高考新课标数学（理）课时作业：9.6 椭圆

9.6 椭圆

1．若椭圆经过原点，且焦点分别为F1(1，0)，F2(3，0)，则其离心率为( ) 32A. B. 43

1

C. 2

1D. 4

3

D．x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)

2→→

解：∵BP＝2PA，∴x＝2(xA－x)，y－yB＝2·(－y)，

3x?3→

，0，B(0，3y)．∴AB＝?－x，3y?. 可得A??2??2?∵点Q与点P关于y轴对称，

∴Q点坐标为(－x，y)，

→

OQ＝(－x，y)．

解：∵椭圆经过原点O，且焦点分别为F1(1，0)，F2(3，0)，

∴|OF1|＋|OF2|＝2a＝4，a＝2.

又2c＝|F1F2|＝2，∴c＝1. ∴该椭圆的离心率e＝ca＝1

2

.故选C.

2．方程x2

＋ky2

＝2表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是( )

A．(0，＋∞) B．(0，2)

C．(1，＋∞)

D．(0，1)

解：将方程x2＋ky2

＝2变形为x2y22＋2

＝1，根据椭

k圆的定义，要使焦点在y轴，只须2

k>2，解得0

故选D.

3．已知F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为( )

x2A.2＋y2＝1 B.x2＋y2＝1 232C.x4＋y23＝1 D.x2y25＋＝1 解：设椭圆C的方程为x2y

24

a2＋b2＝1(a>b>0)，由题

意得a2－b2＝1，①

可设A??ba2－1?1，?a??

ba2－1??，B??1，－a??，

则|AB|＝2ba2－1

a＝3，②

由①②得4b4－9b2－9＝0，解得b2＝3或－3

(舍

24

去)，a2＝b2＋1＝4.∴椭圆C的方程为xy

24＋3

＝1.

故选C.

4．设过点P(x，y)的直线分别与x轴正半轴和y轴正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，

O为坐标原点，若BP→＝2→PA，且OQ→·AB→

＝1，则P点的轨迹方程是( )

A．3x2＋3

2y2＝1(x＞0，y＞0)

B．3x2－3

2y2＝1(x＞0，y＞0)

C．3

2

x2－3y2＝1(x＞0，y＞0)

∵OQ→·AB→

＝1，∴32x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)，这就

是P点的轨迹方程．故选D.

5．(2013·

四川)从椭圆x2a2＋y2

b2＝1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )

A.24 B.12 C.22 D.32

解：由题意知A(a，0)，B(0，b)，AB→

＝(－a，b)，P?b2?－c，a??，OP→＝?b2?－c，a??，∵AB∥OP，∴AB→∥OP→，

因此有(－a)·b2

a＝b·(－c)，解得b＝c.∴a2－b2＝a2－c2＝c2，得e＝2

2

.故选C.

．已知椭圆Cx2y2

61：2＋2＝1(22aba11

1>b1>0)和椭圆

Cxy

2：a2＋2b2＝1(a22>b2>0)的焦点相同且a1>a2，给出如

下四个结论：

①椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点；②a21－a2

2＝b21－b2

2；

③a1a>b1

；④a1－a2

2. 其中，所有正确结论的序号是( ) A．②③④ B．①③④ C．①②④

D．①②③

解：∵a21－b21＝a22－b22，∴a21－a22＝b21－b2

2，②正

确；又a1>a2，∴b1>b2，椭圆C1和椭圆C2一定没有

公共点，①正确；由acc1>a2得a<，即1－?b1?21a2?a1

?<1－?b?2a?22?，因此b1a1>b2a，即b12b2>a1a，③不正确；∵a2

1>b1，a2>b2，∴a1＋a2>b1＋b2>0.又a21－a22＝b21－b22，∴a1－

a2

x2y2

7．已知以椭圆a2＋b

2＝1(a＞b＞0)的右焦点F为

圆心，a为半径的圆与直线l：x＝a2

(其中c＝a2c－b2)

交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是____________．

易知右焦点F(c，0)，由题意得a＞a2

解：c

－c，即

e2＋e－1＞0，∵0＜e＜1，∴5－1

2

＜e＜1.故填

??5－1?1?2，??

