倒立摆实验报告

倒立摆实验报告

机自82

组员：李宗泽 李航 刘凯 付荣

直线一级倒立摆系统建模仿真实验

一、 实验目的:

1、学会收集和查阅资料，学会针对指定控制系统建立数学模型的方法；

2、学会使用Matlab/Simulink建模和仿真的方法；

3、掌握控制器的设计方法，以及控制器参数整定和优化的方法。 4.学习MATLAB工具软件在控制工程中的应用

5.掌握对实际系统进行建模的方法，熟悉利用MATLAB 对系统模型进行仿真，对实验结果进行观察和分析，非常直观的感受控制器的控制作用。 二. 实验设备

计算机及MATLAB.VC等相关软件 三．倒立摆系统介绍

倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合，其被控系统本身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，可以作为一个典型的控制对象对其进行研究。倒立摆系统作为控制理论研究中的一种比较理想的实验手段，为自动控制理论的教学、实验和科研构建一个良好的实验平台，以用来检验某种控制理论或方法的典型方案，促进了控制系统新理论、新思想的发展。由于控制理论的广泛应用，由此系统研究产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器人控制技术、人工智能、导弹拦截控制系统、航空对接控制技术、火箭发射中的垂直度控制、卫星

飞行中的姿态控制和一般工业应用等方面具有广阔的利用开发前景。

倒立摆控制器的设计是倒立摆系统的核心内容，因为倒立摆是一个绝对不稳定的系统，为使其保持稳定并且可以承受一定的干扰，需要给系统设计控制器 四．设计资料及参数

在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图所示：

我们不妨做以下假设： M 小车质量 m 摆杆质量 b 小车摩擦系数

l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 I 摆杆惯量

F 加在小车上的力 x 小车位置

φ 摆杆与垂直向上方向的夹角

θ 摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下） 图是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N 和P 为小车与摆杆相互作用

力的水平和垂直方向的分量。

注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。

分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：

（3-1）

由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：

(3-2)

即：

(3-3)

把这个等式代入式(3-1)中，就得到系统的第一个运动方程：

(3-4)

为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，

可以得到下面方程：

(3-5)

(3-6)

力矩平衡方程如下：

(3-7)

注意：此方程中力矩的方向，由l

，故等式前面有负号。

合并这两个方程，约去P 和N，得到第二个运动方程：

(3-8)

设θ=φ+π（ φ是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设φ与1（单位是弧

度）相比很小，即φ<<1，则可以进行近似处理：

用u 来代表被控对象的输入力F，线性化后两个运动方程如下：

对式(3-9)进行拉普拉斯变换，得到

(3-9)

注意：推导传递函数时假设初始条件为0。

(3-10)

由于输出为角度φ，求解方程组的第一个方程，可以得到：

或

如果令

则有：

把上式代入方程组的第二个方程，得到：

整理后得到传递函数：

其中

设系统状态空间方程为：

方程组 对,

解代数方程，得到解如下：

整理后得到系统状态空间方程：

由(3-9)的第一个方程为：

对于质量均匀分布的摆杆有：

于是可以得到：

化简得到：

设

则有：

另外，也可以利用MATLAB 中tf2ss 命令对(3-13)式进行转化，求得上述状 态方程。

实际系统的模型参数如下: M 小车质量 1.096 Kg m 摆杆质量 0.109 Kg b 小车摩擦系数 0 .1N/m/sec

l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.2 5m I 摆杆惯量 0.0034 kg*m*m

把上述参数代入，可以得到系统的实际模型。

摆杆角度和小车位移的传递函数：

摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：

摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：

以外界作用力作为输入的系统状态方程：

以小车加速度作为输入的系统状态方程：

小车的加速度作为系统的输入，如果用户需要采用力矩控制的方法，可以参考以上把外界作用力作为输入的各式。 五．系统的阶越响应分析

根据已经得到系统的状态方程，先对其进行阶跃响应分析，在MATLAB 中 键入以下命令：

clear;

A=[ 0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0]; B=[ 0 1 0 3]'; C=[ 1 0 0 0;0 1 0 0]; D=[ 0 0 ]'; step(A, B ,C ,D)

可以看出，在单位阶跃响应作用下，小车位置和摆杆角度都是发散的。 六．频率响应分析(系统稳定性分析)

前面我们已经得到了直线一级倒立摆的物理模型，实际系统的开环传递函数

其中输入为小车的加速度V (s) ，输出为摆杆的角度Φ(s) 。 在MATLAB 下绘制系统的Bode 图和奈奎斯特图。 在MATLAB 中键入以下命令：

clear;

num=[0.02725];

den=[0.0102125 0 -0.26705]; z=roots(num);

p=roots(den); subplot(2,1,1) bode(num,den) subplot(2,1,2) nyquist(num,den) 得到如下图所示的结果： z =

Empty matrix: 0-by-1 p =

5.1136 -5.1136

可以得到，系统没有零点，但存在两个极点，其中一个极点位

于右半s 平面，

根据奈奎斯特稳定判据，闭环系统稳定的充分必要条件是：当ω 从? ∞到+ ∞变

化时，开环传递函数G( jω ) 沿逆时针方向包围-1 点p 圈，其中p 为开环传递函数

在右半S 平面内的极点数。对于直线一级倒立摆，由奈奎斯特图我们可以看出，开

环传递函数在S 右半平面有一个极点，因此G( jω ) 需要沿逆时针方向包围-1 点一圈。可以看出，系统的奈奎斯特图并没有逆时针绕-1 点一圈，因此系统不稳定， 需要设计控制器来镇定系统。

五．具体控制方法 （一）PID控制

直线一级倒立摆PID 控制实验

1．PID 控制分析

经典控制理论的研究对象主要是单输入单输出的系统，控制器设计时一般需

要有关被控对象的较精确模型。PID 控制器因其结构简单，容易调节，且不需要

对系统建立精确的模型，在控制上应用较广。

对于倒立摆系统输出量为摆杆的角度，它的平衡位置为垂直向上的情 况。系统控制结构框图如下：

2． PID实验控制参数设定及仿真。 在Simulinkzhong 建立直线一级倒立摆模型

上下两个PID模块。鼠标右键，选择 “ Look under mask”打开模型内部结构分别为：

双击第二个模块打开参数设置窗口

令kp=1.ki=0.kd=0 得到摆杆角度仿真结果

可看出控制曲线不收敛。因此增大控制量。令kp=-30.ki=0.kd=4.6.得到如下仿

真结果

从上面摆杆角度仿真结果可看出，稳定比较好。但稳定时间稍微有点长。

双击第一个模块打开参数设置窗

经多次尝试在此参数即kp=-7,ki=0,kp=-4.5 情况下效果最好。 得到以下仿真结果

黄线为小车位置输出曲线，红线为摆杆角度输出曲线。

从图中可以看出，系统可以比较好的稳定。稳定时间在2-3秒之间。稳定性不错。

3． PID控制实验

打开直线一级倒立摆爽PID实时控制模块 双击doublePID控制模块进入参数设置

把参数输入PID控制器。编译程序，使计算机同倒立摆连接。 运行程序。实验结果如下图所示

从图中可以看出，倒立摆可以实现比较好的稳定性。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/se1r.html