三角函数1—4讲

第1讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数

【2013年高考会这样考】 1．考查三角函数的定义及应用． 2．考查三角函数值符号的确定． 【复习指导】

从近几年的高考试题看，这部分的高考试题大多为教材例题或习题的变形与创新，因此学习中要立足基础，抓好对部分概念的理解．

基础梳理

1．任意角 (1)角的概念的推广

①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2)终边相同的角

终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)． (3)弧度制

①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|l

＝r，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．

l

③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制，比值r与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关．

④弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度． ⑤弧长公式：l＝|α|r，

11

扇形面积公式：S扇形＝2lr＝2|α|r2. 2．任意角的三角函数定义

设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P(x，y)，它与原点的距离为r(r＞0)，yxy

那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝r，cos α＝r，tan α＝x，它们都是

以角为自变量，以比值为函数值的函数． 3．三角函数线

设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M，则点M是点P在x轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P的坐标为(cos_α，sin_α)，即P(cos_α，sin_α)，其中cos α＝OM，sin α＝MP，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T，则tan α＝AT.我们把有向线段OM、MP、AT叫做α的余弦线、正弦线、正切线．

三角函数线 有向线段MP为正弦线 有向线段OM为余弦线

一条规律

三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (2)终边落在x轴上的角的集合{β|β＝kπ，k∈Z}；终边落在y轴上的角的集合??π?β|β ＝＋kπ，k∈Z?

2?????kπ

?β?β＝，k∈Z

2???

有向线段AT 为正切线 ；终边落在坐标轴上的角的集合可以表示为

??

?. ??

两个技巧

(1)在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点，|OP|＝r一定是正值．

(2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧． 三个注意

(1)注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，

第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．

(2)角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．

(3)注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示，以方便解题．

双基自测

9π

1．(人教A版教材习题改编)下列与4的终边相同的角的表达式中正确的是

( )．

A．2kπ＋45°(k∈Z) C．k·360°－315°(k∈Z)

9

B．k·360°＋π(k∈Z)

45π

D．kπ＋4(k∈Z)

9π9

解析 与4的终边相同的角可以写成2kπ＋4π(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确． 答案 C

2．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在( )． A．第一或第三象限 C．第二或第四象限

B．第一或第二象限 D．第三或第四象限

解析 当k＝2m＋1(m∈Z)时，α＝2m·180°＋225°＝m·360°＋225°，故α为第三象限角；

当k＝2m(m∈Z)时，α＝m·360°＋45°，故α为第一象限角． 答案 A

3．若sin α＜0且tan α＞0，则α是( )． A．第一象限角 C．第三象限角

B．第二象限角 D．第四象限角

解析 由sin α＜0知α是第三、四象限或y轴非正半轴上的角，由tan α＞0知α是第一、三象限角．∴α是第三象限角． 答案 C

4．已知角α的终边过点(－1,2)，则cos α的值为( )．

525251

A．－5 B.5 C．－5 D．－2 解析 由三角函数的定义可知，r＝5，cos α＝答案 A

5．(2011·江西)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴，若P(4，y)25

是角θ终边上一点，且sin θ＝－5，则y＝________.

解析 根据正弦值为负数且不为－1，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该角为第四象限角，∴y＜0，sin θ＝答案 －8

考向一 角的集合表示及象限角的判定

【例1】?(1)写出终边在直线y＝3x上的角的集合；

6πθ

(2)若角θ的终边与7角的终边相同，求在[0,2π)内终边与3角的终边相同的角； α

(3)已知角α是第二象限角，试确定2α、2所在的象限． [审题视点] 利用终边相同的角进行表示及判断． π

解 (1)在(0，π)内终边在直线y＝3x上的角是3， ∴终边在直线y＝3x上的角的集合为

???π

?α?α＝＋kπ，k∈Z

3???

－15

＝－5. 5

y25

＝－

5?y＝－8. 16＋y2

??

?. ??

6πθ2π2kπ

(2)∵θ＝7＋2kπ(k∈Z)，∴3＝7＋3(k∈Z)． 2π2kπ318

依题意0≤7＋3＜2π?－7≤k＜7，k∈Z.

θ2π20π34π

∴k＝0,1,2，即在[0,2π)内终边与3相同的角为7，21，21. (3)∵α是第二象限角，

∴k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z. ∴2k·360°＋180°＜2α＜2k·360°＋360°，k∈Z.

∴2α是第三、第四象限角或角的终边在y轴非正半轴上． α∵k·180°＋45°＜2＜k·180°＋90°，k∈Z，

α当k＝2m(m∈Z)时，m·360°＋45°＜2＜m·360°＋90°； 当k＝2m＋1(m∈Z)时，

αm·360°＋225°＜2＜m·360°＋270°； α

∴2为第一或第三象限角．

(1)相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同

的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍．

(2)角的集合的表示形式不是唯一的，如：终边在y轴非正半轴上的角的集合可

???π以表示为?x?x＝2kπ－2

???

?????3π

?，k∈Z，也可以表示为?x?x＝2kπ＋2，k∈Z?????

??

?. ??

