福田区第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

精选高中模拟试卷

第 1 页，共 15 页 福田区第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 设x ，y

满足线性约束条件

，若z=ax ﹣y （a ＞0）取得最大值的最优解有数多个，则实数a

的值为（ ）

A ．2 B

． C

． D ．3 2． 设x ∈R ，则x ＞2的一个必要不充分条件是（ ）

A ．x ＞1

B ．x ＜1

C ．x ＞3

D ．x ＜3

3．

设函数

，则有（ ） A ．f （x

）是奇函数，

B ．f （x

）是奇函数， y=b x

C ．f （x

）是偶函数 D ．f （x

）是偶函数，

4． PM 2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，如图是据某地某日早7点至晚8点甲、乙两个PM 2.5监测点统计的数据（单位：毫克/每立方米）列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的方差较小的是（ ）

A ．甲

B ．乙

C ．甲乙相等

D ．无法确定

5． 如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的体积为（ ） A.61 B. 31 C. 1 D. 34

第 2 页，共 15 页 Q={x|

A ．19

B ．21

C ．

D ．

10．已知α是△ABC 的一个内角，tan α=，则cos （α+

）等于（ ） A ．

B ．

C ．

D ．

11．过点),2(a M -，)4,(a N 的直线的斜率为2

1-，则=||MN （ ） A ．10 B ．180 C ．36 D

．56 12．已知向量=（1，2），=（x ，﹣4），若∥，则x=（ ）

A ． 4

B ． ﹣4

C ． 2

D ． ﹣2

二、填空题

13．设全集

______. 14．复数z=（i 虚数单位）在复平面上对应的点到原点的距离为 ．

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15．过点（0，1）的直线与x2+y2=4相交于A、B两点，则|AB|的最小值为．

16．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=5，BC=4，AA1=3，沿该长方体对角面ABC1D1将其截成两部分，并将它们再拼成一个新的四棱柱，那么这个四棱柱表面积的最大值为．

17．如图，函数f（x）的图象为折线AC B，则不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是．

18．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°．已知山高BC=100m，则山高MN=m．

三、解答题

19．某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：

[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]（Ⅰ）求图中x的值，并估计该班期中考试数学成绩的众数；

（Ⅱ）从成绩不低于90分的学生和成绩低于50分的学生中随机选取2人，求这2人成绩均不低于90分的概率．

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20．设函数f （x ）=|x ﹣a|﹣2|x ﹣1|．

（Ⅰ）当a=3时，解不等式f （x ）≥1；

（Ⅱ）若f （x ）﹣|2x ﹣5|≤0对任意的x ∈[1，2]恒成立，求实数a 的取值范围．

21

．若已知

，求sinx 的值．

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22．如图所示，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点． （Ⅰ）求直线BE 与平面ABB 1A 1所成的角的正弦值；

（Ⅱ）在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F ∥平面A 1BE ？证明你的结论．

23．已知函数f （x ）=cosx （sinx+cosx

）﹣．

（1）若0＜α

＜，且sin α

=，求f （α）的值； （2）求函数f （x ）的最小正周期及单调递增区间．

24．已知椭圆C ：

+=1（a ＞b ＞0）的左，右焦点分别为F 1，F 2

，该椭圆的离心率为

，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线

y=x+

相切． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；

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（Ⅱ）如图，若斜率为k（k≠0）的直线l与x轴，椭圆C顺次交于P，Q，R（P点在椭圆左顶点的左侧）且∠RF1F2=∠PF1Q，求证：直线l过定点，并求出斜率k的取值范围．

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第 7 页，共 15 页 福田区第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】B

