量子力学 曾谨言 习题解答

第一章

1.1设质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动，

量子力学的诞生

??,x?0,x?a V(x)??0,0?x?a?试用de Broglie的驻波条件，求粒子能量的可能取值。

解：据驻波条件，有 a?n??2(n?1,2,3,?)

???2a/n （1）

又据de Broglie关系

p?h/? （2）

而能量

E?p2/2m??2/2m?2h2n2?2?2n2??2m?4a22ma2?n?1,2,3,?? （3）

1.2设粒子限制在长、宽、高分别为a,b,c的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。

解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为x,y,z轴方向，把粒子沿x,y,z轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于x方向，有

?px?dx?nxh,?nx?1,2,3,??

即 px?2a?nxh （2a：一来一回为一个周期）

?px?nxh/2a,

同理可得， py?nyh/2b, pz?nzh/2c,

nx,ny,nz?1,2,3,?

粒子能量

Enxnynz1?2?2222?(px?py?pz)?2m2m222??nxnynz??2?2? 2?abc??? nx,ny,nz?1,2,3,?

1.3设质量为m的粒子在谐振子势V(x)? 提示：利用 p?dx?nh,1m?2x2中运动，用量子化条件求粒子能量E的可能取值。 2p?2m[E?V(x)] V(x)

?n?1,2,?, 1

解：能量为E的粒子在谐振子势中的活动范围为 x?a （1） 其中a由下式决定：E?V(x)x?a?由此得 a?1m?2x2。 ?a 0 a x 22E/m?2 ， （2）

x??a即为粒子运动的转折点。有量子化条件

?a?p?dx?2??a12m(E?m?2x2)dx?2m?2?a2?x2dx2?a?a?2m?a2?得a?2?2

?m??a2?nhnh2?n? （3） m??m?代入（2），解出 En?n??,n?1,2,3,? （4）

ua2u22a?udu?a?u?arcsin?c

22a22积分公式：

?2?1.4设一个平面转子的转动惯量为I，求能量的可能取值。 提示：利用

?02p?d??nh,n?1,2,?, p?是平面转子的角动量。转子的能量E?p?/2I。

解：平面转子的转角（角位移）记为?。

它的角动量p??I?（广义动量），p?是运动惯量。按量子化条件

.?2?0p?dx?2?p??mh,m?1,2,3,?

?因而平面转子的能量

p??mh，

2Em?p?/2I?m2?2/2I，

m?1,2,3,?

第二章 波函数与Schr?dinger方程

2.1设质量为m的粒子在势场V(r)中运动。

3（a）证明粒子的能量平均值为 E?dr?w，

???2w???*???*V? （能量密度）

2m（b）证明能量守恒公式

?w????s?0 ?t 2

?s???2?2m????*??*??t? （

??t???????证：（a）粒子的能量平均值为（设?已归一化）

E???*????22m?2?V????d3r?T?V （1） ???V??d3r?*V? （势能平均值） （2）

??d3r?*????2T2???2m?????(动能平均值) ???23*2m?dr????????????*???????其中T的第一项可化为面积分，而在无穷远处归一化的波函数必然为0。?2T?2m?d3r??*??? （3） 结合式（1）、（2）和（3），可知能量密度

w??22m??*?????*V?, （4） 且能量平均值 E??d3r?w 。

（b）由（4）式，得

?w?t??2?.2m????*??????*???.?.?**.???V???V???2??..?.*...2m?????*??????*??????2????2?*???**????????????V???V??.2?.?2

?????s??*??????2m?2?V???????????2m?2?V???*???????s?E?.????*???.?*?????????s?E??t? （? ：几率密度）

?????s （定态波函数，几率密度?不随时间改变）

所以 ?w?t????s?0 。

2.2考虑单粒子的Schr?dinger方程

3

因此

???22????i???r,t??????r,t???V1?r??iV2?r????r,t? （1） ?t2mV1与V2为实函数。

（a）证明粒子的几率（粒子数）不守恒。

（b）证明粒子在空间体积?内的几率随时间的变化为

?2V2d?3***dr????????????dS???dt???2im??S??d????3r?*?

证：（a）式（1）取复共轭， 得

?*?22*????V1?iV2??* （2） ?i?????t2m ?*?（1）-??（2）,得

?*?2*2i???????????2?*?2i?*V2??t2m 2??????*??????*?2iV2?*?2m???????2V?*???????????*??????*??2??*?? （3） ?t2im??2V2?????j???0 ， 即 ?t?此即几率不守恒的微分表达式。

（b）式（3）对空间体积?积分，得

??23***33*dr?????????????dr?drV??2??????????t?2im???

??2**??????????dS?d3rV2?*??????2imS????????????上式右边第一项代表单位时间内粒子经过表面进入体积?的几率（????j?dS ） ，而第二项代表体积?中“产

生”的几率，这一项表征几率（或粒子数）不守恒。

2.3 设?1和?2是Schr?dinger方程的两个解，证明

d?*?3???dr?r,t?r,t??0。 12dt????1??22?证： ?i??????V?1 （1） ???t?2m? 4

???2??22?i??????V?2 （2） ???t?2m??*??1*??22?取（1）之复共轭： ?i??????V?2m??1 （3） ?t???2?（3）??1*?（2）,得

