2013-2014学年湖北荆门市高二上学期期末质量检测文数学试卷（带

2013-2014学年湖北荆门市高二上学期期末质量检测文数学试卷（带

解析）

一、选择题 1.在复平面内，复数

对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】 试题分析：复数第三象限，故选C. 考点：复数运算. 2.给出命题：“若是

，则

”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数

，所以复数

对应的点为（-3，-4）位于

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【解析】

试题分析：逆命题为：若否命题为：若逆否命题为：若

，则或

，则或，则

，是真命题；

，是真命题； ，是真命题．

考点：四种命题间的逆否关系. 3.已知命题p：A．B．C．D．【答案】B 【解析】

试题分析：已知命题是一个全称命题，由全称命题的否定形式，可知其否定是一个特称命题，把全称量词“?”改为存在量词“?”，然后把“(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0”改为“(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0”，即可得到该命题的否定形式为“?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0”，故选B. 考点：1.全称命题；2.命题的否定.

，则命题p的否定是

4.已知回归直线的斜率的估计值为A．B．C．D．【答案】C 【解析】

试题分析：设回归直线方程为

，样本点的中心为，则回归直线方程为

∵样本点的中心为（4，5），∴5=1.23×4+a ∴a=0.08∴回归直线方程为考点：线性回归方程．

5.如图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入

故选C．

A．P＝【答案】D 【解析】

B．P＝ C．P＝ D．P＝

试题分析：由题意以及程序框图可知，用模拟方法估计圆周率π的程序框图，M是圆周内的点的次数，当i大于1000时，圆周内的点的次数为4M，总试验次数为1000，所以要求的概率P＝

，所以空白框内应填入的表达式是P＝

．故选D.

考点：循环结构.

6.如下图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有n(n>l，n∈N)个点，相应的图案中总的点数记为，则

…

=

*

A． B． C． D．

【答案】B 【解析】

试题分析：每个边有n个点，把每个边的点数相加得3n，这样角上的点数被重复计算了一次，故第n个图形的点数为3n-3，即．令

…

=

，故选B．.

考点：1.归纳推理；2.数列的求和．.

7.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则

A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 C．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 【答案】B 【解析】 试题分析： 甲的成绩的方差为

；

，乙的成绩的方差为

，选.

考点：1.极差、方差与标准差；2.分布的意义和作用；3.众数、中位数、平均数．. 8.已知双曲线

准线上，则双曲线的方程为 A．

的一条渐近线方程是

,它的一个焦点在抛物线

的

B．C．D．【答案】A 【解析】

试题分析：依题意知，所以双曲线的方程为．.

考点：双曲线的标准方程．.

9.给定两个命题p，q，若﹁p是q的必要而不充分条件，则p是﹁q的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】

试题分析：∵?p是q的必要而不充分条件，∴q是?p的充分不必要条件，即q??p，但?p不能?q，其逆否命题为p??q，但?q不能?p，则p是?q的充分不必要条件．故选A. 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.

10.在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为

．给出如下四个结论： ①②③

④当且仅当“

； ；

； ”整数

属于同一“类”．

，即

，

其中，正确结论的个数为． A． B． C． D． 【答案】C

【解析】

试题分析：①∵2011÷5=402…1，∴2011∈[1]，故①对； ②∵-3=5×（-1）+2，∴对-3?[3]；故②错；

③∵整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，故Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故③对； ④∵整数a，b属于同一“类”，∴整数a，b被5除的余数相同，从而a-b被5除的余数为0，反之也成立，故“整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a-b∈[0]”．故④对． ∴正确结论的个数是3．故选C．. 考点：新定义. 二、填空题

1.把89化成二进制数为 . 【答案】【解析】

试题分析：89÷2=44…1 44÷2=22…0 22÷2=11…0 11÷2=5…1 5÷2=2…1 2÷2=1…0 1÷2=0…1 故

=

.

考点：进位制.

2.某中学高一年级有学生600人，高二年级有学生450人，高三年级有学生750人，每个学生被抽到的可能性均为0.2，若该校取一个容量为n的样本，则n= . 【答案】【解析】

试题分析：因为题中说每人被抽到的可能性都是0.2，则说明是简单随机抽样，每人机会均等，那把要抽的人数设为n，考点：分层抽样方法.

3.某人5次上班途中所花的时间（单位:分钟）分别为：x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则的值为 .

