2012中考数学专题10 平面直角坐标系

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学科教师辅导讲义

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(

) A.北纬 31° C.金华的西北方向上 B.东经 103.5° D.北纬 31°,东经 103.5°

解析：本题考查确定物体位置的方法——经纬度. 答案：D 4.(2009·杭州)有以下三个说法：①坐标的思想是法国数学家笛卡儿首先建立的；②除了平面直角坐标系外，我 们也可以用方向和距离来确定物体的位置；③平面直角坐标系内的所有点都分别属于四个象限.其中错误的是( A.只有① B.只有② C.只有③ D.①②③ )

解析：平面直角坐标系内的点可能属于象限也可能属于坐标轴上. 答案：C 5.(2008·杭州)在直角坐标系 xOy 中，点 P(4,y)在第一象限内，且 OP 与 x 轴正半轴的夹角为 60°,则 y 的值是 ( ) 4 3 A. 3 B.4 3 C.8 D.2

解析：数形结合法，y=4tan60°=4 3. 答案：B

【考点知识梳理】 三、 考点知识梳理】(一)平面内点的坐标 平面内点的坐标 1.(1)平面内的点可以用一对有序实数来表示.例如：点 A 在平面内可表示为 A(a,b),其中 a 表示点 A 的横坐 标，b 表示点 A 的纵坐标. (2)平面内的点和有序实数对是一一对应的关系，即平面内的任何一个点可以用一对有序实数来表示；反过来每 一对有序实数都表示平面内的一个点. (3)有序实数对表示这一对实数是有顺序的，即(1,2)和(2,1)表示两个不同的点. 2.平面内点的坐标规律 (1)各象限内点的坐标的特征 点 P

(x,y)在第一象限 x>0,y>0; 点 P(x,y)在第二象限 x<0,y>0; 点 P(x,y)在第三象限 x<0,y<0; 点 P(x,y)在第四象限 x>0,y<0. (2)坐标轴上的点的坐标的特征 点 P(x,y)在 x 轴上 y=0,x 为任意实数； 点 P(x,y)在 y 轴上 x=0,y 为任意实数； 点 P(x,y)在坐标原点 x=0,y=0.

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(二)特殊点的坐标特征 特殊点的坐标特征 1.(1)平行于 x 轴(或垂直于 y 轴)的直线上点的纵坐标相同，横坐标为不相等的实数. (2)平行于 y 轴(或垂直于 x 轴)的直线上点的横坐标相同，纵坐标为不相等的实数. 2.各象限角平分线上的点的坐标特征 (1)第一、三象限角平分线上的点，横、纵坐标相等. (2)第二、四象限角平分线上的点，横、纵坐标互为相反数. 3.对称点的坐标的特征 点 P(x,y)关于 x 轴的对称点 P1 的坐标为(x,-y);关于 y 轴对称的点 P2 的坐标为(-x,y);关于原点的对称点 P3 的坐标为(-x,-y). 以上特征可归纳为： (1)关于 x 轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数. (2)关于 y 轴对称的两点，横坐标互为相反数，纵坐标相同. (3)关于原点对称的两点，横、纵坐标均互为相反数. (三)确定物体的位置 确定物体的位置 1.平面内点的位置用一对有序实数来确定. 2.方法：(1)平面直角坐标法 建立平面直角坐标系时应注意以下几点： ①建立平面直角坐标系的方法很多， 由于坐标系的选择直接影响着计算 的繁简程度，所以建立平面直角坐标系时，要以能简捷地确定平面内点的坐标为原则.②由点的坐标也可以确定点所 在的平面直角坐标系，其方法是采用“逆向思维”,通过在已知平面直角坐标系中描点来寻求问题的解题思路. (2)方向角和距离定位法 ①方向角和距离定位法，是用方向角和距离确定物体的位置.方向角是表示方向的角，距离是物体与观测点的距 离.用方向角和距离定位法确定平面内点的位置时，要注意中心点的位置，中心点变化了，则方向角与距离也随之变 化.②无论在平面内用何种定位法确定点的位置，一定要注意用两个数据表示，二者缺一不可.

【中考典例精析】 四、 中考典例精析】类型一 平面内点的坐标 (1)在平面直角坐标系中，点 P(-1,3)位于( A.第一象限 B.第二象限 ) D.第四象限

C.第三象限

(2)如图是象棋盘的一部分，○ 帅

位于点(1,-2),○ 相

位于点(3,-2),则○ 炮

位于点(

)

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A.(-1,1)

B.(-1,2)

C.(-2,1)

D.(-2,2)

(3)在一次“寻宝”游戏中，“寻宝”人找到了如图所示的两个标志点 A(2,3)、B(4,1),A、B 两点到“宝藏”点 的距离都是 10,则“宝藏”点的坐标是( A.(1, 0) B.(5,4) ) C.(1

,0)或(5,4) D.(0,1)或(4,5)