?*?2?1?2???2?2?1*??1*?2?2 ?i??t2m????对全空间积分：

d?2?3*??i??dr?1?r,t??2?r,t???d3r?2?2?1*??1*?2?2 ?dt2m???23****????dr??????????????????????2? 2112211?2m?????????2??d3r???2??1*??1*??2 ?2m??????2**??????????dS?0，（无穷远边界面上，?1,?2?0） 2112?2m??即

dd3r?1*r,.t?2r,t?0。 ?dt????2.4）设一维自由粒子的初态??x,0??e?p2?i?p0x?0t?/??2m???ip0x/?， 求??x,t?。

解： ??x,t??e

2.5 设一维自由粒子的初态??x,0????x?，求??x,t?。

2??提示：利用积分公式

????2cos?d??sin?d???2 ??????2????或 expi?2d????????exp?i?4?。

??解：作Fourier变换： ??x,0??1ipx????pedp， ?2?????ipx???p??12?????????x,0?edx?12?????ipx??(x)edx??12??，

?? 5

Fsink'a?De?ka, k'Fcosk'a??kDe?ka （6）

k'上两方程相比，得 tgka?? （7）

k'即 tg?a???V0?E2???V?E??? （7’） ?02E??若令 k'a??, ka?? （8） 则由（7）和（3），我们将得到两个方程：

( 9) ?????ctg? ?（10）式是以?????2?V0a2 (10) ??2?r?2?V0?2a为半径的圆。对于束缚态来说，?V0?E?0，

结合（3）、（8）式可知，?和?都大于零。（10）式表达的圆与曲线????ctg?在第一象限的交点可决定束缚

态能级。当r??2，即

2?V0a??2，亦即 ?2?V0a2??2?28 （11）

时，至少存在一个束缚态能级。这是对粒子质量，位阱深度和宽度的一个限制。

3—6）求不对称势阱中粒子的能量本征值。 解：仅讨论分立能级的情况，即0?E?V2，

d2?2m?V?E???? 2?dx当x???时，??0，故有

?A1ek1x,????Asin?kx???,?Ae?k2x,?2由

x?0,0?x?a,a?x,k1?2m?V1?E??????? k?2mE?k2?2m?V2?E??dln?dx在x?0、x?a处的连续条件，得

k1?kctg?, k2??kctg?ka??? （1）

由（1a）可得 sin???k2mV1 （2）

由于k1,k2,k皆为正值，故由（1b），知ka??为二，四象限的角。

11

因而 sin?ka??????k2mV2 （3）

又由（1），余切函数?ctg?的周期为?，故由(2)式，

??n1??sin?1?k2mV1 (4)

由(3)，得 ka???n??sin?1?k2mV2?k2mV2?sin?1 (5)

结合(4),(5)，得 ka?n2??sin?1?n1??sin?1?k2mV2?k2mV1

或 ka?n??sin?1?k2mV1 （6）

n?1,2,3,?

一般而言，给定一个n值，有一个解kn，相当于有一个能级：

2?2knEn? （7）

2m当V2?V1时，仅当

a2mV2???2?sin?1V2 V1才有束缚态 ，故V1,V2给定时，仅当 a???V2??1??sin? （8） ?V1?2mV2?2??时才有束缚态（若V1?V2?V，则无论V和a的值如何，至少总有一个能级） 当V1,V2,a给定时，由(7)式可求出n个能级（若有n个能级的话）。相应的波函数为:

?k?knxAe ,x?0 ,k1n?2m?V1?E??n?2mV1?? ?n??Ansin?knx??n? , 0?x?a,??k2nn?1??A?1e?k2n?x?a? ,x?a ,k2n?2m?V2?E???n2mV2??其中 An?2?a?1k1n?1k2n?

3—7）设粒子（能量E?0）从左入射，碰到下列势阱（图），求阱壁处的反射系数。

??V0,x?0,解：势阱为 V(x)??

0,x?0.?在区域Ⅰ上有入射波与反射波，在区域Ⅱ上仅有透射波。故

12

?1?Aeikx?Be?ikx,k1?2m?V0?E?? ikx?2?Ce,k2?2mE?112由?1(0)??2(0)，得 A?B?C。

'由?1'(0)??2(0)，得 k1?A?B??k2C。

从上二式消去c, 得 ?k1?k2?A??k1?k2?B。

B2?k1?k2?反射系数 R?r?2?

A?k1?k2?222将k1,k2代入运算，可得

R??VV02?E?E0?4?V0216E2,E??V0 ???1?4EV0,E??V0

3—8）利用Hermite多项式的递推关系（附录A3。式（11）），证明 谐振子波函数满足下列关系

?1?nn?1x?n(x)???n?1(x)??n?1(x)???22?x2?n(x)?12?2?n?n?1??n?2(x)??2n?1??n(x)??n?1??n?2??n?2(x)?

并由此证明，在?n态下， x?0, V?En2 证：谐振子波函数 ?n(x)?Ane??其中，归一化常数 An?22x2Hn(?x) （1）

???2?n!n, ? ? m?? （2）

Hn(?x)的递推关系为 Hn?1(?x)?2?xHn(?x)?2nHn?1(?x)?0. （3）

13

?x?n(x)?Ane?????12?x122x2?xHn(?x)?22221Ane??x2?2?xHn(?x)2?Ane??x2?Hn?1(?x)?2nHn?1(?x)??e??22?1?????2?n!?nx2?nHn?1(?x)?1?2????2?n!n?e??22x2?Hn?1(?x)???2n?1??n?1?!1?n??2x22?e?Hn?1(?x)2 ???????2n?1??n?1?!?n?1??2x22?e?Hn?1(?x)2?1?nn?1?(x)??(x)??n?1n?1??22??x2?n(x)??1?nn?1x?(x)?x?(x)??n?1n?1??22?