解出n=360.

【答案】4 【解析】

试题分析：由题意可得： x+y=20，

2

，

设x=10+t，y=10-t，则2t=8，解得t=±2， ∴|x-y|=2|t|=4，故选D.

考点：1.极差、方差与标准差；2.众数、中位数、平均数.

4.多选题是标准化考试的一种题型，一般是从A、B、C、D四个选项中选出所有正确的答案才算答对，在一次考试中有一道多选题，甲同学不会，他随机猜测，则他答对此题的概率为 . 【答案】【解析】

试题分析：这是因为猜对的概率更小，由概率公式可知，分子上的数还是1，因正确答案是唯一的，而分母上的数即基本事件的总数增多了，有(A)，(B)，(C)，(D)，(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，(A，B，C)，(A，B，D)，(A，C，D)，(B，C，D)，(A，B，C，D)共15个，所以所求概率为 考点：古典概型.

5.已知正三角形内切圆的半径与它的高的关系是：则正四面体内切球的半径与正四面体高的关系是 . 【答案】【解析】

试题分析：球心到正四面体一个面的距离即球的半径r，连接球心与正四面体的四个顶点．

,把这个结论推广到空间正四面体，

把正四面体分成四个高为r的三棱锥，所以一个面的面积，h为正四面体的高）故答案为：考点：类比推理.

.

，所以（其中S为正四面体

6.欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．已知铜钱是直径为4cm的圆面，中间有边长为1cm的正方形孔，若随机

向铜钱上滴一滴油（油滴不出边界），则油滴整体（油滴是直径为0.2cm的球）正好落入孔中的概率是 (不作近似计算) . 【答案】【解析】

试题分析：∵铜钱的面积积

∴

，能够滴入油的图形为边长为

故答案为：

故选D．.

的正方形，面

考点：几何概型．. 7.设

分别是双曲线C:（为原点），且

【答案】【解析】 试题分析：

.

考点：双曲线的简单性质. 三、解答题

1.为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下列表： 男生 女生 合计 喜爱打篮球 10 不喜爱打篮球 5 合计 50 ,设

，则

，

，

，

的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点，使，则双曲线的离心率为 .

已知在全部50人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为． （1）请将上表补充完整(不用写计算过程)；

（2）能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理 由；下面的临界值表供参考：

(参考公式：

0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 ，其中

)

【答案】（1）详见解析；（2）在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为喜爱打篮球与性别有关. 【解析】

试题分析：（1）根据在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为，可得喜爱打篮球的学生，即可得到列联表；

（2）利用公式求得K，与临界值比较，即可得到结论. 试题解析：列联表补充如下： 3分 男生 女生 合计 喜爱打篮球 20 10 30 不喜爱打篮球 5 15 20 合计 25 25 50 2

（2）∵

∴在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为喜爱打篮球与性别有关. 12分 考点：独立性检验．.

2.某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin13°＋cos17°-sin13°cos17°； ②sin15°＋cos15°-sin15°cos15°； ③sin18°＋cos12°-sin18°cos12°； ④sin(-18°)＋cos48°-sin(-18°)cos48°； ⑤sin(-25°)＋cos55°-sin(-25°)cos55°.

(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；

(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 【答案】（1）；（2）详见解析. 【解析】

试题分析：（Ⅰ）选择（2），由sin15°+cos15°-sin15°cos15°=1-sin30°=，可得这个常数的值．

（Ⅱ）推广，得到三角恒等式sinα+cos（30°-α）-sinαcos（30°-α）=． 证明方法一：直接利用两角差的余弦公式代入等式的左边，化简可得结果． 证明方法二：利用半角公式及两角差的余弦公式把要求的式子化为

，

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

即

试题解析：法一：(1)选择②式，计算如下：

，化简可得结果.

4分

(2)三角恒等式为证明如下：

6分

12分

法二：(1)同法一． (2)三角恒等式为证明如下：

.

考点：1.分析法和综合法；2.归纳推理．. 3.在平面直角坐标系

中，动点

满足：点到定点

与到轴的距离之差为.

记动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的轨迹方程；

（2）过点的直线交曲线于、两点，过点和原点的直线交直线直线

平行于轴.

；（2）详见解析.