【训练1】 角α与角β的终边互为反向延长线，则( )． A．α＝－β B．α＝180°＋β C．α＝k·360°＋β(k∈Z) D．α＝k·360°±180°＋β(k∈Z)

解析 对于角α与角β的终边互为反向延长线，则α－β＝k·360°±180°(k∈Z)． ∴α＝k·360°±180°＋β(k∈Z)． 答案 D

考向二 三角函数的定义

2

【例2】?已知角θ的终边经过点P(－3，m)(m≠0)且sin θ＝4 m，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值．

[审题视点] 根据三角函数定义求m，再求cos θ和tan θ. 解 由题意得，r＝3＋m2，∴

m2

＝m，∵m≠0， 3＋m24

∴m＝±5，

故角θ是第二或第三象限角．

当m＝5时，r＝22，点P的坐标为(－3，5)，角θ是第二象限角， x－36

∴cos θ＝r＝＝－4，

22ytan θ＝x＝

15＝－3. －35

当m＝－5时，r＝22，点P的坐标为(－3，－5)，角θ是第三象限角． x－36y－515

∴cos θ＝r＝＝－4，tan＝x＝＝3.

22－3

任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P

的位置无关．若角α已经给出，则无论点P选择在α终边上的什么位置，角α的三角函数值都是确定的．

【训练2】 (2011·课标全国)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos 2θ＝( )． 4334

A．－5 B．－5 C.5 D.5

5

解析 取终边上一点(a,2a)，a≠0，根据任意角的三角函数定义，可得cos θ＝±5，3故cos 2θ＝2cos2θ－1＝－5. 答案 B

考向三 弧度制的应用

【例3】?已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10. (1)求弦AB所对的圆心角α的大小；

(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.

[审题视点] (1)由已知条件可得△AOB是等边三角形，可得圆心角α的值； (2)利用弧长公式可求得弧长，再利用扇形面积公式可得扇形面积，从而可求弓形的面积．

解 (1)由⊙O的半径r＝10＝AB，知△AOB是等边三角形， π

∴α＝∠AOB＝60°＝3.

π

(2)由(1)可知α＝3，r＝10， π10π

∴弧长l＝α·r＝3×10＝3， 1110π50π∴S扇形＝2lr＝2×3×10＝3，

11031103503

而S△AOB＝2·AB·2＝2×10×2＝2， ?π3?∴S＝S扇形－S△AOB＝50?－?.

?32?

弧度制下的扇形的弧长与面积公式，比角度制下的扇形的弧长与面积

公式要简洁得多，用起来也方便得多．因此，我们要熟练地掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式．

【训练3】 已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？

解 设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝40， 11?20?S＝2lr＝2r(40－2r)＝r(20－r)≤?2?2＝100.

??当且仅当r＝20－r，即r＝10时，Smax＝100.

∴当r＝10，θ＝2时，扇形面积最大，即半径为10，圆心角为2弧度时，扇形面积最大．

考向四 三角函数线及其应用

【例4】?在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围．并由此写出角α的集合：

31

(1)sin α≥2； (2)cos α≤－2. 31

[审题视点] 作出满足sin α＝2，cos α＝－2的角的终边，然后根据已知条件确定角α终边的范围． 解

3

(1)作直线y＝2交单位圆于A、B两点，连接OA、OB，则OA与OB围成的区域(图中阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为

???π2

?α?2kπ＋≤α≤2kπ＋π，k∈Z

33???

??

?. ??

1

(2)作直线x＝－2交单位圆于C、D两点，连接OC、OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为

???2?α?2kπ＋π3???

??4

≤α≤2kπ＋3π，k∈Z?.

??

利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤是：

(1)用边界值定出角的终边位置； (2)根据不等式(组)定出角的范围； (3)求交集，找单位圆中公共的部分； (4)写出角的表达式．

【训练4】 求下列函数的定义域： (1)y＝2cos x－1； (2)y＝lg(3－4sin2x)． 1

解 (1)∵2cos x－1≥0，∴cos x≥2.

由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)．

ππ??

∴定义域为?2kπ－3，2kπ＋3?(k∈Z)．

??(2)∵3－4sin2x＞0， 3

∴sin2x＜4，

33∴－2＜sin x＜2.

利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，

ππ??

∴定义域为?kπ－3，kπ＋3?(k∈Z)．

??

规范解答7——如何利用三角函数的定义求三角函数值

【问题研究】 三角函数的定义：设α是任意角，其终边上任一点P(不与原点重yx

合)的坐标为(x，y)，它到原点的距离是r(r＝x＋y＞0)，则sin α＝r、cos α＝r、22y

tan α＝x分别是α的正弦、余弦、正切，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，这样的函数称为三角函数，这里x，y的符号由α终边所在象限确定，r的符号始终为正，应用定义法解题时，要注意符号，防止出现错误．三角函数的定义在解决问题中应用广泛，并且有时可以简化解题过程．

【解决方案】 利用三角函数的定义求三角函数值时，首先要根据定义正确地求得x，y，r的值；然后对于含参数问题要注意分类讨论．

【示例】?(本题满分12分)(2011·龙岩月考)已知角α终边经过点P(x，－2)(x≠0)，3

且cos α＝6x，求sin α、tan α的值．

只要确定了r的值即可确定角α经过的点P的坐标，即确定角α所在

的象限，并可以根据三角函数的定义求出所要求的值． [解答示范] ∵P(x，－2)(x≠0)， ∴P到原点的距离r＝x2＋2，(2分) 3

又cos α＝6x， ∴cos α＝

x3

＝x， x2＋26

∵x≠0，∴x＝±10，∴r＝23.(6分)

当x＝10时，P点坐标为(10，－2)，

65

由三角函数定义，有sin α＝－6，tan α＝－5；(9分) 当x＝－10时，P点坐标为(－10，－2)，

65

∴sin α＝－6，tan α＝5.(12分)

当角的终边经过的点不固定时，需要进行分类讨论，特别是当角的终

边在过坐标原点的一条直线上时，在根据三角函数定义求解三角函数值时，就要把这条直线看做两条射线，分别求解，实际上这时求的是两个角的三角函数值，这两个角相差2kπ＋π(k∈Z)，当求出了一种情况后也可以根据诱导公式求另一种情况．

4

【试一试】 已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α＋cos α＋5tan α. 3

[尝试解答] 取直线3x＋4y＝0上的点P1(4，－3)，则|OP1|＝5，则sin α＝－5，43

cos α＝5，tan α＝－4，

4344?3?故sin α＋cos α＋5tan α＝－5＋5＋5×?－4?