???1?nn?1?n?1n?2?n?n?1??2???n?2(x)??n(x)???n(x)??n?2(x)???22?22??????2?2?1?n?n?1??n?2(x)??2n?1??n(x)??n?1??n?2??n?2(x)22????1?nn?1x???x?ndx???(x)???n?1(x)??n?1(x)?dx?0

?22??????*n*n????1*V???n(x)?m?2x2??n(x)dx2??11* ???n(x)?m?2?2??2n?1??n(x)dx22?111?1??m?2?2??2n?1???n?????En222?2?2?

3—9）利用Hermite多项式的求导公式。证明（参A3.式（12））

???n?dn?1?n(x)????n?1??n?1?dx2?2?d??(x)?n2dx2'22?n?n?1??n?2??2n?1??n??n?1??n?2??n?2?

证：A3.式（12）：Hn(?)?2nHn?1(?), dHn(?x)?2n?Hn?1(?x)

dx 14

2222d?n(x)?An???2x2e??x2Hn(?x)?e??x2?2n?Hn?1(?x)dx???2x?n(x)?2n??n?1(x)????

?n?n?1?????n?1(x)??n?1(x)????2n?n?1(x)2?2??n?n?1????n?1(x)??n?1(x)?2?2????d2n?n?1?n?1n?2?n?n?1??(x)???????????????????nn?2nnn?22dx??2?22?2?222??2?n?n?1??n?2??2n?1??n??n?1??n?2??n?2?p???*?d?*?nn?1?n???i?dx???ndx???i????n??????2n?1?2n?1?dx?0 ?p2?2d2T?2m???*??n?????2mdx2????ndx???222m??*?n?2?n?n?1??n?2??2n?1??n??n?1??n?2??n?2?dx ?2?2?E4m??2n?1???*?2m?1?1?n?ndx?4m????2n?1??2??n?2?????n2

3—10）谐振子处于?n态下，计算

?x??2???x?x??12??，?p??2???p?p??12??，?x??p??

??n1?解：由题3—6），x?0, x2?2Vm?2?E???nm?2??2?m? 由题3—7），p?0, p2?2mT?mE?1?n???n?2??m?? ?x????112??x?x?22????x2?x2?12????1??????n?2??m????1?p?2?2?1222???p?p????p?p2?1???????n?1??2??m????

?x??p???1??n?2???对于基态，n?0,?x??p??2，刚好是测不准关系所规定的下限。

15

???

3—11）荷电q的谐振子，受到外电场?的作用，

V(x)?求能量本征值和本征函数。

1m?2x2?q?x （1） 2p21?m?2x2?q?x?H0?q?x （2） 解： H?2m2H0的本征函数为 ?n?Ane???0? 本征值 En??n?22x2Hn(?x)，

??1???? 2?现将H的本征值记为En，本症函数记为?n(x)。 式（1）的势能项可以写成 V(x)?122m?2?x?x0??x0 2??其中 x0?q?m?2 （3） 如作坐标平移，令 x'?x?x0 （4） 由于 p??i?dd??i?'?p' （5） dxdxp'2112H可表成 H??m?2x,2?m?2x0 （6）

2m22（6）式中的H与（2）式中的H0相比较，易见H和H0的差别在于变量由x换成x，并添加了常数项

'?122???m?x0?，由此可知 ?2?1?0?2En?En??m?2x0 （7）

2?n(x)??n(x')??n(x?x0) （8）

即

1?1??q??En??n?????m?2??2?22m????? （9）

221?q????n?????, n?0,1,2,?22?2m??2?n(x)?Ane其中 An?q?????2?x???m?2?22??q?Hn???x?m?2?????? (10) ?????2?n!n, ??m?? (11)

3—12）设粒子在下列势阱中运动，

16

x?0,??,? V(x)??122m?x,x?0.??2求粒子能级。

解：既然粒子不能穿入x?0的区域，则对应的S.eq的本征函数必须在x?0处为零。另一方面，在x?0的区域，这些本征函数和谐振子的本征函数相同（因在这个区域，粒子的H和谐振子的H完全一样，粒子的波函数和谐振子的波函数满足同样的S.eq）。振子的具有n?2k?1的奇宇称波函数在x?0处为零，因而这些波函数是这一问题的解（n?2k的偶宇称波函数不满足边条件?(0)?0）所以

Ek??2k?32???, k?0,1,2,?

3—13）设粒子在下列势阱中运动，

V(x)????,x?0,??r??x?a?,x?0. ?r,a?0? 是否存在束缚定态？求存在束缚定态的条件。

解：S.eq: ??2d22mdx2??r??x?a???E? 对于束缚态（E?0），令

???2mE? 则 d2dx2???2??2mr?2??x?a???0 积分

?a??a??dx,??0?,得?'跃变的条件

?'(a?)??'(a?)??2mr?2?(a) 在x?a处，方程(4)化为

d2dx2???2??0 边条件为 ?(0)?0, ?(?)?0?束缚态? 因此 ?(x)???sh?x,0?x?a,?Ae??x,x?a. 再根据x?a点?(x)连续条件及?'(x)跃变条件(5)，分别得

sh?a?Ae??a??(a) ??Ae??a??ch?a??2mr?2?(a) 由（8）（9）可得（以?a?(a)乘以（9）式，利用（8）式）

17

(1) (2) (3)

(4) (5) (6) (7)

(8)

