如何寻找高中数学解题的思路

如何寻找高中数学解题的思路

数学组 宋林荣

要寻找解题的思路，审题是关健。不少成绩优秀的同学很重视审题，关注每一个细节。对于审题，首先要分清问题的条件和结论，哪些是已知的，哪些是未知的，其次是注意挖掘隐含条件。再者是寻找已知与已知、已知与未知之间的联系，从而形成解题的思路。下面就四个方面谈如何寻找高中数学解题的思路。

一、重视定义运用

定义是对数学对象的本质属性的概括和内在规律的揭示，只在深刻理解概念的本质所揭示的内在规律，才能灵活自如地运用它来寻找解题的思路。有的问题的求解虽可以不依赖于定义，但如能回到定义，则常能使问题获得简捷的解法。波利亚很强调“回到定义中去”。理解定义、掌握定义、活用定义是解题的一把金钥匙，也是寻找解题切入点的一条重要途径。

例如：若点M（x，y）

|x y 3| 0，则点M的轨迹是（ ）

（A） 圆 （B） 椭圆（C） 双曲线（D） 抛物线

分析：假如对条件中的等式移项再平方，可进行化简，但表达式中会出现xy项，对曲线的形状的判断有一定的难度。如果对原式的合理变形，利用圆锥曲线的定义就能很快解决。

解：

|x y 3| 0，

不难看出此式就是动点M（x，y）到定点（-3，1）与到定直线x y 3 0（注：定点（-3，1）在定直线x y 3 0外）距离相等的点的轨迹，根据圆锥曲线的定义，此轨迹为抛物线，故选D。

二、善于发现隐含条件

隐含条件是指隐而不显，含而不露的已知条件，它们常常巧妙地隐藏在题目的背后，极易被同学忽视，从而造成错解或繁解，甚至无法解决。优先考虑隐含条件往往能减少运算量，简化或避免复杂的变化与讨论，找到解题切入点，使问题简捷获解。例如：已知方程(sinB－sinC)x+(sinC－sinA)x+(sinA－sinB)=0有两个相等的实根，A、B、C为△ABC的三个内角，求证：三角形的三边成等差数列。

分析和证明：通过仔细审题，不难发现隐含条件，即方程的左边各项系数之和为零，表明x1=1是这个方程的根。根据已知条件，另一个根x2也必为1，于是，由韦达定理，得：2

x1·x2 sinA sinB 1。再由正弦定理，可得a+c=2b。即a、b、c成等差数列。 sinB sinC

由此可见，在审题时，把条件和结论分析得透彻明朗，从中挖掘隐含条件，是开启解题思路的前提。

三、抓住问题的差异

在解题过程中，我们实质上就是设计一个使题目的条件与结论之间的差异不断减少的过程。如果我们能着眼差异进行分析，把找准不断减少这种差异作为自己解题思维的起点，那么解题的思路就由此而来。

例如： 已知 ABC的三边a,b,c成等比数列，且sinB＋conB＝m2，求m的范围。 分析：将条件与求解目标列出对比：b ac，sinB＋conB＝m2，A B C＝ （隐含）由此得到m的取值范围。可以看到有二个主要差异：

（１）条件有边有角，但结论既没有边也没有角，又由于三角函数名不同，故应化边为角（正弦定理或余弦定理）；

（２）条件是等量关系，但结论却是不等量；又由于m2＝sinB＋conB＝2

2sin(B )，要求m的范围，应先求B的范围，故应（运用函数的有界性构造不等式4

来）求sinB或conB的范围；

B、C三个角，（３）条件中有A、但结论由（２）知只有一个角B，故应（运用A B C

＝ （隐含）及函数的有界性）消去A、C。于是有如下解答：

22∵a,b,c成等比数列，∴b ac，则有sinB＝sinAsinC，

即１－conB＝－

2211［con(A C)－con(A C)］＝－［－conB－con(A C)］ 222即２conB＋conB＋con(A C)－１＝１ ∵con(A C)≤１，∴２conB＋conB－

1 或 conB≤－１（舍去）， ∴ ０＜B≤ ； 23

7 又 ∵ sinB＋conB＝2sin(B )， 而 ＜B ≤ ，可得 １44124１≥０ ，即 conB≥

＜2sin(B

4)≤2 ，即 １＜m2≤2 ，∴ m的范围是： －2≤m＜－

１ 或 １＜m≤2

四、将问题进行转化

数学问题解决的过程，实质上就是一种思维活动的转化过程。特别是解决高中数学一些综合性的问题，常常用到化归与转化的思想，它是问题解决过程中最重要、最活跃的一个环节，是分析、解决问题的有效途径，是数学中最基本、最常用、最重要的思想方法，也是寻找解题切入点的常用方法。通常有“未知”和“已知”转化，复杂向简单转化，抽象向直观

的转化，一般与特殊的转化，正面向反面转化，数和形相互转化，以及不同的数学问题之间的转化等。通过问题的化归与转化，也易形成解题的思路。

2a(a 1)24(a 1)例如：对于所有实数x , 不等式xlog2+log2＞0恒成 +2xlog22a 14aa 2

立，求实数a的取值范围。

分析：原不等式化为 x2log28(a 1)2a +2xlog22aa 12)＞0。设y=log2 +log2(a 12a

2a，则原不等式可化为x2(3+y)-2xy+2y＞0，直接求解关于x的一元二次不等式，需用判a 1

别式法，但由于y=log2 2a，计算量太大。现换个思路，看成y的一次函数，上式化为a 1

2a＞a 1[(x-1)2+1]y+3x2 ＞0,而(x+1)2+1＞0，3x2≥0恒成立。所以只需y=log2

0成立，从而解得0＜a＜1。

某些问题，若正确求解比较困难，则可从反面来考虑，往往能收到很好的效果。

如：k为何值时,三个方程: x2+kx-1=0, x2+2kx-3k=0, x2+(k-1)x+k2=0 至少有一个方程有实数根。

解题分析：若从正面考虑，可能的情况比较复杂，远不如考虑它的反面“三个方程都无实根”来得简单，故可用反证法。

k2 4k＜0 2假设这三个方程均没有实根，则有 k 3k＜0 所以-3＜k＜-1。由此可知原三个方

3k2 2k 1＞0

程至少有一个方程有实数根时k 3或或k 1。限于篇幅，以上所谈，权当抛砖引玉。 最后提醒一下，要想准确、迅速地找到解题的思路，一方面通过平时积累解题的经验，另一方面还要通过一定的解题训练。只要持之以恒，相信成功在即。

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