2015高等代数习题库

专插本高等代数习题库

2015《高等代数》试题库

一、 选择题

1．在F[x]里能整除任意多项式的多项式是（ ）。

A．零多项式 B．零次多项式 C．本原多项式 D．不可约多项式

2．设g(x) x 1是f(x) x6 k2x4 4kx2 x 4的一个因式，则k （ ）。

A．1 B．2 C．3 D．4

3．以下命题不正确的是 （ ）。

A. 若f(x)|g(x),则f(x)|g(x)；B.集合F {a bi|a,b Q}是数域；

C.若(f(x),f'(x)) 1,则f(x)没有重因式；

D．设p(x)是f'(x)的k 1重因式，则p(x)是f(x)的k重因式

4．整系数多项式f(x)在Z不可约是f(x)在Q上不可约的( ) 条件。

A. 充分 B. 充分必要 C.必要 D．既不充分也不必要

5．下列对于多项式的结论不正确的是（ ）。

A.如果f(x)g(x),g(x)f(x)，那么f(x) g(x) B.如果f(x)g(x),f(x)h(x)，那么f(x)(g(x) h(x))

C.如果f(x)g(x)，那么 h(x) F[x]，有f(x)g(x)h(x) D.如果f(x)g(x),g(x)h(x)，那么f(x)h(x)

6． 对于“命题甲：将n( 1)级行列式D的主对角线上元素反号, 则行列式变为 D；命题乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) 。

A.甲成立, 乙不成立；B. 甲不成立, 乙成立；C.甲, 乙均成立；D．甲, 乙均不成立 7．下面论述中, 错误的是( ) 。

A. 奇数次实系数多项式必有实根； B. 代数基本定理适用于复数域；

C．任一数域包含Q； D． 在P[x]中, f(x)g(x) f(x)h(x) g(x) h(x)

8．设D aij，Aij为aij的代数余子式, 则

A11A12...A1n

A21A22...A2n

...An1...An2.........Ann

=( ) 。

A. D B . D C.D/ D． ( 1)nD

专插本高等代数习题库

4

9.行列式3

10

2a中，元素a的代数余子式是（ ）。 65 7

A．

40414041

B． C． D．

6 7656 765

10．以下乘积中（ ）是5阶行列式D aij中取负号的项。

A.a31a45a12a24a53； B.a45a54a42a12a33；C．a23a51a32a45a14；D.a13a32a24a45a54

11. 以下乘积中（ ）是4阶行列式D aij中取负号的项。

A.a11a23a33a44； B.a14a23a31a42；C．a12a23a31a44； D.a23a41a32a11

12. 设A,B均为n阶矩阵，则正确的为（ ）。

A. det(A B) detA detB B.AB BA

C． det(AB) det(BA) D.(A B)2 A2 2AB B2

13. 设A为3阶方阵，A1,A2,A3为按列划分的三个子块，则下列行列式中与A等值的是（ ）

A.A1 A2A2 A3A1 A2

A3 A1 B.A1A1 A2

A1

A1 A2 A3 A1 A3

C．A1 A2A3 D.2A3 A1

14. 设A为四阶行列式，且A 2，则AA （ ）

A.4 B.25 C． 25 D.8

15. 设A为n阶方阵，k为非零常数，则det(kA) （ ）

A.k(detA) B.kdetA C．kndetA D.kndetA

16.设A，B为数域F上的n阶方阵，下列等式成立的是（ ）。

A.det(A B) det(A) det(B)；B. det(kA) kdet(A)；

C．det(kA) kn 1det(A)； D.det(AB) det(A)det(B)

