2012年中考真题精品解析 数学（绥化卷）

2012年中考数学试题解析（黑龙江绥化卷）

锦元数学工作室 编辑

（本试卷满分120分，考试时间120分钟）

一、填空题(每题3分，满分33分)

1．（2012黑龙江绥化3分）已知1纳米=0.000000001米，则2012纳米用科学记数法表示为 ▲ 米 【答案】2. 012×106。

－

【考点】科学记数法，同底幂乘法。

【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值。在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1。当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）。2012纳米×0.000000001米/纳米=2. 012×103×1×109=2. 012×106。 －－n2．（2012黑龙江绥化3分）函数y?3x?1的自变量x的取值范围是 ▲ 【答案】x?1。 3【考点】函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件。

【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使3x?1在实数范围内有意义，必须3x?1?0?x?3．（2012黑龙江绥化3分）分解因式：a3b?2a2b2?ab3? ▲ 【答案】ab?a?b?。

【考点】提公因式法和应用公式法因式分解。

【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式。因此，

21。 3a3b?2a2b2?ab3?ab?a2?2ab?b2??ab?a?b?。

24．（2012黑龙江绥化3分）若等腰三角形两边长分别为3和5，则它的周长是 ▲ 【答案】11或13。

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【考点】等腰三角形的性质，三角形三边关系。

【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形：

①腰长为3，底边长为5，三边为：3，3，5可构成三角形，周长=3+3+5=11； ②腰长为5，底边长为3，三边为：5，5，3可构成三角形，周长=5+5+3=13。 故答案为：11或13。

5．（2012黑龙江绥化3分）设a，b是方程x2＋x－2013=0的两个不相等的实数根，则a2＋2a＋b的值为 ▲ 【答案】2012。

【考点】一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解。

【分析】∵a，b是方程x2＋x－2013=0的两个不相等的实数根，∴a2＋a－2013=0，即a2＋a=2013

又∵a＋b=－1，∴a2＋2a＋b=（a2＋a）＋（a＋b）=2013－1=2012。

6．（2012黑龙江绥化3分）一只盒子中有红球m个，白球8个，黑球n个，每个球除颜色不同外都相同．从中任取一个球，取得白球的概率与不是白球的概率相同，那么m与n的关系是 ▲ 【答案】m+n=8。 【考点】概率公式。

【分析】根据概率公式，摸出白球的概率8m?n ，摸出不是白球的概率 ， m?8?nm?8?n8m?n由于二者相同，故有 = ，整理得m+n=8。 m?8?nm?8?n7．（2012黑龙江绥化3分）小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型．如图所示，它的底面半径OB=3cm，高OC=4cm，则这个圆锥漏斗的侧面积是 ▲ cm2． 【答案】15?。

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【考点】圆锥的计算，勾股定理。

【分析】∵底面半径OB=3cm，高OC=4cm，∴BC=5cm，即圆锥的母线是5cm。

∴圆锥侧面积公式S??rl???3?5?15?cm 2。

8．（2012黑龙江绥化3分）⊙O为△ABC的外接圆，∠BOC=100°，则∠A= ▲ 【答案】50°或130°。

【考点】三角形的外接圆与外心，圆周角定理，圆内接四边形的性质。 【分析】分为两种情况：当O在△ABC内部时， 根据圆周角定理得：∠A=??11∠BOC=×100°=50°； 22当O在△ABC外部时，如图在A′时， ∵A、B、A′、C四点共圆，∴∠A+∠A′=180°。 ∴∠A′=180°-50°=130°。 故答案为：50°或130°。 9．（2012黑龙江绥化3分）甲乙丙三家超市为了促销一种定价为m元的商品，甲超市连续两次降价20%；乙超市一次性降价40%；丙超市第一次降价30%，第二次降价10%，此时顾客要购买这种商品，最划算的超市是 ▲ . 【答案】乙。

【考点】列代数式，有理数的大小比较。

【分析】根据各超市降价的百分比分别计算出此商品降价后的价格，再进行比较即可得出结论：

降价后三家超市的售价是：

甲为（1－20%）2m=0.64m，乙为（1－40%）m=0.6m，丙为（1－30%）（1－10%）

m=0.63m。

∵0.6m＜0.63m＜0.64m，∴此时顾客要购买这种商品最划算应到的超市是乙。

10．（2012黑龙江绥化3分）如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE=8，BF=5，则EF的长为 ▲ .

