2017届高考数学大一轮复习 第七章 立体几何 7.4 空间中的平行关系课时规范训练 文 北师大版

【高考领航】2017届高考数学大一轮复习 第七章 立体几何 7.4 空

间中的平行关系课时规范训练 文 北师大版

[A级 基础演练]

1．(2015·高考北京卷)设α，β是两个不同的平面，m是直线且mα，“m∥β”是“α∥β”的( )

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

α∥β；

解析：当m∥β时，过m的平面α与β可能平行也可能相交，因而m∥β

当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为mα，所以m∥β.综上知，“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．

答案：B

2．(2015·高考安徽卷)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( )

A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行

C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线 D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面

解析：A项，α，β可能相交，故A错误；B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故B错误；C项，若mα，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故C错误；

D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n，所以原命题正确，故D项正确． 答案：D

3．(2016·汕头质检)若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列命题中真命题的序号是__________．

①若m，n都平行于平面α，则m，n一定不是相交直线； ②若m，n都垂直于平面α，则m，n一定是平行直线； ③已知α，β互相平行，m，n互相平行，若m∥α，则n∥β； ④若m，n在平面α内的射影互相平行，则m，n互相平行．

解析：①为假命题，②为真命题，在③中，n可以平行于β，也可以在β内，故是假命题，在④中，m，n也可能异面，故为假命题．

答案：②

4．棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C、M、D1作正方体的截面，则截面的面积是________．

解析：由面面平行的性质知截面与面AB1的交线MN是△AA1B的中位线，所以截面是梯

9

形CD1MN，易求其面积为.

2

9答案： 2

5．已知α、β是不同的两个平面，直线aα，直线bβ，命题p：a与b没有公共点；命题q：α∥β，则p是q的________条件．

解析：∵a与b没有公共点，不能推出α∥β， 而α∥β时，a与b一定没有公共点， 即p?/q，q?p，∴p是q的必要不充分条件． 答案：必要不充分

6．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．

解析：因为直线EF∥平面AB1C，EF平面ABCD，且平面AB1C∩平面ABCD＝AC，所以EF1

∥AC.又因为点E是DA的中点，所以F是DC的中点，由中位线定理可得EF＝AC.又因为在

2正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，所以AC＝22，所以EF＝2.

答案：2

7．一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M，N分别是AB，AC的中点，G是DF上的一动点．

(1)求该多面体的体积与表面积；

(2)当FG＝GD时，在棱AD上确定一点P，使得GP∥平面FMC，并给出证明．

解：(1)由题中图可知该多面体为直三棱柱，在△ADF中，AD⊥DF，DF＝AD＝DC＝a，所13122222

以该多面体的体积为a，表面积为a×2＋2a＋a＋a＝(3＋2)a.

22

(2)点P与点A重合时，GP∥平面FMC. 取FC的中点H，连接GH，GA，MH.

2

1

∵G是DF的中点，∴GH綊CD.

21

又M是AB的中点，∴AM綊CD.

2

∴GH∥AM且GH＝AM，∴四边形GHMA是平行四边形．∴GA∥MH.

∵MH平面FMC，GA平面FMC，∴GA∥平面FMC，即当点P与点A重合时，GP∥平面

FMC.

8．(2016·石家庄二中一模)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，E为PD的中点，F在AD上，且∠FCD＝30°.

(1)求证：CE∥平面PAB；

(2)若PA＝2AB＝2，求四面体P-ACE的体积． 解：(1)证明∵∠ACD＝90°，∠CAD＝60°， ∴∠FDC＝30°.

又∠FCD＝30°，∴∠ACF＝60°， ∴AF＝CF＝DF，即F为AD的中点． 又E为PD的中点，

∴EF∥PA，∵AP平面PAB，EF平面PAB， ∴EF∥平面PAB.又∠BAC＝∠ACF＝60°， ∴CF∥AB，可得CF∥平面PAB. 又EF∩CF＝F，

∴平面CEF∥平面PAB，而CE平面CEF， ∴CE∥平面PAB.

(2)∵EF∥AP，AP平面APC，EF平面APC， ∴EF∥平面APC.

又∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝60°，PA＝2AB＝2， ∴AC＝2AB＝2，CD＝

＝23.

tan 30°

AC1111123

∴VP-AEC＝VE-PAC＝VF-PAC＝VP-ACF＝××S△ACD·PA＝×××2×23×2＝.

323223

3

[B级 能力突破]

1．(2015·高考福建卷)若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的( )

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：∵m⊥α，若l∥α，则必有l⊥m，即l∥α?l⊥m. 但l⊥m?/l∥α，∵l⊥m时，l可能在α内． 故“l⊥m”是“l∥α”的必要而不充分条件． 答案：B

2．(2016·北京模拟)以下命题中真命题的个数是( ) (1)若直线l平行于平面α内的无数条直线，则直线l∥α； (2)若直线a在平面α外，则a∥α； (3)若直线a∥b，bα，则a∥α；

(4)若直线a∥b，bα，则a平行于平面α内的无数条直线． A．1个 C．3个

B．2个 D．4个

解析：命题(1)l可以在平面α内，不正确；命题(2)直线a与平面α可以是相交关系，不正确；命题(3)a可以在平面α内，不正确；命题(4)正确．

答案：A

3．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是( )

A.?1，C.?

??5?? 2?

B.?

5??32

，? 2??4

?5?

，2? ?2?

D．[2，3]

解析：取B1C1的中点M，BB1的中点N，连接A1M，A1N，MN，可以证明平面AMN∥平面AEF，

4

所以点P位于线段MN上，因为A1M＝A1N＝

5?1?2

1＋??＝，MN＝ ?2?2?1?2＋?1?2＝2，?2??2?2????

所以当点P位于M，N处时，A1P的长度最长，当P位于MN的中点O时，A1P的长度最短，此时A1O＝

325?5?2?2?232

??－??＝4，所以A1O≤A1P≤A1M，即4≤A1P≤2，所以线段A1P?2??4?

5??32

，?，选B. 2??4

长度的取值范围是?

答案：B

4．如图所示，ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1、B1C1

的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P、M、N的平面交上底面于PQ，Q在CD3上，则PQ＝________.

解析：∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，∴MN∥PQ. ∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点，AP＝，

3

aaa2a22∴CQ＝，从而DP＝DQ＝，∴PQ＝a.

333

22答案：a

3

5．如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足条件________时，有

MN∥平面B1BDD1.

解析：由题意，HN∥面B1BDD1，FH∥面B1BDD1. ∵HN∩FH＝H，∴面NHF∥面B1BDD1. ∴当M在线段HF上运动时， 有MN∥面B1BDD1.

5

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/sdaf.html