上海市浦东新区2012届高三4月（二模）质量抽测数学（理）试题wor

上海市浦东新区2012届高三第二学期4月质量抽测

数学（理科）

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1．抛物线y2?4x的焦点坐标是_____________.(1,0)

2012.04

111（其中i是虚数单位），则z=_____?i 1?i22??3.向量a?(3,4)在向量b?(1,0)方向上的投影为______.3

2．复数z?24.若集合A?{xx?5x?6?0}，集合B?{xax?2?0,a?Z}，且B?A，则实数

a=__0或1_. 5.已知三个球的表面积之比是1:2:3，则这三个球的体积之比为______1:22:33 6. 在△ABC中，若b?1,c?3, ?C?2?3,则S?ABC?______. 347.在极坐标系中，点A(2,)关于直线l:?cos??1的对称点到极点的距离是_ _.22 8.甲、乙、丙三位旅行者体验城市生活，从地铁某站上车，分别从前方10个地铁站中随机选择一个地铁站下车，则甲、乙、丙三人不在同一站下车有________种方法（用数字作答）.990

9.执行右面的程序框图，如果输入的n是4，则输出的P=____.3 10.若数f(x)?开始输入n?2s?0,t?1,k?1,p?1k?n是p?s?t否x?a?1?2x有且只有一个零点，则实数

a=__________.?2 11.已知数列

s?t,t?p?an?(n?N*)，首项a1?5，若二次方程6k?k?1anx2?an?1x?1?0的根?、?且满足3?????3??1，则数列

1n11__.???()?an?的前n项和Sn?__________2223n输出p

结束12．毕业生小王参加人才招聘会，分别向A、B两个公司投递个人简历.假定小王得到A公

1，得到B公司面试的概率为p，且两个公司是否让其面试是独立的。31记?为小王得到面试的公司个数.若??0时的概率P(??0)?，则随机变量?的数学

27期望E(?)?_____

12司面试的概率为

13．手机产业的发展催生了网络新字“孖”.某学生准备在计算机上作出其对应的图像，其中

如图所示.在作曲线段AB时，该学生想把函数y?A(2,2)，

1x2,x?[0,2]的

yB图像作适当变换，得到该段函数的曲线.请写出曲线段AB在x?[2，3]上对应的函数解析式________.y?（2x?2）?2.14．在证明恒等式1?2?3???n?222222A12[来源:Z+xx+k.Com]

O23x1n(n?1)(2n?1)(n?N*)6时，可利用组合数表示n，即n2?2Cn2?1?Cn1(n?N*)推得.类似地，在推导恒等式

n(n?1)2313?23?33???n3?[]n(?N*)时，也可以利用组合数表示n推得.则

231321*n3=______________.6Cn?1?Cn或6Cn?2?6Cn?1?Cn(n?N)

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

??????215．已知非零向量a、b，“函数f(x)?(ax?b)为偶函数”是“a?b”的 （ C ）

A. 充分非必要条件

B. 必要非充分条件 D. 既非充分也非必要条件

C. 充要条件

[来源:学#科#网Z#X#X#K]

16．设z1、z2为复数，下列命题一定成立的是（ ）D

2A.如果z1?z2?0，那么z1?z2?0 B. 如果z1?z2，那么z1??z2

2C. 如果z1?a，a是正实数，那么?a?z1?a D. 如果z1?a，a是正实数，那么

z1?z1?a2

x2y2x2y217．若双曲线C1:2?2?1(a1?0,b1?0)和双曲线C2:2?2?1(a2?0,b2?0)的焦

a1b1a2b2点相同，且a1?a2给出下列四个结论：

222①a1?a2?b2?b12； ②

a1b2?； a2b1③双曲线C1与双曲线C2一定没有公共点； ④a1?a2?b1?b2；

其中所有正确的结论序号是（ ）B A. ①② B, ①③ C. ②③ D. ①④

1?2x,0?x???218．已知函数f(x)??，且f1(x)?f(x)，fn(x)?f(fn?1(x))，

?2?2x,1?x?1??2n?1,2,3,?.则满足方程fn(x)?x的根的个数为（ ）C

A、2n个 B、2n个 C、2个 D、2(2?1)个

三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号规定的区域内写出必要的步骤.

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.

2nn已知函数f(x)?2sinxcosx?2cosx， （1）求函数f(x)的单调递增区间；

2?（2）将函数y?f(x)图像向右平移个单位后，得到函数y?g(x)的图像，求方程

4g(x)?1的解.