- 3 -

【答案】13。

【考点】正方形的性质，直角三角形两个锐角的关系，全等三角形的判定和性质。 【分析】∵ABCD是正方形（已知），∴AB=AD，∠ABC=∠BAD=90°（正方形的性质）。

又∵∠FAB+∠FBA=∠FAB+∠EAD=90°（直角三角形两个锐角互余）， ∴∠FBA=∠EAD（等量代换）。 ∵BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，

在Rt△AFB和Rt△AED中，∵∠AFB=∠DEA=90°，∠FBA=∠EAD， AB=DA， ∴△AFB≌△AED（AAS）。∴AF=DE=8，BF=AE=5（全等三角形的对应边相等）。 ∴EF=AF＋AE=DE＋BF=8＋5=13。

11．（2012黑龙江绥化3分）长为20，宽为a的矩形纸片（10＜a＜20），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去，若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作停止．当n=3时，a的值为 ▲ .

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二、单项选择题(每题3分，满分27分)

12．（2012黑龙江绥化3分）下列计算正确的是【 】 A．-|-3|=-3 B．30=0 C．3-1=-3 D． 【答案】A。

【考点】绝对值，零指数幂，负整数指数幂，算术平方根。

【分析】根据绝对值，零指数幂，负整数指数幂，算术平方根的概念或运算法则逐一计算作出判断：

A、-|-3|=-3，此选项正确；B、30=1，此选项错误； C、3?1?9??3

1，此选项错误；D、9?3，此选项错误。故选A。 313．（2012黑龙江绥化3分）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则a+b的值【 】 A．大于0 B．小于0 C．小于a D．大于b 【答案】A。

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【考点】实数与数轴，有理数的加法。

【分析】由题意得：a＜0，b＞0，且a的绝对值小于b的绝对值，

∴a+b＞0，且b＞a+b＞0。故选A。

14．（2012黑龙江绥化3分）如图，AB∥ED，∠ECF=70°，则∠BAF的度数为【 】

A．130° B．110° C．70° D．20° 【答案】B。

【考点】平行线的性质，平角的定义。

【分析】∵AB∥ED，∴∠BAC=∠ECF（两直线平行，内错角相等）。

又∠ECF=70°，∴∠BAC=70°（等量代换）。

∴∠BAF=180°－∠BAC=180°－70°=110°（平角的定义）。故选B。

15．（2012黑龙江绥化3分）下列四个几何体中，主视图是三角形的是【 】

A． B． C． D．

【答案】B。

【考点】简单几何体的三视图。

【分析】主视图是从几何体的正面看，主视图是三角形的一定是一个锥体，是长方形的一定是柱体，由此

只有B是锥体，故选B。 16．（2012黑龙江绥化3分）某鞋店一天中卖出运动鞋11双，其中各种尺码的鞋的销售量如下表： 尺码（cm） 销售量（双） 23.5 1 24 2 24.5 2 25 5 25.5 1 则这11双鞋的尺码组成的一组数据中，众数和中位数分别是【 】 A．25，25 B．24.5，25 C．25，24.5 D．24.5，24.5

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【答案】A。

【考点】众数，中位数。

【分析】众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，这组数据中，出现次数最多的是25，故这组数据的众数为25。

中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）。由此将这组数据排序为23.5、24、24、24.5、24.5、25、25、25、25、25、26，∴中位数是按从小到大排列后第6个数为：25。 故选A。 17．（2012黑龙江绥化3分）如图，A，B是函数y?2的图象上关于原点对称的任意两点，xBC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为S，则【 】 A．S=2 B．S=4 C．2＜S＜4 D．S＞4 【答案】B。

【考点】反比例函数系数k的几何意义。

【分析】设点A的坐标为（x，y），则B（－x，－y），xy=2。∴AC=2y，BC=2x。

∴△ABC的面积=2x×2y÷2=2xy=2×2=4。故选B。

18．（2012黑龙江绥化3分）如图，点A、B、C、D为⊙O的四等分点，动点P从圆心O出发， 沿OCOC?弧CD?DO的路线做匀速运动，设运动的时间为t秒，∠APB的度数为y

度，则下列图象中表示y（度）与t（秒）之间函数关系最恰当的是【 】

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A．B．C．

D．

【答案】C。

【考点】动点问题的函数图象，三角形外角性质，圆周角定理。

【分析】当动点P在OC上运动时，根据三角形的外角大于与它不相邻内角的性质，得∠APB

逐渐减小；当动P在 CD 上运动时，根据同弧所以圆周角相等性质，得∠APB不变；

当动P在DO上运动时，同样根据三角形的外角大于与它不相邻内角的性质，得∠APB逐渐增大。故选C。

19．（2012黑龙江绥化3分）甲、乙两队举行了一年一度的赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程s（米）与时间t（分钟）之间的函数关系图象如图所示，请你根据图象判断，下列说法正确的是【 】