17. 设A*为n阶方阵A的伴随矩阵且A可逆，则结论正确的是（ ）

A. (A*)* |A|n 1A B. (A*)* |A|n 1A

专插本高等代数习题库

C．(A*)* |A|n 2A D.(A*)* |A|n 2A

18.如果AA AA I，那么矩阵A的行列式A应该有（ ）。

1

1

A.A 0； B.A 0； C．A k,k 1； D.A k,k 1

19.设A, B为n级方阵, m N, 则“命题甲： A A；命题乙：(AB)m AmBm”中正确的是( ) 。

A. 甲成立, 乙不成立；B. 甲不成立, 乙成立；C．甲, 乙均成立；D.甲, 乙均不成立 20.设A为n阶方阵A的伴随矩阵，则AA （ ）。

*

*

A.A B.A C．A

n2

n

n2 n

D.A

n2 n 1

21.若矩阵A，B满足AB O，则（ ）。

A.A O或B O；B.A O且B O；C．A O且B O；D.以上结论都不正确 22.如果矩阵A的秩等于r，则（ ）。

A.至多有一个r阶子式不为零； B.所有r阶子式都不为零；C．所有r 1阶子式全为零，而至少有一个r阶子式不为零；D.所有低于r阶子式都不为零

23.设n阶矩阵A可逆(n 2)，A是矩阵A的伴随矩阵，则结论正确的是（ ）。

*

A.A

A

n 1

A；B. A A

n 1

A；C． A A

n 2

A；D. A A

n 2

A

24. 设A*为n阶方阵A的伴随矩阵，则||A*|A|=（ ）

A. |A|n B.|A|n C．|A|n

22

n

D. |A|n

2

n 1

25.任n级矩阵A与 A, 下述判断成立的是( )。

A. A A； B.AX O与( A)X O同解；

C.若A可逆, 则( A) 1 ( 1)nA 1；D．A反对称, -A反对称

26.如果矩阵rankA r,则 （ ）

A. 至多有一个r阶子式不为零；B.所有r阶子式都不为零C． 所有r 1阶子式全为零，而至少有一个r阶子式不为零；D．所有低于r阶子式都不为零

27. 设A为方阵，满足AA 1 A 1A I，则A的行列式|A|应该有 （ ）。

A. |A| 0 B. |A| 0 C． |A| k,k 1 D. |A| k,k 1

28. A是n阶矩阵，k是非零常数，则kA ( )。

A. kA； B. kA； C． knA D. |k|nA

29. 设A、B为n阶方阵，则有（ ）.

A.A，B可逆，则A B可逆 B.A，B不可逆，则A B不可逆

专插本高等代数习题库

C．A可逆，B不可逆，则A B不可逆D.A可逆，B不可逆，则AB不可逆

30. 设A为数域F上的n阶方阵，满足A 2A 0，则下列矩阵哪个可逆（ ）。

2

A.A B.A I C．A I DA 2I

31. A,B为n阶方阵，A O，且R(AB) 0，则（ ）。

A.B O； B.R(B) 0； C．BA O；D.R(A) R(B) n

32. A，B，C是同阶方阵，且ABC I，则必有（ ）。

A. ACB I； B. BAC I； C．CAB I D． CBA I 33. 设A为3阶方阵，且R(A) 1，则（ ）。

A.R(A*) 3；B.R(A*) 2； C．R(A*) 1；D.R(A*) 0

34. 设A,B为n阶方阵，A O，且AB O，则（ ）.

A.B O B.B 0或A 0 C．BA O D. A B 2 A2 B2

0040

0000

35. 设矩阵A 1000 ，则秩A=（ ）。

0000 0200

A．1 B．2 C．3 D．4 36. 设A是m n矩阵，若（ ），则AX O有非零解。

A.m n； B.R(A) n； C．m n D.R(A) m

37. A，B是n阶方阵，则下列结论成立得是（ ）。

A.AB O A O且B O； B. A 0 A O；

C．AB 0 A O或B O； D. A I |A| 1

38. 设A为n阶方阵，且R A r＜n，则A中（ ）.

A.必有r个行向量线性无关 B.任意r个行向量线性无关C．任意r个行向量构成一个极大无关组 D.任意一个行向量都能被其他r个行向量线性表示

39. 设A为3 4矩阵，B为2 3矩阵，C为4 3矩阵，则下列乘法运算不能进行的是

（ ）。

A.BCA B.ACB C．BAC D.ABC

40.设A是n阶方阵，那么AA 是（ ）

A. 对称矩阵； B. 反对称矩阵； C．可逆矩阵； D.对角矩阵 41.若由AB AC必能推出B C（A,B,C均为n阶方阵），则A 满足( )。

T

T

T

专插本高等代数习题库

A.A 0 B.A O C．A O D.AB 0

42.设A为任意阶(n 3)可逆矩阵，k为任意常数，且k 0，则必有(kA) 1 （ ）

A.knA 1 B.kn 1A 1 C．kA 1 D.