(4)点 P(1,2)关于 x 轴的对称点 P1 的坐标是________,点 P(1,2)关于原点 O 的对称点 P2 的坐标是________. 【点拨】(1)题考查坐标平面内点在象限内的符号； (2)题关键是由○ 帅 的位置和○ 相 的位置确定(0,0)的位置；

(3)题确定点的坐标注意点的位置，分情况讨论；

(4)题点 P(x,y) 【答案】(1)B (2)C

,据此易得结果. (3)C (4)(1,-2) (-1,-2)

类型二 确定物体位置的方位 (1)如图是绍兴市行政区域图，若上虞市区所在地用坐标表示为(1,2),诸暨市区所在地用坐标表示为(-5, -2),那么嵊州市区所在地用坐标可表示为________.

(2)常用的确定物体位置的方法有两种.如图，在 4×4 个边长为 1 的正方形组成的方格中，标有 A、B 两点.请 你用两种不同的方法表述点 B 相对于点 A 的位置.

【点拨】确定物体位置的方法有平面直角坐标系法及方向角和距离定位法.

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【解答】(1)(0,-3) (2)方法一：用有序实数对(a,b)表示. 比如：以点 A 为原点，水平方向为 x 轴，建立直角坐标系，则 B(3,3). 方法二：用方向和距离表示. 比如：B 点位于 A 点的东北方向(或北偏东 45°),距离 A 点 3 2处.

五、 易错题探究】 【易错题探究】如下图，在平面直角坐标系中， (1)写出 A、B、C 各点坐标； (2)A、B 两点的纵坐标有什么关系？ (3)你会求图中三角形 ABC 的面积吗？与同学交流.

【解答】(1)A(-2,-2),B(3,-2),C(0,2); (2)A、B 两点的纵坐标相等； 1 (3)方法一：S△ABC= ×5×4=10; 2 1 1 方法二：S△ABC=4×5- ×2×4- ×3×4 2 2 =20-4-6=10. 【易错警示】本题写点的坐标时，必须明确点的位置，当点在象限内时，注意象限符号，当点在 x 轴上时，纵坐 标为 0,当点在 y 轴上时，横坐标为 0;在方格内求三角形的面积时，可采用“割补法”或直接求.

六、 课堂基础检测】 【课堂基础检测】 基础检测1.在平面直角坐标系中，将 P(-2,3)沿 x 轴方向向右平移 3 个单位得到点 Q,则点 Q 的坐标是( A.(-2,6) 答案：D 2.点 A(2,-3)关于 x 轴的对称点的坐标为( A.(2,3) 答案：A B.(-2,-3) ) C.(-2,3) D.(2,-3) B.(-2,0) C.(-5,3) D.(1,3) )

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3.如图所示是中国象棋的一盘残局，如果用(4,0)表示○的位置，用(3,9)表示○的位置，那么○的位置应表示 帅 将 炮 为( )

A.(8,7) 答案：A

B.(7,8)

C.(8,9)

D.(8,8)

4.在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的位置如图所示，点 A′的坐标是(-2,2),现将△ABC 平移，使点 A 变换为点 A′,点 B′、C′分别是 B、C 的对应点.

(1)请画出平移后的像△A′B′C′(不写画法),并直接写出点 B′、C′的坐标：B′________,C′________; (2)若

△ABC 内部一点 P 的坐标为(a,b),则点 P 的对应点 P′的坐标是________. (温馨提示：作图时，别忘了用黑色字迹的钢笔或签字笔描黑喔！) 解：(1)如图所示：B′(-4,1),C′(-1,-1) (2)(a-5,b-2)

【课后达标练习】 七、 课后达标练习】 练习一、选择题 1.在直角坐标系中，点(2,1)在( A.第一象限 B.第二象限 ) C.第三象限 D.第四象限

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解析：由第一象限的符号为(+,+)可得(2,1)在第一象限. 答案：A 2.如右图，点 A 关于 y 轴的对称点的坐标是( )

A.(3,3)

B.(-3,3)

C.(3,-3 )

D.(-3,-3)

解析：由坐标系知点 A(-3,3),∴点 A 关于 y 轴的对称点是(3,3). 答案：A

3.若点 P(a,4-a)在第二象限，则 a 必须满足( A.a<4 B.a>4 C.a<0

) D.a<a<4

a<0, 解析：第二象限的符号为(-,+),∴ ∴a<0. 4-a>0,

答案：C 4.在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(2,3),若将 OA 绕原点 O 逆时针旋转 180°得到 OA′,则点 A′在平面 直角坐标系中的位置是在( A.第一象限 ) B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

解析：数形结合法，按要求画出坐标系描点，可得点 A′在第三象限.实际上 A′与 A 关于原点对称. 答案：C 5.已知点 M(a,-3)与点 N(-4,b)关于 x 轴对称，则(a+b)2 011 的值为( A.1 B.-1 C.72 011 D.-72 011 )