A．甲队率先到达终点

B．甲队比乙队多走了200米路程 C．乙队比甲队少用0.2分钟

D．比赛中两队从出发到2.2秒时间段，乙队的速度比甲队的速度快 【答案】C。

【考点】函数的图象。

【分析】根据函数图象所给的信息，逐一判断：

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A、由函数图象可知，甲走完全程需要4分钟，乙走完全程需要3.8分钟，乙队率

先到达终点，本选项错误；

B、由函数图象可知，甲、乙两队都走了1000米，路程相同，本选项错误； C、因为4－3.8=02分钟，所以，乙队比甲队少用0.2分钟，本选项正确； D、根据0～2.2分钟的时间段图象可知，甲队的速度比乙队的速度快，本选项错误。

故选C。

20．（2012黑龙江绥化3分）如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE：EC=2：3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF：S△EBF：S△ABF=【 】

A．2：5：25 B．4：9：25 C．2：3：5 D．4：10：25 【答案】D。

【考点】平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质。

【分析】由DE：EC=2：3得DE：DC=2：5，根据平行四边形对边相等的性质，得DE：AB=2：5

由平行四边形对边平行的性质易得△DFE∽△BFA ∴DF：FB= DE：AB=2：5，S△DEF：S△ABF=4：25。 又∵S△DEF和S△EBF是等高三角形，且DF：FB =2：5，∴S△DEF：S△EBF =2：5=4：10。 ∴S△DEF：S△EBF：S△ABF =4：10：25。故选D。 三、解答题(满分60分) 21．（2012黑龙江绥化5分）先化简，再求值m?35?(m?2?)．其中m是方程2m?23m?6mx2?3x?1?0的根解： 【答案】原式m?3m2?9m?3m?211= 。 ??? ??23m?m?2?m?23m?m?2??m?3??m?3?3m?m?3?3(m?3m)- 9 -

∵m是方程x2?3x?1?0的根．∴m2?3m?1?0，即m2?3m?1，∴原式=11=。 3?13【考点】分式的化简求值，一元二次方程的解。

【分析】先通分计算括号里的，再计算括号外的，化为最简，由于m是方程x2?3x?1?0的根，那么m2?3m?1?0，可得m2?3m?1的值，再把m2?3m?1的值整体代入化简后的式子，计算即可。

22．（2012黑龙江绥化6分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的顶点均在格点上，O、M也在格点上． （1）画出△ABC关于直线OM对称的△A1B1C1；

（2）画出△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°后所得的△A2B2C2；

（3）△A1B1C1与△A2B2C2组成的图形是轴对称图形吗？如果是轴对称图形，请画出对称轴．

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23．（2012黑龙江绥化6分）如图，二次函数y=ax2－4x＋c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A （－4，0）．

（1）求二次函数的解析式；

（2）在抛物线上存在点P，满足S△AOP=8，请直接写出点P的坐标．

【答案】解：（1）将O（0，0）A（－4，0）代入y=ax2－4x＋c得

2??a???4??4???4??c?0 ?， 解得 ??c?0 ?a??1 。∴此二次函数的解析式?c?0?为y=－x2－4x。

（2）∵点A的坐标为（－4，0），∴AO=4。

设点P到x轴的距离为h，则S?AOP?1?4?h?4，解得h=4。 2①当点P在x轴上方时，－x2－4x=4，解得x=－2。 ∴点P的坐标为（－2，4）。

?2?2?2?2，x2?。 22?2?2?2?2∴点P的坐标为（ ，－4）或（ ，－4），

22?2?2?2?2综上所述，点P的坐标是：（－2，4）、（ ，－4）、（ ，

22②当点P在x轴下方时，－x2－4x=-4，解得x1?－4）。

【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数图象上点的坐标特征。

【分析】（1）把点A原点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答。

（2）根据三角形的面积公式求出点P到AO的距离，然后分点P在x轴的上方与

下方两种情况解答即可。

24．（2012黑龙江绥化7分）学生的学习兴趣如何是每位教师非常关注的问题．为此，某校教师对该校部分学生的学习兴趣进行了一次抽样调查（把学生的学习兴趣分为三个层次，