??2＝－5；

取直线3x＋4y＝0上的点P2(－4,3)， 343

则sin α＝5，cos α＝－5，tan α＝－4. 4344?3?4

故sin α＋cos α＋5tan α＝5－5＋5×?－4?＝－5.

??424

综上，sin α＋cos α＋5tan α的值为－5或－5.

第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式

【2013年高考会这样考】

1．考查同角三角函数的基本关系式．

2．考查诱导公式在三角函数化简求值中的运用．

【复习指导】

本讲复习时应紧扣三角函数的定义，理解记忆同角三角函数的基本关系式和诱导公式；特别是对诱导公式的记忆口诀要理解透彻，可通过适量训练加强理解，掌握其规律．

基础梳理

1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1； sin α(2)商数关系：＝tan α.

cos α2．诱导公式

公式一：sin(α＋2kπ)＝sin α，cos(α＋2kπ)＝cos_α，其中k∈Z. 公式二：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α， tan(π＋α)＝tan α.

公式三：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α. 公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos_α. ?π??π?

公式五：sin?2－α?＝cos_α，cos?2－α?＝sin α.

?????π??π?

公式六：sin?2＋α?＝cos_α，cos?2＋α?＝－sin_α.

????

π

诱导公式可概括为k·±α的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，

2π

符号看象限．其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的2变化．若是奇数倍，则函数名称变为相应的余名函数；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号．

一个口诀

诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限． 三种方法

在求值与化简时，常用方法有：

(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin α化成正、余弦． cos α(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化． π(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝tan＝?.

4三个防范

(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负－脱周－化锐． 特别注意函数名称和符号的确定．

(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． (3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．

双基自测

1

1．(人教A版教材习题改编)已知sin(π＋α)＝，则cos α的值为( )．

21A．± 2C.3 2

1B. 2D．±3 2

1

解析 ∵sin(π＋α)＝－sin α＝，

2

13

∴sin α＝－.∴cos α＝±1－sin2α＝±.

22答案 D

2．(2012·杭州调研)点A(sin 2 011°，cos 2 011°)在直角坐标平面上位于( )． A．第一象限 C．第三象限

B．第二象限 D．第四象限

解析 2 011°＝360°×5＋(180°＋31°)，

∴sin 2 011°＝sin[360°×5＋(180°＋31°)]＝－sin 31°＜0， cos 2 011°＝cos[360°×5＋(180°＋31°)]＝－cos 31°＜0， ∴点A位于第三象限． 答案 C

4

3．已知cos α＝，α∈(0，π)，则tan α的值等于( )．

54343A. B. C．± D．± 3434

3sin α3解析 ∵α∈(0，π)，∴sin α＝1－cos2α＝，∴tan α＝＝.

5cos α4答案 B

?17π??17π?

?的值是( )． 4．cos?－?－sin?－

4???4?2

A.2 B．－2 C．0 D. 2

π?17π217π?17π??17π?π?

?＝－sin解析 cos?－?＝cos＝cos?4π＋4?＝cos＝，sin?－＝

4?4424????4?π?222?17π??17π?π?

?－sin?－?＝＋＝2. －sin?4π＋4?＝－sin＝－.∴cos?－

4?2422???4??答案 A

1

5．已知α是第二象限角，tan α＝－，则cos α＝________.

2

sin α1

解析 由题意知cos α＜0，又sinα＋cosα＝1，tan α＝＝－.∴cos α＝

cos α2

2

2

25

－.

5答案 －

25

5

考向一 利用诱导公式化简、求值

【例1】?已知f(α)＝

sin?π－α?cos?2π－α??31π?

，求f??.

?π??3?sin?2＋α?tan?π＋α???

[审题视点] 先化简f(α)，再代入求解． 解 f(α)＝

sin αcos α

＝cos α，

cos αtan α

π?31?31π?π1?

∴f??＝cos π＝cos?10π＋3?＝cos ＝.

332???3?

(1)化简是一种不指定答案的恒等变形，其结果要求项数尽可能少，次

数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．

(2)诱导公式的应用原则：负化正、大化小，化到锐角为终了．

?π?

cos?2＋α?sin?－π－α???

【训练1】 已知角α终边上一点P(－4,3)，则的值为

?11π??9π?

－α?sin?＋α?cos??2??2?________． 解析 原式＝3

答案 －

4

考向二 同角三角函数关系的应用

【例2】?(2011·长沙调研)已知tan α＝2. 2sin α－3cos α求：(1)；

4sin α－9cos α(2)4sin2α－3sin αcos α－5cos2α. [审题视点] (1)同除cos α；

(2)利用1＝sin2α＋cos2α，把整式变为分式，再同除cos2α. 解 (1)

2sin α－3cos α2tan α－32×2－3

＝＝＝－1.

4sin α－9cos α4tan α－94×2－9

?－sin α?sin αy3

＝tan α，根据三角函数的定义，得tan α＝＝－.

