01热力学与统计物理大总结

热力学与统计物理总复习

一、填空题

1、理想气体满足的条件：

①玻意耳定律?温度不变时，PV?C? ②焦耳定律?理想气体温标的定义P?T?

?在相同的温度和压强下③阿伏伽德罗定律，相等体积所含各种气体的物质的量相等，即n?V11等于kT ，即：axi2?kT22?

2、能量均分定理： 对于处在温度为T的平衡状态的经典系统，粒子能量中每一个平方项的平均值???。广义能量均分定理：xi???x?j????ijkT??。

3、吉布斯相律：f?k?2??其中k是组元数量， ?是相的数量。4、相空间是 2Nr 维空间，研究的是：一个系统里的N个粒子 ；?空间是 2r 维空间，研究的是： 1个粒子 。

二、简答题

1、特性函数的定义。

答：适当选择独立变量，只要知道一个热力学函数，就可以通过求偏导数而求得均匀系统的全部热力学函数，从而把均匀系统的平衡性质完全确定。这个热力学函数即称为特性函数。

2、相空间的概念。

答：为了形象地描述粒子的力学运动状态，用q1,?,qr;p1,?,pr共2r个变量为直角坐标，构成一个2r维空间，称为?空间。

根据经典力学，系统在任一时刻的微观运动状态由f个广义坐标q1,q2,?,qf及与其共轭的f个广义动量p1,p2,?,pf在该时刻的数值确定。以q1,?,qf;p1,?,pf共2f个变量为直角坐标构成一个2f维空间，称为相空间或?空间。

3、写出热力学三大定律的表达和公式，分别引出了什么概念？

答：热力学第零定律：如果物体A和物体B各自与处在同一状态的物体C达到热平衡，若令A与B

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进行热接触，它们也将处在热平衡，这个经验事实称为热平衡定律。即gA(PA,VA)?gB(PB,VB)，并引出了“温度T”这概念。

热力学第一定律：自然界一切物质都具有能量，能量有各种不同形式，可以从一种形式转化为另一种形式，从一个物体传递到另一个物体，在传递与转化中能量的数量不变。即dU?dQ?dW，并引出了“内能U”的概念。

热力学第二定律：克氏表述：不可能把热量从低温物体传到高温物体而不引起其他变化。开氏表述：

dQ不可能从单一热源吸热使之完全变成有用的功而不引起其他变化。即dS?，其中取代表可逆“?”T“?”过程，取代表不可逆过程，该定律引出了“熵S”的概念。

4、热力学第三定律的表达和公式。

答：能斯特定理：凝聚系的熵在等温过程中的改变随热力学温度趋于零，即lim(?S)T?0。

T?0绝对零度（T=0）不能达到原理：不可能通过有限的步骤使一个物体冷却到热力学温度的零度。 这两种表述即为热力学第三定律。

5、卡诺循环的四个过程

答：①等温膨胀过程：气体与温度为T1的高温热源保持热接触，从状态Ⅰ(P1,V1,T1)等温膨胀而达状态Ⅱ(P2,V2,T1)。在这过程中气体吸收的热量

Q1为：Q1?RT1lnV2。 V1②绝热膨胀过程：气体由状态Ⅱ(P2,V2,T2)绝热膨胀而达状态Ⅲ(P3,V3,T2)。在这过程中气体吸收的热量为零。

③等温压缩过程：气体与温度为T2的低温热源保持热接触，从状态Ⅲ(P3,V3,T2)等温压缩而达状态Ⅳ

(P4,V4,T2)。在这过程中气体放出的热量Q2为：Q2?RT2lnV3。 V4④绝热压缩过程：气体由状态Ⅳ(P4,V4,T2)绝热压缩而回到状态Ⅰ(P1,V1,T1)。在这过程中气体吸收的热量为零。

整个循环过程完成后，内能变化为零，所做净功W为Q1?Q2，则热功转化效率为：

??TQ1?Q2QTVVVV?1?2?1?2?(ln3)ln2，由于TV??1?C得2?3，所以??1?2。

V4V1T1Q1Q1T1V1V4

6、特性函数全微分形式 内能 dU?TdS ?PdV 焓 dH?TdS ?VdP

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自由能 dF??SdT?PdV 吉布斯自由能 dG??SdT?VdP