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A层次：很感兴趣；B层次：较感兴趣；C层次：不感兴趣）；并将调查结果绘制成了图①和图②的统计图（不完整）．请你根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）此次抽样调查中，共调查了 名学生； （2）将图①、②补充完整；

（3）将图②中C层次所在扇形的圆心角的度数；

（4）根据抽样调查的结果，请你估计该校1200名学生中大约有多少名学生对学习感兴趣（包括A层次和B层次）．

【答案】解：（1）200。

（2）C层次的人数为：200-120-50=30（人）；所占的百分比是：30 200

×100%=15%。

B层次的人数所占的百分比是1－25%－15%=60%。 ∴将图①、②补充完整如下：

（3）C层次所在扇形的圆心角的度数是：360×15%=54°。 （4）根据题意得：（25%+60%）×1200=1020（人）。

答：估计该校1200名学生中大约有1020名学生对学习感兴趣。

【考点】条形统计图，扇形统计图，H频数、频率和总量的关系，用样本估计总体。 【分析】（1）由A层次的人数所占比例为25%，A层次人数为50，故调查总人数为

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50÷25%=200。

（2）根据调查总人数为200，求得C层次的人数和所占的百分比，B层次的人数

所占的百分比，据此将图①、②补充完整。

（3）C层次所在扇形的圆心角的度数可通过360°×15%求得。

（4）由样本中A层次和B层次所占比例为60%和25%，所以可以估计对学习感

兴趣的人数。

25. （2012黑龙江绥化8分）星期天8：00～8：30，燃气公司给平安加气站的储气罐注入天然气，注完气之后，一位工作人员以每车20米3的加气量，依次给在加气站排队等候的若干辆车加气．储气罐中的储气量y（米3）与时间x（小时）的函数关系如图所示． （1）8：00～8：30，燃气公司向储气罐注入了 米3的天然气；

（2）当x≥8.5时，求储气罐中的储气量y（米3）与时间x（小时）的函数关系式； （3）正在排队等候的20辆车加完气后，储气罐内还有天然气 米3，这第20辆车在当天9：00之前能加完气吗？请说明理由．

【答案】解：（1）8000。

（2）当x≥8.5时由图象可设y与x的函数关系式为y=kx+b，由图给数据得：

?8.5k?b?10000 ?b?18500 ?，解得?。

10.5k?b?8000k??1000??∴当x≥8.5时，储气罐中的储气量y（米3）与时间x（小时）的函数关系

式为：

y=－1000x＋18500。 （3）9600．能加完气，理由如下：

根据题意得出：9600=－1000x＋18500，解得x=8.9。 ∵8.9＜9，∴这第20辆车在当天9：00之前能加完气。

【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。

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【分析】（1）由函数图象可知，8点时储气罐中有2000米3的天然气，8：30时储气罐中有10000米3的天然气，即可得出燃气公司向储气罐注入了8000米3的天然气。

（2）根据图象上点的坐标用待定系数法得出函数解析式即可。 （3）根据每车20米3的加气量，则20辆车加完气后，储气罐内还有天然气： 10000-20×20=9600（米3）。 代入函数关系式即可得出所用时间。 26．（2012黑龙江绥化8分）如图，点E是矩形ABCD的对角线BD上的一点，且BE=BC，AB=3，BC=4，点P为直线EC上的一点，且PQ⊥BC于点Q，PR⊥BD于点R． （1）如图1，当点P为线段EC中点时，易证：PR+PQ= 12（不需证明）． 5（2）如图2，当点P为线段EC上的任意一点（不与点E、点C重合）时，其它条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． （3）如图3，当点P为线段EC延长线上的任意一点时，其它条件不变，则PR与PQ之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想． 【答案】解：（2）图2中结论PR＋PQ=