?－sin α?cos αx4

22

4sinα－3sin αcos α－5cosα

(2)4sin2α－3sin αcos α－5cos2α＝ 22

sinα＋cosα

4tan2α－3tan α－54×4－3×2－5＝＝＝1.

tan2α＋14＋1

(1)对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，已

知其中一个式子的值，其余二式的值可求．转化的公式为(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；(2)关于sin α，cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子． 【训练2】 已知

sin α＋3cos α

＝5.则sin2α－sin αcos α＝________.

3cos α－sin α

解析 依题意得：

2

tan α＋3

＝5，∴tan α＝2.

3－tan α

sin2α－sin αcos α

∴sinα－sin αcos α＝ sin2α＋cos2αtan2α－tan α22－22＝＝2＝. tan2α＋12＋152答案

5

考向三 三角形中的诱导公式

【例3】?在△ABC中，sin A＋cos A＝2，3cos A＝－2cos(π－B)，求△ABC的三个内角．

[审题视点] 要求三角形的内角，需求得某一内角的某一三角函数值，故结合条件sin A＋cos A＝2知先求角A，进而求其他角． π??

解 由已知可得 2sin?A＋4?＝2，

??π

因为0＜A＜π，所以A＝.

4

3π

由已知可得3cos A＝2cos B，把A＝代入可得cos B＝，又0＜B＜π，从

42πππ7π

而B＝，所以C＝π－－＝.

64612

在△ABC中常用到以下结论：sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C，

CC?AB??AB?

＋＋?＝cos，cos??＝sin. tan(A＋B)＝－tan C，sin?

22?22??22?

【训练3】 若将例3的已知条件“sin A＋cos A＝2”改为“sin(2π－A)＝－2sin(π－B)”其余条件不变，求△ABC的三个内角．

解 由条件得：－sin A＝－2sin B，即sin A＝2sin B，

3cos A＝2cos B，平方相加得： sin2 A＋3cos2 A＝2?2cos2 A＝1，cos A＝±2

. 2

若cos A＝－

232

，则cos B＝－，A，B均为钝角不可能．故cos A＝，cos 222

37πππ

B＝，故A＝，B＝，C＝. 24612

阅卷报告3——忽视题设的隐含条件致误

【问题诊断】 涉及到角的终边、函数符号和同角函数关系问题时，应深挖隐含条件，处理好开方、平方关系，避免出现增解与漏解的错误.,

【防范措施】 一要考虑题设中的角的范围；二要考虑题设中的隐含条件 【示例】?若sin θ，cos θ是关于x的方程5x2－x＋a＝0(a是常数)的两根，θ∈(0，π)，求cos 2θ的值． 错因 忽视隐含条件，产生了增解

7

. 25

1

实录 由题意知，sin θ＋cos θ＝，

5∴(sin θ＋cos θ)2＝

124，∴sin 2θ＝－，∵θ∈(0，π)，∴2θ∈(0,2π)，∴cos 2525

7

2θ＝±1－2sin2 2θ＝±.

251

正解 由题意知，sin θ＋cos θ＝. 5∴(sin θ＋cos θ)2＝∴sin 2θ＝－

24. 25

24

＜0， 251. 25

即2sin θcos θ＝－

则sin θ与cos θ异号， 1

又sin θ＋cos θ＝＞0，

5

∴π

2＜θ＜3π4，∴π＜2θ＜3π2. 故cos 2θ＝－1－sin22θ＝－725. 【试一试】 已知sin θ＋cos θ＝7

13

，θ∈(0，π)，求tan θ. [尝试解答] ∵sin θ＋cos θ＝

7

13

，θ∈(0，π)． ∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝49169

. ∴sin θcos θ＝－

60169

. 由根与系数的关系知sin θ，cos θ是方程x2－

713x－60169＝0的两根，∴x52＝－13

， 又sin θcos θ＝－60

169

＜0，∴sin θ＞0，cos θ＜0， ∴sin θ＝

1213，cos θ＝－513

. ∴tan θ＝sin θ12

cos θ＝－5.

x＝12113

，

第

【2013年高考会这样考】

1．考查三角函数的图象及其性质在图象交换中的应用．

2．考查三角函数的图象及其性质在解决三角函数的求值、求参、求最值、求值域、求单调区间等问题中的应用． 【复习指导】

1．掌握正弦，余弦、正切三角函数的图象和性质，会作三角函数的图象．通过三角函数的图象研究其性质．

2．注重函数与方程、转化与化归、数形结合思想等数学思想方法的运用．

基础梳理

1．“五点法”描图

(1)y＝sin x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 ?3π??π?

(0,0)，?2，1?，(π，0)，?，－1?，(2π，0)．

???2?(2)y＝cos x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 ?3π??π?

(0,1)，?2，0?，(π，－1)，?，0?，(2π，1)．

???2?2．三角函数的图象和性质 函数 性质 定义域 3讲 三角函数的图象与性质

y＝sin x y＝cos x y＝tan x π{x|x≠kπ＋，k∈Z} 2R R 图象 值域 [－1,1] [－1,1] R

π对称轴：x＝kπ＋(k2对称性 ∈Z) 对称中心： (kπ，0)(k∈Z) 对称轴：x＝kπ(k∈Z) 对称中心： π??kπ＋，0??k∈Z? ?2?? 2π 无对称轴 ?kπ?对称中心：?，0?(k?2?∈Z) π 周期 2π 单调增区间 π?2kπ－?2? ，2kπ＋单调增区间[2kπ－单调增区间 单调性 π?(k∈Z)； 2??单调减区间π?2kπ＋?2?π，2kπ](k∈Z)；单?π?kπ－2调减区间[2kπ，2kπ?＋π](k∈Z) ，kπ＋ π?2?? ，2kπ＋(k∈Z) 奇偶性 两条性质 (1)周期性

3π??(k∈Z) 2?奇 偶 奇 2π函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)

|ω|的最小正周期为(2)奇偶性

三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式． 三种方法

求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x、cos x的有界性；

π. |ω|

(2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；

(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．

双基自测

π??

x＋1．(人教A版教材习题改编)函数y＝cos?，x∈R( )． 3???A．是奇函数 B．是偶函数

C．既不是奇函数也不是偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 答案 C

?π?