7、麦克斯韦关系式

答：偏导数关系，即麦克斯韦关系：

??T???P? ?????? ??V?S??S?V??T???V? ????? ??P?S??S?P??S???P? ????? ??V?T??T?V??S???V? ?????? ??P?T??T?P

8、等概率原理

答：对于处于平衡状态的孤立系统，系统各个可能的微观状态出现的概率是相等的。

9、系综理论的概念

答：在一定的宏观条件下，大量性质和结构完全相同的、处于各种运动状态的、各自独立的系统的集合。

10、系综的分类

答：系综分为：微正则系综、正则系综和巨正则系综。

微正则系综：由能量E、粒子数N和体积V确定的孤立系统的集合。

正则系综： 由温度T、粒子数N和体积V确定的封闭系统的集合。

巨正则系综：由温度T、化学势?和体积V确定的开放系统的集合。

四、证明题

1、推导出爱因斯坦热容公式，并说出其物理意义和历史意义。

解：固体中原子的热运动可以看成3N个振子的振动。爱因斯坦把3N个振子的振动频率?看作相等

??1???l振子的能级为?n???(n?)，配分函数Z1??e??e2n?0n?01????(n?)2e2 ?????1?e????则固体内能：U??3N

???3N??lnZ1?3N? ??2e????1- 3 -

??U?????所以：CV????3Nk???TkT????2e(e??kT??kT

?1)22??? 令k?E???， 则爱因斯坦热容公式：CV?3Nk?E??T??E?EeT(eT?1)2?E

其物理意义是：当T???E时，可以近似取eT?1??ET，则CV?3Nk，其结果和能量均分定理的结果

相同。这个结果的解释是，当T???E时，能级间距远小于kT,能量量子化的效应可以忽略，因此经典统计是适用的。

?E当T???E时，?TEe?1?eT振子由于热运动取得的能量??而跃迁到激发态的概率是极小的，因此几乎全部振子都冻结在基态。当温度升高时，他们几乎不吸收能量，因此对热容没有贡献。 其历史意义是推动力量子力学的发展

2、推导出玻尔兹曼统计分布公式。

??E??TEC?3Nk??e ，则得V ，温度趋于零时，振子能级间距??远大于kT，?T?2?解：?微观状态数Ω?N!al?，且lnm!?m(lnm?1)， ?l?al!lllllll则lnΩ?lnN!??lna!??aln??NlnN??alna??aln?

llllll?al?al?，必使?lnΩ?0，则?lnΩ???ln?要使lnΩ为极大的分布??l?l又由于?al不完全独立,?N???al?0，?E???l?al?0

ll????al?0 ???al则?lnΩ???N???E????ln??l???l??al则得??ln??l?3???l?????????l??al?0 ?????a1????????????a?0ln?????，???l?l1??a1?0， ?????1?????a2???ln??????????2??a2?0 ??2???al所以ln????l?a???????l?0，l?1,2,3,??，即得：l???le?????l

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3、光子的化学势??0，用光子玻色子气体的统计分布：al??le??l?1，推导出普朗克公式。

解：光子的自旋量子数为1，则光子有两个自旋投影。光子在p?p?dp的动量范围内，光子的量子态数为：?l?2?4?V28?V2pdp?pdp 33hh??h?? c2?c由于光子的能量：?????pc，则得p?则在????d?的圆频率范围内，光子的量子态数为：?l?V?2d? 23?cV????2U?U(?,T)d??a????d????kT? 于是得：?ll23??e?1?c??l所以U(?,T)d????e??kT3VV???23?2d??23??kTd? ?1?c?ce?1五、计算题

1.8 满足pVn?C（常量）的过程称为多方过程，其中常数n称为多方指数。试证明：理想气体在多方过程中的热容Cn为Cn?n??CV n?1??Q???U???V???V?解：Cn?lim??????p???CV?p?? ?T?0?T?T?T?T??n??n??n??n（由于pVn?C，PV??RT，消去压强P可得：TVn?1?C，对此式进行微分得：1常量）V??V?Vn?1dT?(n?1)Vn?2TdV?0，所以?， ???(n?1)T??T?nC且由于CP?CV??R，P??，则得(??1)CV??R