【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．

由z=ax ﹣y （a ＞0）得y=ax ﹣z ，

∵a ＞0，∴目标函数的斜率k=a ＞0．

平移直线y=ax ﹣z ，

由图象可知当直线y=ax ﹣z 和直线2x ﹣y+2=0平行时，当直线经过B 时，此时目标函数取得最大值时最优解只有一个，不满足条件．

当直线y=ax ﹣z 和直线x ﹣3y+1=0平行时，此时目标函数取得最大值时最优解有无数多个，满足条件． 此时

a=．

故选：B ．

2． 【答案】A

【解析】解：当x ＞2时，x ＞1成立，即x ＞1是x ＞2的必要不充分条件是，

x ＜1是x ＞2的既不充分也不必要条件，

x ＞3是x ＞2的充分条件，

x ＜3是x ＞2的既不充分也不必要条件，

故选：A

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．

3． 【答案】C

【解析】解：函数f （x ）的定义域为R ，关于原点对称．

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又f

（﹣x）

=

=

=f（x），所以f（x）为偶函数．

而f（）===﹣=﹣f（x），

故选C．

【点评】本题考查函数的奇偶性，属基础题，定义是解决该类问题的基本方法．

4．【答案】A

【解析】解：根据茎叶图中的数据可知，甲地的数据都集中在0.06和0.07之间，数据分别比较稳定，

而乙地的数据分布比较分散，不如甲地数据集中，

∴甲地的方差较小．

故选：A．

【点评】本题考查茎叶图的识别和判断，根据茎叶图中数据分布情况，即可确定方差的大小，比较基础．

5．【答案】D

【解析】

6．【答案】D

【解析】解：∵tanα=2，∴===．

故选D．

7．【答案】D

【解析】解：由Q中的不等式变形得：（x+1）（x﹣2）≥0，且x﹣2≠0，

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第 9 页，共 15 页 解得：x ≤﹣1或x ＞2，即Q=（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞），

∵P=[0，+∞），

∴P ∩Q=（2，+∞），

故选：D ．

8． 【答案】D111]

【解析】

试题分析：()()()311112f f f -=-==+=.

考点：分段函数求值．

9． 【答案】C

【解析】 因为，所以，所以数列构成以为首项，2为公差的等差数列，通项公式为，所以，所以，故选C

答案：C

10．【答案】B

【解析】解：由于α是△ABC 的一个内角，tan α

=，

则

=，又sin 2α+cos 2α=1， 解得sin α

=，cos α

=（负值舍去）．

则cos （α

+

）

=cos cos α﹣

sin sin α

=×

（

﹣）

=．

故选B ．

【点评】本题考查三角函数的求值，考查同角的平方关系和商数关系，考查两角和的余弦公式，考查运算能力，属于基础题．

11．【答案】D

【解析】

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考点：1.斜率；2.两点间距离.

12．【答案】D

【解析】： 解：∵∥，

∴﹣4﹣2x=0，解得x=﹣2．

故选：D ． 二、填空题 13．【答案】{7，9}

【解析】∵全集U={n

∈N|1≤n ≤10}，A={1，2

，3，5，8}，B={1，3，5，

7，9}， ∴（?

U A ）={4，

6，7，9 }，∴（?U A ）∩B={7，

9}，

故答案为：{7，9}。

14．【答案】

．

【解析】解：复数z==﹣i （1+i ）=1﹣i ，

复数z=

（i 虚数单位）在复平面上对应的点（1，﹣1）到原点的距离为：． 故答案为：．

【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，考查计算能力．

15．【答案】 2

【解析】解：∵x 2+y 2=4的圆心O （0，0），半径r=2，

∴点（0，1）到圆心O （0，0）的距离d=1，

∴点（0，1）在圆内．

如图，|AB|最小时，弦心距最大为1，

∴|AB|min =2

=2．

故答案为：2．

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16．【答案】114．

【解析】解：根据题目要求得出：

当5×3的两个面叠合时，所得新的四棱柱的表面积最大，其表面积为（5×4+5×5+3×4）×2=114．

故答案为：114

【点评】本题考查了空间几何体的性质，运算公式，学生的空间想象能力，属于中档题，难度不大，学会分析判断解决问题．

17．【答案】（﹣1，1]．

【解析】解：在同一坐标系中画出函数f（x）和函数y=log2（x+1）的图象，如图所示：

由图可得不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是：（﹣1，1]，．

故答案为：（﹣1，1]

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18．【答案】 150

【解析】解：在RT △ABC 中，∠CAB=45°，BC=100m ，所以

AC=100

m ． 在△AMC 中，∠MAC=75°，∠MCA=60°，从而∠AMC=45°，

由正弦定理得，

，因此

AM=100m ． 在RT △MNA 中，

AM=100

m ，∠MAN=60°

，由 得

MN=100

×=150m ．

故答案为：150．

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）由（0.006×3+0.01+0.054+x ）×10=1，解得x=0.018，

前三组的人数分别为：（0.006×2+0.01+0.018）×10×50=20，第四组为0.054×10×50=27人，故数学成绩的众数落在第四组，故众数为75分．

（Ⅱ）分数在[40，50）、[90，100]的人数分别是3人，共6人，

∴这2人成绩均不低于90分的概率

P=

=．

【点评】本题考查频率分布直方图及古典概型的问题，前者要熟练掌握直方图的基本性质和如何利用直方图求众数；后者往往和计数原理结合起来考查．

20．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）f （x ）≥1，即|x ﹣3|﹣|2x ﹣2|≥1