于点，求证：

【答案】（1）【解析】

试题分析：（1）由点到定点与到轴的距离之差为可得

；

，即

，化简可得轨迹方程为

（2）方法一：设

，求出直线

，直线

的方程为直线

的方程为 点的坐标为

，联立 得

利用斜率可得

平行于轴； ，则

的方程为

点的纵坐标为

，

方法二：设的坐标为

直线的方程为

平行于轴得证.

点的纵坐标为所以轴；当时，

结论也成立，直线.

试题解析：（1）依题意：

6分

注：或直接用定义求解. （2）设

，直线

2分

4分

的方程为

由 得 8分

直线

的方程为

点的坐标为

10分

直线

平行于轴. 13分

，则，

的方程为

方法二：设的坐标为点的纵坐标为

直线的方程为

点的纵坐标为

轴；当直线

.

时，结论也成立，

平行于轴.

考点：1.直线与圆锥曲线的综合问题；2.轨迹方程；3.抛物线的标准方程.

4.从某校高二年级名男生中随机抽取名学生测量其身高，据测量被测学生的身高全部在

到之间．将测量结果按如下方式分成组：第一组，第二组， ，第八组，如下右图是按上述分组得到的频率分布直方图的一部分．已知第一组与第八组的人数相同，第六组、第七组和第八组的人数依次成等差数列． 频率分布表如下： 分组 频数 频率 频率/组距

频率分布直方图如下：

（1）求频率分布表中所标字母的值，并补充完成频率分布直方图；

（2）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取名男生，记他们的身高分别为,求满足:的事件的概率． 【答案】（1）详见解析；（2）【解析】

试题分析：（1）由频率和为1，及题设条件得出样本中6、7组的人数为7人，由已知：x+m=7，x，m，2成等差数列，故可求得答案．

（2） 从身高属于第6组和第8组的所有男生中随机的抽取2名男生，记他们的身高分别为x、y，求满足：|x-y|≤5事件的概率，这是一个古典概率模型的问题．用列举法列出基本事件的个数与事件工包含的基本事件数，用古典概率模型的公式求概率．.

.

试题解析：(1) 由频率分布直方图得前五组的频率是

，

第组的频率是，所以第组的频率是人．由已知得： ①

成等差数列，

由①②得：

，所以

②

4分 ，所以样本中第

组的总人数为

频率分布直方图如下图所示：

6分

（2）由（1）知，身高在

若若若

，则有，则有，

内的有人，设为，身高在内的有人，设为

共种情况；

共种情况； 或

，

，则有

共种情况

∴基本事件总数为

，而事件 “

”所包含的基本事件数为

,故

. 14分

考点：1.频率分布直方图；2.等可能事件的概率．. 5.已知△

．

的两个顶点

的坐标分别是

，

，且

所在直线的斜率之积等于

（1）求顶点的轨迹的方程，并判断轨迹为何种圆锥曲线； （2）当

时，过点

的直线交曲线于

两点，设点关于轴的对称点为

(不重合)， 试问：直线理由.

与轴的交点是否是定点？若是，求出定点，若不是，请说明

.

【答案】（1）详见解析；（2）【解析】

试题分析：（1）设出顶点C的坐标，由AC，BC所在直线的斜率之积等于m（m≠0）列式整理得到顶点C的轨迹E的方程，然后分m的不同取值范围判断轨迹E为何种圆锥曲线；

（2）把代入E得轨迹方程，由题意设出直线l的方程，和椭圆方程联立后利用根与系

数关系求出M，N两点的横坐标的和与积，由两点式写出直线MQ的方程，取y=0后求出x，结合根与系数关系可求得x=2，则得到直线MQ与x轴的交点是定点，并求出定点．. 试题解析：（1）由题知：化简得：当当当当

2分

两点；

两点； 两点； 两点；6分

时 轨迹表示焦点在轴上的椭圆，且除去时 轨迹表示以

为圆心半径是１的圆，且除去

时 轨迹表示焦点在轴上的椭圆，且除去时 轨迹表示焦点在轴上的双曲线，且除去

，

（2）设

依题直线的斜率存在且不为零，则可设:代入

，

又因为

不重合，则

整理得

， 9分

令

，

的方程为得故直线解二：设

过定点

. 14分

依题直线的斜率存在且不为零，可设:代入

,

的方程为得直线

过定点

14分 整理得：

， 9分

令

，

考点：1.椭圆的简单性质；2.与直线有关的动点轨迹方程.

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