数学实验7 - 图文

广州大学学生实验报告

开课学院及实验室：理学实验楼525 2013-6-14、2013-6-21、2013-6-28

数学与信息科年级、专业、学 院 数学103 姓名 学学院 班 阮灏锦 1015100160 学号 实验课程名称 数学实验 成绩 指 导 实验项目名称 综合练习 教 师 一、 实验目的 综合利用学习过的数学知识，分析、解决几个简化的实际问题，锻炼和检验数学建模的能力。 二、实验原理：暂无。 三、使用仪器、材料：1.硬件：微型计算机；2.软件:MATLAB 7.11.0（R2010b）。 四、实验过程原始记录(数据、图表、计算等) 1. 投篮的出手速度和角度 1.1问题的提出 在激烈的篮球比赛中，提高投篮命中率对于获胜无疑起着决定作用，而出手角度和出手速度决定投篮能否命中的两个关键因素。这里讨论比赛中最简单、但对于胜负也常常是很重要的一种投篮方式——罚球，并且球出手后不考虑球自身的旋转，不考虑碰篮板或篮筐。 图1为过罚球点P和篮筐中心Q、且垂直于地面的平面示意图，按照标准尺寸，P和Q点的水平距离L=4.60m，Q点的高度H=3.05m，篮球直径d=24.6cm，篮筐直径D=45.0cm。不妨假设篮球运动员出手高度h为1.8~9.0m/s，试建立数学模型研究以下问题： 1. 先不考虑篮球和篮筐的大小，讨论球心命中筐心的条件。对不同的出手高度h和出手速度v，确定出手角度α和篮筐的入射角度β； 2. 考虑篮球和篮筐的大小，讨论球心命中筐心且球入筐的条件。检查上面得到的出手角度α和入射角度β是否符合这个条件； 3. 为了使球入筐，球心不一定要命中筐心，可以偏前或者偏后（球心命中图1中的Q1或Q2点）.讨论保证球入筐的条件下，出手角度允许的最大偏差和出手速度允许的最大偏差； 4. 考虑空气阻力的影响.由于投篮基本上是水平方向且速度不大的室内运动，可以只计水平方向的阻力，设阻力与速度成正比，比例系数k不超过0.05（1/s）. 图1 从罚球点投篮示意图 1.2问题的分析 1.不考虑篮球和篮筐大小的简单情况，相当于将球视为质点（球心）和斜抛运动.将坐标原点定在球心P，列出x(水平)方向和y（竖直）方向的运动方程，就可以得到球心的运动轨迹，于是球心命中筐心的条件就可以表示为出手角度与出手速度、出手高度之间的关系，以及篮筐入射角度与出手角度的关系，由此可对不同的出手速度和出手高度，计算出手角度和入射角度. 2.考虑篮球和筐心的大小时，如图2，篮球直径为d，篮筐直径为D.显然，即使球心命中筐心，若入射角β太小，球会碰到筐的近侧A，不能入筐.由图2不难得出β应满足的、球心命中筐心且球入筐的条件.前面计算结果中不满足这个条件，当然应该去掉. 3.球入筐时球心可以偏离筐心，偏前（图1的Q1点）的最大距离为图3中的Δx，Δx可以从入射角β算出.根据Δx和球心轨迹中x和α的关系，能够得到出手角度α允许的最大偏差Δα.出手速度v允许的最大偏差Δv可以类似地处理. 4.考虑水平方向的空气阻力时，应该用微分方程求解球心的运动轨迹，由于阻力很小，可作适当简化.然后与前面类似地作各种计算. 图2 篮球入筐 图3 球心偏前 1.3基本模型（模型一） 1.不考虑篮球和篮筐大小，不考虑空气阻力的影响，以末出手时的球心P为坐标原点，x轴为水平方向，y轴为竖直方向，篮球在t=0时以出手速度v和出手角度α投出，可视为质点（球心）的斜抛运动，其运动方程是我们熟知的 t)?vtcos?,y(t)?vtsin??gt2x(2 （1） 其中g是重力加速度.由此可得球心运动轨迹为抛物线 2y?xtan??xg2v2cos2? （2） 以x?L,y?H?h代入（2）式，就得到球心命中筐心的条件 tan??v2?2g?gL2?? gL??1?1??H?h? （3） 22???v?2v???可以看出，给定出手速度v和出手高度h，有两个出手角度α满足这个条件，而（3）式有解的前提为 21?2g?v2??H?h?gL?2v2??0 （4） ?可对v解得 v2?g???H?h?L2??H?h?2??? （5） 于是对于一定的出手高度h，使（5）式等号成立的v为最小出手速度vmin，他是h的减函数. 由（3）式计算出的两个出手角度记作?1,?2，且设?1??2，可以看出，?1是h和v的增函数. 结果分析： （1）这里vmin是h的减函数，与实际情况向符：运动员的身高越高，投篮出手点自然也高，此时罚球的射程就越短，从而最小出手速度就越小。也可以说个子矮的运动员比个子高的运动员需要出手速度更大。 （2）?1是h和v的增函数，与实际情况相符：出手角度实际上就是我们俗称的投篮的弧度，当高度h一定时，随着出手速度v的增大，投篮的弧度也会随之增高；当出手速度一定时，随着投篮出手点越高，投篮的弧度也要变高。 2. 球入篮筐时的入射角度β可从下式得到 tan???dy (6) dxx?L 这里的导数由（2）计算代入后可得 tan??tan??2(H?h)L (7) 于是对应于?1,?2，有?1,?2，设?1??2. 结果分析：?1,?2不可能小于0，但是?1,?2有可能小于0.如果?1,?2其中一个小于0，说明球是由篮筐下面穿过筐心的. 3. 