2．函数y＝tan?4－x?的定义域为( )．

????π

A.?x?x≠kπ－4??

??πC.?x?x≠kπ＋4??答案 A

π??

3．(2011·全国新课标)设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)?ω＞0，|φ|＜2?

??的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则( )． π??

A．f(x)在?0，2?单调递减

???π3π?

B．f(x)在?，?单调递减

?44?π??0，C．f(x)在?单调递增 2????π3π?

D．f(x)在?，?单调递增

?44?

π??

解析 f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)＝2sin?ωx＋φ＋4?，由最小正周期为π

??

?，k∈Z?

??，k∈Z?

?

??π

B.?x?x≠2kπ－4，k∈Z????πD.?x?x≠2kπ＋4??

?? ?

?，k∈Z?

?

ππ

得ω＝2，又由f(－x) ＝f(x)可知f(x)为偶函数，因此φ＋＝kπ＋(k∈Z)，

42π?ππ?

又|φ|＜可得φ＝，所以f(x)＝2cos 2x，在?0，2?单调递减．

24??答案 A

π??

4．y＝sin?x－4?的图象的一个对称中心是( )．

??A．(－π，0)

?3π?

C.?，0? ?2?

?π?

D.?2，0? ???3π?B.?－，0? ?4?

π

解析 ∵y＝sin x的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)，∴令x－＝kπ(k∈Z)，x＝kπ

4π?3?3π?π?x－＋(k∈Z)，由k＝－1，x＝－π得y＝sin?4?的一个对称中心是?－，0?.

44???4?答案 B

π??5．(2011·合肥三模)函数f(x)＝cos?2x＋6?的最小正周期为________．

??解析 T＝

2π

＝π. 2

答案 π

考向一 三角函数的定义域与值域

【例1】?(1)求函数y＝lg sin 2x＋9－x2的定义域． π??

(2)求函数y＝cos2x＋sin x?|x|≤4?的最大值与最小值．

??

[审题视点] (1)由题干知对数的真数大于0，被开方数大于等于零，再利用单位圆或图象求x的范围．

(2)将余弦化为正弦，再换元处理，转化为关于新元的一元二次函数解决．

?sin 2x＞0，

解 (1)依题意?2

?9－x≥0??π??x?－3≤x＜－2??

π?

?kπ＜x＜kπ＋，k∈Z，

2??

??－3≤x≤3，

π?

，或0＜x＜?.

2?

?22?

(2)设sin x＝t，则t∈?－，?.

2??2

?1?25?22?

∴y＝1－sinx＋sin x＝－?t－?＋，t∈?－，?，

2?42???2

2

15π

故当t＝，即x＝时，ymax＝，

264当t＝－

21－2π

，即x＝－时，ymin＝. 242

(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函

数线或三角函数图象来求解．

(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：

①形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)；

②形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；

③形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos

x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．

【训练1】 (1)求函数y＝sin x－cos x的定义域．

π?π?π????

2x－x－x＋(2)已知函数f(x)＝cos?＋2sin?4?·sin?4?，求函数f(x)在区间3????????ππ??－12，2?上的最大值与最小值． ??

解 (1)要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示．

π5π

在[0,2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是442π，所以定义域为 ??5ππ

?x?2kπ＋≤x≤2kπ＋

44??

?

，k∈Z?.

?

131

(2)由题意得：f(x)＝cos 2x＋sin 2x＋(sin x－cos x)·(sin x＋cos x)＝

222cos 2x＋

π?313?

sin 2x＋sin2x－cos2x＝cos 2x＋sin 2x－cos 2x＝sin?2x－6?. 222??

π?π5π??ππ?又x∈?－12，2?，∴2x－∈?－，?，

6?36???π??3??

2x－∴sin?∈?－，1?. 6????2?π

故当x＝时，f(x)取最大值1；

3当x＝－

3π

时，f(x)取最小值－. 122

考向二 三角函数的奇偶性与周期性

π??

x－【例2】?(2011·大同模拟)函数y＝2cos?－1是( )． 4???

2

A．最小正周期为π的奇函数 π

C．最小正周期为的奇函数

2

B．最小正周期为π的偶函数 π

D．最小正周期为的偶函数

2

[审题视点] 先化简为一个角的三角函数，再确定周期和奇偶性． π?π?2π??x－2x－解析 y＝2cos??－1＝cos??＝sin 2x为奇函数，T＝＝π. 4?2?2??

2

答案 A

求解三角函数的奇偶性和周期性时，一般先要进行三角恒等变换，把

三角函数式化为一个角的一个三角函数，再根据函数奇偶性的概念、三角函数奇偶性规律、三角函数的周期公式求解．

【训练2】 已知函数f(x)＝(sin x－cos x)sin x，x∈R，则f(x)的最小正周期是________．

解析 由f(x)＝(sin x－cos x)sin x＝sinx－sin xcos x＝π?12?

＝－sin?2x＋4?＋.

2??2∴最小正周期为π. 答案 π

考向三 三角函数的单调性

2

1－cos 2x1

－sin 2x22

?π?