. 8．(2013·上海)设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA＝π

4，若AB＝4，BC＝2，则Γ的两个

焦点之间的距离为____________．

解：如图所示，作CD⊥AB于点D，由∠CBA＝π

4，

BC＝2，可得CD＝DB＝1，又由AB＝4，可得AO＝OB＝2，OD＝1，∴点C(1，1)．不妨设椭圆Γ的标

x24＋y2

准方程为b

2＝1(b>0)，将点C(1，1)代入可得b2＝

43，∴c＝a2－b2＝4－43＝263

.∴Γ的两个焦点之间的距离为2c＝46463.故填3.

9．在平面直角坐标系xOy中，点2P(a，b)(a＞b

＞0)为动点，Fxy2

1，F2分别为椭圆a2＋b2＝1的左，右焦

点．已知△F1PF2为等腰三角形．求椭圆的离心率e.

解：设F1(－c，0)，F2(c，0)(c＞0)．

由题意，可得|PF2|＝|F1F2|，即（a－c）2＋b2＝2c，

2

整理得2?c?a??＋ca－1＝0，解得ca＝－1(舍)，或c

a＝12，∴e＝12

.

：x2

＋y2

10．已知O为坐标原点，F为椭圆C2

＝1

在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为－2的直线l

与C交于A，B两点，点P满足OA→＋OB→＋OP→

＝0.

证明：点P在C上．

证明：易知F(0，1)，故l：y＝－2x＋1，代入椭圆方程得4x2－22x－1＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

P(x，y)，则x2

1＋x2＝2

，y1＋y2＝－2(x1＋x2)＋2＝1，

因为OA→＋OB→＋OP→

＝0，所以(x1，y1)＋(x2，y2)＋(x，

y)＝(0，0)，(x，y)＝(－x21－x2，－y1－y2)＝??

－

2，－1??

，

将此坐标代入椭圆得?2?－2?2（－12

?

＋）2＝1，等式成

立，所以点P在C上．

11．(2012·

陕西)已知椭圆Cx2

1：4

＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．

(1)求椭圆C2的方程；

(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，OB→＝2OA→

，求直线AB的方程．

(1)设椭圆Cy2x2

解：2的方程为a2＋4

＝1(a>2)．∵C2

的离心率为3a2－43

2，∴a＝，解得a＝4.故椭圆C2

的方程为y22x

216＋4

＝1.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由OB→＝2OA→

及(1)，可知O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，设直线AB的方程为y＝kx.

将y＝kx代入x22

4＋y＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，

∴x2

＝411＋4k2. y2x2

将y＝kx代入16＋4＝1中，得(4＋k2)x2＝16，

∴x2

＝1624＋k2. 由OB→＝2OA→得x216162＝4x2

1，即4＋k2＝1＋4k2， 解得k＝±1.故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.

(2013·全国课标Ⅱ)平面直角坐标系xOyM：x2

y2

中，过椭圆a2＋b

2＝1(a>b>0)右焦点的直线x＋y

－3＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP

的斜率为1

2

.

(1)求M的方程；

(2)C，D为M上两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．

解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)， 22

则x1y2－a2＋y21x2y2yb2＝1，21a2＋b2＝1，x＝－1， 2－x1

由此可得b2（x1＋x2）ya2（y＝－2－y1＝1.

1＋y2）x2－x1

∵x＋xy12＝2x0，y1＋y2＝2y0，01

x＝2

，

0∴a2＝2b2.①

又由题意知，M的右焦点为(3，0)，∴a2－b2＝3.②

由①②得a2＝6，b2＝3.

∴M的方程为x2y2

6＋3

＝1.

??x＋y－3＝0，(2)由?x2y2

??6＋3＝1

?解得?3

y＝－?3

4

x＝3，3

?x＝0，或? ?y＝3.

4

因此|AB|＝6.

3

由题意可设直线CD的方程为y＝x＋

y＝x＋n，??5

－3

??6＋3＝1

－2n±2（9－n2）22

得3x＋4nx＋2n－6＝0，于是x3，4＝，

34

∵直线CD的斜率为1，∴|CD|＝2|x3－x4|＝9－n2，

318

|AB|＝6·9－n2，四边形ACBD的面积S＝|CD|·当298

n＝0时，S取得最大值6.∴四边形ACBD面积的最

38大值为6.

3

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/schv.html