奥数第4讲.竞赛班 学生版

鼓励自己的最好办法，就是鼓励别人——马克·吐温

第四讲巧求周长与面积

1. 掌握巧求周长与面积的基本方法；

2. 理解并掌握割补、平移等数学思想方法。

巧求周长 GHEF

【例1】 （2007年“希望杯”第一试）右图中的阴影部分

长BCGF是正方形，线段FH长18厘米，线段AC厘24厘米，则长方形ADHE的周长是__________

米。 CDAB

【分析】 由于图中阴影部分BCGF是个正方形，其四条边的边长都相等，且等于长方形ADHE的宽。

FH?AC的和应为长方形ADHE的长加上正方形BCGF的边长，所以等于长方形ADHE的长与宽之和。所以长方形ADHE的周长为：(18?24)?2?84厘米。

DC

丙【例2】 如右图所示，在一个正方形内画中、小两个正方形，使三

EJ个正方形具有公共顶点，这样大正方形被分割成了正方形乙F区域甲，和L形区域乙和丙。甲的边长为4厘米，乙的边I长是甲的边长的1.5倍，丙的边长是乙的边长的1.5倍，那甲么丙的周长为多少厘米？EF长多少厘米？

AGHB

【分析】 乙的周长实际上是正方形AHJE的周长（我们可将乙与甲重合的两条线段分别向左、向下平移），

同样的，丙的周长也就是正方形ABCD的周长。由于AE?4?1.5?6，AD?6?1.5?9，所以丙的周长为9?4?36厘米，

。 EF?AE?AF?6?4?2（厘米）

【例3】 用若干个边长都是2厘米的平行四边形与三角形（如右图）拼接成一个大的平行四边形，已知大

平行四边形的周长是244厘米，那么平行四边形和三角形各有多少个？

【分析】 大平行四边形上、下两边的长为(244?2?2)?2?120厘米，观察上边，每6厘米有两个平行四边

形的边，所以共有小平行四边形120?6?2?40个，三角形的数量与小平行四边形的数量相等，也

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是40个。

[拓展] 用若干个边长都是2厘米的平行四边形与

右图）拼接成一个大的平行四边形，已知

形的周长是236厘米，那么平行四边形和三角形各有多少个？

[分析] 大平行四边形上、下两边的长为(236?2?2)?2?116厘米，观察上边，每6厘米有两个平行四边形

的边，116?6?19L2，所以有三角形19?2?38个，小平行四边形38?1?39个。

【例4】 有9个小长方形，它们的长和宽分别相等，用这9个小

长方形拼成的大长方形(如图)的面积是45平方厘米，求这个大长方形的周长。

【分析】 从图上可以知道，小长方形的长的4倍等于宽的5倍，所以长是宽的5?4?1.25倍。每个小长方

形的面积为45?9?5平方厘米，所以1.25?宽?宽?5，所以宽为2厘米，长为2.5厘米。大长方形的周长为(2.5?4?2?2.5)?2?29厘米。

[拓展] 右图的长方形被分割成5个正方形，已知原长方形的面积为

三角形（如大平行四边

120平方厘米，求原长方形的长与宽。

[分析] 大正方形边长的2倍等于小正方形边长的3倍，所以大正方形的边长是小正方形边长的1.5倍，大正

方形的面积是小正方形面积的1.5?1.5?2.25倍，所以小正方形面积为120?(2.25?2?3)?16平方厘米，所以小正方形的边长为4厘米，大正方形的边长为6厘米，原长方形的长为4?3?12厘米，宽为4?6?10厘米。

【例5】 （希望杯培训题）如右图所示，在一个正方形上先截去宽11分米的长

方形,再截去宽7分米的长方形，所得图形的面积比原正方形减少301平方分米。原正方形的边长是______分米。

711E1D1EDC1CB鼓励自己的最好办法，就是鼓励别人——马克·吐温 【分析】 把截去的两个长方形拼在一起，如右下图所示，再补上长11分米、宽7分米的小长方形，所得长方形的面积是301?11?7?378平方分米，这长方形的长等于原正方形的边长，宽为11?7?18分米，所原正方形边长为：378?18?21分米。

A1A个以

巧求面积 36

C AD2016B

30E【例6】 如图，一个矩形被分成八个小矩形，其中有五个

12矩形的面积如图中所示（单位：平方厘米），问

F大矩形的面积是多少平方厘米？

【分析】 通过分析题目中的已知条件可以看出，面积为16平方厘米和面积为20平方厘米的两个长方形的

宽相等，即BC相等，不妨假设BC?2厘米，可以算得：AC?8厘米，CD?10厘米。于是可以算得：GC?36?8?4.5厘米，BE?30?10?3厘米，EF?12?8?1.5厘米。于是大长方形的长为10?8?18厘米，宽为4.5?2?3?1.5?11厘米，因此大长方形的面积为18?11?198平方厘米。