【例3】?已知f(x)＝sin x＋sin?2－x?，x∈[0，π]，求f(x)的单调递增区间．

??[审题视点] 化为形如f(x)＝Asin(x＋φ)的形式，再求单调区间． ?π?

解 f(x)＝sin x＋sin?2－x?

??π??

＝sin x＋cos x＝2sin?x＋4?.

??πππ

由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，

2423ππ

得：－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，

44

π??

又x∈[0，π]，∴f(x)的单调递增区间为?0，4?.

??

求形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k的单调区间时，只需把ωx＋φ看作一个整

体代入y＝sin x的相应单调区间内即可，若ω为负则要先把ω化为正数． π??

【训练3】 函数f(x)＝sin?－2x＋3?的单调减区间为______．

??

π?π?π????

解析 f(x)＝sin?－2x＋3?＝－sin?2x－3?，它的减区间是y＝sin?2x－3?的增区

??????间．

5πππππ

由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得：kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.故所求函数

23212125π?π?

的减区间为?kπ－，kπ＋?(k∈Z)．

1212??5π?π?

答案 ?kπ－，kπ＋?(k∈Z)

1212??

考向四 三角函数的对称性

π??

【例4】?(1)函数y＝cos?2x＋3?图象的对称轴方程可能是( )．

??ππππ

A．x＝－ B．x＝－ C．x＝ D．x＝

612612

ππ??

2x＋＋α?是偶函数，则α的值为________． (2)若0＜α＜，g(x)＝sin?42??[审题视点] (1)对y＝cos x的对称轴为x＝kπ，把“ωx＋φ”看作一个整体，即可求．

ππ

(2)利用＋α＝kπ＋(k∈Z)，求解限制范围内的α.

42

kπππ

解析 (1)令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)，

326

π

令k＝0得该函数的一条对称轴为x＝－.本题也可用代入验证法来解．

6ππ??2x＋＋α?为偶函数，则须＋α＝kπ (2)要使g(x)＝cos?44??ππππ

＋，k∈Z，α＝kπ＋，k∈Z，∵0＜α＜，∴α＝. 2424π答案 (1)A (2)

4

正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数

的图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用．

π?π?

【训练4】 (1)函数y＝2sin(3x＋φ)?|φ|＜2?的一条对称轴为x＝，则φ＝

12??________.

(2)函数y＝cos(3x＋φ)的图象关于原点成中心对称图形．则φ＝________. π

解析 (1)由y＝sin x的对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)，

2即3×

ππ

＋φ＝kπ＋(k∈Z)， 122

π

得φ＝kπ＋(k∈Z)，

4ππ

又|φ|＜，∴k＝0，故φ＝.

24

(2)由题意，得y＝cos(3x＋φ)是奇函数， π

∴φ＝kπ＋，k∈Z.

2ππ

答案 (1) (2)kπ＋，k∈Z

42

难点突破9——利用三角函数的性质求解参数问题

含有参数的三角函数问题，一般属于逆向型思维问题，难度相对较大一些．正确利用三角函数的性质解答此类问题，是以熟练掌握三角函数的各条性质为前提的，解答时通常将方程的思想与待定系数法相结合．下面就利用三角函数性质求解参数问题进行策略性的分类解析． 一、根据三角函数的单调性求解参数

π??

ωx＋【示例】? (2011·镇江三校模拟)已知函数f(x)＝sin?(ω＞0)的单调递增3???5π7π?π?π??

kπ－，kπ＋kπ＋，kπ＋????(k∈Z)，则区间为(k∈Z)，单调递减区间为

12121212????ω的值为________．

二、根据三角函数的奇偶性求解参数

【示例】? (2011·泉州模拟)已知f(x)＝cos(3x＋φ)－3sin(3x＋φ)为偶函数，则φ可以取的一个值为( )．

ππππA. B. C．－ D．－ 6363

▲根据三角函数的周期性求解参数(教师备选)

π??

ωx＋【示例】? (2011·合肥模拟)若函数y＝sin ωx·sin?(ω＞0)的最小正周期2???π

为，则ω＝________. 7

▲根据三角函数的最值求参数(教师备选)

π

【示例】? (2011·洛阳模拟)若函数f(x)＝asin x－bcos x在x＝处有最小值－32，则常数a、b的值是( )． A．a＝－1，b＝3 C．a＝3，b＝－1

B．a＝1，b＝－3 D．a＝－3，b＝1

第4讲 正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用

【2013年高考会这样考】

1．考查正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换．

2．结合三角恒等变换考查y＝Asin(ωx＋φ)的性质及简单应用． 3．考查y＝sin x到y＝A sin(ωx＋φ)的图象的两种变换途径． 【复习指导】

本讲复习时，重点掌握正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的“五点”作图法，图象的三种变换方法，以及利用三角函数的性质解决有关问题．

基础梳理

1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点 如下表所示

x 0－φ ω0 0 π－φ2 ωπ 2π－φ ωπ 0 3π2π－φ－φ2 ω ω3π 2－A 2π 0 ωx＋φ y＝Asin(ωx＋φ) A 2．函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤

3．当函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x∈[0，＋∞))表示一个振动时，A叫做振幅，

T＝

2π1

叫做周期，f＝叫做频率，ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相． ωT4．图象的对称性

函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下： π(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝xk(其中 ωxk＋φ＝kπ＋，k∈Z)成轴对称

2图形．

(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于点(xk,0)(其中ωxk＋φ＝kπ，k∈Z)成中心对称图形．

