)(0,2) (C)(1,+∞) (D)(0,1) 【 】

(A)双曲线 (B)椭圆 (C)抛物线 (D)圆 【 】 (4)设θ是第二象限的角,则必有

【 】

(5)某种细菌在培养过程中,每20分钟分裂一次(一个分裂为两个).经过3小时,这种细菌由1个可繁殖成

(A)511个 (B)512个 (C)1023个 (D)1024个 【 】

(A)y=sin2x+cos4x (B)y=sin2xcos4x

河北迁安一中(C)y=sin2x+cos2x (D)y=sin2xcos2x【 】

(7)已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4,高为2,则其体积为

【 】

∠F1PF2=90°,则△F1PF2的面积是

【 】

(9)如果复数z满足│z+i│+│z-i│=2,那么│z+i+1│的最小值是

【 】

(10)有甲、乙、丙三项任务,甲需2人承担,乙、丙各需1人承担.从10人中选派4人承担这三项任务,不同的选法共有

(A)1260种 (B)2025种 (C)2520种 (D)5040种【 】 (11)对于直线m、n和平面α、β,α⊥β的一个充分条件是

【 】

【 】

(13)已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且AB=BC=CA=2,则球面面积是

【 】

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ser3.html