(9) ?a??acoth?a?2mra (10) 2?此即确定能级的公式。下列分析至少存在一条束缚态能级的条件。

?? 当势阱出现第一条能级时，E?0，所以?a?0,

利用 lim?acoth?a?lim?a?0?a?1,

?a?0th?a2mra???a??acoth?a?1?0 , 2?2mra?1 （11） 因此至少存在一条束缚态能级的条件为

?2（10）式化为

纯?势阱中存在唯一的束缚能级。当一侧存在无限高势垒时，由于排斥作用（表现为?(x)?0，对x?0）。束缚态存在与否是要受到影响的。纯?势阱的特征长度L??2mr 。

条件（11）可改写为 a?L2 （12）

即要求无限高势垒离开?势阱较远（a?L2）。才能保证?势阱中的束缚态能存在下去。显然，当a??（即，?a??时，左侧无限高势垒的影响可以完全忽略，此时coth?a?1，式（10）给出 a??L2）

??mr2?2

?2?2mr2?即 E?? （13） 22m2?与势阱V(x)??r?(x)的结论完全相同。 令?a??， 则式（10）化为

2mra （14） ?22mra?1时，式（10）或（14）才有解。解出根?之后，利用由于??1?cot?h??1，所以只当2???1?coth??????a?a?2mE?，即可求出能级

?2?2E?? （15） 22ma第四章 力学量用算符表达与表象变换 4.1）设A与B为厄米算符，则

1?AB?BA?和1?AB?BA?也是厄米算符。由此证明，任何一个算符F均可分22i解为F?F??iF?，F?与F?均为厄米算符，且

F??11?F?F??, F??F?F?? 22i 18

111?1?证：ⅰ）??AB?BA????B?A??A?B????BA?AB???AB?BA?

222?2?1? ?AB?BA?为厄米算符。

2?1?1?ⅱ）??AB?BA????B?A??A?B????1?BA?AB??1?AB?BA?

??2i??2i2i2i? 12i?AB?BA?也为厄米算符。

ⅲ）令F?AB，则F???AB???B?A??BA，

且定义 F1??2?F?F??, F?12i?F?F?? 由ⅰ），ⅱ）得F????F?, F??F?，即F?和F?皆为厄米算符。 则由（1）式，不难解得 F?F??iF?

4.2）设F(x,p)是x,p的整函数，证明

?p,F???i???xF, ?x,F??i???pF ?整函数是指F(x,p)可以展开成F(x,p)?Cmnxmpn。 m?,n?0证： （1）先证?p,xm???mi?xm?1, ?x,pn??ni?pn?1。

?p,xm??xm?1?p,x???p,xm?1?x??i?xm?1?xm?2?p,x?x??p,xm?2x2??2i?xm?1?xm?3?p,x?x2?p,xm?3?x3??3i?xm?1??p,xm?33???m?1?i?xm?1?????x??

p,xm??m?1??xm?1???m?1?i?xm?1?i?xm?1??mi?xm?1同理，

?x,pn??pn?1?x,p???x,pn?1?p?i?pn?1?pn?2?x,p?p?x,pn?2?p2?2i?pn?1???x,pn?2?p2??

?ni?pn?1现在，

19

1） （?p,F?????p,?Cmpn??mnx???Cmn?p,xm?pn?m,n?0?m,n?0?

?xm?1?pnmnm?C??mi?,n?0?而 ?i??F?x??Cmn??mi?xm?1?pn。

m,n?0? ?p,F???i???xF ?x,F??????x,?Cmn?mnxp???Cmnxm?x,pn??又 m,n?0?m,n?0

?mmnx?ni?pn?1?m??C,n?0?而 i??F??Cmnxm?ni?pn?1?p?

m,n?0? ?x,F??i???pF

4.3）定义反对易式?A,B???AB?BA，证明

?AB,C??A?B,C????A,C??B?A,BC???A,B??C?B?A,C?

?证：

?AB,C??A?B,C???A,C?B?ABC?ACB?ACB?CAB?A?BC?CB???AC?CA?B?A?B,C????A,C??B?A,BC???A,B?C?B?A,C??ABC?BAC?BAC?BCA??AB?BA?C?B?AC?CA???A,B?

?C?B?A,C??

4.4）设A，B，C为矢量算符，A和B的标积和矢积定义为

A?B??A?B?, ?A?B???????A?B?

?????,?,??x,y,z，????为Levi-civita符号，试验证

A??B?C???A?B??C??????A?B?C? ????A??B?C???A??B?C???A?B?C? ??A?B??C???A??B?C??A??B?C? 20

1）2）3） （

（ （

sin?a1?cos??i?2e?i???1?nx??nx?iny ??e??bsin?nx?iny1?nxcos?2?i?2??sin???sine?22?或??1??,?????i???cos?ei???2?2????cos2e??? （5） ??或 ??1n??????1?nz???nx?iny?1?? （5’） ????1?n???或?2?1?nz??2?1?nz??nx?iny?z??1?0??1???若n??0,0,1?，取??1???1??; 若n??0,0,?1?，取??1???0??。

????

8.3) 在sz本征态?1?sz??????下，求??sx?和?sy22?1??0?2??2。

解：??sx??sx?sx22??2?sx?sx

22但 sx??4（常数矩阵），

sx?01??1???????10???0， ????2?10??0?22? ??sx???24，类似有??sy???24。

8.4) （a）在sz本征态?1下，求??n的可能测值及相应的几率。（b）同第2题，若电子处

2于??n??1的自旋态下，求?的各分量的可能测值及相应的几率以及?的平均值。

?解：（a）利用8.2）题求得?n的本征函数，容易求出：在自旋态?1??中，?n?1的几率为 ??2?0?2?1?