【解答】（1）f(x)?由2k??2sin(2x??4)?1，

?2?2x??4?2k???2(k?Z)得：

3????,k???(k?Z)； f(x)的单调递增区间是?k??88??（2）由已知，g(x)????2sin?2x???1，

4????由g(x)?1，得2sin?2x?????0， 4??x?k???，(k?Z). 2820.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，BA?BC. （1）若BA?BB1，求证：AB1?平面A1BC； （2）若BA?BC?BB1?2，M是棱BC上的一动点.试确定点M的位置，使点M到平面A1B1C的距离等于

2. 2【解答】

（1）证明：当BA?BB1，可知，AB1?A1B . 又?BC?BA，BC?BB1，且BA?BB1?B，

?BC?平面ABB1.

而AB1?平面ABB1，?AB1?BC.

?AB1?A1B??由?AB1?BC?AB1?平面

?AB?BC?B?1A1BC.

（2）解：如图所示，建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为C?0,0,2?、B1?0,2,0?、

A1?2,2,0?、并设M?0,0,h?.

?设平面A１B１C的法向量为n??u,v,w?，则n?CB１,n?A1B1.

?CB1??0,2,?2?，A1B1???2,0,0?，

且n?CB1?0,n?A1B1?0，???2v?2w?0?w?v，取v?1， ????2u?0?u?0得平面A１B１C的一个法向量为n??0,1,1?， 且n?2，又?MB1??0,2,?h?，于是点M到平面A１B１C的距离

?0?0?1?2?h2?2?h2?2?h?1，或h?3（舍） 2d?n?MB1n所以，当点M为棱BC的中点时，点M到平面A1B1C的距离等于

2. 221．（本大题满分14分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满5分，第3小题满5分.

x2y2已知椭圆2?2?1(a?b?0)，左右焦点分别为F1,F2，长轴的一个端点与短轴

ab两个端点组成等边三角形，直线l经过点F2，倾斜角为45?，与椭圆交于A,B两点.

（1）若｜F1F2|?22，求椭圆方程； （2）对（1）中椭圆，求?ABF1的面积；

（3）M是椭圆上任意一点，若存在实数?,?，使得OM??OA??OB，试确定?,?的关系式.

【解答】（1）由已知，可得c?∵a?b?c，∴a?2222，a?3b，

3，b?1，

x2?y2?1. ∴3 （2）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线l:y?x?2，

代入椭圆方程得4x2?62x?3?0，x1?x2?332，x1x2?，

42|x1?x2|?∴S??66，|y1?y2|?|x1?x2|?， 2216?22??3. 22 （3）由已知椭圆方程为x2?3y2?3b2 ①，

右焦点F的坐标为(2b,0)，

直线AB所在直线方程为y?x?2b ②，

由①②得：4x2?62bx?3b2?0，

3b232b，x1x2?设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1?x2?，

42?????????????设M(x,y)，由OM??OA??OB得，

x??x1??x2，y??y1??y2，

∵点M在椭圆上，

∴(?x1??x2)2?3(?y1??y2)2?3b2，

22整理得：?2(x12?3y12)??2(x2?3y2)?2??(x1x2?3y1y2)?3b2，

x1x2?3y1y2?x1x2?3(x1?2b)(x2?2b)?4x1x2?32b(x1?x2)?6b2?0 ③，

22 又点A,B在椭圆上，故x12?3y12?3b2 ④，x2?3y2?3b2 ⑤，

来源学§科§网Z§X§X§K]

由③④⑤式得?2??2?1.

22．（本大题满分16分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满6分，第3小题满6分.

??n?n??*记数列?an?的前n项和为Sn．已知向量a??cos?sin,1?（n?N）和

33??????n?n??*b??an,cos?sin?（n?N）满足a//b.

33??（1）求数列?an?的通项公式； （2）求S3n；

??【解答】（1）∵a//b

∴an=?cos=cos2（3）设bn?2nan，求数列?bn?的前n项的和为Tn．

??n?n???n?n??sincos?sin??33??33?? ?n?n??sin2 332n?=cos

32n?∴an?cos；

3111,?,1?,（2）数列?an?:?222a3k?2?a3k?1?a3k?0?k?N??.

S3n?a1?a2???an3

1?,?为,1周,期为3的周期数列且2??a1?a2?a3???a4?a5?a6?????a3n?2?a3n?1?a3n?