1 1A k

43.A，B都是n阶方阵，且A与B有相同的特征值，则（ ）

A. A相似于B； B. A B； C． A合同于B； D.A B

44. 设A

1

(B I)，则A2 A的充要条件是（ ） 2

A.B I； （B）B I；C．B2 I D.B2 I

45. 设n阶矩阵A满足A2 A 2I 0，则下列矩阵哪个可能不可逆（ ）

A. A 2I B. A I C． A I D. A 46. 设n阶方阵A满足A2 2A 0，则下列矩阵哪个一定可逆（ ） A. A 2I； B. A I； C． A I D. A 47. 设A为n阶方阵，且R A r＜n，则A中（ ）.

A.必有r个列向量线性无关；B.任意r个列向量线性无关；C．任意r个行向量构成一个极大无关组；D.任意一个行向量都能被其他r个行向量线性表示 48.设A是m n矩阵，若（ ），则n元线性方程组AX 0有非零解。 A. m n B.A的秩等于n C．m n D.A的秩等于m

49. 设矩阵A aij

m n

，AX 0仅有零解的充分必要条件是( ).

A. A的行向量组线性相关 B.A的行向量组线性无关 C．A的列向量组线性相关 D.A的列向量组线性无关 50. 设A, B均为P上矩阵, 则由( ) 不能断言A B； A. R(A) R(B)；B.存在可逆阵P与Q使A PBQ

C．A与B均为n级可逆；D.A可经初等变换变成B

51. 对于非齐次线性方程组AX B其中A (aij)nn,B (bi)n1,X (xj)n1，则以下结论不正确的是（ ）。

A.若方程组无解，则系数行列式A 0；B.若方程组有解，则系数行列式A 0。

C．若方程组有解，则有惟一解，或者有无穷多解； D.系数行列式A 0是方程组有惟一解的充分必要条件

专插本高等代数习题库

10721 012 11

，52. 设线性方程组的增广矩阵是 则这个方程组解的情况是（ ）.

0 2 42 2 00015

A.有唯一解 B.无解 C．有四个解 D.有无穷多个解

53. A,B为n阶方阵,A O，且AB 0，则 （ ）。

A.A 0；B.R(B) n；C．齐次线性方程组(BA)X O有非0解；D.A 0

54. 当 （ ）时，方程组

x1 x2 x3 1

，有无穷多解。

2x1 2x2 2x3

A．1 B．2 C．3 D．4

bx1 ax2 2ab

55. 设线性方程组 2cx2 3bx3 bc，则（ ）

cx ax 0

13

A.当a,b,c取任意实数时，方程组均有解。B.当a 0时，方程组无解。

C．当b 0时，方程组无解。D.当c 0时，方程组无解。

56. 设原方程组为AX b，且R A R A,b r，则和原方程组同解的方程组为( )。

A.ATX b；B.QAX b（Q为初等矩阵）；C．PAX Pb（P为可逆矩阵）；

D.原方程组前r个方程组成的方程组

57. 设线性方程组AX b及相应的齐次线性方程组AX 0，则下列命题成立的是（ ）。 A.AX 0只有零解时，AX b有唯一解；B.AX 0有非零解时，AX b有无穷多个解；C．AX b有唯一解时，AX 0只有零解；D. AX b解时，AX 0也无解 58. 设n元齐次线性方程组AX 0的系数矩阵A的秩为r，则AX 0有非零解的充分必要

条件是（ ）。

A.r n B.r n C．r n D.r n

59. n维向量组 1, 2, , s (3 s n)线性无关的充分必要条件是（ ）

A.存在一组不全为零的数k1,k2, ,ks，使k1 1 k2 2 ks s 0 B. 1, 2, , s中任意两个向量组都线性无关

C． 1, 2, , s中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示 D. 1, 2, , s中任意一个向量都不能由其余向量线性表示

60. 若向量组中含有零向量，则此向量组（ ）

A.线性相关； B. 线性无关； C．线性相关或线性无关；D.不一定 61．设 为任意非零向量，则 （ ）。

专插本高等代数习题库

A.线性相关；B.线性无关；C． 线性相关或线性无关；D．不一定

62.n维向量组 1, 2,... s线性无关， 为一n维向量，则（ ）.