?1?12?cos2?2?1?1?nz? （1） 2?n??1的几率为

2

??1?122?sin?2?1?1?nz? （2） 2（b）在自旋态?1??n?1?态，?z?1的几率为

2?1?12?cos2?2?1?1?nz? （3） 2 46

2?z??1的几率为： ??1??122?sin?2?1?1?nz? （4） 2?z?[或

1?1?nz??1?1?1?nz????1??nz 222?z?cos?22?1?sin?22???1??cos?22?sin?2?cos??nz （5’）]

考虑到

?n??xnx??yny??znz，

?、（4）、（5），作x,y,z轮换，就可推论出以下?各分量以及n各分量在?n的构造中地位对称，所以利用式（3）各点：

?x??1的几率为

1?1?nx?， （6） 2?x?nx （7）

12?y??1的几率为?1?ny? （8）

?y?ny （9） 将式（5）、（7）、（9）合并写成矢量形式如下： 自旋态?1??n?1?中，

??n （10）

类似地，容易算出：自旋态??1??n??1?中，

2???n （11）

解二：（a）在?z?1自旋态?1中，?n的可能测值为本征值?1;设相应的几率为w?及w?，则

?n?w??1?w????1??w??w? （12）

由于

?n??xnx??yny??znz （13）

2考虑到在?z的本征态中?x和?y的平均值为0，?z的平均值即为其本征值，因此在?1态下，

?n??znz?1?nz?nz?cos? （14）

由式（12）、（14），并利用w??w??1，就可求出

w??1?1?nz?， w??1?1?nz? （15） 22此即解一中的式（1）、（2）。

???（b）在式（14）中，?是z轴和n的夹角。 z轴和n的选取是任意的。完全可以将原来的z轴作为新的n轴，而原来的n取作新的z轴。由此可知：在?n?1的自旋态中，?z的平均值仍为cos?，即nz。再令x,y,z轮换，即得自旋态?1??n?1?中，???n （10）

在?1态下?各分量的取值大部分当然均为?1，其几率也可估照（a）中计算而写出，即

47

1?1?nx? （6） 21?y??1的几率为?1?ny? （8）

21?z??1的几率为?1?nz? （3，4）

2?x??1的几率为

8.5) 证明e

8.7）由两个非全同粒子（自旋均为?）组成的体系，设粒子间相互作用表为H?As1?s2 （不考虑轨迹运动）。

i??z?xe?i???cos2???x?sin2???y（?为常数）[量Ⅱ]

z2设初始时刻（t?0）粒子1自旋“向上”?s1z?12?，粒子2自旋“向下”?s2z??12?。求时刻t??0?时，

(a) 粒子1自旋向上的几率（答：cos2?At2?，取??1） (b) 粒子1和2的自旋向上的几率（答：0） (c) 总自旋s=0和1的几率（答：都是12）

(d) 求和的平均值（答：s1x?s1y?s2x?s2y?0，s1z?解：从求体系的自旋波函数入手，由于

11cosAt，s2z??cosAt）。 22A?23?H?As1?s2??s?? （1）

2?2?易见总自旋s是守恒量，所以定态波函数可以选为s、sz的共同本征函数，按照总自旋量子数s的不同取值，本征函数和能级为

2?1M,E1?A4,?? （2）

s?0,?00,E0??3A4?s?1,st?0时，体系的自旋态为

??0????1???2??因此，t?0时波函数为

12??10??00? （3）

??t??即 ??t??12?10e?iEt?112?00e?iEt （4）

01???1???2????1???2??e?iA4t?1???1???2????1???2??e3iA4t 22AtAt??????1???2?cos?i??1???2?sin?eiAt4 （4’）

22??(a）由式（4’）可知，在时刻t，粒子1自旋“向上”［同时粒子2自旋“向下”，相当于??1???2?项］的几率为cos?2?At? ?。

?2? 48

(b)粒子1和2自旋均“向上”［相应于??1???2?，式（4’）中没有这种项］的几率为0。这是容易理解的。因为总自旋sz为守恒量，而体系初态sz?0，所以任何时刻sz必为0，不可能出现两个粒子均“向上”?sz?1?的情形。

(c)由式（4）可知，总自旋量子数s取1和0的几率相等，各为12。由于s守恒，这个几率不随时间改变 (d)利用式（4’）容易算出s1和s2的平均值为

2?s1xt?s1y?s2xt?s2y?0, ?tt?1?2At1?2At?s1zt??cos?sin?cosAt,? （5）

2?22?2??1s2zt??s1zt??cosAt 。 ??2?第九章 力学量本征值问题的代数解法

9—1） 在8.2节式（21）中给出了自旋（1）与轨迹角动量（l）耦合成总角动量j的波函数?ljmj，这相当于

2j1?l,j2?s?1的耦合。试由8.2节中式（21）写出表9.1（a）中的CG系数 2解：8.2节式（21a）（21b）:

j1m11m2jm 2?j?l?12 (l?0),mj?m?12?

?ljm?j?l?m?1Ylm??? ?2l?1?l?mYlm?1??1?j?l?12,mj?m?12??l??ljm?j?j?mjY11?j?,mj??1?22?? （21a） 2j?j?mjY11?j?,mj?22??j?12?

??l?mYlm??? ?2l?1?l?m?1Ylm?1??1?j?l?12 (l?0),mj?m?12??l?j?12?