一种方法

在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A＝2π

期T确定，即由＝T求出，φ由特殊点确定．

ω一个区别

M－m2

，k＝

M＋m2

，ω由周

由y＝sin x的图象变换到y＝Asin (ωx＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的|φ|量是(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多

ω少值，而不是依赖于ωx加减多少值． 两个注意

作正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象时应注意： (1)首先要确定函数的定义域；

(2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象．

双基自测

π??2x－1．(人教A版教材习题改编)y＝2sin? 的振幅、频率和初相分别为( )． 4???1π

A．2，，－

π41πC．2，，－

π8答案 A

π??2.已知简谐运动f(x)＝Asin(ωx＋φ)?|φ|＜?的部分图象如图所示，则该简谐运动的最

2??小正周期T和初相φ分别为( )．

B．2，D．2，

1π

，－ 2π41π，－ 2π8

π

A．T＝6π，φ＝ 6π

C．T＝6，φ＝

6

π

B．T＝6π，φ＝

3π

D．T＝6，φ＝ 3

π?π?解析 由题图象知T＝2(4－1)＝6?ω＝，由图象过点(1,2)且A＝2，可得sin?×1＋φ?3?3?ππ

＝1，又|φ|＜，得φ＝.

26

答案 C

π

3．函数y＝cos x(x∈R)的图象向左平移个单位后，得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)的

2解析式应为( )．

A．－sin x B．sin x C．－cos x D．cos x

?π?解析 由图象的平移得g(x)＝cos?x＋?＝－sin x.

2??

答案 A

π?4π?4．设ω＞0，函数y＝sin?ωx＋?＋2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω3?3?的最小值是( )． 243

A. B. C. D．3 332

π?4π??4π?π??解析 y＝sin?ωx＋?＋2向右平移个单位后得到y1＝sin?ω?x－?＋?＋2＝

3?3?3?3???π4π?4π?sin?ωx＋－ω?＋2，又y与y1的图象重合，则－ω＝2kπ(k∈Z)．

33?3?3

∴ω＝－k.又ω＞0，k∈Z，

2

3

∴当k＝－1时，ω取最小值为，故选C.

2答案 C

5．(2011·重庆六校联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝________.

T2ππ42π3

解析 由题意设函数周期为T，则＝π－＝，故T＝π.∴ω＝＝.

43333T2

3

答案

2

考向一 作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象

π???π?【例1】?设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)?ω＞0，－＜φ＜0?的最小正周期为π，且f??＝2???4?

3. 2

(1)求ω和φ的值；

(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象． [审题视点] (1)由已知条件可求ω，φ； (2)采用“五点法”作图，应注意定义域[0，π]．

2π

解 (1)周期T＝＝π，∴ω＝2，

ω

?π??π∵f??＝cos?2×＋φ

4?4???＝cos?π＋φ?＝－sin φ＝3，

??2?2???

ππ

∵－＜φ＜0，∴φ＝－.

23

π??(2)由(1)知f(x)＝cos?2x－?，列表如下：

3??

π2x－ 3－π 30 π 61 π 25π 120 π 2π 3－1 3π 211π 120 5π 3π 1 2x f(x) 图象如图：

0 1 2

(1)“五点法”作图的关键是正确确定五个点，而后列表、描点、连线即可．

(2)变换法作图象的关键看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx?φ?＋φ＝ω?x＋?来确定平移单位． ?ω?

?1π?【训练1】 已知函数f(x)＝3sin?x－?，x∈R.

4??2

(1)画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)将函数y＝sin x的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象？ 解 (1)列表取值：

x 1πx－ 24π 20 0 3π 2π 23 5π 2π 0 7π 23π 2－3 9π 22π 0 f(x) 描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图．

π

(2)先把y＝sin x的图象向右平移个单位，然后把所有的点的横坐标扩大为原来的2倍，

4再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f(x)的图象．

考向二 求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式

【例2】?(2011·江苏)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f(0)的值是________．

[审题视点] 由最高、最低点确定A，由周期确定ω，然后由图象过的特殊点确定φ.

T7ππππ

解析 由图可知：A＝2，＝－＝，所以T＝2kπ＋π，∴φ＝2kπ＋，令k＝0，

412343

2πππ?π?ω＝＝2，又函数图象经过点?，0?，所以2×＋φ＝π，则φ＝，故函数的解析T33?3?π?π6?式为f(x)＝2sin?2x＋?，所以f(0)＝2sin＝. 3?32?答案

6

2

解决这类题目一般是先根据函数图象的最高点、最低点确定A，h的值，函数的

周期确定ω的值，再根据函数图象上的一个特殊点确定φ值．

π

【训练2】 已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，|φ|＜，ω＞0)的图象的一部分如图所示．

2

(1)求f(x)的表达式； (2)试写出f(x)的对称轴方程．

解 (1)观察图象可知：A＝2且点(0,1)在图象上，∴1＝2sin(ω·0＋φ)， 1

即sin φ＝.

2

ππ11

∵|φ|＜，∴φ＝.又∵π是函数的一个零点，且是图象递增穿过x轴形成的零点，

261211ππ

∴ω＋＝2π，∴ω＝2. 126π??∴f(x)＝2sin?2x＋?.

6??

π

(2)设2x＋＝B，则函数y＝2sin B的对称轴方程为

6

B＝＋kπ，k∈Z，

ππ

即2x＋＝＋kπ(k∈Z)，

62解上式得x＝

π2

kπ

2

＋

π

(k∈Z)， 6

π?kππ?∴f(x)＝2sin?2x＋?的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)． 6?26?

考向三 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质的综合应用

【例3】?(2012·西安模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A＞0，ω＞0,0＜ππ

φ＜)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上的一个最低点为

22

M?