A. 1, 2,..., s， 线性相关；B. 一定能被 1, 2,..., s线性表出；

C． 一定不能被 1, 2,..., s线性表出； D.当s n时， 一定能被 1, 2,..., s线性表出

63. （1）若两个向量组等价，则它们所含向量的个数相同；（2）若向量组{ 1， 2， ， r}线性无关， r 1可由 1, 2, r线性表出，则向量组{ 1， 2，（3） ， r 1}也线性无关；设{ 1， 2，则{ 1， 2，（4）{ 1， 2， ， r}线性无关， ， r 1}也线性无关； ， r}线性相关，则 r一定可由 1, 2， r 1线性表出；以上说法正确的有（ ）个。

A.1 个 B.2 个 C．3 个 D.4个

64．（1）（2）设 1, 2， nn维向量空间V的任意n个线性无关的向量都可构成V的一个基；是向量空间V中的n个向量，且V中的每个向量都可由之线性表示，则 1, 2， n是V的一个基；（3）设{ 1, 2， n}是向量空间V的一个基，如果{ 1， 2， n}与

{ 1, 2， n}等价，则{ 1， 2， n}也是V的一个基；

（4）n维向量空间V的任意n 1个向量线性相关；以上说法中正确的有（ ）个。 A.1 个 B.2 个 C．3 个 D.4个

65． 设向量组 1, 2, 3线性无关。 1, 2, 4线性相关，则（ ）。 A. 1必可由 2, 3, 4线性表示；B. 4必可由 1, 2, 3线性表示；

C． 4必可由 1, 2, 3线性表示； D. 4必不可由 1, 2, 3线性表示

66.设向量组Ⅰ（ 1, 2, r），Ⅱ（ 1, 2, r, r 1, , s）则必须有（ ）。

A.Ⅰ无关 Ⅱ无关； B. Ⅱ无关 Ⅰ无关；C.Ⅰ无关 Ⅱ相关；D.Ⅱ相关 Ⅰ相关

67．向量组A: 1, 2,

, n与B: 1, 2,, m等价的充要条件为（ ）.

A.R(A) R(B)； B.R(A) n且R(B) m；C．R(A) R(B) R(A,B)；D.m n

68．向量组 1, 2,

, r线性无关 ( ) 。

A. 不含零向量； B. 存在向量不能由其余向量线性表出； C．每个向量均不能由其余向量表出； D．与单位向量等价

专插本高等代数习题库

69.已知5(1,0, 1) 3 (1,0,2) (2, 3, 1

)则

2222A.(,1, 2)；B.( ,1, 2)；C．(1,, 2)；D. (1,1, ).

3333

70. 设向量组 1, 2, 3线性无关。 1, 2, 4线性相关，则（ ）。

A. 1必可由 2, 3, 4线性表示；B. 4必可由 1, 2, 3线性表示；

C． 4必可由 1, 2, 3线性表示；D. 4必不可由 1, 2, 3线性表示 71．下列集合中，是R的子空间的为（ ），其中 (x1,x2,x3)'

3

A x3 0 B. x1 2x2 3x3 0 C． x3 1 D. x1 2x2 3x3 1

72． 下列集合有（ ）个是R的子空间；

w1 { (x1,x2, xn)|xi R,x1 x2 xn 0}； w2 { (x1,x2, xn)|xi R,x1 x2 xn}； w3 { (a,b,a,b, ,a,b)|a,b R}； w4 { (x1,x2, xn)|xi为整数}；

73．设 , 是相互正交的n维实向量，则下列各式中错误的是（ ）。

n

A.

2

； B. ；

2

22

C． ；D.

22

A.1 个 B.2 个 C．3 个 D.4个

74.A是n阶实方阵，则A是正交矩阵的充要条件是（ ）。 A.AA 1 I； B.A A/； C．A 1 A/ ； D.A2 I

75．（1）线性变换 的特征向量之和仍为 的特征向量；（2）属于线性变换 的同一特征值（3）相似矩阵有相同的特征多项式； 0的特征向量的任一线性组合仍是 的特征向量；

（4）( 0I A)X 0的非零解向量都是A的属于 0的特征向量；以上说法正确的有（ ）个。

A.1 个 B.2 个 C．3 个 D. 4个

75. n阶方阵A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的（ ）。

A.充要条件；B.充分而非必要条件；C．必要而非充分条件；D.既非充分也非必要条件 76. 对于n阶实对称矩阵A，以下结论正确的是（ ）。

专插本高等代数习题库

A.一定有n个不同的特征根；B. 正交矩阵P，使P AP成对角形；C．它的特征根一定是整数；D.属于不同特征根的特征向量必线性无关，但不一定正交

77. 设 1, 2, 3与 1, 2, 3都是三维向量空间V的基，且

1

则矩阵P 1 1 a1, 2 1 2, 3 1 2 3，

0

（ ）的过渡矩阵。

100

11

是由基 1, 2, 3到1

A. 2, 1, 3 B. 1, 2, 3 C． 2, 3, 1 D. 3, 2, 1

78. 设 ， 是相互正交的n维实向量，则下列各式中错误的是（ ）。

A.