考虑篮球和篮框的大小，如图，应注意到即使篮球球心命中球框中心，如果篮球入框时的入射角β太小，球会碰到球框的点（如球框上的A点）而不能落入球框内． 篮球在飞行过程中不接触球框的最起码条件为： sin??d/2dD/2?D (8) 将d?24.6cm，D?45.0cm代入上式，得 ??33.1554? 1.4出手角度和出手速度最大偏差估计（模型二） 在本题给定的篮球直径d和蓝框直径D数据下，容易算出球心命中框心且球入框的入射角?>33.1? 。此外，通过简单的计算，可以得出球心前后偏离框心的最大距离?x满足 ?x?Dd2?2sin? （9） 记出手角度和出手速度的允许的最大偏差的为??和?v，因为出手角度和出手速度的最大偏差可以看作当罚球点到蓝框的水平方向距离L变为L??x引起的偏差，此时蓝框的高度是不发生变化的，于是式（2）可以用方程 x2g??H?h?02v2cos2?xtan? （10） 代替。在式（10）中假设出手速度v不变，?可以看作是x的函数，将式（10）对x求微分，并令x=L代入，有 2d??gL?vsin?cos?dxL(v2?gLtan?) 用??和?x代替d?和dx,得到出手角度允许的最大偏差??与?x的关系 ???gL?v2sin?cos?L(v2?x?gLtan?) （11） 类似地，将式（10）中的出手速度v只看成是x的函数，将式（10）对x求微分，并令x=L代入，有得到出手速度的允许的最大偏差? v与?x的关系 ?v?gL?v2sin?cos?v?xgL2 （12） 1.5空气阻力的影响（模型三） 这里只考虑水平方向的阻力，不考虑垂直方向的阻力，因为投篮时对球运动的阻力主要体现在水平方向上。通常水平方向的阻力与速度成正比，如果设比例系数为k, 则篮球在水平方向上的运动可以由如下微分方程描述： ??d2x??dt2?kdxdt?0?x(0)?0??dx?vcos???dtt?0（13） 这是常系数线性微分方程，用高等数学中的特征方程法可以求出它的解 1?e?ktx(t)?kvcos?（14） 于是得到如下球的运动参数方程： ?1?e?kt??x(t)?vcos??k???y(t)?vsin??t?gt22（15） 注意到通常罚球时阻力并不大（阻力系数一般不超过0.05秒-1），而罚球后球的运动时间也很短（大约1秒左右），因此，我们可以把运动方程（15）中的e –kt在t=0处做泰勒展开并略去t的二次幂以上的项，就可以得到更为简洁的运动方程 ??kvcos??x(t)?vcos??t??t2?2?2??y(t)?vsin??t?gt2（16） 将此式与式（1）相比，可以看到阻力对x(t)的影响因子为(1-kt/2),因为k=0.05,t?1，因此有阻力对命中率的影响约为0.05/2?3%。此外，如果不考虑篮球和蓝框的大小，就有球心命中框心的条件为 ??vcos??t?kvcos??t2??L?0?2???vsin??t?gt22?H?h?0（17） 1.6算法实现和计算结果 由模型一，根据最小速度vmin?gH?gh?gH2?2Hh?h2?L2 ??v2tan和gL得到不同的身高时出手的最小速度和相应的出手角度 (程序见附录一1.1). h(m) vmin(m/s) ?(度) 1.8 7.6789 52.6012 1.85 7.6386 52.3104 1.9 7.5985 52.0181 1.95 7.5585 51.7243 2.0 7.5186 51.4290 2.05 7.4788 51.1324 2.1 7.4392 50.8344 表1 对不同出手高度的最小出手速度和相应的出手角度 由上数据可以得到，最小速度都大于7.0m/s，故只须讨论出手速度v?8.0~9.0m/s 出手高度在1.8~2.1m之间． v2?v4?2gHv2?2ghv2?g2L2tan??再根据公式gLtan??tan??Lg,v2，详细地对不同的身高和不同的速度,计算篮球心能命中篮框的出手角度以及入射角度： （程序见附录一1.2） 表2 不同身高和不同速度命中篮框的出手角度 v(m/s) h(m) ?1(?) ?2(?) ?1(?) ?2(?) 8.0 1.8 62.4099 42.7925 53.8763 20.9213 1.9 63.1177 40.9188 55.8206 20.1431 2.0 63.7281 39.1300 57.4941 19.6478 2.1 64.2670 37.4017 58.9615 19.3698 8.5 1.8 67.6975 37.5049 62.1726 12.6250 1.9 68.0288 36.0075 63.1884 12.7753 2.0 68.3367 34.5214 64.1179 13.0240 2.1 68.6244 33.0444 64.9729 13.3583 9.0 1.8 71.0697 34.1327 67.1426 7.6550 1.9 71.2749 32.7614 67.7974 8.1663 2.0 71.4700 31.3881 68.4098 8.7321 2.1 71.6561 30.0127 68.9840 9.3472 由上面条件得??33.1554?，因为?2均小于33.1554?