x 时，3﹣x+2x ﹣2≥1，∴x ≥0，∴0≤x ≤1；

1＜x ＜3时，3﹣x ﹣2x+2≥1，∴x

≤，∴1＜x

≤；

x ≥3时，x ﹣3﹣2x+2≥1，∴x ≤﹣2∴1＜x

≤，无解，…

所以f （x ）≥1解集为[0

，]．…

（Ⅱ）当x ∈[1，2]时，f （x ）﹣|2x ﹣5|≤0可化为|x ﹣a|≤3，

∴a ﹣3≤x ≤a+3，…

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∴，…

∴﹣1≤a ≤4．…

21．【答案】

【解析】

解：∵

，∴

＜

＜2π，

∴sin

（

）=

﹣

=

﹣．

∴sinx=sin[（

x+

）﹣

]=sin

（

）

cos

﹣cos

（）

sin

=

﹣

﹣

=

﹣

．

【点评】本题考查了两角和差的余弦函数公式，属于基础题．

22．【答案】

【解析】解：（I ）如图（a ），取AA 1的中点M ，连接EM ，BM ，因为E 是DD 1的中点，四边形ADD 1A 1为正方形，所以EM ∥AD ．

又在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中．AD ⊥平面ABB 1A 1，所以EM ⊥面ABB 1A 1，从而BM 为直线BE 在平面ABB 1A 1上的射影，

∠EBM 直线BE 与平面ABB 1A 1所成的角． 设正方体的棱长为2，则EM=AD=2，

BE=，

于是在Rt △BEM

中，

即直线BE 与平面ABB 1A 1

所成的角的正弦值为． （Ⅱ）在棱C 1D 1上存在点F ，使B 1F 平面A 1BE ，

事实上，如图（b ）所示，分别取C 1D 1和CD 的中点F ，G ，连接EG ，BG ，CD 1，FG ，

因A 1D 1∥B 1C 1∥BC ，且A 1D 1=BC ，所以四边形A 1BCD 1为平行四边形，

因此D 1C ∥A 1B ，又E ，G 分别为D 1D ，CD 的中点，所以EG ∥D 1C ，从而EG ∥A 1B ，这说明A 1，B ，G ，E 共面，所以BG ?平面A 1BE

因四边形C 1CDD 1与B 1BCC 1皆为正方形，F ，G 分别为C 1D 1和CD 的中点，所以FG ∥C 1C ∥B 1B ，且FG=C 1C=B 1B ，因此四边形B 1BGF 为平行四边形，所以B 1F ∥BG ，而B 1F ?平面A 1BE ，BG ?平面A 1BE ，故B 1F ∥平面A 1BE ．

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【点评】本题考查直线与平面所成的角，直线与平面平行，考查考生探究能力、空间想象能力．

23．【答案】

【解析】解：（1）∵0＜α

＜

，且sin α

=， ∴cos α

=， ∴f （α）=cos α（sin α+cos α

）﹣，

=

×（

+

）﹣ =．

（2）f （x ）=cosx （sinx+cosx

）﹣．

=sinxcosx+cos 2x

﹣ =

sin2x+cos2x

=

sin （

2x+）， ∴

T=

=π， 由2k π

﹣≤

2x+≤2k π

+，k ∈Z ，得k π

﹣

≤x ≤k π

+，k ∈Z ， ∴f （x ）的单调递增区间为[k π

﹣

，k π

+]，k ∈Z ．

24．【答案】 【解析】（Ⅰ）解：椭圆的左，右焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），

椭圆的离心率为

，即有

=，即

a=c ，

b==c ，

以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆方程为x 2+y 2=b 2，

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第 15 页，共 15 页 直线

y=x+

与圆相切，则有=1=b ， 即有

a=，

则椭圆C

的方程为

+y 2=1； （Ⅱ）证明：设Q （x 1，y 1），R （x 2，y 2），F 1（﹣1，0），

由∠RF 1F 2=∠PF 1Q ，可得直线QF 1和RF 1关于x 轴对称，

即有

+=0

，即

+=0，

即有x 1y 2+y 2+x 2y 1+y 1=0，①

设直线PQ ：y=kx+t ，代入椭圆方程，可得

（1+2k 2）x 2+4ktx+2t 2﹣2=0，

判别式△=16k 2t 2﹣4（1+2k 2）（2t 2﹣2）＞0，

即为t 2﹣2k 2＜1②

x 1+x 2

=，x 1x 2=，③

y 1=kx 1+t ，y 2=kx 2+t ，

代入①可得，（k+t ）（x 1+x 2）+2t+2kx 1x 2=0，

将③代入，化简可得t=2k ，

则直线l 的方程为y=kx+2k ，即y=k （x+2）．

即有直线l 恒过定点（﹣2，0）．

将t=2k 代入②，可得2k 2

＜1，

解得﹣＜k ＜0或0＜k

＜．

则直线l 的斜率k

的取值范围是（﹣

，0）∪（0

，）． 【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要是离心率的运用，注意运用直线和圆相切的条件，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题和易错题．

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