2

B.

2

22

C． D.

22

二、 填空题

1．最小的数环是 ，最小的数域是 。

2．一非空数集P,包含0和1, 且对加减乘除四种运算封闭，则其为 。

3．设f是实数域上的映射，f:x kx( x R)，若f(4) 12，则f( 5)= 。 4．设f(x),g(x) F[x]，若 (f(x)) 0, (g(x)) m，则 (f(x) g(x))= 。 5.求用x 2除f(x) x4 2x3 x 5的商式为 ，余式为 。 6．设a 0，用g(x) ax b除f(x)所得的余式是函数值 。 7．设a,b是两个不相等的常数，则多项式f(x)除以(x a)(x b)所得的余式为____ 8．把f(x) x4 5表成x 1的多项式是。 9．把f(x) 2x x 3x 5表成x 1的多项式是。

10．设f(x) Q[x]使得 (f(x)) 2，且f(1) 1，f( 1) 3，f(2) 3，则

32

f(x)

11．设f(x) R[x]使得degf(x) 3且f(1) 1,f(-1) 3,f(2) 3,则f(x)=____。 12．设f(x) R[x]使得degf(x) 3且f(1) 1,f(-1) 2,f(2) 0,则f(x)=___。 13. 若g(x)f(x),h(x)f(x)，并且 ，则g(x)h(x)f(x)。

专插本高等代数习题库

14. 设g(x)f(x)，则f(x)与g(x)的最大公因式为 。

15. 多项式f(x)、g(x)互素的充要条件是存在多项式u(x)、v(x)使得 。 16. 设d(x)为f(x)，g(x)的一个最大公因式, 则d(x)与(f(x),g(x))的关系 。 17. 多项式f(x) x4 x3 3x2 4x 1与g(x) x3 x2 x 1的最大公因式

(f(x),g(x)) 。

18. 设f(x) x4 x2 ax b。g(x) x2 x 2，若(f(x),g(x)) g(x)，则

a ，b 。

19．在有理数域上将多项式f(x) x3 x2 2x 2分解为不可约因式的乘积。 20．在实数域上将多项式f(x) x3 x2 2x 2分解为不可约因式的乘积 。 21. 当a,b满足条件 时，多项式f(x) x3 3ax b才能有重因式。 22. 设p(x)是多项式f(x)的一个k(k 1)重因式，那么p(x)是f(x)的导数的一个 。 23. 多项式f(x)没有重因式的充要条件是 互素。

32

24．设 1, 2, 3为方程x px qx r 0的根，其中r 0，则

12

23

31

32

25．设 1, 2, 3为方程x px qx r 0的根，其中r 0，则

12

23

31

32

26．设 1, 2, 3为方程x px qx r 0的根，其中r 0，则

12 22 32 。

32

27．设 1, 其中r 0，则 2, 3为方程x px qx r 0的根，

1

2

。

3

28. 按自然数从小到大为标准次序，排列2431的反序数为 。 29．按自然数从小到大为标准次序，排列4132的反序数为 。 30．排列451362的反序数为 。 31．排列542163的反序数为 。 32．排列523146879的反序数为 。

专插本高等代数习题库

33．排列n,n 1,...,2,1的反序数为 。

34. 若9元排列1274i56k9是奇排列，则i _____,k _______。 35. 设n级排列i1i2 in的反数的反序数为k，则 (inin 1

i2i1)= 。

36. 设{i1,i2, ,in} {1,2, ,n},则 (i1i2 in) (inin 1 i1) 。 37. 当k ， 时，5阶行列式D的项a12a2ka31a4a53取“负”号。

321533205338. 。

7228472184

110

220

3

303 30

39．202

aa1

40．a

b1 ba1ab

c

41． b

c2

42. 1

ca 。 ab0

1

4 1 _________________。 1831

2 4

43． 2

21 ________________。 34 2

0000

44. 0

0000

0x2x0000

0 15 ， x _________________。 00

03x

0450

45. f(x)

x1233x1223x1123x

, 则f(4) ______________________。

专插本高等代数习题库

xa2

46. 设n 2,a1,a2, ,an两两不同, 则

...

an

47. Dn 0n

00

1

a1...a1x...a2

的不同根为 。

.........an

...

