南县2010年初中数学竞赛试卷(复赛)

南县2010年初中数学竞赛试卷(复赛)

2010年初中数学竞赛试卷（复赛）

时量：120分钟 满分：120分

注意：第Ⅰ卷的答案要填入第II卷相应位置，考试中学生不能使用计算器进行计算．

第 Ⅰ 卷

一、选择题（每题5分，共30分，每题的四个选项中只有一个正确答案） 1．若a是一个无理数，且a,b满足ab a b 1 0，则b为（ ）

A．正有理数 B．负有理数 C．正无理数 D．负无理数

2．若a,b都是正数，且满足12345 (111 a)(111 b)，则a与b的大小关系是（ A．a b B．a b C．a b D．不能确定 3．如图1，正方形ABCD的边长为1，M是AB的中点，

D

则图中△COM的面积为（ ） A．1 B．1 C．1 D．14

5

6

12

图14．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点 a,b ，若规定以下三种变换：

①f a,b a,b ，如f 1,3 1,3 ； ②g a,b b,a ，如g 1,3 3,1 ； ③h a,b a, b ，如h 1,3 1, 3 ．

按照以上变换有：f g(2, 3 f 3,2 3,2 ，那么f h(5, 3) 等于（ ）A． 5, 3 B． 5,3 C． 5, 3 D． 5,3 5．已知a b 0,a2

b2

4ab，则

a ba b

的值为（ ）

A

． B

C

D

6

．已知

）

A．a 1 B．a 1a

a

C．1 a D． 1a

a

a

）

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二、填空题（每题5分，共30分）

7．已知某中学七年级和八年级的学生人数相等，九年级的学生人数是八年级学生人数的

45

，七年级的男生人数与八年级的女生人数相等，九年级的男生人数占三个年级男生

14

人数的，那么三个年级的男生与女生人数之比为__________．

a 4

2

8．若分式

1

1 3a2a

没有意义，则a的值是_______．

9．我国古代数学家赵爽用四个全等的直角三角形拼出如图2所示

的一个大正方形和一个小正方形，并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代的数学成就，是我国古代数学的骄傲．假设直角三角形斜边的长为13，直角三角形的面积为30，那么图中小正方形的边长为_______．

ab

图2

10．如图3，在△ABC中，∠C=90°，AC=CD=BD，DE⊥AB于E，设AE=a，BE=b，

则

C

=_______．

D

图3

11．如图4，小正方形的边长为1，连结小正方形的三个顶点，可得到△ABC，则△ABC

中AC边上的高为_________．

图4

C

12．有n枚棋子放成一堆，甲乙两人轮流取走1或2枚棋子，谁拿到最后一枚谁就获胜，

在正确的获胜策略下，先取者获胜的概率是_______．

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请将第Ⅰ卷的答案填入下面相应位置： 一、选择题答案（每小题6分，共36分）

二、填空题答案（每小题6分，共24分）

7．_______________ 8．_______________ 9．_______________

10．_______________ 11．_______________ 12．_______________

第 Ⅱ 卷

三、解答题（每题15分，共60分） 13． 已知

aba b

1

3b c

,

bc

1

4c a

,

ca

15

，求

abcab bc ca

的值

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14．已知a、b是关于x的一元二次方程x2 (m 2)x 1 0的两个实数根，

)(1 mb b2)的值． 求(1 ma a2

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15．如图5，已知⊙O的半径为R，AD是⊙O的的直径，AB、CD分别与圆相切于A、D，

E为⊙O上任意一点（不与A、D重合），过E点作⊙O的切线交AB、DC于B、C， 求证：AB CD为定值． A图5

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16．如图6，已知直线l的解析式为y

12

x 1交坐标轴于A、B两点，以线段AB为边

向上作正方形ABCD，过点A、D、C的抛物线与直线l的另一个交点为E． （1）求出A、B、C、D的坐标 （2）确定抛物线的解析式；

（3）若正方形沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止，此时抛物线与正方

形同移动同停止．求抛物线上C、E两点间的抛物线弧在移动中所扫过的面积．

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