CV则得Cn?CV?PV?R???1?n???CV??CV?1?CV ??T(n?1)n?1?n?1?n?1★1.11 大气温度随高度降低的主要原因是在对流层中不同高度之间的空气不断发生对流。由于气压

随高度而降低，空气上升是膨胀，下降时收缩。空气的热导率很小，膨胀和收缩的过程可以认为是

dT绝热过程。试计算大气温度随高度的变化率，并给出数值结果。【提示：根据流体静力学可导出

dz气压随高度的变化率

?dT?dp(z)??1T(z)????(z)g，?而再利用理想气体的绝热方程求出?，从而可??dz?p(z)?dp?S- 5 -

以求出

dT(z)dT(z)??(??1)Mg。，数值结果：?10K?km?1】

dz?Rdz解：由于P(z?dz)?P(z)??(z)gdz，则在z处的压强：P(z)?P(z?dz)??(z)gdz 而

P(z?dz)?P(z)?ddP(z)dz???(z)gP(z)dz，代入上式得 dzdzM ?(z)以M表示大气的平均摩尔质量，则在高度为z处，大气的摩尔体积为

dMgP(z)dz??P(z)M?RT(z)，所以dz则物态方程：P(z)? RT(z)?(z)（附加：由上式得：

dP(z)MgMgz??dz?lnP(z)???C?P(z)?P0e?MgzRT） P(z)RTRTP??1pV?C??????C??T???1T又由于，则得 ???T?P?P??s?PV?RT然而

dd??1Mg??T?d T(z)???P(z)，则得T(z)??dzdz?R??P?SdzdT(z)??10K?km?1 dz有题意：

??1.41，M?29?10?3kg?mol?1，g?9.8m?s，代入得

1.13 由于lnF(T)??dT，绝热过程中，当?为温度的函数时，理想气体卡诺循环的效率仍为

(??1)T??1?T2。 T1解：W???PdV??RT?则W总?Q1?Q2?RTlndVVV??RTlnB,等温吸收的热量Q??W?RTlnB VAVVAVAVBVV2?RTln3， V1V4由于绝热过程：CVdT?PdV?0，PV??RT，CV?1dTdV?R??0， ，得

??1TV??1V2V3?V1V4

再有题意得F(T)V?C，所以得故得W总?R(T1?T2)lnF(T1)V2?F(T2)V3，F(T2)V4?F(T1)V1?V2WT????1?2 V1Q1T1- 6 -

1.14 试根据热力学第二定律证明两条绝热线不能相交。

解：如P—V图，其中AB线为等温线，AC、BC都为绝热线。则由图可得TA?TB， 在等温过程

Q1??PdV?RTA?VBAB中从外界吸热

dVV?RTAlnB，在BC、CA过程中所吸收以及放VAVVA的热为零，因此所吸收的热对外做的功等于三条线所围面积（正值）大小。而根据热力学第一定律有 W?Q1，这样一来，系统在上述循

环过程中就从单一热源吸热并将之完全转化为功了，这是违背了热力学第二定律的开尔文说法，是不

可能的。因此两条绝热线不可能相交。

2.7 试证明在相同的压强降落下，气体在准静态绝热膨胀中的温度降落大于节流过程中的温度降落。

??T???T?【提示：证明???p??????p???0】

??S??H??T???T?解：气体在准静态绝热膨胀过程和节流过程中的温度降落分别由偏导数??和??描述。

??P?S??P?H方法一：熵函数S(T,P)的全微分为dS????S???S??dT???dP，在可逆绝热过程中dS?0，故有??T?P??P?T??S???V?T?????P?T??T???T???P ………………………①

????CP??S???P?S????T?P??H???H?焓H(T,P)的全微分为：dH???dT???dP，再由dH?TdS?VdP，在节流过程中dH?0，

?T?P??P??T??H???V?T?????V??T???P?T???T?P故有? ……………② ????H?PC????HP????T?PV??T???T???T???T??0，所以?①?②得：??????????