x

20

=______________。

00

00

n 1 0

10

102 01 ，则AB= 。

B 48．A ,

013 45

12a

49. 设行列式2

03中，余子式A21 3，则a＝__________。

369

12a

50. 设行列式2

03中，余子式M22 3，则a＝__________。 369

1

51. 设A

013

11 12

，则A14 A24 A34 A44 。

11 10 2214

11

52行列式23 的余子式M21 M22 M23的值为。 49

111 123

53.设A 11 1 ，B 1 24 ,则AB ____________。

1 11 051 121 1 23

54．设A 122 ，B 1 2 4 ,则3AB 2B____________。

1 11 311 123 043

55．设A 04 1 ， B 120 ,则A 3B ____________。

101 591

专插本高等代数习题库

101 1 11

23 ，则(AB)'＝_____________。 56. 设A 020 ，B 1

111 102

1 11 101

23 B 020 ，则(AB)'＝_____________。 57. 设A 1

102 101

58．设矩阵A可逆，且A 1，则A的伴随矩阵A的逆矩阵为 。 59．设A、B为n阶方阵，则(A B)2 A2 2AB B2的充要条件是 。 60．一个n级矩阵A的行（或列）向量组线性无关，则A的秩为 。 61. 设P、Q都是可逆矩阵，若PXQ B，则X 。

1221

62. 设A 21 2 2 ，则R(A) 。

1 1 4 3

1 23 11

63. 设A 3 15 32 ，则R(A) 。

212 23 1 112

64. 设矩阵A 3 12 ，且R(A) 2,则

53 6

65. 设A为n阶矩阵，且A 1,则 R(A) ______________。

, 。

66. A

21 1

,则A ________________。 53

12 1

A ________________。 67.A ,则

25

k01 1

68. 已知A 01 1 ,其中k 0，则A _________________。

001

69. 若A为n级实对称阵，并且AA O，则A= 。

/

专插本高等代数习题库

1

70. 设A为5阶方阵，且detA 3，则detA ，det(AA ) ，A的伴随矩

阵A的行列式det(A ) 。

100

*

71. 设A 220 ，A是A的伴随矩阵，则(A ) 1= 。

345 12 1

*

72. 设A 34 2 ，A是A的伴随矩阵，则(A ) 1= 。

5 31 124 1

73.A 012 ,则(A*) ____________。

121

*

74. 设A为4阶矩阵，且A 2,则 2AA ____________。

1

75. A为3阶矩阵，A 0.5，则(2A) 5A=（ ）。

76. 设

25 4 6

,则X ____________。 X 13 21

77. A,B,C是同阶矩阵，A 0,若AB AC,必有B C，则A应是 _____。 78. 设A

1

(B I)，则A2 A的充要条件是 。 2

79.一个齐次线性方程组中共有n1个线性方程、n2个未知量，其系数矩阵的秩为n3，若它有非零解，则它的基础解系所含解的个数为 。

80.含有n个未知量n个方程的齐次线性方程组有非零解的充分且必要条件是 。 81.线性方程组有解的充分必要条件是 。

x1 x2 x3 a1

82. 方程组 x1 x2 x3 x4 a2有解的充要条件是 。

2x 2x x a

2343 x1 x2 a1

83. 方程组 x2 x3 a2有解的充要条件是 。

x x a

13 3

专插本高等代数习题库

84. A是n n矩阵，对任何bn 1矩阵，方程AX b都有解的充要条件是_______。 85．已知向量组 1 (1,2,3,4)， 2 (2,3,4,5)， 3 (3,4,5,6)，

3 (4,5,6,7)，则向量 1 2 3 4 。

86.若 1 2

s 0，则向量组 1, 2,, s必线性 。

87.已知向量组 1 (1,2,3,4)， 2 (2,3,4,5)， 3 (3,4,5,6)，

3 (4,5,6,7)，则该向量组的秩是

88. 若 可由

1, 2, , r唯一表示, 则 1, 2, , r线性 。

89. 单个向量 线性无关的充要条件是_____________。 90. 设

1, 2, , m为n维向量组, 且R( 1, 2, , m) n，则nm。

91. n 1个n维向量构成的向量组一定是线性 的。（无关，相关） 92.已知向量组 1 (1,0,1), 2 (2,2,3), 3 (1,3,t)线性无关，则t _______。 93. 向量组{ 1, 2, , n}的极大无关组的定义是___________。

94. 设t1,t2, ,ts两两不同, 则 i (1,ti,ti2, ,tir 1),i 1,2, ,r线性 95.二次型f(x,y,z) x2 y2 z2 xy xz yz的矩阵是____________.