??j?mj?1Y11??j?,mj??122?? （21b）

j?m?1Y2j?2?j11?j?,mj?22??此二式中的l相当于CG系数中的j1 ，而j2?s?1,mj~m,,~m1,m2??12。

2因此，（21a）式可重写为

jm??j1m1j2m2m2j1m1j2m2jm

49

?j1m111111111jmj1m1?j1m1?jmj1m1? 22222222(21a),j?l?12?j1?1??j?m?12?1211??1?jm11??2j?1?222?1??????? （21a’） ????j1?m?12?12?jm1?????2j?1?111?1?22??对照CG系数表，可知：当j?j1?j2?j1?12,m2?12时 ，

?j1j111?m?12?21m122jm?????2j1＋1?? 而m2??12时，

1j11?j1?m?12?21m12?2jm?????2j1＋1?? 对于j?l?12?j1?12的（21b）式，有

1j111?j1?m?12?21m122j1?2,m??????2j1＋1?? 1j111?j1?m?12?21m12?2j1?2,m?????2j1＋1??

9－2）设两个全同粒子角动量j?j1?j2，耦合成总角动量J，

?j2JM?m?jm1jm2JM?jm1?1??jm2?2? 1m2利用CG系数的对称性，证明

p12?j2JM????2j?J?j2JM

由此证明，无论是Bose子或Fermi子，J都必须取偶数

证：由式（1），

p12?j2JM?2JM?jm1?2??jm2?1? m?jm1jm1m2把m1?m2, ?jm2jm1JM?jm2?2??jm1?1?

m?1m2利用CG系数的对称性 ????2j?J1JM?jm1?1??jm2?2?

m?j1m2j2m1m2????2j?J?j2JM 对于Fermi子，j?半奇数，2j?奇数，但要求p12????，

50

（1）

(2)

证：

（1）式左端?A?B?C?AxByCz?ByCz?Ay?BzCx?BxCz??AzBxCy?ByCx

????????????A?B?C?

???（1）式右端也可以化成 A?B?C?（2）式左端?A?B?C??????A?B?C?。 （1）式得证。 ??????????A?B?C????A?B?C? （??1,??2,??3）

???A??B?C??B?C???A??B?C??B?C???A?B?C??A?B?C???A?B??A?B??C?（2）式右

端?A??B?C???A?B?C?

?A?B?C??A?B?C??A?B?C??A?B?C??A?B?C??A?B?C??A?B

?C??A?B?C???A?B??A?B??C?故（2）式成立。

（3）式验证可仿（2）式。

4.5）设A与B为矢量算符，F为标量算符，证明

?F,A?B???F,A??B?A??F,B? ?F,A?B???F,A??B?A??F,B?

证：（1）式右端??FA?AF??B?A??FB?BF?

?FA?B?AF?B?A?FB?A?BF

?FA?B?A?BF??F,A?B??（1）式左端

（2）式右端 ??FA?AF??B?A??FB?BF? ?FA?B?AF?B?A?FB?A?BF

?FA?B?A?BF??F,A?B??（2）式左端

4.6）设F是由r，p构成的标量算符，证明

?L,F??i??F?p?p?i?r??F?r 证：?L,F???Lx,F?i??Ly,F?j??Lz,F?k 21

（1） （2）

（1）

（2）

?Lx,F???ypz?zpy,F??y?pz,F???y,F?pz?z?py,F???z,F?py(4.2题)??i?y?F?F?F?F?i?pz?i?z?i?py?z?y?y?pz

??F???F?F?F????i?pz?py??i??y?z ????p??pz?y???z?y???F???F?? ?i??p??i????r?? （3） ??p??r?x???x??F???F??同理可证，Ly,F?i??p??i????r?? （4） ??????p?y??r?y?L?z,F??i???F???F???p???p??i????r?z??r??? z将式（3）、（4）、（5）代入式（2），于是（1）式得证。

4.7）证明 p?L?L?p?2i?p

i??p?L?L?p???L2,p? 。

证：?p?L?L?p?x?pyLz?pzLy?Lypz?Lzpy??py,Lz???Ly,pz?

利用基本对易式 ?L?,p????p?,L???i?????p? 即得 ?p?L?L?p?x?2i?px 。

因此 p?L?L?p?2i?p 其次，由于px和Lx对易，所以

?L2,p???L2xy,px???L2Z,px???Ly,px?Ly?Ly?Ly,px???Lz,px?Lz?Lz?Lz,px??i???pzLy?L??ypz?pyLz?Lzpy??i?p

?yLz?pzLy????Lypz?Lzpy???i?p?L?L?px因此，i??p?L?L?p???L2,p? 4.8）证明

L2?r2p2??r?p??i?r?p ?L?p?2??p?L?2???L?p???p?L??L2p2 ??p?L???L?p??L2p2?4?2p2 22

5） 1）

2） 3）

（ （ （ （?L?p???L?p???i?Lp （4）

2证: （1）利用公式 ，A??B?C???A?B??C，有

L2???p?r???r?p?????p?r??r??p??p?r?r???p?r?r?p2

??pr??P??p?r??r?p?其中 pr2?r2p?i???r2??r2p?2i?r

p?r?r?p?i????r??r?p?3i?

因此 L2?r2?p2??r?p?2?i?r?p

（2）利用公式， ?L?p??p?L??p?p??0 可得 ??L?p???p?L?????L?p??p??L

??L?p?p???L?p?p??L??Lp2?0??L?L2p2 ??L,P2??0? ?L?p?2??L?p???L?p??L??p??L?p??