，故应舍去，出手角度只能是?1，而入射角为?2． 由模型二，利用（11）式和上面的α1，计算出手角度最大偏差Δα和Δα/α,再用（12）、（13）式计算出最大偏差Δv和Δv/v，只将h=1.8,2.0m的结果列出(程序见附录一1.3). 表3 出手角度和出手速度最大偏差 h(m)?? ?v ?(?) v(m/s) |??/?| |?v/v| 1.8 62.4099 8.0 -0.7652 0.0528 1.2261 0.6597 67.6975 8.5 -0.5603 0.0694 0.8276 0.8167 71.0697 9.0 -0.4570 0.0803 0.6431 0.8925 2.0 63.7281 8.0 -0.7100 0.0601 1.1140 0.7511 68.3367 8.5 -0.5411 0.0734 0.7918 0.8640 71.4700 9.0 -0.4463 0.0832 0.6244 0.9243 由模型三，考虑空气阻力：设空气阻力系数k=0.05（1/s）,对出手速度v=8.0~9.0(m/s)和出手高度h=1.8~2.1(m)，由（17）式计算出手角度.（17）式是非线性方程组，可用MATLAB的fsolve求解（程序见附录一1.4） 表4 考虑空气阻力时的出手角度 v(m/s) h(m)考虑空气阻力 不考虑空气阻力 ?1(?) ?2(?) ?1(?) ?2(?) 8.0 1.8 60.7859 43.5424 62.4099 42.7925 1.9 61.6100 41.5693 63.1174 40.9188 2.0 62.3017 39.7156 63.7281 39.1300 2.1 62.9012 37.9433 64.2670 37.4017 8.5 1.8 66.5719 37.7905 67.6975 37.5049 1.9 66.9244 36.2870 68.0288 36.0075 2.0 67.2505 34.7982 68.3367 34.5214 2.1 67.5541 33.3209 68.6244 330.444 9.0 1.8 70.1198 34.2736 71.0697 34.1327 1.9 70.3328 32.9087 71.2749 32.7614 2.0 70.5352 31.5428 71.4800 31.3881 2.1 70.7279 30.1756 71.6561 30.0127 可用表2中的数据，类似的方法求得入射角β，并且可以由此判断出手角度α2是否该舍 1.7结果分析 1.最小出手速度和出手角度（表1） 对应最小出手速度是最小出手角度，它们均随着出手高度的增加而略有减少；出手速度一般不要少于8/s. 2.出手速度和出手高度对出手角度的影响（表2） 速度一定时，出手高度越大，出手角度应该越大，但是随着速度的增加，高度对速度的影响变小，这种影响在1°左右；出手高度一定时，速度越大，出手角度也应越大，速度的影响在7°~9°. 3.出手角度和出手速度的允许偏差（表3） 总的来看，允许偏差都相当小.进一步分析可知，出手高度一定时，速度越大，角度允许偏差越小，而速度的允许偏差越大，且对角度的要求比对速度的要求严格；出手速度一定，高度越大，虽然也是角度允许偏差越小，速度的影响偏差越大，但这时对角度和速度的要求都相对较低. 4.空气阻力的影响 对同样的出手速度和高度，考虑阻力影响时出手角度要大一些（1°~2°） 参考文献 [1] .姜启源.数学模型（第四版）.高等教育出版社.2010 [2] .萧树铁.大学数学-数学实验（第二版）.高等教育出版社（2006） 附录一 1.1程序： H=3.05;l=4.60;V=[];A0=[];i=1; for h=1.8:0.05:2.1 v=sqrt(9.8*(H-h+sqrt(l^2+(H-h)^2))); V(i)=v; a0=atan((v^2)/(9.8*l))/pi*180; A0(i)=a0; i=i+1; end V A0 运行结果： V =7.6789 7.6386 7.5985 7.5585 7.5186 7.4788 7.4392 A0 =52.6012 52.3104 52.0181 51.7243 51.4290 51.1324 50.8344 1.2程序： H=3.05;l=4.60;A1=[;];A2=[;];B1=[;];B2=[;];i=1;j=1; for v=8.0:0.5:9.0 for h=1.8:0.1:2.1 at=sqrt(1-2*9.8/(v^2)*(H-h+9.8*(l^2)/(2*v^2))); a1=atan((v^2)/(9.8*l)*(1+at))/pi*180; a2=atan((v^2)/(9.8*l)*(1-at))/pi*180; b1=atan(tan(a1/180*pi)-2*(H-h)/l)/pi*180; b2=atan(tan(a2/180*pi)-2*(H-h)/l)/pi*180; A1(i,j)=a1;

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