03惠更斯的《机遇的规律》

3. 惠更斯的《机遇的规律》

惠更斯是一个有多方面成就的、在当时声名与牛顿相若的大科学家。人们熟知他的贡献之一是单摆周期公式T?2?l/g。他在概率论的早期发展史上也占有重要地位，其主要著作《机遇的规律》出版于1657年，出版后得到学术界的高度重视，在欧洲作为概率论的标准教本长达50年之久。

该著作的写作方式不大像一本书，而更像一篇论文。他从关于公平赌博(fair game)的值的一条公理出发，推出关于“期望”（这是他首先引进的术语）的3条定理。基于这些定理并利用递推法等工具，惠更斯解决了当时感兴趣的一些机遇博弈问题。最后，他提出了5个问题，对其中的3个给出了答案但未加证明。

3条定理加11个问题，被称为惠更斯的14个命题。前3条如下述：

命题1 若某人在赌博中以等概率1/2得a、b元，则其期望为(a?b)/2元。 命题2 若某人在赌博中以等概率1/3得a、b和c元，则其期望为(a?b?c)/3元。 命题3 若某人在赌博中以概率p,q(p?q?1)得a、b元，则其期望为pa?qb元。 看了这些命题，现代的读者或许会感到惶惑：为何一个应取为定义的东西，要当作需要证明的定理? 答案在于，这反映了当时对纯科学的一种公认的处理方法，即应从尽可能少的“第一原理”（first principle，即公理）出发，把其他内容推演出来。惠更斯只从一条公理出发而导出上述命题，其推理颇为别致，此处不细述。

这几个命题是期望概念的一般化。此前涉及或隐含这一概念只是相当于命题3中b?0的特例，即注金乘取胜概率，因而本质上没有超出概率这个概念的范围。惠更斯的命题将其一般化，使这个重要概念定型的决定性的一步。实际上，据惠更斯的命题不难证明：若某人在赌博中分别以概率

p1,?,pk(p1??pk?1)得a1,?,ak元，则其期望为

p1a1???pkak。这与现代概率论教科书中关于离散随机变量的期望的定义完全一致。

余下的11个命题及最后的5个问题，都是在形形色色的赌博取胜约定下，去计算各方取胜的概率，其中命题4～9是关于2人和多人的分赌本问题。对这些及其他问题，惠更斯都用了现行概率论教科书中初等概率计算方法，通过列出一定的方程求解，大体上与巴斯噶的做法相似。这种方法后来被伯努利称为“惠更斯的分析方法”。最后5个问题较难一些，其解法的技巧性也较强。现举其一为例：A、B二人约定按ABBAABBAABB?掷两颗骰子，即A先掷一次，然后从B开始轮流各掷两次。若A掷出和6点，则A胜；若B掷出和7点，则B胜。求A、B获胜的概率。

A在一次投掷时掷出和为6的概率pA?5/36，而B在一次投掷时掷出和为7的概率

pB?6/36?1/6。记qA?1?pA,qB?1?pB，又记ei为在第i?1次投掷完时A、B都

未取胜，在这一条件下A最终取胜的概率。利用全概率公式，并注意到约定的投掷次序，可以列出方程组：

e1?pA?qAe2,e2?qBe3,e3?qBe4,e4?pA?qAe1.

由此容易得出

2pA(1?qAqB)10355e1??22(1?qAqB)22631，

略小于1/2。故此赌法对A不利。

机遇博弈在概率概念的产生及其运算规则的建立中，起了主导的作用。这一点不应当使人感到奇怪：虽说机遇无时不在，但要精确到数量上去考虑，在几百年前那种科学水平之下，只有在像掷骰子这类很简单的情况下才有可能。但这门学科建立后，即脱离赌博的范围而找到了多方面的应用。这也是一个有趣的例子，表明一种看来无益的活动(如赌博），可以产生对人类文明极有价值的副产物。

把概率论由局限于对赌博机遇的讨论拓展出去的转折点和标志，应是1713年伯努利划时代著作《推测术》的出版，是在惠更斯的《机遇的规律》出版后56年。截至惠更斯这一

著作为止，内容基本上全限于掷骰子等赌博中出现各种情况的概率的计算，而伯努利这本著作不仅对以前的成果作了总结和发挥，更提出了“大数定律”这个无论从理论和应用角度看都有着根本重要性的命题，可以说其影响一直达到今日而不衰。其对数理统计学的发展也有不可估量的影响，许多统计方法和理论都是建立在大数定律的基础上。有的概率史家认为，这本著作的出版，标志着概率概念漫长的形成过程的终结于数学概率论的开端。

假定有一个事件A。根据某种理论，我们算出其概率为P(A)?p。这理论是否正确呢？一个检验的方法就是通过实际观察，看其结果与此论理论的推论——P(A)?p是否符合。或者，一开始我们根本就不知道P(A)等于多少，而希望通过实际观察去估计其值。这些包含了数理统计学中两类重要问题的形式——检验与估计。这个检验或估计概率p的问题，是数理统计学中最常见、最基本的两个问题。

要构造具体例子，最方便的做法是使用古典概率模型。拿一个缶子，里面装有大小、质地一样的球a?b个，其中白球a个，黑球b个。这时，随机从缶中抽出一球(意指各球有同等可能被抽出），则“抽出之球为白球”这事件A有概率p?a/(a?b)。如果不知道a、

b的比值，则p也不知道。但我们可以反复从此缶内抽球(每次抽出记下其颜色后再放回缸

中）。设抽了N次，发现白球出现XN次，则用XN/N去估计p。这个估计含有其程度不确定的误差，但我们直观上会觉得，抽取次数N愈大，误差一般会愈小。这一点如伯努利所说：“哪怕最愚笨的人，也会经由他的本能，不须他人的教诲而理解的”。但这个命题却无人能给出一个严格的理论证明。

伯努利决心着手解决这个问题，其结果导致了以他的名字命名的大数定律的发现。这个发现对概率论和数理统计学有极重大的意义。伯努利把这一研究成果写在他的著作《推测术》的第4部分中，是该著作的精华部分。由于该书在概率统计史上的重要意义，值得对伯努利其人及此书的整个面貌先作一点介绍。

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