0 11

是正定阵，则k满足条件__________________。

096. A 1k

00k 2

222

97 . 当t满足条件 ，使二次型f x1 2x2 3x3 2x1x2 2x1x3 2tx2x3是正定的。

98. 设n阶实对称矩阵A的特征值中有r个为正值，有n r为负值，则A的正惯性指数和负惯性指数是 。

99. A相似于单位矩阵，则A = _______________。 100. A相似于单位阵，A ______________。

7 0

101. 矩阵A

0 0

08000031

0 0

的特征值是____________。 4 3

专插本高等代数习题库

2 0

102. 矩阵A

0 0

03000041

0 0

的特征值是____________。 6 3

103. 设A为3阶方阵，其特征值为3，—1，2，则 A 。 104.A满足A 2A I 0，则A有特征值______________________。

105. 设n阶矩阵A的元素全为1，则A的n个特征值是 。

106. 设矩阵A是n阶零矩阵，则A的n个特征值是 。 107. 如果A的特征值为 ，则A的特征值为。

108. 设 (x1,x2,x3)是R的任意向量，映射 ( ) (cosx1,sinx1,0)是否是R到自身的线性映射 。

109. 设 (x1,x2,x3)是R的任意向量，映射 ( ) (x12,x22,x32)是否是R到自身的线性映射 。

110. 若线性变换 关于基 1, 2 的矩阵为

3

3

3

3

T

2

ab

，那么线性变换 关于基 3 2, 1

cd

的矩阵为 。

111. 对于n阶矩阵A与B，如果存在一个可逆矩阵U,使得 ，则称A与B是相似的。 112.实数域R上的n阶矩阵Q满足 ，则称Q为正交矩阵。

113.实对称矩阵的属于不同特征根的特征向量是彼此 。

114. 复数域C作为实数域R上的向量空间，则dimC _____，它的一个基为____。 115. 复数域C作为复数域C上的向量空间，则dimC ____，它的一个基为_____。 116. 复数域C作为复数域C上的向量空间，则dimC ___________。

117. 设V是数域C上的3维向量空间， 是V的一个线性变换，{ 1， 2， 3}是V的一

111

个基， 关于该基的矩阵是 123 ， 1 2 3，则 ( )关于{ 1， 2， 3}

12 3

的坐标是____________。

118. 设{ 1, 2, n}是向量空间V的一个基，由该基到{ 2， ， n， 1} 的过渡矩阵为___________________。

119. 设{ 1, 2， ， n}是向量空间V的一个基，由该基到{ n， n 1 ， 1} 的过渡矩阵为__________。

120. 设V与W都是F上的两个有限维向量空间，则V W 。 121. 数域F上任一n维向量空间都却与F。（不同构，同构）

n

专插本高等代数习题库

122. 任一个有限维的向量空间的基是____的，但任两个基所含向量个数是_____。

/

123. 令S是数域F上一切满足条件A A的n阶矩阵A所成的向量空间，则

dimS

124. 设 为变换，V为欧氏空间，若 , V都有

( ), ( ) , ，则

为

125. 在R3中, 1 1,2,3 , 2 0,1,2 ,1, 3 。 126. 在欧氏空间C[ 2,2]里x的长度为__ _ __。 127. 在欧氏空间C[ 2,2]里x的长度为_________。

128. 设 L(V),V是欧氏空间，则 是正交变换 。 129. 设 a1,a2, ,an , b1,b2, ,bn ，则在R中,

n

2

,

三、计算题

1.把f(x) 5x4 6x3 x2 4按x 1的方幂展开.

2．利用综合除法，求用g(x)去除f(x)所得的商及余式。f(x) 2x5 5x3 8x，

g(x) x 3。

3．利用综合除法，求用g(x)去除f(x)所得的商及余式。f(x) x5 3x 1，g(x) x 2。 4.已知f(x) x4 4x3 1,g(x) x2 3x 1 ,求f(x)被g(x)除所得的商式和余式。

x,)g(x)5.设f(x) x4 2x3 4x2 4x 3,g(x) 2x3 5x2 4x 3，求f((f(x),g(x))。

的最大公因式

6．求多项式f(x) x3 x2 2x 4与g(x) x3 2x2 4x 1的最大公因式．

7. 求多项式f(x) 4x 2x 16x 5x 9，g(x) 2x x 5x 4的最大公因式

4

3

2

3

2

d(x)，以及满足等式f(x)u(x) g(x)v(x) d(x)的u(x)和v(x)。

8.求多项式f(x) x x 4x 4x 1，g(x) x x 1的最大公因式d(x)，以及满足等式f(x)u(x) g(x)v(x) d(x)的u(x)和v(x)。