12仍成立。证明如下： 5连接BP，过C点作CK⊥BD于点K。 ∵四边形ABCD为矩形，∴∠BCD=90°。

又∵CD=AB=3，BC=4，∴BD?CD2?BC2 ?32?42?5。

1112BC?CD=BD?CK，∴3×4=5CK，∴CK=。 225111∵S△BCE=BE?CK，S△BEP=PR?BE，S△BCP=PQ?BC，且S△BCE=S△BEP＋

222∵S△BCD=

S△BCP，

∴

111BE?CK=PR?BE＋PQ?BC。 222- 14 -

111CK=PR＋PQ。∴CK=PR＋PQ。 2221212又∵CK=，∴PR＋PQ=。

5512（3）图3中的结论是PR－PQ=．

5又∵BE=BC，∴

【考点】矩形的性质，三角形的面积，勾股定理。

【分析】（2）连接BP，过C点作CK⊥BD于点K．根据矩形的性质及勾股定理求出BD的长，根据三角形面积相等可求出CK的长，最后通过等量代换即可证明。

（3）图3中的结论是PR－PQ=125 。

连接BP，S△BPE－S△BCP=S△BEC，S△BEC 是固定值，BE=BC 为

两个底，PR，PQ 分别为高，从而PR－PQ=

12。 527．（2012黑龙江绥化10分）在实施“中小学校舍安全工程”之际，某市计划对A、B两类学校的校舍进行改造，根据预算，改造一所A类学校和三所B类学校的校舍共需资金480万元，改造三所A类学校和一所B类学校的校舍共需资金400万元．

（1）改造一所A类学校的校舍和一所B类学校的校舍所需资金分别是多少万元？ （2）该市某县A、B两类学校共有8所需要改造．改造资金由国家财政和地方财政共同承担，若国家财政拨付的改造资金不超过770万元，地方财政投入的资金不少于210万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改造资金分别为每所20万元和30万元，请你通过计算求出有几种改造方案，每个方案中A、B两类学校各有几所？

【答案】解：（1）设改造一所A类学校的校舍需资金x万元，改造一所B类学校的校舍所需资金y万元，

?x?3y?480 则 ?，解得

3x?y?400??x?90 。 ?y?130?答：改造一所A类学校和一所B类学校的校舍分别需资金90万元，130万元。

（2）设A类学校应该有a所，则B类学校有（8－a）所．

??20a?30?8?a??210 则 ?，解得

90?20a?130?308?a?770????????2，3。

?a?3

。∴1≤a≤3，即a=1，?a?1?

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∴共有3种改造方案：方案一：A类学校有1所，B类学校有7所；方案

二：A类学校有2所，B类学校有6所；方案三：A类学校有3所，B类学校有5所。

（1）求G点坐标； （2）求直线EF解析式；

（3）点N在x轴上，直线EF上是否存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】解：（1）由已知得，FG=AF=2，FB=1。

∵四边形ABCD为矩形，∴∠B=90°。

∴BG?FG2?FB2?22?12?3。∴G点的坐标为（3，4－3）。 （2）设直线EF的解析式是y=kx+b，

在

Rt△BFG

中

，

c?osFB1B?FG?，∴∠BFG=60°。FG2∴∠AFE=∠EFG=60°。

- 16 -

∴AE=AFtan∠AFE=2tan60°=23。∴E点的坐标为（0，4－23）。 又F点的坐标是（2，4），

??b?4?23?k?3?∴?， 解得?。

2k?b?4????b?4?23∴直线EF的解析式为y?3x?4?23。 （3）存在。M点的坐标为（

（3?431?43， 3），（， ?3），331+43， 8?3 ）。 3【考点】一次函数综合题，矩形的性质，折叠性质，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】（1）根据折叠性质可知FG=AF=2，而FG=AB－AF=1，则在Rt△BFG中，利用勾股定理求出BG的长，从而得到CG的长，从而得到G点坐标。

（2）由题意，可知△AEF为含30度角的直角三角形，从而可求出E点坐标；又F

点坐标已知，所以可利用待定系数法求出直线EF的解析式。

（3）分FG为平行四边形边和对角线两种情况讨论，探究可能的平行四

边形的形状：

若以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形，则可能存在以

下情形：

①FG为平行四边形的一边，且N点在x轴正半轴上，如图1所示。 过M1点作M1H⊥x轴于点H，易证△M1HN1≌△GBF， ∴M1H=GB=3，即yM1=3。

由直线EF解析式y?3x?4?23，求出xM1?∴M1（3?43。 33?43， 3）。 3②FG为平行四边形的一边，且N点在x轴负半轴上，如图2所示。 仿照与①相同的办法，可求得M2（1?43， ?3）。 3③FG为平行四边形的对角线，如图3所示。

过M3作FB延长线的垂线，垂足为H．易证△M3FH≌△GN3C，

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则有M3H=CG=43，所以M3的纵坐标为8－3。 代入直线EF解析式，得到M3的横坐标为∴M3（1+43。 31+43， 8?3）。 3综上所述，存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形，点

M的坐标为：M1（3?431?431+43， 3），M2（， ?3），M3（， 8?3 ）。 33- 18 - 3

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