【例7】 一块正方形的苗圃（如右图实线所示），若将它的边

长各增加30米（如图虚线所示），则面积增加9900平方米，问原来这块正方形苗圃的面积是多少平方米？

【分析】 小正方形的面积为：30?30?900平方米。用增加的

面积减去小正方形的面积就得到增加的两个长方形

的面积和，为：9900?900?9000平方米。而增加的两个长方形的面积相等，于是其中一个长方形的面积为9000?2?4500平方米。长方形的宽为30米，那么长为：4500?30?150米，这就是原来这块正方形苗圃的边长，原来这块正方形苗圃的面积为150?150?22500（平方米）。

C1 DC 【例8】 长方形ABCD的周长是30厘米，以这个长方形的每一条边为边长向外画正方形。GA1AB 鼓励自己的最好办法，就是鼓励别人——马克·吐温

已知这四个正方形的面积之和为290平方厘米，那么长方形ABCD的面积是多少平方厘米？

【分析】 从图形我们可以看出，A1B的长度恰好为长方形的长与宽之和，即为长方形ABCD周长的一半，可

以看出若以A1B和BC1为边能构成大正方形A1BC1E1（如右图b所示），其中包含两个长方形和两个正方形，而且两个长方形的面积是相等的，两个正方形的面积刚好是290平方厘米的一半。这样我们容易求出：大正方形A1BC1E1的边长为30?2?15厘米，面积为：15?15?225平方厘米，正方形。长方形ABCD与长方形EDD1E1CDD1C1与正方形ADEA1的面积之和为：290?2?145（平方厘米）

的面积相等。所以，长方形ABCD的面积为：(225?145)?2?40（平方厘米）。

[巩固] 用两块长方形纸片和一块正方形纸片拼成一个大正方形，长方形

纸片面积分别为44平方厘米与28平方厘米，原正方形纸片面积是多少平方厘米？

[分析] 做辅助线，如右下图，小正方形Ⅰ的面积为44?28?16，所以

。 a?4,b?28?4?7，原正方形面积为7?7?49（平方厘米）

【例9】 如图，正方形ABCD的边长是5，E，F分别是AB和BC的中点，

求四边形BFGE的面积。 A【分析】 如下图，利用割补法，原正方形面积等于5个小正方形

面积之和，所以每个小正方形面积是5?5?5?5，而阴

E影部分面积等于1个小正方形面积，所以也是5。

B 综合应用 【例10】 把正三角形的每条边三等分，以各边的中间一段为边向外 ADEGBDFCGFC中大中图a中作鼓励自己的最好办法，就是鼓励别人——马克·吐温

小正三角形，得到一个六角形。再将这个六角形的六个“角”（即小正三角形）的两边三等分，又以它的中间段为边向外作更小的小正三角形，这样就得到如右图所示的图形。如果所作的最小的小正三角形的面积为1平方厘米，求如图中整个图形的面积。

【分析】 题目中出现了大、中、小三种规格的正三角形(如图a)，由已知，图中最小的小正三角形的面积

是1平方厘米，于是我们就以1平方厘米的小正三角形为单位，对图a进行分割，得到图b。从图b可以看出，一个大正三角形中包含9个中正三角形，一个中正三角形中包含9个小正三角形。由此可以求出，一个大正三角形中包含9?9?81个小正三角形，在图a中，除了一个大三角形之外，还有3个中正三角形和12个小正三角形，所以整个图形中共含有小三角形的个数为：9?9?3?9?12?120个，而每个小正三角形的面积为1平方厘米，所以图a中图形的面积为120平方厘米。

图bH 甲丁B

【例11】 （“迎春杯”初赛）如右图，甲、乙、丙、丁四个长方形拼

成一个正方形EFGH，中间阴影为正方形。已知甲、乙、丙、

D乙丙丁四个长方形面积的和是32平方厘米，四边形ABCD的面积

GFC是20平方厘米，求甲、乙、丙、丁四个长方形周长的总和。

【分析】 甲、乙、丙、丁四个长方形的长与宽之和的总和等于大正方形的周长，所以甲、乙、丙、丁四个

长方形的周长的总和等于大正方形的周长的2倍。大正方形的面积等于四边形ABCD的面积加上甲、乙、丙、丁面积和的一半，即20?32?2?36平方厘米，所以大正方形边长为6厘米，所以甲、乙、丙、丁四个长方形周长的总和为6?4?2?48厘米。

21

5

3

444

【例12】 （2006年“希望杯”第二试）如右图，用标号为1，2，3，4，5的五种大小不同的正方形拼成

一个大长方形，大长方形的长和宽分别是18，14，则标号为5的正方形的面积是多少？

【分析】 如果标号为5的正方形的边长是a，那么1号比2号大a，2号比3号大a，所以1号比3号大2a，

又因为2号和3号的边长之和是14，1号和2号的边长之和是18，所以1号比3号大18?14?4，即2a?4，a?2，标号为5的正方形的面积是2?2?4。 EA[巩固] （希望杯培训题）小军用编号为1，2，3，4，5的大小不31425330厘米4222厘米1

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