解析：∵M(a,-3)与 N(-4,b)关于 x 轴对称，∴a=-4,b=3,∴(a+b)2 011=-1. 答案：B 6.在平面直角坐标系中，已知点 A(0,-2),B(-2 3,0),C(0,2),D(2 3,0),则以这四个点为顶点的四边形 ABCD 是( A.矩形 ) B.菱形 C.正方形 D.梯形

解析：数形结合法可利用对角线互相平分且垂直判断四边形 ABCD 是菱形. 答案：B 7.海事救灾船前去救援某海域失火轮船，需要确定( A.方位 C.方位和距离 B.距离 D.失火轮船的图籍 )

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解析：需明确失火点的方位和距失火点的距离两个量才能到达失火点. 答案：C 1 8.已知点 P(x,y)在函数 y= 2+ -x的图象上，那么点 P 在平面直角坐标系中的( x A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 )

1 1 解析：∵y= 2+ -x,∴x<0,又 2>0, -x>0,∴y>0,∴点 P(x,y)在第二象限. x x 答案：B 9.一小蚂蚁在小方格的线路上爬行，它起始位置是 A(2,2),先爬到 B(2,4),再爬到 C(5,4),最后爬到 D(5,6),则 小虫共爬了( ) B.5 个单位 C.4 个单位 D.3 个单位

A.7 个单位

解析：数形结合法.按照蚂蚁爬行路线可得蚂蚁共爬了 7 个单位. 答案：A 10.如图，坐标平面内一点 A(2,-1),O 为原点，P 是 x 轴上的一个动点，如果以点 P、O、A 为顶点的三角形 是等腰三角形，那么符合条件的动点 P 的个数为( )

A.2

B.3

C.4

D.5

解析：分类讨论.当点 P 为顶角顶点时，作 OA 的中垂线与 x 轴交于一点，有 1 个；当点 O 为顶角顶点时，以 O 为圆心，OA 长为半径画弧，与 x 轴交于两点，有 2 个；当点 A 为顶角顶点时，以 A 为圆心，OA 为半径画弧有 1 个总共 4 个. 答案：C 二、填空题 11.在平面直角坐标系中，点 A(2,-3)位于第________象限. 解析：根据象限符号(+,-)得点 A 在第四象限. 答案：四 12.如果将一张 7 排 2 号的电影票简记为(7,2),那么(15,4)表示的电影票是________排________号. 解析：因为横坐标表示排数，纵坐标表示号数，所以 (15,4)表示 15 排 4 号. 答案：15 4 13. 如图， 直角坐标系中， △ABC 的顶点都在网格点上， 其中， 点坐标为(2, A -1), 则△ABC 的面积为________ 平方单位.

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1 1 1 解析：S△ABC=3×4- ×3×1- ×3×1- ×2×4=5,利用面积差求解. 2 2 2 答案：5 14. 如图， 在直角坐标系中， 右边的图案是由左边的图案经过平移得到的. 左边图案中左右眼睛的坐标分别是(- 4,2)、(-2,2),右边图案中左眼的坐标是(3,4),则右边图案中右眼的坐标是________.

解析：观察左眼，坐标的变化规律为横坐标+7,纵坐标+2,右眼随之变化为(5,4). 答案：(5,4) 三、计算题 15.如图，观察图形回答下列问题. (1)相对于小明家 A 的位置，说出书店 B 的位置； (2)某地点在小明家的南偏东 58°的方向，且到小明家的实际距离约为 250 m,请写出这一地点的名称.

解：(1)书店 B 在小明家 A 的北偏东 43°的方向，且距小明家 A 的图上距离约为 1.5 cm,实际距离为 1.5×10 1 000× =150(m) 100 (2)电影院 16.在平面直角坐标系中描出下列各点，并指出它们所在的坐标轴或象限：A(3,0),B(0,-2),C(-3,2),D(4, -1),E(-2,-3),F(1,3). 解：图略，点 A 在 x 轴上原点的右侧；点 B 在 y 轴上原点的下方；点 C 在第二象限内；点 D 在第四象限内；点 E 在第三象限内；点 F 在第一象限内.

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17.如图，在直角坐标系中，Rt△AOB 的两条直角边 OA、OB 分别在 x 轴的负半轴、y 轴的负半轴上，且 OA =2,OB=1.将 Rt△AOB 绕点 O 按顺时针方向旋转 90°,再把所得的像沿 x 轴正方向平移 1 个单位，得△CDO.

(1)写出点 A、C 的坐标； (2)求点 A 和点 C 之间的距离.

解：(1)点 A 的坐标是(-2,0),点 C 的坐标是(1,2). (2)连结 AC,在 Rt△ACD 中， AD=OA+OD=3,CD=2, ∴AC2=CD2+AD2=22+32=13, ∴AC= 13.

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