?11??n????1??0.

?22?

（3）bn?2an?2cosnn2n?. 3?当n?3kk?N时，

??∵ b3k?2?b3k?1?b3k?23k?2????23k?1????23k?1?5?23k?3. ∴ Tn?T3k?51?2???2?当n?3k?1k?N时，

?1??2?3k?3?1??2??3??53k5n2?1???7?2?1?. 7??53k23k?1?52n?2?53kTn?T3k?1?T3k?b3k??2?1??2?1????.

777?当n?3k?2k?N时，

??Tn?T3k?223k?1?53k?1?1?23k?2?52n?5?T3k?1?b3k?1???2????????.

777?2??5n?7?2?1?,?n?2?2?5故Tn???,7??2n?5,??7?小题满8分.

?n?3k?,?n?3k?1?,?k?N??. ?n?3k?2?,23、（本大题满分18分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满6分，第3已知函数y?f(x),x?D，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数m，总存在非零常数T，恒有f(x?T)?m?f(x)成立，则称函数f(x)是D上的m级类增周期函数，周期为T.若恒有f(x?T)?m?f(x)成立，则称函数f(x)是D上的m级类周期函数，周期为T.

（1）已知函数f(x)??x2?ax是?3,???上的周期为1的2级类增周期函数，求实数a的取值范围；

（2）已知 T?1，y?f(x)是?0,???上m级类周期函数，且y?f(x)是?0,???上的单调递增函数，当x??0,1?时，f(x)?2，求实数m的取值范围；

x（3）下面两个问题可以任选一个问题作答，问题（Ⅰ）6分，问题（Ⅱ）8分，如果你选做了两个，我们将按照问题（Ⅰ）给你记分.

（Ⅰ）已知当x??0,4?时，函数f(x)?x?4x，若f(x)是?0,???上周期为4的m级

2类周期函数，且y?f(x)的值域为一个闭区间，求实数m的取值范围；

（Ⅱ）是否存在实数k，使函数f(x)?coskx是R上的周期为T的T级类周期函数，若存在，求出实数k和T的值，若不存在，说明理由. 【解答】（1）由题意可知： f(x?1)?2f(x)，

即?(x?1)2?a(x?1)?2(?x2?ax)对一切?3,???恒成立， ?x?1?a?x2?2x?1， ∵x?3

2x2?2x?1?x?1??2??x?1??∴a?， ?x?1x?1x?1令x?1?t，则t??2,???，

2g(t)?t?2在?2,???上单调递增， t∴g(t)min?g(2)?1， ∴a?1.

（2）∵x??0,1?时，f(x)?2x，

∴当x??1,2?时，f(x)?mf(x?1)?m?2x?1，

当x??n,n?1?时，f(x)?mf(x?1)?m2f(x?2)???mnf(x?n)?m?2nx?n，

即x??n,n?1?时，f(x)?mn?2x?n，n?N*， ∵f(x)在?0,???上单调递增， ∴m?0且m?2nn?n?mn?1?2n??n?1?，即m?2.

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（3）问题（Ⅰ）∵当x??0,4?时，y???4,0?，且有f(x?4)?mf(x)， ∴当x??4n,4n?4?,n?Z时，

2f(x)?mf(x?4)???mnf(x?4n)?mn?x?4n??4?x?4n?，

??当0?m?1时，f(x)???4,0?； 当?1?m?0时，f(x)???4,?4m?；当m??1时，f(x)???4,4?； 当m?1时，f(x)????,0?； 当m??1时，f(x)????,???； 综上可知：?1?m?0或0?m?1.

问题（Ⅱ）：由已知，有f(x?T)?Tf(x)对一切实数x恒成立， 即cosk(x?T)?Tcoskx对一切实数恒成立， 当k?0时，T?1；

当k?0时， ∵x?R，∴kx?R,kx?kT?R，于是coskx???1,1?， 又∵cos(kx?kT)???1,1?，

故要使cosk(x?T)?Tcoskx恒成立，只有T??1，

当T?1时，cos(kx?k)?coskx 得到 k?2n?，n?Z且n?0； 当T??1时，cos(kx?k)??coskx 得到 ?k?2n???， 即k?(2n?1)?，n?Z；

综上可知：当T?1时，k?2n?，n?Z；

当T??1时，k?(2n?1)?，n?Z。

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