?P?PC?P??S??H??S??P?HP??z???z???z???y???T???T???T???H??方法二：????????，????????????? ????x?V??x?y??y?x??x?V??P?S??P?H??H?P??P?S - 7 -

??H????P??T???T???T???H???SV????0????????????T???T??H?P?P?H?PC????S??H??P??SP，所以????? ????P?S??P?H??T?P即在相同的压强降落下，气体在准静态绝热膨胀中的温度降落大于节流过程中的温度降落。

★2.15 假设太阳是黑体，根据下列数据求太阳表面的温度：单位时间内投射到地球大气层外单位面积上的太阳辐射能量为1.35?103J?m?2?s?1（该值称为太阳常量），太阳的半径为6.955?108m，太阳与地球的平均距离为1.495?1011m。

解：以Rs表示太阳的半径，顶点在球心的立体角dΩ在太阳表面所长的面积为RSdΩ，假设太阳是黑

2体，根据斯特籓—玻尔兹曼定律，单位时间内在立体角dΩ内辐射的太阳辐射能量为：?T4RSdΩ

单位时间内，以太阳为中心，太阳与地球的平均距离RSe为半径的球面上接收到的在立体角dΩ内辐射

?1.35?10?R的太阳辐射能量为：1.35?10RdΩ，令两式相等，即得T??2??RS?32Se32Se???，将?14??5.669?10?8W?m?2?K?4代入得：T?5760K

★7.4 试证明，对于遵从玻尔兹曼分布的定域系统，熵函数可以表示为S??Nk?PSlnPS，式子中PSSe?????se???s?是粒子处于量子态S的概率，PS?，?对粒子的所有量子态求和。对于满足经典极NZ1S限条件的非定域系统，熵的表达式有何不同？【【熵的物理意义：物质微观热运动时，混乱程度的标志。】】 解：处在能量为?S的量子态S上的平均粒子数为

fS?e?????S，以N表示系统的粒子数，则粒子处在

e?????se???s?量子态S上的概率为PS?，且?PS?1 NZ1S可得lnPS??lnZ1???S 。粒子平均能量：E??PS?S，而定域系统的熵为：

SS?Nk(lnZ1???lnZ1)?Nk(lnZ1???)?Nk?PS(lnZ1???S)??Nk?PSlnPS ??SS对于满足经典极限条件的非定域系统：S?Nk(lnZ1???lnZ1)?klnN! ??则可表示为：S??Nk?PSlnPS?S0，其中S0??klnN!??Nk(lnN?1)

S因为fS?NPS，且?fS?N，可得S??k?fSlnfS?Nk

SS - 8 -

（NPSlnNPS)?Nk??Nk?PSlnPS?Nk(1??PSlnN)，该式与定域系统的熵函上式可化为：S??k?SSS数表达式相比，多了Nk(1??PSlnN)这影响项。

S

★7.6 晶体含有N个原子。原子在晶体中的正常位置如图中的〇所示。当原子离开正常位置而占据

图中的×位置时，晶体中就出现空位和间隙原子。晶体的这种缺陷称为弗伦克尔缺陷。 （a）假设正常位置和间隙位置数都是N，试证明由于在晶体中形成n个空位和间隙原子而具有的熵等于S?2klnN!。 （b）设原子在间隙位置和正常位置的能量差为u。试由自由能

n!(N?n)!?u2kTF?nu?TS为极小，证明温度为T时，空位和间隙原子数为n?Ne（设n??N）

N!个微

n!(N?n)!n?解：（a）当固体N个正常位置出现n个空位时，由于空位位置的不同，可以有CNn观状态，同理间隙位置也有CN个微观状态，因此当固体中出现n个空位和n个间隙原子时，可能的

微观状态数为：

Ω?N!N!N!?，则S?klnΩ?2kln

n!(N?n)!n!(N?n)!n!(N?n)!（b）形成n个空位和间隙原子后，固体内能的增加为：U?nu 自由能的改变为：

F?U?TS?nu?TS?nu?2kTlnN!?nu?2kT[NlnN?nlnn?(N?n)ln(N?n)]温度为T时，

n!(N?n)!平衡态的自由能极小要求：

?FN?n?u?2kTln?0 ?nnu?N?nu?则ln， 于是当n??N时，n?Ne2kT n2kT六、论述题

★深入阐述你感兴趣的一个热统知识点（例如熵或相变）

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