9.令F是有理数域，求出F[x]的多项式f(x) 4x 2x 16x 5x 9，

4

3

2

4

3

2

2

专插本高等代数习题库

g(x) 2x3 x2 5x 4的最大公因式(f(x),g(x))，并求出u(x),v(x)使得

f(x)u(x) g(x)v(x) (f(x),g(x))。

10. 令F是有理数域，求F[x]的多项式

f(x) x4 2x3 4x2 4x 3,g(x) 2x3 5x2 4x 3的最大公因式。

11. 设f(x) x4 2x3 x2 4x 2，g(x) x4 x3 x2 2x 2，求出

u(x),v(x)，使得u(x)f(x) v(x)g(x) (f(x),g(x))。

12.已知f(x) x4 2x3 x2 4x 2,g(x) x4 x3 x2 2x 2，求

u(x),v(x),使得f(x)u(x) g(x)v(x) (f(x),g(x))。

13.在有理数域上分解多项式x 2x 2x 1为不可约因式的乘积。 14.a,b应该满足什么条件，有理系数多项式x 3ax b才能有重因式。 15.求多项式f(x) 3x4 5x3 x2 5x 2的有理根。 16.求多项式f(x) 4x4 7x2 5x 1的有理根。 17．求多项式f(x) x3 6x2 15x 14的有理根。 18.求多项式f(x) x x

5

4

32

3

531

x 2x2 x 3的有理根。 22

19.求多项式f(x) 3x4 8x3 6x2 3x 2的有理根。 20.求多项式x x 6x 14x 11x 3的有理根。

21.求一个二次多项式f(x)，使得：f(1) 0,f(2) 3,f( 3) 28。 22.问 取何值时，多项式f(x) x x 2，g(x) x x 2有实根。 23.用初等对称多项式表示n元对称多项式f 24.用初等对称多项式表示n元对称多项式f 25.请把n元对称多项式

3

2

5

4

3

2

xx

22

12。

xx。

312

xxx

3

123

表成是初等对称多项式的多项式。

专插本高等代数习题库

3126.求行列式1

2的值。 2412

27.求行列式D

3428.求行列式D

12

29.求行列式D

22

2341341241

的值。 23

111234

的值。

36104102022222232

22

的值。 24

1234

30.求行列式D

2341

的值。

341241233

1

1313

2 4

的值。 1 3

51201 5

31.求行列式D

13 515 27 2

32.求行列式的值。

21 4 1 3 463

y0

x

x0

33.求行列式

0xy0

10

y0

的值。 0yx00 1 1 1 11

c1

d0

34.把行列式

ab 1 1

依第三行展开然后加以计算。

专插本高等代数习题库

aaaaaa baa

35.求行列式D 的值。

aaa caaaaa d

3

36.求行列式 5

1234的值。 74

1

1 x11111 x11

37.求行列式D 的值。

111 y11111 y

x

38.求行列式D

yx y

x

x yxy

的值。

yx y

a

39.计算n阶行列式

11 a

1

x a

ax aaaaaa

111 a

aax aa

aaax

a

11

40.计算n阶行列式D

x a

41. 计算n阶行列式

a a

a a

x00y

x a a

a x a

yx00

0...0y...00...x0...0

00yx

42. 计算n阶行列式Dn ...............

专插本高等代数习题库

xz

43. 计算n阶行列式Dn

yxzzz

yyxzz

yyyxz

yyyyx

zzz

xaax

44. 计算n阶行列式Dn

aa

a1a2a3a11 a2a3

45. 计算n阶行列式a1a21 a3

a a

x

ananan

a1a2a31 an

10 00

a1 1 00

a1

0a21 a2 00

1

00

000 1

1

000

an1 an

11 a1

46.计算n阶行列式

a3 00

1

1 an 1

47.计算n阶行列式Dn

1 1a b10 0

1 a21 1ab

1

(a1a2 an 0) 000

000

(其中a b)

10

1 an

48.计算n阶行列式Dn

a bab 1a b 0

0

1a b

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/sdpe.html