?L??p2L??p?L?p??L2p2 ??L,P2??0? ?p?L?2??p?L???p?L????p?L??p??L

??Lp2?p?L?p???L?L2p2 由①②③，则（2）得证。 （3）??p?L???L?p?4.7 ) (1)?p?L???p?L?2i?p?

??p?L?2?2i??p?L??p4.7 ) (1)L2p2?2i??2i?p?L?p??p(?)

L2p2?4?2p2（4）就此式的一个分量加以证明，由4.4）（2），

?A??B?C????A??B?C???A?B?C?

??L?p???L?p??x??L?p???Lxp????L?p??L?px ，

其中Lxp?pLx?i??pzez?pyey?

（即?Lx,pxi?pyj?pzk??0?i?pzj?i?pyk）

??L?p???L?p??x??L?p???pLx?i??L?p???pzez?pyey????L?p??L?pz?i???L?p??p?x?i???L?p?p?L?p?p??x ??i?Lp2???i?Lp2xx类似地。可以得到y分量和z分量的公式，故（4）题得证。

23

Δ） ① ② ③

（

4.9）定义径向动量算符 pr?1?11??r?p?p?r? 2?rr???1???， ??rr?证明：?a? pr??i?? pr?pr， ?b? ??c? ?r,pr??i?，

?d? pr2??22??21?2??， ????????r2??r2r?r??r?rr??2?e? p2?122L?pr r2?证：?a? ? ?ABC??C?B?A?，

???????1????11111?????? pr? ?r?p?p?r???p?r?????r?p?2?rr?2??r??r???? 1?11???p?r?r?p??pr2?rr?即pr为厄米算符。

??r????1?11?1??rr?b? pr??r?p?p?r?????p????p????i??????????2?rr?2?r?????r??r???ri??r?ri??11????p??????i???????r?r????r2?r2?rr??r?

?i??3r??i??31????i???r?3???i??????r2??r2?rr?r??r???1???i??????rr???c? ?r,pr???i??r,?1????????????i??r,???i??r?r???rr???r???r?r?

??????i??r?1?r??i??r???r2?d? pr2(b)21??11?1?2??2??? ??2???????????2??r?r?rrr???rr???r2??21?1?11?2??2??????????????????r2r?rr?rr2r2???r2r?r?? ????2???21?2?r r2?r?r 24

222（1），L?r?p??r?p??e?据4.8）

2?i?r?p。

其中 r?p??i?r????i?r因而 L2?r2p2??2?r?， ?r?????r???2r

?r??r?r??2?2??? ?rp???r?2r??r2??r??222以r?2左乘上式各项，即得

2122??4.9)?d?1222???L?p?p?2L????r 22??rr?r?r??r2

4.10)利用测不准关系估算谐振子的基态能量。

p122解：一维谐振子能量 Ex?x?m?x。

2m22?又x????????2x2xedx?0奇，??m?，px?0， ??（由(3.8)、(3.9)题可知x?0,px?0）

? ?x?x?x?x，?px?px?px?px，

由测不准关系，?x?px??,得 px??22x。

1???122? Ex????m?x

2m?2x?2dEx?2?2??22 ???3??m?x?0，得 x?2m?dx8m?x?E0x?2?2m??1??12?????m??????

8m???2?2m??211??，E0z???。 223??。 22同理有E0y??谐振子（三维）基态能量E0?E0x?E0y?E0z?

4.11) 利用测不准关系估算类氢原子中电子的基态能量。 解：类氢原子中有关电子的讨论与氢原子的讨论十分相似，只是把氢原子中有关公式中的核电荷数?e换成?ze（z为氢原子系数）而u理解为相应的约化质量。故玻尔轨迹半径 a0??2ue2，在类氢原子中变为a?a0z。

25

选择适当的S?x,t?，使得（9）?（4），

??S???0 。 （10） m?x?2?2S?2??S??S?Si?2???????0 （10’） ??2m?x2m??x??x?t从（10）可得 S?2m?x?f?t? 。 （11） ?，可得 f?t?是?的任意函数，将（11）代入（10’）

?fm?2?? ?t2?m?2t?C 。 积分，得 f?t???2?C为积分常数，但??0时，K'系和K系重合，?'应等于?，即S应等于0，故应取C?0，从而得到

m?m?2S?x?t （12）

?2?代入（7’）式，最后得到波函数的变换规律：

?'??exp??m?x?m?2t?? （13）

逆变换为 ???'eiS??'exp??m?x'??1??i??12?????i????1??m?2t'?? （13’） 2??“，”“，”相当于式（13）中的????，带的量和不带的量互换。

讨论：S?x,t?的函数形式也可用下法求出：

因S?x,t?和势能V无关，所以只需要比较平面波（自由粒子）在K和K系中的表现形式，即可确定S?x,t?.

'沿x方向运动的自由粒子，在伽利略变换下，动量、能量的变换关系为

P'?P?m?

P'P211'E????P?m?2?E??P?m?2 （14）

2m2m22据此，K系和K系中相应的平面波波函数为

'2??ei?Px?Et??， ??e?'iP'x'?E't'?? （15）

（1）、（14）代入（15），即得

?'??exp??m?x?m?2t??

?1??i??12???? 36

此即（13）式，由于这个变换关系仅取决于K和K系的相对速度?，而与粒子的动量P无关，所以上式适用于任何自由粒子。它正是所求的变换关系。

第六章 中心力场

6.1) 利用6.1.3节中式（17）、（18），证明下列关系式

?1?????m2p?mp相对动量 p??r?112? （1） M?????总动量 P?MR?p1?p2 （2）

'总轨迹角动量L?L1?L2?r1?p1?r2?p2?R?P?r?p （3）

?????????????p2?2?22总动能 T12m?p2?P2M?p2? 12m2反之，有 r?R??????mr?, r?1?2?R?mr 12 p?1?mP?p，p2??2mP?p 1以上各式中，M?m1?m2, ??m1m2?m1?m2?