?2π，－2?.

?

?3?

?π，π?时，求f(x)的值域．

?

?122?

(1)求f(x)的解析式； (2)当x∈?

[审题视点] 先由图象上的一个最低点确定A的值，再由相邻两个交点之间的距离确定ω的值，最后由点M在图象上求得φ的值，进而得到函数的解析式；先由x的范围，求得2x＋π

的范围，再求得f(x)的值域． 6

解 (1)由最低点为M?

?2π，－2?，得A＝2.

?

?3?

πTπ2π2π

由x轴上相邻的两个交点之间的距离为，得＝，即T＝π，所以ω＝＝＝2.由

222Tπ点M?

?2π，－2?在图象上，得2sin?2×2π＋φ?＝－2，即sin?4π＋φ?＝－1.

????3?3?3?????

4ππ11π

故＋φ＝2kπ－，k∈Z，所以φ＝2kπ－(k∈Z)． 326π?π?又φ∈?0，?，所以φ＝.

2?6?π??故f(x)的解析式为f(x)＝2sin?2x＋?.

6??π?π7π??ππ?(2)因为x∈?，?，所以2x＋∈?，?.

6?6?3?122?πππ

当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2；

626π7ππ

当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值－1.

662故函数f(x)的值域为[－1,2]．

1

利用三角函数图象与x轴的相邻两个交点之间的距离为三角函数的个最小正周

2

期，去求解参数ω的值，利用图象的最低点为三角函数最值点，去求解参数A的值等．在求函数值域时，由定义域转化成ωx＋φ的范围，即把ωx＋φ看作一个整体．

【训练3】 (2011·南京模拟)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象过点

????P?，0?，图象上与点P最近的一个最高点是Q?，5?. 123?

?

?

?

(1)求函数的解析式； (2)求函数f(x)的递增区间．

ππ

?ππ?解 (1)依题意得：A＝5，周期T＝4?－?＝π，

?312?

2π?π?∴ω＝＝2.故y＝5sin(2x＋φ)，又图象过点P?，0?， π?12?

∴5sin?

?π＋φ?＝0，

??6?

ππ由已知可得＋φ＝0，∴φ＝－

66π??∴y＝5sin?2x－?.

6??

πππ

(2)由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，

262ππ

得：－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，

63

ππ??故函数f(x)的递增区间为：?kπ－，kπ＋?(k∈Z)．

63??

规范解答8——怎样求解三角函数的最值问题

【问题研究】 (1)求三角函数的最值是高考的一个热点．在求解中，一定要注意其定义域，否则容易产生错误．

(2)主要题型：①求已知三角函数的值域(或最值)；②根据三角函数的值域(或最值)求相关的参数；③三角函数的值域(或最值)作为工具解决其他与范围相关的问题．

【解决方案】 ①形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数，可通过引入辅助角

?

φ?cos φ＝?

a2a＋b，sin φ＝2?22

?，将原式化为y＝a＋b·sin(x＋φ)＋c的形式a＋b?

222

b后，再求值域(或最值)；②形如y＝asinx＋bsin x＋c的三角函数，可先设t＝sin x，将原式化为二次函数y＝at＋bt＋c的形式，进而在t∈[－1,1]上求值域(或最值)；③形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，将原式化为12

二次函数y＝±a(t－1)＋bt＋c的形式，进而在闭区间t∈[－2，2]上求最值．

2

2

?π?【示例】?(本题满分12分)(2011·北京)已知函数f(x)＝4cos xsin ?x＋?－1.

6??

(1)求f(x)的最小正周期；

?ππ?(2)求f(x)在区间?－，?上的最大值和最小值．

?64?

2π?ππ? 首先化为形如y＝Asin(ωx＋φ)的形式，由T＝求得：由x∈?－，?，求ω?64?

得ωx＋φ的范围，从而求得最值．

?π?[解答示范] (1)因为f(x)＝4cos xsin?x＋?－1

6??

＝4cos x?

1?3?

sin x＋cos x?－1

2?2?

2

＝3sin 2x＋2cosx－1＝3 sin 2x＋cos 2x π??＝2sin?2x＋?，(4分)

6??

所以f(x)的最小正周期为π.(6分)

ππππ2π

(2)因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤.(8分)

64663πππ

于是，当2x＋＝，即x＝时，

626

f(x)取得最大值2；(10分)

πππ

当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－1.(12分)

666

解决这类问题常常借助三角函数的有界性或转化为我们所熟悉的函数，如二次函

数等来解决．

53?π?2

【试一试】 是否存在实数a，使得函数y＝sinx＋acos x＋a－在闭区间?0，?上的最

2?82?大值是1？若存在，求出对应的a值？若不存在，试说明理由． 1?2a51?[尝试解答] y＝－?cos x－a?＋＋a－，

2?482?

π

当0≤x≤时，0≤cos x≤1，令t＝cos x，则0≤t≤1，

2

2

?1?2a51

∴y＝－?t－a?＋＋a－，0≤t≤1.

?2?482

当0≤≤1，即0≤a≤2时，则当t＝，即cos x＝时．

222

2

aaaymax＝＋a－＝1，解得a＝或a＝－4(舍去)．

4

8

当＜0，即a＜0时，则当t＝0，即cos x＝0时， 2

a25

1232

aymax＝a－＝1，解得a＝(舍去)．

当＞1，即a＞2时，则当t＝1，即cos x＝1时， 2

5812125

aymax＝a＋a－＝1，解得a＝(舍去)．

3

综上知，存在a＝符合题意．

2

58322013

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/scj3.html