证： R?m1r1?m2r2m ， （17） r?r1?r2， （18）

1?m2相对动量 ?p??r???m1m2???m?r?r?1??m?12???m2p11p2? 1?m2????M ??总动量 P???MR???mmr?m2r2??1?m2?11m?p1?p2 1?m2总轨迹角动量 L??L?L?????1?2?r1?p1?r2?p2

(?5)????R?umr???p???R?ur??1??1??m2??p2 ??R??p1?p2??r?1M?m2p1?m1p2? (1?)(2)R?P?r?p

由（17）、(18)可解出r??1,r2，即（5）式；由（1’）（2’）可解出（6）。

2??????????22?2?6???mP?p????P?p???总动能T?p1?p2?2??2m2m???m1

122m12m2 37

（4） （5）

（6）

1’） 2’）

（ （?u222m1m2P?2puP?pupuP?p??P?? 2m1m1m22m12m22m2m1m22222?m12?m1?m2?2P?2m22?m1?m2?212?11??P?p??? 2?mm2??12?2P2p?? （4’） 2M2?［从（17），(18)式可解出（5）式；从（1），(2)式可解出（6）式］.

6.2) 同上题，求坐标表象中p、P和L的算术表示式

p??i???i???????rP?R，L?R?P?r?p

解： p?1M?mp??i?21?m1p2?M?m2?r1?m1?r2? 其中 ?r1?i??x?j??k?， 1?y1?z1而

??X??x?m1???x????， 1?x1?X?x1?xM?X?x同理，

??y?m1?????m1???； 1M?Y?y?z1M?Z?z（利用上题（17）（18）式。）

? ?m1r1?M?；仿此可设 ?mR??rr2?1M?R??r 代入（1）中，得 p??i??M?m1m2?M?m1m2?R?m2?r?M?R?m1?r?? ??i??r P???p?(2)1?p2??i???r1??r2???i??R L??R??P??r???p

只要将（3）、（4）式中的p、P以相应的算符代入即可。

6.3）利用氢原子能级公式，讨论下列体系的能谱： （a）电子偶素（positronium，指e??e?束缚体系） （b）u原子（muonic atom）

（c）u子偶素（muonium，指u??u?束缚体系）

38

1） 2） 3）

4）

（ （（ （解：由氢原子光谱理论，能级表达式为：

ue4E1mempn??2?2n2, u?m。

e?mpEue4（a）电子偶素能级 1mememn??4?2n2，（u?m?e）

e?me2（b）u原子能级 Euue41mumpn??2?2n2，（uu?m）

u?mp（c）u子偶素能级Emue41mumumun??4?2n2，（u?m?） u?mu2

6.4）对于氢原子基态，计算?x??p。

解： * 在求坐标系中，空间反演：r??r（r?r,?????,?????）。 ?11?2?r氢原子基态波函数为 ?100????a3?a0 0?e??宇称为偶。由于均为奇宇称算符，所以 x?0, px?0 由于?100各向同性，呈球对称分布，显然有

x2?y2?z2?13r2 p2x?p2y?p212z?3p容易算出 r2??r2??2?1?100?d???r????e?2ra0r?sin?drd?d??3a20 ??a30??p2???2??2100??100d????2??????100??100????100???100?d?

2??2???2d???2??????r??2100100??r?sin?drd?d???2a0 因此 x2?a220， ?x?x2?x?a0 2p222?x??3a2，?px?px?px?03a 0?x??px??3 测不准关系的普遍结论是 ?x??px??2 39

1）2）3）4）5）6）7）8）9） （ （ （ （ （

（

（

（

（

显然式（8）和（9）式是不矛盾的。而且?3很接近式（9）规定的下限?2。

6.5）对于氢原子基态，求电子处于经典禁区?r?2a?（即E?V?0）的几率。

1解：氢原子基态波函数为 ????1?2?r2100a3??e，a????aue2，

Eue4e2相应的能量1??2?2??2a

T?r??Ee2动能 e21?V??2a?r T?E?V?0是经典不允许区。由上式解出为r?2a。

因此，电子处于经典不允许区的几率为

??2?p?1?a3?（令??2ra）

2??a0?e?2rar2drsin?d?d03??4?a?a3??2???e???2d??13e?4?0.2381

4

6.6）对于类氢原子（核电荷Ze）的“圆轨迹”（指nr?0,l?n?1的轨迹），计算（a）最可几半径； （b）平均半径； （c）涨落?r??r2?r2?12

解：类氢原子中电子波函数?nlm可以表示为

?nlm?Rnl?r?Y1rlm??,???runrl?r?Ylm??,?? （a） 最可几半径由径向几率分布的极值条件 ddrunrl?r??0 决定。l?n?1时，nr?0。

u0,n?1?r??Crne?Zrna

代入（2）式，容易求得 r2几?na0Z 这结果和玻尔量子论中圆轨迹的半径公式一致。

（b）在?态下，各r?nlm之间有递推关系（Kramers公式）

??1???2r?1?aZr?2?1??4??2l?1?2??2?a??2n2rZ2r?0 （参 钱伯初、曾谨言《量子力学习题精选与剖析》P197）

40

1）

2） （4）(5) （ （

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